Формула за изчисляване на страничната повърхност на пирамида. Пирамида

Площта на страничната повърхност на произволна пирамида е равна на сумата от площите на нейните странични лица. Има смисъл да се даде специална формула за изразяване на тази площ в случай на правилна пирамида. И така, нека ни е дадена правилна пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник със страна, равна на a. Нека h е височината на страничната повърхност, наричана още апотемапирамиди. Площта на едната странична повърхност е равна на 1/2ah, а цялата странична повърхност на пирамидата има площ, равна на n/2ha.Тъй като na е периметърът на основата на пирамидата, можем да напишем намерената формула във формата:

Площ на страничната повърхностна правилна пирамида е равно на произведението на нейната апотема и половината от периметъра на основата.

Относно обща повърхност, тогава просто добавяме площта на основата към страничната.

Вписана и описана сфера и топка. Трябва да се отбележи, че центърът на сферата, вписана в пирамидата, лежи в пресечната точка на ъглополовящите равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата. Центърът на сферата, описана близо до пирамидата, лежи в пресечната точка на равнини, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата и перпендикулярни на тях.

Пресечена пирамида.Ако една пирамида се разрязва от равнина, успоредна на нейната основа, тогава частта, затворена между сечащата равнина и основата, се нарича пресечена пирамида.Фигурата показва пирамида; изхвърляйки нейната част, разположена над равнината на срязване, получаваме пресечена пирамида. Ясно е, че малката изхвърлена пирамида е хомотетична на голямата пирамида с център на хомотетия на върха. Коефициентът на подобие е равен на отношението на височините: k=h 2 /h 1, или страничните ръбове, или други съответни линейни размери на двете пирамиди. Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадрати с линейни размери; така че площите на основите на двете пирамиди (т.е. площта на основите на пресечената пирамида) са свързани като

Тук S 1 е площта на долната основа, а S 2 е площта на горната основа на пресечената пирамида. Страничните повърхности на пирамидите са в същото отношение. Подобно правило съществува и за обемите.

Обеми на подобни теласа свързани като кубове с техните линейни размери; например, обемите на пирамидите са свързани като произведение на техните височини и площта на основите, от което веднага се получава нашето правило. Има абсолютно общ характери пряко следва от факта, че обемът винаги има измерение на третата степен на дължината. Използвайки това правило, извличаме формула, изразяваща обема на пресечена пирамида чрез височината и площта на основите.

Нека е дадена пресечена пирамида с височина h и основни площи S 1 и S 2 . Ако си представим, че тя е разширена до пълна пирамида, тогава коефициентът на подобие между пълната пирамида и малката пирамида може лесно да се намери като корен на отношението S 2 /S 1 . Височината на пресечена пирамида се изразява като h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Сега имаме за обема на пресечена пирамида (V 1 и V 2 означават обемите на пълната и малката пирамида)

формула за обем на пресечена пирамида

Нека изведем формулата за площта S на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида през периметъра P 1 и P 2 на основите и дължината на апотемата a. Разсъждаваме точно по същия начин, както при извеждането на формулата за обем. Допълваме пирамидата с горната част, имаме P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, където k е коефициентът на подобие, P 1 и P 2 са периметрите на основите, а S 1 и S 2 са площите на страничните повърхности на цялата получена пирамида и съответно нейната горна част. За страничната повърхност намираме (a 1 и a 2 са апотеми на пирамидите, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

формула за площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида

• Задача 1. Намерете общата повърхност на пирамидата
• Задача 2. Намерете страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида

Проблем 1. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Решение.

В основата на правилна триъгълна пирамида лежи равностранен триъгълник.
Следователно, за да разрешим проблема, ще използваме свойствата на правилния триъгълник:

Знаем височината на триъгълника, откъдето можем да намерим неговата площ.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откъдето площта на основата ще бъде равна на:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Според задачата ъгълът OKM е 45 градуса.
По този начин:
OK / MK = cos 45
Нека използваме таблицата със стойности на тригонометричните функции и заместваме известни стойности.

OK / MK = √2/2

Нека вземем предвид, че OK е равно на радиуса на вписаната окръжност. Тогава
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогава
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Тогава площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на височината и основата на триъгълника.
Sстрана = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

По този начин общата повърхност на пирамидата ще бъде равна на
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Отговор: 3√3 + 18/√6

Проблем 2. Намерете страничната повърхност на правилна пирамида

Решение.

Тъй като основата на правилната триъгълна пирамида е равностранен триъгълник, AO е радиусът на окръжността, описана около основата.
(Това следва от)

Намираме радиуса на окръжност, описана около равностранен триъгълник от неговите свойства

Откъдето дължината на ръбовете на правилна триъгълна пирамида ще бъде равна на:
AM 2 = MO 2 + AO 2
височината на пирамидата е известна по условие (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Всяка страна на пирамидата е равнобедрен триъгълник. Квадрат равнобедрен триъгълникнамираме от първата формула, представена по-долу

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt ((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Тъй като и трите лица на правилната пирамида са равни, площта на страничната повърхност ще бъде равна на
3S = 48 √(91/3)

Отговор: 48 √(91/3)

Задача 3. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Страната на правилна триъгълна пирамида е 3 см, а ъгълът между страничната страна и основата на пирамидата е 45 градуса. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.
Тъй като пирамидата е правилна, в основата й има равностранен триъгълник. Следователно площта на основата е


Значи = 9 * √3/4

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Според задачата ъгълът OKM е 45 градуса.
По този начин:
OK / MK = cos 45
Да се ​​възползваме

Определение. Страничен ръб- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребра- това са общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото са ъглите на многоъгълник.

