Каква е височината на правоъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълно илюстрирано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

В задачите прав ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите как да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в такива

и в такива

Какво е добро за правоъгълен триъгълник? Ами... първо, има специални красиви именаза неговите страни.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: крака - два, а хипотенузата - само един(единствен, неповторим и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в незапомнени времена и оттогава донесе много ползи на онези, които го познават. А най-хубавото в нея е, че е проста.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме тези много питагорейски панталони и да ги разгледаме.

Наистина ли прилича на шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема, по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площ на квадратите, построен върху краката, е равен на квадратна площпостроен върху хипотенузата.

Не звучи ли малко по-различно, нали? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, се получи точно такава картина.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да запомнят децата по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли тази шега за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало ... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да запомнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Е, най-важната теорема за правоъгълен триъгълник беше обсъдена. Ако се интересувате как се доказва, прочетете следващите нива на теорията, а сега да продължим ... в тъмната гора ... на тригонометрията! Да се ужасни думисинус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, "истинското" определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но ти наистина не искаш, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли крак, който е срещу ъгъла, тоест противоположният крак (за ъгъла)? Разбира се, че има! Това е катет!

Но какво да кажем за ъгъла? Вгледай се по-внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, котката. И така, за ъгъла катетът е съседен и

А сега внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е страхотен:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да го изразя с думи сега? Какъв е кракът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - "лежи" срещу ъгъла. А катетът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво получихме?

Вижте как числителят и знаменателят са обърнати?

И сега отново ъглите и направи размяната:

Резюме

Нека накратко запишем какво сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълния триъгълник е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво представляват катетите и хипотенузата? Ако не, тогава погледнете снимката - опреснете знанията си

Възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна. Как ще го докажеш? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Виждате ли колко хитро разделихме страните му на сегменти с дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Каква е площта на по-големия квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малката площ? Разбира се, . Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че сме взели две от тях и сме ги облегнали една на друга с хипотенузи. Какво стана? Два правоъгълника. Така че площта на "резниците" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположния катет към съседния катет.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към противоположния катет.

И отново всичко това под формата на чиния:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. На два крака

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са "съответстващи". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът беше съседен, или в двата - срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Погледнете темата "и обърнете внимание на факта, че за равенството на "обикновените" триъгълници е необходимо равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответстващи елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация със знаци за сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. Остър ъгъл

II. На два крака

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Защо е така?

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се случи така

- Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се спечели от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Вгледай се по-внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която около трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОПИСАНАТА ОКРУЖНА. И какво стана?

Така че нека започнем с това "освен...".

Нека да разгледаме i.

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първа формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

И двете формули трябва да се запомнят много добре и тази, която е по-удобна за прилагане. Нека ги запишем отново.

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите:.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

на два крака:
по крака и хипотенузата: или
по крака и прилежащия остър ъгъл: или
по крака и срещуположния остър ъгъл: или
чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

един остър ъгъл: или
от пропорционалността на двата крака:
от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата:
Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към съседния:
Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към противоположния:.

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник, медианата, изтеглена от върха прав ъгъл, е равно на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

през катетри:

(ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза, страната срещу правия ъгъл.

Съвет 1: Как да намерите височината в правоъгълен триъгълник

Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. Страничен чертеж AD, DC и BD, DC- крака и страни ACи SW- хипотенуза.

Теорема 1. В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° противоположният на този ъгъл катет ще се разкъса до половината от хипотенузата.

AB- хипотенуза;

ADи DB

Триъгълник
Има една теорема:
система за коментиране КАКАЛд

Решение: 1) Диагоналите на всеки правоъгълник са равни Вярно 2) Ако в един триъгълник има един остър ъгъл, то този триъгълник е остроъгълен. Не е вярно. Видове триъгълници. Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малко от 90 ° 3) Ако точката лежи върху.

Или в друг запис,

Според Питагоровата теорема

Каква е височината във формулата на правоъгълен триъгълник

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник, прекарана към хипотенузата, може да бъде намерена по един или друг начин в зависимост от данните в постановката на задачата.

Или в друг запис,

Където BK и KC са проекциите на катетите върху хипотенузата (отсечките, на които надморската височина разделя хипотенузата).

