Каква е функцията на разпределение на случайна променлива. Функция на вероятностното разпределение на случайна величина и нейните свойства
Установихме, че серията на разпределение напълно характеризира дискретна случайна променлива. Тази характеристика обаче не е универсална. Съществува само за дискретни количества. За непрекъснато количество не може да се изгради серия на разпределение. Наистина непрекъснато произволна стойностима безкраен брой възможни значения, които напълно запълват определена празнина. Невъзможно е да се създаде таблица, изброяваща всички възможни стойности на това количество. Следователно за непрекъсната случайна променлива няма ред на разпределение в смисъла, в който съществува за дискретна стойност. Различните региони на възможните стойности на случайна променлива обаче не са еднакво вероятни и за непрекъсната променлива все още има „вероятностно разпределение“, макар и не в същия смисъл като за дискретна.
За да се характеризира количествено това разпределение на вероятностите, е удобно да се използва не вероятността на събитието Р(х= х), състоящ се в това, че случайната променлива ще приеме определена стойност х, и вероятността от събитието Р(х<х), състоящ се във факта, че случайната променлива ще приеме стойност по-малка от х. Очевидно вероятността от това събитие зависи от х, т.е. е някаква функция на х.
Определение. Разпределителна функция случайна величина хнаречена функция Е(х), изразявайки за всяка стойност хвероятността случайната променлива хще вземе стойност по-малка от х:
| Е(х) = П(х < х). | (4.2) |
Функцията на разпределение също се нарича кумулативна функция на разпределение или интегрален закон за разпределение .
Функцията на разпределение е най-универсалната характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както дискретни, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, т.е. е една от формите на закона за разпределение.
Функцията на разпределение позволява проста геометрична интерпретация. Помислете за случайната променлива хпо оста о(фиг. 4.2), които в резултат на опита могат да заемат една или друга позиция. Нека бъде избрана точка от оста, която има стойността х. След това, в резултат на експеримента, случайната променлива хможе да е отляво или отдясно на точката х. Очевидно е, че вероятността случайната променлива хще бъде вляво от точката х, ще зависи от позицията на точката х, т.е. е функция на аргумента х.
За дискретна случайна променлива х, които могат да приемат стойности х 1 , х 2 , …, x n, функцията на разпределение има формата
Намерете и изобразете графично неговата функция на разпределение.
Решение. Ще задаваме различни стойности хи намери за тях Е(х) = = П(х < х).
1. Ако х≤ 0, тогава Е(х) = П(х < х) = 0.
2. Ако 0< х≤ 1, тогава Е(х) = П(х < х) = П(х = 0) = 0,08.
3. Ако 1< х≤ 2, тогава Е(х) = П(х < х) = П(х = 0) + П(х = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.
4. Ако х> 2, тогава Е(х) = П(х < х) = П(х = 0) + П(х = 1) + П(х = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.
Нека запишем функцията на разпределение.
Нека изобразим функцията на разпределение графично (фиг. 4.3). Обърнете внимание, че при приближаване до точки на прекъсване отляво, функцията запазва стойността си (такава функция се казва, че е непрекъсната отляво). Тези точки са подчертани на графиката. ◄
Този пример ни позволява да стигнем до извода, че функцията на разпределение на всяка дискретна случайна променлива е прекъсната стъпкова функция, чиито скокове се появяват в точки, съответстващи на възможните стойности на случайната променлива и са равни на вероятностите на тези стойности.
Нека помислим общи свойстваразпределителни функции.
1. Функцията на разпределение на случайна променлива е неотрицателна функция между нула и единица:
3. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула, при плюс безкрайност е равна на единица, т.е.
Пример 4.3.Функция на разпределение на случайна променлива хима формата:
Намерете вероятността случайната променлива хще приеме стойност в интервала и ще има нулева вероятност.
Въпреки това, идеята за събитие, което има ненулева вероятност, но се състои от събития с нулева вероятност, не е по-парадоксална от идеята за сегмент, който има определена дължина, докато няма нито една точка на сегмента има ненулева дължина. Отсечка се състои от такива точки, но нейната дължина не е равна на сбора от дължините им.
От това свойство следва следното заключение.
Последица. Ако X е непрекъсната случайна променлива, тогава вероятността тази стойност да попадне в интервала (x 1, x 2) не зависи от това дали този интервал е отворен или затворен:
П(х 1 < х < х 2) = П(х 1 ≤ х < х 2) = П(х 1 < х ≤ х 2) = П(х 1 ≤ х ≤ х 2).
Разпределителната функция е най обща формаопределяне на закона за разпределение. Използва се за указване както на дискретни, така и на непрекъснати случайни променливи. Обикновено се обозначава. Разпределителна функцияопределя вероятността една случайна променлива да приема стойности, по-малки от фиксирано реално число, т.е. 
. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка. Нарича се също кумулативна функция на разпределение.
Геометричната интерпретация на функцията на разпределение е много проста. Ако случайна променлива се разглежда като произволна точка на ос (фиг. 6), която в резултат на тест може да заеме една или друга позиция на тази ос, тогава функцията на разпределение е вероятността случайна точка в резултат на на теста ще падне вляво от точката.
