Функционален градиент и неговите свойства. Векторен анализ скаларно поле на повърхност и линии на ниво насочена производна производна градиент на скаларно поле основни свойства на градиент инвариантна дефиниция на градиент правила за изчисляване на градиента

От училищния курс по математика знаем, че вектор в равнина е насочен сегмент. Началото и краят му имат две координати. Координатите на вектора се изчисляват чрез изваждане на началните координати от крайните координати.

Концепцията за вектор може да се разшири до n-мерно пространство (вместо две координати ще има n координати).

Градиент gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) е векторът на частните производни на функцията в точка, т.е. вектор с координати.

Може да се докаже, че градиентът на функция характеризира посоката на най-бързо нарастване на нивото на функция в дадена точка.

Например, за функцията z = 2x 1 + x 2 (виж Фигура 5.8), градиентът във всяка точка ще има координати (2; 1). Можете да го конструирате върху равнина по различни начини, като вземете всяка точка за начало на вектора. Например, можете да свържете точка (0; 0) с точка (2; 1), или точка (1; 0) с точка (3; 1), или точка (0; 3) с точка (2; 4), или така нататък..P. (Вижте Фигура 5.8). Всички вектори, конструирани по този начин, ще имат координати (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

От фигура 5.8 ясно се вижда, че нивото на функцията нараства в посока на градиента, тъй като построените линии на ниво съответстват на стойностите на нивото 4> 3> 2.

Фигура 5.8 - Градиент на функция z= 2x 1 + x 2

Нека разгледаме друг пример - функцията z = 1/(x 1 x 2). Градиентът на тази функция вече няма да бъде винаги еднакъв в различни точки, тъй като нейните координати се определят от формулите (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Фигура 5.9 показва линиите на функционалното ниво z = 1/(x 1 x 2) за нива 2 и 10 (правата линия 1/(x 1 x 2) = 2 е обозначена с пунктирана линия, а правата линия 1/( x 1 x 2) = 10 е плътна линия).

Фигура 5.9 - Градиенти на функцията z= 1/(x 1 x 2) в различни точки

Вземете например точката (0,5; 1) и изчислете градиента в тази точка: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Обърнете внимание, че точката (0,5; 1) лежи на линията на нивото 1/(x 1 x 2) = 2, защото z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. За да начертаете вектора ( -4; -2) на фигура 5.9 свържете точката (0,5; 1) с точката (-3,5; -1), защото (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, например точка (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Нека изчислим градиента в тази точка (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го изобразим на фигура 5.9, свързваме точката (1; 0.5) с точката (-1; -3.5), защото (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, но само сега в неположителна координатна четвърт. Например точка (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентът в тази точка ще бъде равен на (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Нека го изобразим на фигура 5.9, като свържем точката (-0,5; -1) с точката (3,5; 1), защото (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Трябва да се отбележи, че и в трите разгледани случая градиентът показва посоката на нарастване на функционалното ниво (към линията на нивото 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Може да се докаже, че градиентът винаги е перпендикулярен на линията на нивото (равнината), минаваща през дадена точка.

Екстремуми на функция на няколко променливи

Нека дефинираме понятието екстремумза функция на много променливи.

Функция на много променливи f(X) има в точка X (0) максимум (минимум),ако има околност на тази точка, така че за всички точки X от тази околност са изпълнени неравенствата f(X)f(X (0)) ().

Ако тези неравенства са изпълнени като строги, тогава се нарича екстремум силен, и ако не, тогава слаб.

Обърнете внимание, че дефинираният по този начин екстремум е местенхарактер, тъй като тези неравенства са изпълнени само за определена околност на точката на екстремума.

Необходимо условие за локален екстремум на диференцируема функция z=f(x 1, . . ., x n) в точка е равенството на нула на всички частични производни от първи ред в тази точка:
.

Точките, в които важат тези равенства, се наричат стационарен.

По друг начин необходимото условие за екстремум може да се формулира по следния начин: в точката на екстремума градиентът е нула. Може да се докаже и едно по-общо твърдение: в точката на екстремума производните на функцията във всички посоки се нулират.

Стационарните точки трябва да бъдат подложени на допълнителни изследвания, за да се определи дали са изпълнени достатъчни условия за съществуването на локален екстремум. За да направите това, определете знака на диференциала от втори ред. Ако за всеки , който не е едновременно равен на нула, той винаги е отрицателен (положителен), тогава функцията има максимум (минимум). Ако може да стигне до нула не само с нулеви стъпки, тогава въпросът за екстремума остава открит. Ако може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма екстремум в стационарна точка.

