1 са дадени координатите на върха на триъгълника abc, намерете. Дадени са координатите на върховете на триъгълника

Проблем 1. Дадени са координатите на върховете на триъгълник ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Намерете: 1) дължината на страната AB; 2) уравнения на страни AB и BC и техните ъглови коефициенти; 3) ъгъл B в радиани с точност до две цифри; 4) уравнение на височина CD и нейната дължина; 5) уравнението на медианата AE и координатите на точката K на пресечната точка на тази медиана с височината CD; 6) уравнението на права линия, минаваща през точка K, успоредна на страната AB; 7) координати на точка М, разположена симетрично на точка А спрямо права линия CD.

Решение:

1. Разстоянието d между точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) се определя по формулата

Прилагайки (1), намираме дължината на страната AB:

2. Уравнението на правата, минаваща през точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) има формата

(2)

Замествайки координатите на точките A и B в (2), получаваме уравнението на страната AB:

След като решихме последното уравнение за y, намираме уравнението на страната AB под формата на уравнение на права линия с ъглов коефициент:

където

Замествайки координатите на точки B и C в (2), получаваме уравнението на правата линия BC:

Или

3. Известно е, че тангенсът на ъгъла между две прави линии, чиито ъглови коефициенти са съответно равни, се изчислява по формулата

(3)

Желаният ъгъл B се образува от прави линии AB и BC, чиито ъглови коефициенти се намират: Прилагайки (3), получаваме

Или се радвам.

4. Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока, има вида

(4)

Височината CD е перпендикулярна на страната AB. За да намерим наклона на височината CD, използваме условието за перпендикулярност на правите. От тогава Замествайки в (4) координатите на точка C и намерения ъглов коефициент на височина, получаваме

За да намерим дължината на височината CD, първо определяме координатите на точка D - пресечната точка на прави AB и CD. Решаване на системата заедно:

намираме тези. D(8;0).

Използвайки формула (1), намираме дължината на височината CD:

5. За да намерим уравнението на медианата AE, първо определяме координатите на точка E, която е средата на страната BC, като използваме формулите за разделяне на отсечка на две равни части:

(5)

следователно

Замествайки координатите на точките A и E в (2), намираме уравнението за медианата:

За да намерим координатите на пресечната точка на височината CD и медианата AE, решаваме заедно системата от уравнения

Намираме.

6. Тъй като желаната права е успоредна на страната AB, нейният ъглов коефициент ще бъде равен на ъгловия коефициент на правата AB. Замествайки в (4) координатите на намерената точка K и ъгловия коефициент, получаваме

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Тъй като правата AB е перпендикулярна на правата CD, търсената точка M, разположена симетрично на точка A спрямо правата CD, лежи на правата AB. Освен това точка D е средата на отсечка AM. Използвайки формули (5), намираме координатите на желаната точка M:

Триъгълник ABC, височина CD, медиана AE, права KF и точка M са построени в координатната система xOy на фиг. 1.

Задача 2. Създайте уравнение за геометричното място на точки, чиито разстояния до дадена точка A(4; 0) и до дадена права x=1 са равни на 2.

Решение:

В координатната система xOy построяваме точката A(4;0) и правата x = 1. Нека M(x;y) е произволна точка от желаното геометрично местоположение на точките. Нека спуснем перпендикуляра MB към дадената права x = 1 и определим координатите на точка B. Тъй като точка B лежи на дадената права, нейната абциса е равна на 1. Ординатата на точка B е равна на ординатата на точка M Следователно, B(1;y) (фиг. 2).

Според условията на задачата |MA|: |MV| = 2. Разстояния |MA| и |MB| намираме от формула (1) на задача 1:

Получаваме на квадрат лявата и дясната страна

или

Полученото уравнение е хипербола, в която реалната полуос е a = 2, а въображаемата полуос е

Нека дефинираме фокусите на хипербола. За хипербола равенството е изпълнено. Следователно и – трикове с хипербола. Както можете да видите, дадената точка A(4;0) е десният фокус на хиперболата.

Нека определим ексцентричността на получената хипербола:

Уравненията на асимптотите на хиперболата имат формата и . Следователно, или и са асимптоти на хипербола. Преди да построим хипербола, изграждаме нейните асимптоти.

Проблем 3. Създайте уравнение за геометричното място на точки, равноотдалечени от точката A(4; 3) и правата линия y = 1. Редуцирайте полученото уравнение до най-простата му форма.