За дискретна случайна променлива, която може да приема стойности,, ... ,, функцията на разпределение има формата
,
където неравенството под знака за сумата означава, че сумирането се простира до всички онези стойности, които са по-малки по величина. От тази формула следва, че функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е прекъсната и нараства със скокове при преминаване през точки,,...,, като големината на скока е равна на вероятността на съответната стойност (фиг. 7 ). Сумата от всички скокове във функцията на разпределение е равна на единица.
Непрекъсната случайна променлива има непрекъсната функция на разпределение, графиката на тази функция има формата на гладка крива (фиг. 8).
Ориз. 7. Фиг. 8.
Нека разгледаме общите свойства на функциите на разпределение.
Имот 1. Функцията на разпределение е неотрицателна функция между нула и едно:
Валидността на това свойство следва от факта, че функцията на разпределение се определя като вероятността от случайно събитие, състоящо се във факта, че.
Имот 2. Вероятността случайна променлива да попадне в интервал е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал, т.е.
От това следва, че вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула.
Имот 3. Функцията на разпределение на случайна променлива е ненамаляваща функция, т.е .
Имот 4. При минус безкрайност функцията на разпределение е нула, а при плюс безкрайност функцията на разпределение е единица, т.е.
Пример 1.Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се дава от израза
Намерете коефициента и начертайте графика. Определете вероятността една случайна променлива да приеме стойност в интервала в резултат на експеримента.
Решение. Тъй като функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е непрекъсната, получаваме: 
. Оттук. Функционалната графика е показана на фиг. 9.
Въз основа на второто свойство на функцията на разпределение имаме:
.
4. Плътност на разпределение на вероятностите и нейните свойства.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е нейната вероятностна характеристика. Но той има недостатъка, че по него е трудно да се прецени естеството на разпределението на случайна величина в малък околност на една или друга точка на числовата ос. По-ясна представа за естеството на разпределението на непрекъсната случайна променлива се дава от функция, наречена плътност на разпределение на вероятността или диференциална функция на разпределение на случайна променлива.
Плътност на разпространениеравна на производната на функцията на разпределение, т.е.
.
Значението на плътността на разпределението е, че тя показва колко често случайна променлива се появява в определена околност на точка, когато експериментите се повтарят. Нарича се крива, изобразяваща плътността на разпределение на случайна променлива крива на разпределение.
Нека разгледаме свойствата на плътността на разпределението.
Имот 1. Плътността на разпределение е неотрицателна, т.е.
Имот 2. Функцията на разпределение на случайна променлива е равна на интеграла от плътността в интервала от до, т.е.
За да се намерят функциите на разпределение на случайни променливи и техните променливи, е необходимо да се проучат всички характеристики на тази област на знанието. Има няколко различни методиза намиране на въпросните стойности, включително промяна на променливите и генериране на въртящ момент. Разпределението е концепция, базирана на елементи като дисперсия и вариации. Те обаче характеризират само степента на обхвата на разсейване.
По-важните функции на случайните променливи са тези, които са свързани и независими, и еднакво разпределени. Например, ако X1 е теглото на произволно избран индивид от мъжката популация, X2 е теглото на друг, ... и Xn е теглото на друг индивид от мъжката популация, тогава трябва да знаем как произволна функция X се разпределя. В този случай се прилага класическа теорема, наречена централна гранична теорема. Това ни позволява да покажем, че за големи n функцията следва стандартни разпределения.
Функции на една случайна променлива
Централната гранична теорема е предназначена за приближаване на дискретни стойности от интерес, като бином и Поасон. Функциите на разпределение на случайни променливи се разглеждат на първо място върху прости стойности на една променлива. Например, ако X е непрекъсната случайна променлива, която има собствено разпределение на вероятностите. Този случай изследва как да намерим функцията на плътност Y с помощта на две различни подходи, а именно методът на функцията на разпределение и промяната на променливата. Първо, разглеждат се само стойности едно към едно. След това техниката на промяна на променливата трябва да бъде модифицирана, за да се намери нейната вероятност. И накрая, трябва да научите как кумулативното разпределение може да помогне за моделиране на случайни числа, които следват определени последователни модели.
Начин на разпределение на разглежданите стойности
Методът на функцията на вероятностното разпределение на случайна променлива се използва за намиране на нейната плътност. Този метод изчислява кумулативната стойност. След това чрез диференцирането му може да се получи плътността на вероятността. Сега, след като имаме метода на разпределителната функция, можем да разгледаме още няколко примера. Нека X е непрекъсната случайна променлива с определена плътност на вероятността.