Надморската височина, начертана към хипотенузата, може да се намери през площта на правоъгълен триъгълник. Ако приложим формулата за намиране на площта на триъгълник

(половината от произведението на страна и височината, прекарана към тази страна) към хипотенузата и височината, прекарана към хипотенузата, получаваме:

От тук можем да намерим височината като съотношение на удвоената площ на триъгълника към дължината на хипотенузата:

Тъй като площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката:

Тоест дължината на височината, изтеглена към хипотенузата, е равна на съотношението на произведението на краката към хипотенузата. Ако означим дължините на катетите през a и b, дължината на хипотенузата през c, формулата може да бъде пренаписана като

Тъй като радиусът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, е равен на половината от хипотенузата, дължината на височината може да бъде изразена чрез катетите и радиуса на описаната окръжност:

Тъй като височината, изтеглена към хипотенузата, образува още два правоъгълни триъгълника, нейната дължина може да се намери чрез съотношенията в правоъгълния триъгълник.

От правоъгълен триъгълник ABK

От правоъгълен триъгълник ACK

Дължината на височината на правоъгълен триъгълник може да бъде изразена чрез дължините на катетите. защото

Според Питагоровата теорема

Ако повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Можете да получите друга формула за свързване на височината на правоъгълен триъгълник с краката:

Каква е височината във формулата на правоъгълен триъгълник

Правоъгълен триъгълник. Средно ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или OGE?

Основната теорема за правоъгълния триъгълник е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Виждате ли колко хитро разделихме страните му на сегменти с дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете снимката и се замислете защо.

Нека да го съберем сега.

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположния катет към съседния катет.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към противоположния катет.

И отново всичко това под формата на чиния:

Забелязали ли сте едно много удобно нещо? Погледнете внимателно чинията.

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

внимание! Тук е много важно краката да са "съответстващи". Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да И в двата триъгълника катетът беше съседен, или в двата - срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Разгледайте темата "Триъгълник" и обърнете внимание, че за равенството на "обикновените" триъгълници е необходимо равенството на трите им елемента: две страни и ъгъл между тях, два ъгъла и страна между тях, или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответстващи елемента. Страхотно е, нали?

Приблизително същата ситуация със знаци за сходство на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

Помислете за цял правоъгълник вместо правоъгълен триъгълник.

Начертайте диагонал и разгледайте точката, в която диагоналите се пресичат. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

Диагоналната пресечна точка разполовява Диагоналите са равни

И какво следва от това?

Така се случи така

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Така че нека започнем с това „освен това. ".

Но в подобни триъгълници всички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

И двете имат еднакви остри ъгли!

Каква полза може да се извлече от това "тройно" сходство.

Е, например - Две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Пишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме Първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Как да вземем втори?

И сега прилагаме подобието на триъгълници и.

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

Е, сега, прилагайки и комбинирайки тези знания с други, ще решите всяка задача с правоъгълен триъгълник!

Коментари

Разпространението на материали без одобрение е разрешено, ако има dofollow връзка към страницата източник.

Политика за поверителност

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

електронна поща

Как използваме вашата лична информация:

лична информация

Свойство за височина на правоъгълен триъгълник, паднало до хипотенузата

Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

съдебни спорове

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Благодаря ви за съобщението!

Вашият коментар е приет, след модериране ще бъде публикуван на тази страница.

Искате ли да знаете какво се крие под кройката и да получите ексклузивни материали за подготовката за OGE и USE? Оставете имейл

Свойства на правоъгълен триъгълник

Да разгледаме правоъгълен триъгълник (ABC)и неговите свойства, което е показано на фигурата. Правоъгълният триъгълник има хипотенуза, страната срещу правия ъгъл. Страните, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. Страничен чертеж AD, DC и BD, DC- крака и страни ACи SW- хипотенуза.

Признаци за равенство на правоъгълен триъгълник:

Теорема 1. Ако хипотенузата и катетът на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и катетът на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са равни.

Теорема 2. Ако два катета на правоъгълен триъгълник са равни на два катета на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 3. Ако хипотенузата и остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са подобни на хипотенузата и остър ъгъл на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Теорема 4. Ако катетът и прилежащият (противоположният) остър ъгъл на правоъгълен триъгълник са равни на катетът и прилежащият (срещуположен) остър ъгъл на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Свойства на крака срещу ъгъл от 30 °:

Теорема 1.

Височина в правоъгълен триъгълник

В правоъгълен триъгълник с ъгъл 30° катетът, противоположен на този ъгъл, ще се разкъса до половината от хипотенузата.

Теорема 2. Ако в правоъгълен триъгълник катетът е равен на половината от хипотенузата, то противоположният ъгъл е 30°.