В общия случай определянето на знака на диференциала е доста сложен проблем, който няма да разглеждаме тук. За функция на две променливи може да се докаже, че ако в стационарна точка
, тогава екстремумът е налице. В този случай знакът на втория диференциал съвпада със знака
, т.е. Ако
, тогава това е максимумът и ако
, тогава това е минимумът. Ако
, тогава няма екстремум в тази точка и ако
, тогава въпросът за екстремума остава открит.

Пример 1. Намерете екстремумите на функцията
.

Нека намерим частни производни, използвайки метода на логаритмично диференциране.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

По същия начин
.

Нека намерим стационарни точки от системата от уравнения:

Така са открити четири стационарни точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).

Нека намерим частните производни от втори ред:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

По същия начин
;
.

защото
, изразителен знак
зависи само от
. Обърнете внимание, че и в двете от тези производни знаменателят винаги е положителен, така че можете да вземете предвид само знака на числителя или дори знака на изразите x(x 2 – 3) и y(y 2 – 3). Нека го дефинираме във всяка критична точка и да проверим дали е изпълнено достатъчното условие за екстремума.

За точка (1; 1) получаваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицателни числа
> 0 и
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

За точка (1; -1) получаваме 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Защото произведение на тези числа
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

За точката (-1; -1) получаваме (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Тъй като произведение на две положителни числа
> 0 и
> 0, в точката (-1; -1) може да се намери минимумът. Равно е на 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

намирам глобаленмаксимум или минимум (най-голямата или най-малката стойност на функция) е малко по-сложно от локален екстремум, тъй като тези стойности могат да бъдат постигнати не само в стационарни точки, но и на границата на дефиниционната област. Не винаги е лесно да се изследва поведението на функция на границата на тази област.

Позволявам З= Е(М) – функция, дефинирана в някаква околност на точка M(y; x);Л={ Cos; Cos} – единичен вектор (на фиг. 33 1=  , 2= ); Л– насочена права, минаваща през точка М; M1(x1; y1), където x1=x+x и y1=y+y– точка на линия Л;  Л– дължина на сегмента MM1;  З= Е(x+x, y+y)-Е(х, Y) – увеличение на функцията Е(М) в точката M(x; y).

Определение. Границата на съотношението, ако съществува, се нарича Производна на функция З = Е ( М ) в точка М ( х ; Y ) по посока на вектора Л .

Обозначаване.

Ако функцията Е(М) диференцируеми в точката M(x;y), след това в точката M(x;y)има производна във всяка посока Лпроизтичащи от М; изчислява се по следната формула:

(8)

Където Cos И Cos- насочващи косинуси на вектора Л.

Пример 46. Изчисляване на производната на функция З= х2 + Y2 хв точката M(1; 2)по посока на вектора MM1, Където M1– точка с координати (3; 0).

. Нека намерим единичния вектор Л, с тази посока:

Където Cos= ; Cos=- .

Нека изчислим частните производни на функцията в точката M(1; 2):

Използвайки формула (8), получаваме

Пример 47. Намерете производната на функция U = Xy2 З3 в точката M(3; 2; 1)По посока на вектора MN, Където н(5; 4; 2) .

. Нека намерим вектора и неговите насочващи косинуси:

Нека изчислим стойностите на частичните производни в точката М:

следователно

Определение. Градиент ФункцииЗ= Е(М) в точката M(x; y) е вектор, чиито координати са равни на съответните частни производни и взети в точката M(x; y).

Обозначаване.

Пример 48. Намерете градиента на функция З= х2 +2 Y2 -5 в точката M(2; -1).

Решение. Намиране на частични производни: и техните стойности в точката M(2; -1):

Пример 49. Намерете големината и посоката на градиента на функцията в точка

Решение.Нека намерим частичните производни и изчислим техните стойности в точка M:

следователно

Производната по посока за функция от три променливи се определя по подобен начин U= Е(х, Y, З) , се показват формули

Въвежда се понятието градиент

Нека подчертаем това Основни свойства на градиентната функция по-важно за анализа на икономическата оптимизация: по посока на градиента функцията нараства. Следните градиентни свойства се използват в икономически проблеми:

1) Нека функцията е дадена З= Е(х, Y) , имащи частни производни в областта на дефиницията. Нека разгледаме някои точки M0(x0, y0)от областта на дефиницията. Нека стойността на функцията в тази точка е равна на Е(х0 , Y0 ) . Нека да разгледаме графиката на функцията. През точката (х0 , Y0 , Е(х0 , Y0 )) тримерно пространство чертаем равнина, допирателна към повърхността на графиката на функцията. След това градиентът на функцията, изчислен в точката (x0, y0), разглеждан геометрично като вектор, приложен в точка (х0 , Y0 , Е(х0 , Y0 )) , ще бъде перпендикулярна на допирателната равнина. Геометрична илюстрация е показана на фиг. 34.