Решение:Нека M(x; y) е една от точките на желаното геометрично място от точки. Нека спуснем перпендикуляра MB от точка M към тази права y = 1 (фиг. 3). Нека определим координатите на точка B. Очевидно е, че абсцисата на точка B е равна на абсцисата на точка M, а ординатата на точка B е равна на 1, т.е. B(x; 1). Според условията на задачата |MA|=|MV|. Следователно, за всяка точка M(x;y), принадлежаща на желаното геометрично място от точки, е вярно следното равенство:

Полученото уравнение дефинира парабола с връх в точката. За да доведем уравнението на параболата до най-простата му форма, нека зададем и y + 2 = Y, тогава уравнението на параболата приема формата:

Пример за решаване на някои задачи от стандартната работа „Аналитична геометрия на равнина“

Дадени са върховете,
,
триъгълник ABC. Намирам:

Уравнения на всички страни на триъгълник;

Система от линейни неравенства, определящи триъгълник ABC;

Уравнения на надморска височина, медиана и ъглополовяща на триъгълник, изтеглени от върха А;

Пресечната точка на височините на триъгълника;

Пресечната точка на медианите на триъгълника;

Дължина на височината, спусната настрани AB;

Ъгъл А;

Направете рисунка.

Нека върховете на триъгълника имат координати: А (1; 4), IN (5; 3), СЪС(3; 6). Нека начертаем чертеж веднага:

1. За да напишем уравненията на всички страни на триъгълник, използваме уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки с координати ( х 0 , г 0 ) И ( х 1 , г 1 ):

=

По този начин, замествайки вместо ( х 0 , г 0 ) координати на точки А, и вместо ( х 1 , г 1 ) координати на точки IN, получаваме уравнението на правата AB:

Полученото уравнение ще бъде уравнението на правата линия AB, написано в обща форма. По същия начин намираме уравнението на правата линия AC:

А също и уравнението на правата линия слънце:

2. Забележете, че множеството от точки на триъгълника ABCпредставлява пресечната точка на три полуравнини и всяка полуравнина може да бъде дефинирана с помощта на линейно неравенство. Ако вземем уравнението на която и да е страна ∆ ABC, Например AB, тогава неравенствата

И

дефинирайте точки, лежащи от противоположните страни на линия AB. Трябва да изберем полуравнината, в която лежи точка C. Нека заместим нейните координати в двете неравенства:

Второто неравенство ще бъде правилно, което означава, че търсените точки се определят от неравенството

.

Правим същото с правата линия BC, нейното уравнение
. Използваме точка A (1, 1) като тестова точка:

Това означава, че търсеното неравенство има формата:

.

Ако проверим права линия AC (тестова точка B), получаваме:

Това означава, че търсеното неравенство ще има вида

Накрая получаваме система от неравенства:

Знаците „≤“, „≥“ означават, че точките, лежащи от страните на триъгълника, също са включени в набора от точки, съставляващи триъгълника ABC.

3. а) За да се намери уравнението за височината, паднала от върха Аот страната слънце, разгледайте уравнението на страната слънце:
. Вектор с координати
перпендикулярно на страната слънцеи следователно успоредно на височината. Нека напишем уравнението на права линия, минаваща през точка Ауспореден на вектора
:

Това е уравнението за височината, пропусната от t. Аот страната слънце.

б) Намерете координатите на средата на страната слънцепо формулите:

Тук
– това са координатите на t. IN, А
– координати t. СЪС. Нека заместим и получим:

Правата, минаваща през тази точка и точката Ае желаната медиана:

в) Ще търсим уравнението на ъглополовящата въз основа на факта, че в равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата, спуснати от единия връх към основата на триъгълника, са равни. Нека намерим два вектора
И
и техните дължини:

След това векторът
има същата посока като вектора
, и неговата дължина
По същия начин, единичният вектор
съвпада по посока с вектора
Векторна сума

има вектор, който съвпада по посока с ъглополовящата на ъгъла А. Така уравнението на желаната ъглополовяща може да бъде написано като:

4) Вече сме съставили уравнението за една от височините. Нека съставим уравнение за друга височина, например от върха IN. отстрани ACдадено от уравнението
Значи векторът
перпендикулярен AC, и по този начин успоредно на желаната височина. Тогава уравнението на правата, минаваща през върха INпо посока на вектора
(т.е. перпендикулярно AC), има формата:

Известно е, че височините на триъгълник се пресичат в една точка. По-специално тази точка е пресечната точка на намерените височини, т.е. решаване на системата от уравнения:

- координати на тази точка.