Каква е функцията на вероятностната плътност на x2? Ако погледнете или начертаете графиката на функцията (горе и вдясно) y = x2, можете да забележите, че тя увеличава X и 0 В последния пример беше положено голямо внимание за индексиране на кумулативните функции и плътности на вероятността с X или Y, за да се посочи към коя случайна променлива принадлежат. Например, когато намираме кумулативната функция на разпределение на Y, получаваме X. Ако трябва да намерите случайната променлива X и нейната плътност, тогава просто трябва да я диференцирате. Нека X е непрекъсната случайна променлива, определена от функция на разпределение с общ знаменател f (x). В този случай, ако поставите стойността на y в X = v(Y), ще получите стойността на x, например v(y). Сега трябва да получим функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Y. Където първото и второто равенство произтичат от дефиницията на кумулативното Y. Третото равенство е изпълнено, защото частта от функцията, за която u (X) ≤ y вярно е също, че X ≤ v (Y ). И последното се прави, за да се определи вероятността в непрекъсната случайна променлива X. Сега трябва да вземем производната на FY(y), кумулативната функция на разпределение на Y, за да получим плътността на вероятността на Y. Нека X е непрекъсната случайна променлива с обща f(x), дефинирана върху c1 За да се реши този проблем, могат да се събират количествени данни и да се използва емпирична кумулативна функция на разпределение. Притежаването на тази информация и привличането към нея изисква комбинация от примерни средни стойности, стандартни отклонения, медийни данни и т.н. По същия начин, дори един доста прост вероятностен модел може да има огромен брой резултати. Например, ако хвърлите монета 332 пъти. Тогава броят на получените резултати от обороти е по-голям от този на google (10100) - число, но не по-малко от 100 квинтилиона пъти по-високо от елементарните частици в познатата ни Вселена. Няма интерес към анализ, който дава отговор на всеки възможен резултат. Ще е необходима по-проста концепция, като например броя на главите или най-дългия удар на опашките. За да се съсредоточи върху въпроси от интерес, се приема конкретен резултат. Дефиницията в този случай е следната: случайна променлива е реална функция с вероятностно пространство. Диапазонът S на случайна променлива понякога се нарича пространство на състоянието. Така, ако X е въпросната стойност, тогава N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и така нататък. Последната от тях, закръгляваща X до най-близкото цяло число, се нарича подова функция. След като функцията на разпределение, която представлява интерес за случайната променлива x, е определена, въпросът обикновено става: „Какви са шансовете X да попадне в някакво подмножество от стойностите на B?“ Например B = (нечетни числа), B = (по-големи от 1) или B = (между 2 и 7), за да посочите тези резултати, които имат X, стойността на случайната променлива, в подмножество A. Така че в горното Например, можете да опишете събитията по следния начин. (X е нечетно число), (X е по-голямо от 1) = (X> 1), (X е между 2 и 7) = (2 По този начин можем да изчислим вероятността функцията на разпределение на случайна променлива x да приеме стойности в интервала чрез изваждане. Трябва да помислите за включване или изключване на крайни точки. Ще наречем случайна променлива дискретна, ако има крайно или изброимо безкрайно пространство на състояния. По този начин X е броят на главите при три независими хвърляния на монета с отклонение, която нараства с вероятност p. Трябва да намерим кумулативната функция на разпределение на дискретна случайна променлива FX за X. Нека X е броят на пиковете в колекция от три карти. Тогава Y = X3 чрез FX. FX започва от 0, завършва при 1 и не намалява с увеличаване на стойностите на x. Кумулативната функция на разпределение на FX на дискретна случайна променлива X е постоянна, с изключение на скокове. При скачане ефектът е непрекъснат. Можете да докажете твърдението за правилната непрекъснатост на функцията на разпределение от свойството вероятност, като използвате дефиницията. Става така: постоянна случайна променлива има кумулативен FX, който е диференцируем. За да покажем как може да се случи това, може да се даде пример: цел с единичен радиус. Предполага се. стрелата се разпределя равномерно върху определената площ. За някои λ> 0. По този начин функциите на разпределение на непрекъснати случайни променливи нарастват плавно. FX има свойствата на функция на разпределение. Мъж чака на автобусна спирка, докато пристигне. Като реши за себе си, че ще откаже, когато чакането достигне 20 минути. Тук трябва да намерите кумулативната функция на разпределение за T. Времето, когато лицето все още ще бъде на автогарата или няма да тръгне. Въпреки че кумулативната функция на разпределение е дефинирана за всяка случайна променлива. Все пак доста често ще се използват други характеристики: маса за дискретна променлива и функцията на плътност на разпределение на случайна променлива. Обикновено стойността се извежда с помощта на една от тези две стойности. Тези стойности се разглеждат от следните свойства, които са от общ (масов) характер. Първият се основава на факта, че вероятностите не са отрицателни. Второто следва от наблюдението, че множеството за всички x=2S, пространството на състоянията за X, образува дял на вероятностната свобода на X. Пример: хвърляния на монета с отклонение, чиито резултати са независими. Можете да продължите да изпълнявате определени действия, докато не получите удар с голове. Нека X означава случайната променлива, която дава броя на опашките преди първата глава. И p означава вероятността за всяко дадено действие. И така, масовата вероятностна функция има следните характерни черти. Тъй като термините образуват числова последователност, X се нарича геометрична случайна променлива. Геометрична схема c, cr, cr2,. , crn има сума. И следователно sn има граница, когато n е 1. В този случай безкрайната сума е границата. Масовата функция по-горе образува геометрична последователност със съотношението. Следователно съществуват естествени числа a и b. Разликата в стойностите във функцията на разпределение е равна на стойността на масовата функция. Стойностите на разглежданата плътност имат следната дефиниция: X е случайна променлива, чието разпределение FX има производна. FX, удовлетворяващ Z xFX (x) = fX (t) dt-1, се нарича функция на плътност на вероятността. И X се нарича непрекъсната случайна променлива. В основната теорема на смятането функцията на плътността е производна на