Ако височината се изчертае от върха на правия ъгъл към хипотенузата, тогава такъв триъгълник се разделя на два по-малки, подобни на изходящия и подобни един на друг. От това следват следните изводи:

Височината е средно геометрично (средно пропорционално) на двата сегмента на хипотенузата.
Всеки катет на триъгълника е средната пропорционална на хипотенузата и съседните сегменти.

В правоъгълен триъгълник краката действат като височини. Ортоцентърът е точката, в която се пресичат височините на триъгълника. Съвпада с върха на правия ъгъл на фигурата.

hC- височината, излизаща от правия ъгъл на триъгълника;

AB- хипотенуза;

ADи DB- сегментите, възникнали при разделянето на хипотенузата по височина.

Назад към разглеждане на препратки по дисциплината "Геометрия"

Триъгълник- това е геометрична фигура, състоящ се от три точки (върхове), които не са на една и съща права линия и три сегмента, свързващи тези точки. Правоъгълен триъгълник е триъгълник, който има един от ъглите от 90° (прав ъгъл).
Има една теорема:сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е 90°.
система за коментиране КАКАЛд

Ключови думи:триъгълник, правоъгълник, катет, хипотенуза, питагорова теорема, окръжност

Триъгълник, наречен правоъгъленако има прав ъгъл.
Правоъгълният триъгълник има две взаимно перпендикулярни страни, т.нар крака; третата страна се нарича хипотенуза.

Според свойствата на перпендикулярната и наклонената хипотенуза всеки от катетите е по-дълъг (но по-малък от сбора им).
Сборът от два остри ъгъла на правоъгълен триъгълник е равен на правия ъгъл.
Две височини на правоъгълен триъгълник съвпадат с неговите катети. Следователно една от четирите забележителни точки попада върху върховете на правия ъгъл на триъгълника.
Центърът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник лежи в средата на хипотенузата.
Медианата на правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл към хипотенузата, е радиусът на окръжността, описана около този триъгълник.

Да разгледаме произволен правоъгълен триъгълник ABC и да начертаем височина CD = hc от върха C на неговия прав ъгъл.

Той ще раздели дадения триъгълник на два правоъгълни триъгълника ACD и BCD; всеки от тези триъгълници има общ остър ъгъл с триъгълник ABC и следователно е подобен на триъгълник ABC.

И трите триъгълника ABC, ACD и BCD са подобни един на друг.

От подобието на триъгълниците се определят следните отношения:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Питагорова теоремаедна от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката между страните на правоъгълен триъгълник.

Геометрична формулировка.В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху краката.

Алгебрична формулировка.В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
Това означава, че дължината на хипотенузата на триъгълника се обозначава чрез c и дължините на катетите през a и b:
a2 + b2 = c2

Обратната теорема на Питагор.

Височина на правоъгълен триъгълник

За всяка тройка от положителни числа a, b и c такава, че
a2 + b2 = c2,
има правоъгълен триъгълник с катети a и b и хипотенуза c.

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

по крака и хипотенузата;
на два крака;
по крака и остър ъгъл;
хипотенуза и остър ъгъл.

Вижте също:
Площ на триъгълник, Равнобедрен триъгълник, Равностранен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. опция 1 .

AD : CD=CD : Б.Д. Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват:

AD : AC=AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ AD. Те казват:

BD : BC=BC : AB. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

а) 70 см; б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; д) 53 см

2. Височината на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36.

Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; б) 19; ° С) 9; Д) 12; д) 18.

а) 30,25; б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; д) 32,25.

а) 25; б) 24; ° С) 27; Д) 26; д) 21.

а) 8; б) 7; ° С) 6; Д) 5; д) 4.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30.

Как да намерим височината в правоъгълен триъгълник?

Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; б) 16; ° С) 15; Д) 14; д) 12.

10.

а) 15; б) 18; ° С) 20; Д) 16; д) 12.

а) 80; б) 72; ° С) 64; Д) 81; д) 75.

12.

а) 7,5; б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; д) 7.

Провери отговорите!

G8.04.1. Пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник

Геометрия. 8 Клас. Тест 4. опция 1 .

В Δ ABC ∠ACV = 90°. AC и BC катети, AB хипотенуза.

CD е надморската височина на триъгълника, начертан към хипотенузата.

AD проекция на катета AC върху хипотенузата,

BD проекция на катета BC върху хипотенузата.

Надморската височина CD разделя триъгълника ABC на два триъгълника, подобни на него (и един на друг): Δ ADC и Δ CDB.

От пропорционалността на страните на подобни Δ ADC и Δ CDB следва:

AD : CD=CD : Б.Д.