5. Среден ABима координати
. Нека запишем уравнението на медианата отстрани AB.Тази линия минава през точки с координати (3, 2) и (3, 6), което означава, че нейното уравнение има формата:

Имайте предвид, че нула в знаменателя на дроб в уравнението на права линия означава, че тази права линия е успоредна на ординатната ос.

За да намерите пресечната точка на медианите, е достатъчно да решите системата от уравнения:

Пресечната точка на медианите на триъгълник има координати
.

6. Дължина на височина, спусната настрани AB,равно на разстоянието от точката СЪСкъм права линия ABс уравнение
и се намира по формулата:

7. Косинус на ъгъл Аможе да се намери с помощта на формулата за косинуса на ъгъла между векторите И , което е равно на отношението на скаларното произведение на тези вектори към произведението на техните дължини:

.

1. Дадени са върховете на триъгълник ABC.А(–9; –2), IN(3; 7), СЪС(1; –7).

1) дължина на страната AB;

2) уравнения на страните ABИ ACи техните ъглови коефициенти;

3) ъгъл Ав радиани;

4) уравнение на височината СЪСди неговата дължина;

5) уравнението на окръжност, за която височината СЪСдима диаметър;

6) система линейни неравенства, определящ триъгълник ABC.

Решение. Да направим рисунка.

1. Нека намерим дължината на страната AB.Разстоянието между две точки се определя по формулата

2. Нека намерим уравненията на странитеAB ИAC и техните ъглови коефициенти.

Нека напишем уравнението на права линия, минаваща през две точки.

Това общо уравнениеправ. Нека го разрешим по отношение на y, получаваме

, наклонът на правата е равен на

По същия начин за страна AC имаме.

наклонът на правата е равен на

3. Ще намеримъгълА в радиани. Това е ъгълът между два вектора
И
. Нека запишем координатите на векторите. Косинусът на ъгъла между векторите е равен на

4. Ще намеримуравнение на височинатаСЪС д и неговата дължина.
, следователно техните ъглови коефициенти са свързани с отношението
.

Нека запишем уравнението на височината чрез ъгловия коефициент

Точка
принадлежи на правата CD, следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на правата, следователно имаме

Накрая
или

Изчисляваме дължината на височината като разстоянието от точка C до правата AB

5. Нека намерим уравнението на окръжност, за коя височинаСЪС д има диаметър.

Намираме координатите на точка D като пресечна точка на две прави AB и CD, чиито уравнения са известни.

Да намерим координатите на точка O - центърът на окръжността. Това е средата на CD секцията.

Радиусът на окръжността е

Нека напишем уравнението на окръжност.

6) Нека дефинираме триъгълникABC система от линейни неравенства.

Нека намерим уравнението на права CB.

Системата от линейни неравенства ще изглежда така.

2. Реши тази системауравнения, използващи формулите на Крамер. Проверете получения разтвор.

Решение.Нека изчислим детерминантата на тази система:

.

Нека намерим детерминантите
и реши системата:

Преглед:

Отговор:

3. Напишете системата от уравнения в матрична форма и я решете с помощта на

обратна матрица. Проверете получения разтвор

Решение.

Нека намерим детерминантата на матрица А

матрицата е неединична и има обратна. Нека намерим всички алгебрични допълнения и създадем обединителна матрица.

обратна матрицаима формата:

Да направим умножението
и намерете вектора на решенията.

Преглед

.
Отговор:

Решение.

н = (2, 1). Начертайте линия на ниво, перпендикулярна на нормалния вектор и я преместете в посока на нормалата,

Целевата функция достига своя минимум в точка А, а своя максимум в точка В. Координатите на тези точки намираме чрез съвместно решаване на уравненията на правите, в пресечната точка на които се намират.

5. Една туристическа компания не изисква повече Атритонни автобуси и не повече V

петтонни автобуси. Продажната цена на автобусите от първа марка е 20 000 USD, от втора марка

40 000 USD Една туристическа фирма може да отдели не повече от с c.u.

Колко автобуса от всяка марка трябва да бъдат закупени отделно, така че общият им брой

(общата) товароносимост е била максимална. Решете задачата графично.

А= 20 V= 18 с= 1000000

Решение. Да композираме математически моделзадачи . Нека означим с
- броя на автобусите от всеки тонаж, които ще бъдат закупени. Целта на поръчката е да има максимален капацитет на закупените машини, описан от целевата функция

Ограниченията на задачата се определят от броя на закупените автобуси и тяхната цена.

Нека решим задачата графично. . Построяваме областта на възможните решения на задачата и нормалата към линиите на нивото н = (3, 5). Начертайте линия на ниво, перпендикулярна на нормалния вектор и я преместете в посока на нормалата.