разпределението. Можете да изчислите вероятности чрез изчисляване на определени интеграли. Тъй като данните се събират от множество наблюдения, повече от една случайна променлива трябва да се разглежда наведнъж, за да се моделират експериментални процедури. Следователно наборът от тези стойности и тяхното съвместно разпределение за две променливи X1 и X2 означава гледане на събития. За дискретни случайни променливи се определят съвместни вероятностни масови функции. За непрекъснатите се разглеждат fX1, X2, където общата плътност на вероятността е изпълнена. Две случайни променливи X1 и X2 са независими, ако две събития, свързани с тях, са еднакви. Казано с думи, вероятността две събития (X1 2 B1) и (X2 2 B2) да се случат едновременно, y, е равна на произведението на променливите по-горе, че всяко от тях се случва поотделно. За независими дискретни случайни променливи има съвместна вероятностна масова функция, която е произведение на ограничаващия йонен обем. За непрекъснати случайни променливи, които са независими, съвместната функция на плътност на вероятността е произведението на пределните стойности на плътност. Накрая се разглеждат n независими наблюдения x1, x2. , xn, произтичащи от неизвестна функция на плътност или маса f. Например неизвестен параметър във функциите за експоненциална случайна променлива, описваща времето за изчакване на автобус. Основната цел на тази теоретична област е да предостави инструментите, необходими за разработване на процедури за изводи, базирани на здрави принципи на статистическата наука. По този начин едно много важно приложение на софтуера е възможността за генериране на псевдо данни за симулиране на действителна информация. Това дава възможност да се тестват и подобряват методите за анализ, преди да се използват в реални бази данни. Това е необходимо, за да се изследват свойствата на данните чрез моделиране. За много често използвани семейства от случайни променливи R предоставя команди за създаването им. При други обстоятелства ще са необходими методи за моделиране на последователност от независими случайни променливи, които имат общо разпределение. Дискретни случайни променливи и команден модел. Командата sample се използва за създаване на прости и стратифицирани произволни проби. В резултат на това, дадена последователност x, sample(x, 40) избира 40 записа от x, така че всички опции с размер 40 да имат еднаква вероятност. Това използва командата R по подразбиране за избор без заместване. Може да се използва и за моделиране на дискретни случайни променливи. За да направите това, трябва да предоставите пространство на състоянията във вектора x и масовата функция f. Извикването на replace = TRUE показва, че вземането на проби става със замяна. След това, за да се даде извадка от n независими случайни променливи, които имат обща масова функция f, се използва извадка (x, n, replace = TRUE, prob = f). Установено е, че 1 е най-малката представена стойност, а 4 е най-голямата от всички. Ако командата prob = f е пропусната, тогава пробата ще бъде взета равномерно от стойностите във вектора x. Можете да проверите симулацията спрямо масовата функция, която е генерирала данните, като забележите двойния знак за равенство, ==. И чрез преброяване на наблюдения, които приемат всяка възможна стойност за х. Можете да направите маса. Повторете това за 1000 и сравнете симулацията със съответната масова функция. Първо, симулирайте хомогенни функции на разпределение на случайни променливи u1, u2,. , un на интервала . Около 10% от числата трябва да са в рамките на . Това съответства на 10% от симулациите на интервал за случайната променлива с показаната функция на разпределение на FX. По същия начин около 10% от произволните числа трябва да са в диапазона. Това съответства на 10% от симулациите на интервала на случайната променлива с функцията на разпределение FX. Тези стойности на оста x могат да бъдат получени чрез вземане на обратното на FX. Ако X е непрекъсната случайна променлива с плътност fX, която е положителна навсякъде в своята област, тогава функцията на разпределение е строго нарастваща. В този случай FX има обратната функция на FX-1, известна като квантилна функция. FX (x) u само ако x FX-1 (u). Трансформацията на вероятността следва от анализа на случайната променлива U = FX (X). FX има диапазон от 0 до 1. Не може да приема стойности по-ниски от 0 или по-високи от 1. За стойности на u между 0 и 1. Ако U може да се моделира, тогава е необходимо да се симулира случайна променлива с разпределението на FX чрез квантилна функция. Вземете производната, за да видите, че плътността u варира в рамките на 1. Тъй като случайната променлива U има постоянна плътност в интервала от нейните възможни стойности, тя се нарича равномерна в интервала. Той е моделиран в R с помощта на командата runif. Идентичността се нарича вероятностна трансформация. Можете да видите как работи в примера с дъската за дартс. X между 0 и 1, функцията на разпределение е u = FX (x) = x2 и следователно квантилната функция е x = FX-1 (u). Възможно е да се симулират независими наблюдения на разстоянието от центъра на панела за дартс, като същевременно се генерират еднакви случайни променливи U1, U2,. ,Un. Функцията на разпределение и емпиричната функция се основават на 100 симулации на разпределението на дъската за дартс. За експоненциална случайна променлива, вероятно u = FX(x) = 1 - exp(- x), и следователно x = - 1 ln(1 - u). Понякога логиката се състои от еквивалентни твърдения. В този случай трябва да комбинирате двете части на аргумента. Идентичността с пресичане е подобна за всички 2 (S i i) S, вместо някаква стойност. Обединението Ci е равно на пространството на състоянията S и всяка двойка е взаимно изключваща се. Тъй като Bi е разделена на три аксиоми. Всеки тест се основава на съответната вероятност P. За всяко подмножество. Използване на идентичност, за да се гарантира, че отговорът не зависи от това дали са включени крайните точки на интервала. За всеки резултат във всички събития в крайна сметка се използва второто свойство за непрекъснатост на вероятностите, което се счита за аксиоматично. Законът за разпределение на функция на случайна променлива тук показва, че всяка има свое собствено решение и отговор. Дадени са дефинициите на функцията на разпределение на случайна променлива и плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Тези концепции се използват активно в статии за статистика на уебсайтове. Разглеждат се примери за изчисляване на функцията на разпределение и плътността на вероятността с помощта на функциите на MS EXCEL..