Определение. Височина на пирамидата- това е перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикуляр към страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамида от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамидае пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината пада до центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. Обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

Свойства на пирамидата

Падам странични ребраса равни, то около основата на пирамидата може да се опише окръжност, като центърът на основата съвпада с центъра на окръжността. Също така, перпендикуляр, пуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).

Ако всички странични ръбове са равни, тогава те са наклонени към равнината на основата под същите ъгли.

Страничните ръбове са равни, когато образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Ако странични лицаса наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да бъде вписан кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилна пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакъв ъгъл спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. Можете да поставите сфера в пирамида. Центърът на вписаната сфера ще бъде точката на пресичане на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от равнинните ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π/n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката между пирамидата и сферата

Сфера може да бъде описана около пирамида, когато в основата на пирамидата има многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Винаги е възможно да се опише сфера около всяка триъгълна или правилна пирамида.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Свързване на пирамида с конус

Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни една на друга.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са еднакви.

Връзка между пирамида и цилиндър

Пирамида се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Може да се опише цилиндър около пирамида, ако може да се опише окръжност около основата на пирамидата.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедър с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедианнарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се делят наполовина, а медианите се делят в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. Остроъгълна пирамида- пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Тъпа пирамида- пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. Правилен тетраедър- тетраедър, в който и четирите лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (във върха) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедърсе нарича тетраедър, в който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли ръбовете са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърсе нарича тетраедър, чиито странични лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Такъв тетраедър има лица, които са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедърсе нарича тетраедър, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. Звездна пирамиданаречен полиедър, чиято основа е звезда.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - по реда на закона, съдебния ред, в пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Каква фигура наричаме пирамида? Първо, това е полиедър. Второ, в основата на този полиедър има произволен многоъгълник, а страните на пирамидата (страничните лица) задължително имат формата на триъгълници, събиращи се в един общ връх. Сега, след като разбрахме термина, нека разберем как да намерим повърхността на пирамидата.

Ясно е, че повърхността е такава геометрично тялоще се състои от сумата от площите на основата и цялата й странична повърхност.

Изчисляване на площта на основата на пирамида

Изборът на формула за изчисление зависи от формата на многоъгълника, който е в основата на нашата пирамида. Тя може да бъде правилна, тоест със страни с еднаква дължина, или неправилна. Нека разгледаме и двата варианта.

Основата е правилен многоъгълник

от училищен курсизвестен:

• площта на квадрата ще бъде равна на дължината на квадратната му страна;
• Площта на равностранен триъгълник е равна на квадрата на страната му, разделена на 4 и умножена по корен квадратен от три.

Но има и обща формула за изчисляване на площта на всеки правилен многоъгълник (Sn): трябва да умножите периметъра на този многоъгълник (P) по радиуса на вписаната в него окръжност (r) и след това да разделите резултат с две: Sn=1/2P*r .

В основата има неправилен многоъгълник

Схемата за намиране на неговата площ е първо да разделите целия многоъгълник на триъгълници, да изчислите площта на всеки от тях по формулата: 1/2a*h (където a е основата на триъгълника, h е височината, спусната до тази база), съберете всички резултати.

Площ на страничната повърхност на пирамидата

Сега нека изчислим площта на страничната повърхност на пирамидата, т.е. сумата от площите на всичките му странични страни. Тук също има 2 опции.

1. Нека имаме произволна пирамида, т.е. един с неправилен многоъгълник в основата си. След това трябва да изчислите площта на всяко лице поотделно и да добавите резултатите. Тъй като страните на пирамидата по дефиниция могат да бъдат само триъгълници, изчислението се извършва по гореспоменатата формула: S=1/2a*h.
2. Нека нашата пирамида е правилна, т.е. в основата му лежи правилен многоъгълник, а проекцията на върха на пирамидата е в нейния център. След това, за да се изчисли площта на страничната повърхност (Sb), е достатъчно да се намери половината от произведението на периметъра на основния многоъгълник (P) и височината (h) на страничната страна (еднакво за всички лица ): Sb = 1/2 P*h. Периметърът на многоъгълник се определя чрез събиране на дължините на всичките му страни.

Общата площ на правилната пирамида се намира чрез сумиране на площта на нейната основа с площта на цялата странична повърхност.

Примери

Например, нека изчислим алгебрично площите на няколко пирамиди.

Повърхност на триъгълна пирамида

В основата на такава пирамида е триъгълник. Използвайки формулата So=1/2a*h намираме площта на основата. Използваме същата формула, за да намерим площта на всяко лице на пирамидата, която също има триъгълна форма, и получаваме 3 области: S1, S2 и S3. Площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от всички площи: Sb = S1+ S2+ S3. Като съберем площите на страните и основата, получаваме общата повърхност на желаната пирамида: Sp= So+ Sb.

Повърхност на четириъгълна пирамида

Площта на страничната повърхност е сумата от 4 члена: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, всеки от които се изчислява по формулата за площта на триъгълник. И площта на основата ще трябва да се търси в зависимост от формата на четириъгълника - правилна или неправилна. Общата повърхност на пирамидата отново се получава чрез събиране на площта на основата и общата повърхност на дадената пирамида.