Целевата функция достига своя максимум в точката
, целевата функция приема стойността .

Решение. 1. Областта на дефиниране на функцията е цялата числена ос.

2, Функцията не е нито четна, нито нечетна.

3. Когато x=0, y=20

4. Изследваме функцията за монотонност и екстремуми.

Нека намерим нулите на производната

Стационарни точки на функция.

Нека начертаем неподвижни точки върху оста Ox и проверим знаците на производната на всеки участък от оста.

– максимална точка
;
- минимална точка

5. Разглеждаме графиката на функцията за изпъкналост и вдлъбнатост. Нека вземем 2-ро производно

Инфлексната точка на функционална графика.

При
- функцията е изпъкнала; при
- функцията е вдлъбната.

Графиката на функцията изглежда така

6. Намерете най-големия и най-малка стойностфункции на интервала [-1; 4]

Нека изчислим стойността на функцията в краищата на сегмента
В минималната точка функцията приема стойностите, следователно най-малката стойност на сегмента [-1; 4] функцията взема в минималната точка и максимума в лявата граница на интервала.

7. намирам неопределени интегралии проверете резултатите от интеграцията

диференциация.

Решение.

Преглед.

Тук произведението на косинусите е заменено със сбор, съгласно тригонометричните формули.

1. Уравнение на страните AB и BC и техните ъглови коефициенти.
Присвояването дава координатите на точките, през които минават тези линии, така че ще използваме уравнението на права, минаваща през две дадени точки $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ заместете и получете уравненията
уравнение на правата AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ наклонът на правата линия AB е равен на \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
уравнение на правата BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ наклонът на правата BC е равен на \ (k_( BC) = -7\)

2. Ъгъл B в радиани с точност до две цифри
Ъгъл B е ъгълът между правите AB и BC, който се изчислява по формулата $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$заместете стойностите на ъгловите коефициенти от тези редове и вземете $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \приблизително 0,79$$
3.Дължина на страната AB
Дължината на страната AB се изчислява като разстоянието между точките и е равна на \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Уравнение на височината на CD и неговата дължина.
Ще намерим уравнението на височината, като използваме формулата на права линия, минаваща през нея дадена точка C(4;13) в дадено направление - перпендикулярно на права AB по формулата \(y-y_0=k(x-x_0)\). Нека намерим ъгловия коефициент на височината \(k_(CD)\), използвайки свойството на перпендикулярните линии \(k_1=-\frac(1)(k_2)\), получаваме $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Заместваме права линия в уравнението, получаваме $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Ще търсим дължината на височината като разстоянието от точка C(4;13) до правата линия AB по формулата $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ в числителя е уравнението на правата AB, нека я редуцираме до тази форма \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , заместваме полученото уравнението и координатите на точката във формулата $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$

5. Уравнение на медианата AE и координатите на точката K, пресечната точка на тази медиана с височината CD.
Ще търсим уравнението на медианата като уравнение на права линия, минаваща през две дадени точки A(-6;8) и E, където точка E е средната точка между точки B и C и нейните координати се намират според формула \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) замества координатите на точките \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), тогава уравнението на медианата AE ще бъде следното $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Нека намерим координатите на пресечната точка на височините и медианата, т.е. нека намерим тяхната обща точка. За да направим това, ще създадем системно уравнение $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Координати на пресечната точка \(K(-\frac(1)(2);7);7 )\)

6. Уравнение на права, която минава през точка K успоредна на страната AB.
Ако правата линия е успоредна, тогава техните ъглови коефициенти са равни, т.е. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), координатите на точката \(K(-\frac(1)(2);7)\) също са известни , т.е. за да намерим уравнението на права линия, прилагаме формулата за уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока \(y - y_0=k(x-x_0)\), заместваме данните и получаваме $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Координати на точка M, която е симетрична на точка A спрямо права CD.
Точка M лежи на правата AB, тъй като CD е височината от тази страна. Нека намерим пресечната точка на CD и AB; за да направите това, решете системата от уравнения $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Координати на точка D(-2;5). Съгласно условието AD=DK, това разстояние между точките се намира по формулата на Питагор \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), където AD и DK са хипотенузи на равни правоъгълни триъгълници, и \(Δx =x_2-x_1\) и \(Δy=y_2-y_1\) са катетите на тези триъгълници, т.е. нека намерим краката и координатите на точка M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\) и \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), след това координатите на точка M ще бъде равно \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), и \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), открихме, че координатите на точката \( M(2;2)\)