Нека въведем основните понятия на статистиката, без които е невъзможно да се обяснят по-сложни понятия. Нека имаме население(популация) от N обекта, всеки от които има определена стойност на някаква числена характеристика X. Пример за обща съвкупност (GS) е набор от тегла на подобни части, които са произведени от машина. Тъй като в математическата статистика всяко заключение се прави само въз основа на характеристиките на X (абстрахирайки се от самите обекти), тогава от тази гледна точка населениепредставлява N числа, сред които в общия случай може да има еднакви. В нашия пример GS е просто числов масив от стойности на частично тегло. X е теглото на една от частите. Ако от даден GS произволно изберем един обект с характеристика X, тогава стойността на X е случайна величина. По дефиниция всяка произволна стойностТо има разпределителна функция, което обикновено се означава с F(x). Разпределителна функциявероятности случайна величина X е функция F(x), чиято стойност в точка x е равна на вероятността за събитие X F(x) = P(X Нека обясним, използвайки нашата машина като пример. Въпреки че нашата машина трябва да произвежда само един вид част, очевидно е, че теглото на произведените части ще бъде малко по-различно една от друга. Това е възможно поради факта, че в производството могат да се използват различни материали, а условията на обработка също могат да варират леко и т.н. Нека най-тежката част, произведена от машината, тежи 200 g, а най-леката - 190 g. вероятността избраната част X да тежи по-малко от 200 g е равна на 1. Вероятността тя да тежи по-малко от 190 g е равна на 0. Междинните стойности се определят от формата на функцията на разпределение. Например, ако процесът е настроен да произвежда части с тегло 195 g, тогава е разумно да се предположи, че вероятността за избор на част, по-лека от 195 g, е 0,5. Типична графика Функции на разпределениеза непрекъсната случайна променлива е показано на снимката по-долу (лилава крива, вижте примерния файл): В помощ на MS EXCEL Разпределителна функцияНаречен Интеграл разпределителна функция (КумулативенРазпределениефункция,
CDF). Ето някои имоти Функции на разпределение: Нека ви го напомним плътност на разпространениесе извлича от разпределителни функции, т.е. „скоростта“ на неговата промяна: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx с Dx клоняща към 0, където Dx=x2-x1. Тези. фактът че плътност на разпространение>1 означава само, че функцията на разпределение нараства доста бързо (това е очевидно в примера). Забележка: Площта, която се съдържа изцяло под цялата представляваща крива плътност на разпространение, е равно на 1. Забележка: Спомнете си, че функцията на разпределение F(x) се извиква във функциите на MS EXCEL кумулативна функция на разпределение. Този термин присъства в параметрите на функцията, например NORM.DIST (x; средно; стандартно_отклонение; интегрална). Ако функцията MS EXCEL трябва да се върне разпределителна функция,тогава параметърът интегрална, д.б. зададено на TRUE. Ако трябва да изчислите плътност на вероятността, след това параметъра интегрална, д.б. ЛЪЖА. Забележка: За дискретно разпределениеВероятността случайна променлива да приеме определена стойност също често се нарича плътност на вероятността (функция на вероятностната маса (pmf)). В помощ на MS EXCEL плътност на вероятносттадори може да се нарече „функция за измерване на вероятността“ (вижте функцията BINOM.DIST(). Ясно е, че за да се изчисли плътност на вероятносттаза определена стойност на случайна променлива трябва да знаете нейното разпределение. Ще намерим плътност на вероятносттаза N(0;1) при x=2. За да направите това, трябва да напишете формулата =NORMAL.ST.DIST(2,FALSE)=0,054 или =NORMAL.DIST(2;0;1;FALSE). Нека ви го напомним вероятностче непрекъсната случайна променливаще приеме конкретна стойност x е 0. За непрекъсната случайна променлива X може да се изчисли само чрез вероятността от събитието, че X ще приеме стойността, съдържаща се в интервала (a; b). 1) Нека намерим вероятността случайна променлива, разпределена от (вижте снимката по-горе), да приеме положителна стойност. Според собствеността Функции на разпределениевероятността е F(+∞)-F(0)=1-0.5=0.5. NORM.ST.DIST(9,999E+307,TRUE) -NORM.ST.DIST(0,TRUE) =1-0,5. 2) Намерете вероятността една случайна променлива да бъде разпределена върху , взе отрицателна стойност. Според дефиницията Функции на разпределениевероятността е F(0)=0,5. В MS EXCEL, за да намерите тази вероятност, използвайте формулата =NORMAL.ST.DIST(0,TRUE) =0,5. 3) Намерете вероятността една случайна променлива да бъде разпределена върху стандартно нормално разпределение, ще приеме стойността, съдържаща се в интервала (0; 1). Вероятността е равна на F(1)-F(0), т.е. от вероятността да изберете X от интервала (-∞;1), трябва да извадите вероятността да изберете X от интервала (-∞;0). В MS EXCEL използвайте формулата =NORM.ST.DIST(1,TRUE) - NORM.ST.DIST(0,TRUE). Всички изчисления, дадени по-горе, се отнасят за случайна променлива, разпределена върху стандартен нормален закон N(0;1). Ясно е, че стойностите на вероятността зависят от конкретното разпределение. В статията намерете точката, за която F(x) = 0,5, и след това намерете абсцисата на тази точка. Абсцисата на точка =0, т.