Свойство на височината на правоъгълен триъгълник, паднала до хипотенузата.

Следователно CD2 = AD ∙ Б.Д. Те казват: височината на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата,е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата.

От сходството на Δ ADC и Δ ACB следва:

AD : AC=AC : AB. Следователно AC2 = AB ∙ AD. Те казват: всеки катет е средната пропорционална стойност между цялата хипотенуза и проекцията на този катет върху хипотенузата.

По същия начин, от сходството на Δ CDB и Δ ACB следва:

BD : BC=BC : AB. Следователно BC2 = AB ∙ Б.Д.

Решавам проблеми:

1. Намерете височината на правоъгълен триъгълник, прекарана към хипотенузата, ако тя разделя хипотенузата на отсечки 25 cm и 81 cm.

а) 70 см; б) 55 см; ° С) 65 см; Д) 45 см; д) 53 см

2. Височината на правоъгълен триъгълник, прекарана към хипотенузата, разделя хипотенузата на сегменти 9 и 36. Определете дължината на тази височина.

а) 22,5; б) 19; ° С) 9; Д) 12; д) 18.

4. Височината на правоъгълен триъгълник, прекарана към хипотенузата, е 22, проекцията на единия катет е 16. Намерете проекцията на другия катет.

а) 30,25; б) 24,5; ° С) 18,45; Д) 32; д) 32,25.

5. Катетът на правоъгълен триъгълник е 18, а проекцията му върху хипотенузата е 12. Намерете хипотенузата.

а) 25; б) 24; ° С) 27; Д) 26; д) 21.

6. Хипотенузата е 32. Намерете катета, чиято проекция върху хипотенузата е 2.

а) 8; б) 7; ° С) 6; Д) 5; д) 4.

7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 45. Намерете катета, чиято проекция върху хипотенузата е 9.

8. Катетът на правоъгълен триъгълник е 30. Намерете разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата, ако радиусът на окръжността, описана около този триъгълник, е 17.

а) 17; б) 16; ° С) 15; Д) 14; д) 12.

10. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 41, а проекцията на един от катетите е 16. Намерете дължината на надморската височина, прекарана от върха на правия ъгъл към хипотенузата.

а) 15; б) 18; ° С) 20; Д) 16; д) 12.

а) 80; б) 72; ° С) 64; Д) 81; д) 75.

12. Разликата в проекциите на катетите върху хипотенузата е 15, а разстоянието от върха на правия ъгъл до хипотенузата е 4. Намерете радиуса на описаната окръжност.

а) 7,5; б) 8; ° С) 6,25; Д) 8,5; д) 7.

Правоъгълен триъгълнике триъгълник, в който един от ъглите е прав, тоест равен на 90 градуса.

Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза. ° Сили AB)
Страната, съседна на правия ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два крака (означени като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

Обозначения на формули:

(вижте снимката по-горе)

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълник

С- квадрат

ч- височината, паднала от върха на правия ъгъл до хипотенузата

m a аот срещуположния ъгъл ( α )

m b- медиана, изтеглена настрани bот срещуположния ъгъл ( β )

mc- медиана, изтеглена настрани ° Сот срещуположния ъгъл ( γ )

AT правоъгълен триъгълник всеки катет е по-малък от хипотенузата(Формула 1 и 2). Това свойство е следствие от Питагоровата теорема.

Косинус на който и да е от острите ъглипо-малко от едно (Формула 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по-малък от хипотенузата, отношението на катета към хипотенузата винаги е по-малко от едно.

Квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите (теоремата на Питагор). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сума от медианите на квадраткъм катетите е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата от хипотенузата, делено на четири (Формула 7). В допълнение към горното има Още 5 формули, така че се препоръчва да се запознаете и с урока „ Медиана на правоъгълен триъгълник“, който описва по-подробно свойствата на медианата.

Височинана правоъгълен триъгълник е равно на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (Формула 8)

Квадратите на катетите са обратно пропорционални на квадрата на височината, паднала към хипотенузата (Формула 9). Това тъждество също е едно от следствията на Питагоровата теорема.

Дължина на хипотенузатаравен на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност. Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиусв правоъгълен триъгълник кръговеможе да се намери като половината от израза, който включва сумата от катетите на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведението на краката, разделено на сбора от всички страни (периметър) даден триъгълник. (Формула 11)
Синус на ъгъл противоположносттози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на проблеми. Познавайки размерите на страните, можете да намерите ъгъла, който те образуват.

Косинусът на ъгъл A (α, алфа) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на отношение съседентози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)