е. вероятността случайната променлива X да приеме стойността<0, равна 0,5. В MS EXCEL използвайте формулата =NORM.ST.REV(0,5) =0. Недвусмислено изчислете стойността случайна величинапозволява свойството монотонност разпределителни функции. Обратна функция на разпределениеизчислява , които се използват например, когато . Тези. в нашия случай числото 0 е 0,5 квантил нормална дистрибуция. В примерния файл можете да изчислите друг квантилтова разпределение. Например квантилът 0,8 е 0,84. В английската литература обратна функция на разпределениечесто наричана функция на процентната точка (PPF). Забележка: При изчисляване квантилив MS EXCEL се използват следните функции: NORM.ST.INV(), LOGNORM.INV(), CHI2.INR(), GAMMA.INR() и др. Можете да прочетете повече за дистрибуциите, представени в MS EXCEL в статията. Съдържанието на статията
РАЗПРЕДЕЛИТЕЛНА ФУНКЦИЯ– вероятностна плътност на разпределение на частици от макроскопична система по координати, моменти или квантови състояния. Функцията на разпределение е основната характеристика на голямо разнообразие от (не само физически) системи, които се характеризират със случайно поведение, т.е. случайна промяна в състоянието на системата и съответно на нейните параметри. Дори при стационарни външни условия състоянието на самата система може да бъде такова, че резултатът от измерването на някои от нейните параметри да е случайна променлива. В по-голямата част от случаите функцията за разпределение съдържа цялата възможна и следователно изчерпателна информация за свойствата на такива системи. В математическата теория на вероятностите и математическата статистика функцията на разпределение и плътността на вероятността се различават една от друга, но са ясно свързани една с друга. По-долу ще говорим почти изключително за плътността на вероятността, която (според дългогодишната традиция във физиката) се нарича плътност на разпределение на вероятността или функция на разпределение, поставяйки знак за равенство между тези два термина. Случайното поведение в една или друга степен е характерно за всички квантово-механични системи: елементарни частици, атоми на молекула и др. Случайното поведение обаче не е специфична характеристика само на квантово-механичните системи; много чисто класически системи имат това свойство. Когато хвърлите монета върху твърда хоризонтална повърхност, не е ясно дали ще падне с числото нагоре или с герба. Известно е, че вероятностите за тези събития при определени условия са равни на 1/2. Когато хвърляте зар, не можете да кажете със сигурност кое от шестте числа ще бъде на горната страна. Вероятността всяко число да изпадне при определени предположения (зарът е хомогенен куб без нащърбени ръбове и върхове пада върху твърда, гладка хоризонтална повърхност) е 1/6. Случайността на молекулярното движение е най-силно изразена в газа. Дори при стационарни външни условия точните стойности на макроскопичните параметри се колебаят (променят се произволно) и само средните им стойности са постоянни. Описанието на макроскопичните системи на езика на средните стойности на макропараметрите е същността на термодинамичното описание (). Нека има идеален моноатомен газ и три от неговите (все още неосреднени) макроскопични параметъра: н– броя на атомите, движещи се вътре в съд, зает от газ; Пе налягането на газа върху стената на съда и е вътрешната енергия на газа. Газът е идеален и моноатомен, следователно вътрешната му енергия е просто сумата от кинетичните енергии на постъпателното движение на газовите атоми. Номер нварира най-малкото поради процеса на сорбция (залепване към стената на съда при удар с него) и десорбция (процес на отлепване, когато една молекула се отделя от стената сама по себе си или в резултат на удар на друга молекула ), и накрая, процесът на образуване на клъстери - краткотрайни комплекси от няколко молекули. Ако беше възможно да се измери нмигновено и точно, тогава получената зависимост н(T) ще бъде подобен на показания на фигурата. Диапазонът на колебанията на фигурата е силно надценен за яснота, но с малка средна стойност (b нс ~ 10 2) броят на частиците в газа ще бъде приблизително същият. Ако изберете малка област на стената на съд и измерите силата, действаща върху тази област в резултат на удари на газови молекули, разположени в съда, тогава съотношението на средната стойност на компонента на тази сила, нормална към площта към областта на зоната обикновено се нарича налягане. В различни моменти от време различен брой молекули ще летят до мястото и с различна скорост. В резултат на това, ако беше възможно тази сила да се измери незабавно и точно, щеше да има картина, подобна на тази, показана на фигурата, трябва само да промените обозначението по вертикалната ос: н(T) Ю П(T) и б н(T)s Yu b П(T)С. Почти същото важи и за вътрешната енергия на газ, само че процесите, водещи до случайни промени в това количество, са различни. Например, приближавайки се до стената на контейнер, газовата молекула се сблъсква не с абстрактна, абсолютно еластична и огледално отразяваща стена, а с една от частиците, които изграждат материала на тази стена. Нека стената е стомана, тогава това са железни йони, които се колебаят около равновесни позиции - възлите на кристалната решетка. Ако газова молекула се приближи до стената в тази фаза на трептенията на йона, когато се движи към нея, тогава в резултат на сблъсъка молекулата ще отлети от стената със скорост, по-голяма от приближаващата. Заедно с енергията на тази молекула, вътрешната енергия на газа също ще се увеличи д. Ако една молекула се сблъска с йон, движещ се в същата посока като нея, тогава тази молекула ще отлети със скорост, по-малка от тази, с която е летяла. И накрая, една молекула може да попадне в интерстициално пространство (празно пространство между съседни възли на кристална решетка) и да се заклещи там, така че дори силно нагряване да не може да я отстрани оттам. В последните два случая вътрешната енергия на газа дще намалее. следователно д(T) също е произволна функция на времето и е средната стойност на тази функция. Определяне на позицията на браунова частица в даден момент от времето T 1, може точно да се предвиди само неговата позиция в следващ момент във времето T 2 не надвишава ( T 2 –T 1)· ° С, Където ° С– скоростта на светлината във вакуум. Има случаи на дискретен и непрекъснат спектър от състояния и съответно променлив х. Спектърът от стойности на променлива се разбира като целия набор от нейните възможни стойности. В случай на дискретен спектър от състояния, за да се определи разпределение на вероятностите, е необходимо първо да се посочи пълният набор от възможни стойности на случайната променлива х 1, х 2, х 3,…хк,… (1) и второ, техните вероятности: У 1, У 2, У 3,…Ук,… (2) Сумата от вероятностите на всички възможни събития трябва да бъде равна на единица (условие за нормализиране) Описанието на разпределението на вероятностите чрез отношения (1) – (3) е невъзможно в случай на непрекъснат спектър от състояния и, съответно, непрекъснат спектър от възможни стойности на променливата х. Позволявам хприема всички възможни реални стойности в интервала хОТНОСНО [ а, b] (4) Където аИ bне непременно ограничени. Например за модула на вектора на скоростта на газовата молекула V O, намиращ се в целия диапазон от възможни стойности, т.е. хОТНОСНО [ х,х+D х] ОТНОСНО [ а, b] (5) Тогава вероятност D У(х, Д х) хитове хв интервал (5) е равно на Тук н– общ брой измервания хи Д н(х, Д х) – брой резултати, попадащи в интервал (5). Вероятност D Уестествено зависи от два аргумента: х– позиция на интервала вътре [ а, b] и Д х– неговата дължина (предполага се, въпреки че това изобщо не е необходимо, че D х> 0). Например, вероятността да се получи точната стойност х, с други думи, вероятността за попадение хв интервал с нулева дължина има вероятност за невъзможно събитие и следователно е равна на нула: D У(х, 0) = 0 От друга страна, вероятността да получите стойността хнякъде (без значение къде) в целия интервал [ а, b] е вероятността за надеждно събитие (нещо винаги се случва) и следователно е равна на единица (приема се, че b > а): Д У(а, b – а) = 1. Нека D хмалцина. Критерият за достатъчна малкост зависи от специфичните свойства на системата, която се описва от вероятностното разпределение D У(х, Д х). Ако Д хе малка, тогава функцията D У(х, Д х) може да се разшири в редица по степени на D х: Ако начертаете графика на D У(х, Д х) от втория аргумент D х, тогава замяната на точната зависимост с приблизителен израз (7) означава замяна (в малка област) на точната крива с част от парабола (7). В (7) първият член е равен точно на нула, третият и следващите членове, когато D е достатъчно малък хможе да се пропусне. Въвеждане на нотацията дава важен резултат D У(х, Д х) » r( х)·Д х (8) Съотношение (8), което се изпълнява толкова по-точно, колкото по-малко е D хозначава, че ако дължината на интервала е кратка, вероятността да попаднете в този интервал е пропорционална на неговата дължина. Можете също да преминете от малък, но ограничен D хдо формално безкрайно малкото dx, с едновременна замяна на Д У(х, Д х) На dW(х). Тогава приблизителното равенство (8) се превръща в точно dW(х) = r( х)· dx(9) Коефициент на пропорционалност r( х) има просто значение. Както може да се види от (8) и (9), r( х) е числено равно на вероятността за попадение хв интервал с единична дължина. Следователно, едно от имената на функцията r( х) – плътност на разпределение на вероятностите за променливата х. Функция r( х) съдържа цялата информация за това как вероятността dW(х) хитове хв интервал с дадена дължина dxзависи от местоположението на този интервал, т.е. показва как е разпределена вероятността х. Следователно функцията r( х) обикновено се нарича функция на разпределение за променливата хи по този начин функцията на разпределение за физическата система с цел описание на спектъра от състояния, от които е въведена променливата х. Термините „плътност на вероятността“ и „функция на разпределение“ се използват взаимозаменяемо в статистическата физика. Можем да обмислим обобщаване на дефиницията на вероятност (6) и функция на разпределение (9) за случая на, например, три променливи. Обобщението за случай на произволно голям брой променливи се извършва по абсолютно същия начин. Нека състоянието на физическа система, която се променя произволно във времето, се определя от стойностите на три променливи х, гИ zс непрекъснат спектър: хОТНОСНО [ а, b] гОТНОСНО [ ° С, д] zОТНОСНО [ д, f] (10) Където а, b,…, f, както и преди, не са непременно крайни. Променливи х, гИ zмогат да бъдат например координатите на центъра на масата на газовата молекула, компонентите на нейния вектор на скоростта хЮ V x, гЮ V гИ zЮ V zили импулс и т.н. Под събитие се разбира едновременното появяване на трите променливи в интервали с дължина D х, Д ги Д zсъответно, т.е.: хОТНОСНО [ х, х+D х] гОТНОСНО [ г, г+D г] zОТНОСНО [ z, z+D z] (11) Вероятността за събитие (11) може да се определи подобно на (6) с тази разлика, че сега Д н– брой измервания х, гИ z, резултатите от които едновременно удовлетворяват съотношения (11). Използването на разширение на серия, подобно на (7), дава dW(х, г, z) = r( х, г, z)· dx dy dz(13) където r( х, г, z) – функция на разпределение за три променливи наведнъж х, гИ z. В математическата теория на вероятностите терминът „функция на разпределение“ се използва за обозначаване на величина, различна от r( х), а именно: нека x е някаква стойност на случайна променлива х. Функция Ф(x), даваща вероятността, че хще приеме стойност не по-голяма от x и се нарича функция на разпределение. Функциите r и Ф имат различни значения, но са свързани. Използването на теоремата за добавяне на вероятности дава (тук А– ляв край на диапазона от възможни стойности х (см.ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ): , (14) от където Използването на приблизителна връзка (8) дава D У(х, Д х) » r( х)·Д х. Сравнението с точния израз (15) показва, че използването на (8) е еквивалентно на замяна на интеграла, включен в (16), с произведението на функцията под интегранд r( х) с дължината на интеграционния интервал D х: Съотношението (17) ще бъде точно, ако r = конст, следователно, грешката при замяна на (16) с (17) ще бъде малка, когато функцията интегранд се променя леко по дължината на интервала на интегриране D х. Можете да въведете D x еф– дължина на интервала, върху който функцията на разпределение r( х) се променя значително, т.е. по стойност от реда на самата функция или стойността на Dr ефред по модул r. Използвайки формулата на Лагранж, можем да напишем: от което следва, че Д x ефза всяка функция r Функцията на разпределение може да се счита за „почти постоянна“ за определен интервал на промяна на аргумента, ако нейното нарастване |Dr| на този интервал модулът е много по-малък от самата функция в точките на този интервал. Изискване |Д-р| еф| ~ r (функция на разпределение r i 0) дава д х x eff (20) дължината на интервала на интегриране трябва да бъде малка в сравнение с тази, върху която функцията на интегралното изражение се променя значително. Илюстрацията е показана на фиг. 1. Интегралът от лявата страна на (17) е равен на площта под кривата. Продуктът от дясната страна на (17) е областта, защрихована на фиг. 1 колона. Критерият за малкостта на разликата между съответните площи е изпълнението на неравенство (20). Това може да се провери чрез заместване на първите членове на разширението на функцията r( х) по реда на правомощията Изискването корекцията (вторият член от дясната страна на (21)) да бъде малка в сравнение с първата, дава неравенство (20) с D x ефот (19). Примери за редица функции на разпределение, които играят важна роля в статистическата физика. Разпределение на Максуел за проекцията на вектора на молекулната скорост върху дадена посока (например, това е посоката на оста ОХ). Тук м– маса на газова молекула, T– неговата температура, к– константа на Болцман. Разпределение на Максуел за големината на вектора на скоростта: Разпределение на Максуел за енергията на транслационното движение на молекулите e = mV 2/2 Разпределение на Болцман, по-точно така наречената барометрична формула, която определя разпределението на концентрацията на молекулите или въздушното налягане по надморска височина чот някакво „нулево ниво“ при допускането, че температурата на въздуха не зависи от надморската височина (модел на изотермична атмосфера). Всъщност температурата в ниските слоеве на атмосферата спада значително с увеличаване на надморската височина.Техника за промяна на променливи
Обобщение за редукционната функция
Функции на разпределение
Случайни променливи и функции на разпределение
Масови функции
Независими случайни променливи
Симулиране на случайни променливи
Илюстриране на вероятностна трансформация
Експоненциална функция и нейните променливи
Популация и случайна променлива
Разпределителна функция
Изчисляване на плътността на вероятността с помощта на функции на MS EXCEL
Изчисляване на вероятности с помощта на функции на MS EXCEL
Вместо +∞, стойността, въведена във формулата, е 9,999E+307= 9,999*10^307, което е максималното число, което може да бъде въведено в клетка на MS EXCEL (най-близко до +∞, така да се каже).
Примери.
Брауново движение.
Зареждане...