2) Градиентна функция Е(х, Y) в точката M0(x0, y0)показва посоката на най-бързото нарастване на функцията в точката M0. В допълнение, всяка посока, която прави остър ъгъл с градиента, е посоката на растеж на функцията в точката M0. С други думи, малко движение от точка (x0, y0)по посока на градиента на функцията в тази точка води до нарастване на функцията и то в най-голяма степен.

Помислете за вектора, противоположен на градиента. Нарича се Анти-градиент . Координатите на този вектор са:

Функция против градиент Е(х, Y) в точката M0(x0, y0)показва посоката на най-бързо намаляване на функцията в точката M0. Всяка посока, която образува остър ъгъл с антиградиента, е посоката, в която функцията намалява в тази точка.

3) Когато изучавате функция, често има нужда да намерите такива двойки (x, y)от областта на дефиниране на функцията, в която функцията приема същите стойности. Помислете за набор от точки (х, Y) от областта на функцията Е(х, Y) , така че Е(х, Y)= Конст, къде е входът “ Конст” означава, че стойността на функцията е фиксирана и равна на някакво число от диапазона на функцията.

Определение. Линия на функционално ниво U = Е ( х , Y ) наречена линияЕ(х, Y)=C в самолетаXOy, в точки, в които функцията поддържа постоянна стойностU= ° С.

Линиите на нивото са геометрично изобразени върху равнината на промяна на независими променливи под формата на криви линии. Получаването на линии на ниво може да си представим по следния начин. Помислете за комплекта СЪС, който се състои от точки от тримерното пространство с координати (х, Y, Е(х, Y)= Конст), които от една страна принадлежат към графиката на функцията З= Е(х, Y), от друга страна, те лежат в равнина, успоредна на координатната равнина HOU, и отдалечени от него с количество, равно на дадена константа. След това, за да се изгради линия на ниво, е достатъчно да се пресече повърхността на графиката на функцията с равнина З= Консти проектирайте пресечната линия върху равнината HOU. Горното разсъждение обосновава възможността за директно конструиране на линии на ниво върху равнина HOU.

Определение. Извикват се много линии на ниво Карта на линията на нивото.

Примери за линии на ниво са добре известни - нива с еднакви височини на топографска картаи линии с еднакво барометрично налягане върху метеорологична карта.

Определение. Посоката, по която скоростта на нарастване на функцията е максимална, се нарича "предпочитана" посока, или Посока на най-бърз растеж.

„Предпочитаната“ посока се дава от градиентния вектор на функцията. На фиг. 35 показва максималната, минималната и седловата точка в задачата за оптимизиране на функция на две променливи при липса на ограничения. Долната част на фигурата показва линиите на нивото и посоката на най-бързия растеж.

Пример 50. Намерете линии на функционално ниво U= х2 + Y2 .

Решение.Уравнението за семейство от линии на ниво има формата х2 + Y2 = ° С (° С>0) . даване СЪСразлични реални стойности, получаваме концентрични окръжности с център в началото.

Изграждане на нивелирни линии. Анализът им установява широко приложениев икономически проблеми на микро и макроравнище, теория на равновесието и ефективни решения. Изокости, изокванти, криви на безразличие - всичко това са линии на ниво, конструирани за различни икономически функции.

Пример 51. Помислете за следната икономическа ситуация. Нека се опише производството на продукти Функция на Коб-Дъглас Е(х, Y)=10x1/3y2/3, Където х- количество труд, U– размер на капитала. 30 USD бяха отпуснати за закупуване на ресурси. единици, цената на труда е 5 USD. дялове, капитал – 10 USD. единици Нека се запитаме: каква е най-голямата продукция, която може да се получи при тези условия? Тук „зададени условия“ означава дадени технологии, цени на ресурсите и вида на производствената функция. Както вече беше отбелязано, функцията Коб-Дъгласнараства монотонно за всяка променлива, т.е. увеличаването на всеки тип ресурс води до увеличаване на продукцията. При тези условия е ясно, че е възможно да се увеличи придобиването на ресурси, стига да има достатъчно пари. Набори от ресурси, чиято цена е 30 USD. единици, отговарят на условието:

5x + 10y = 30,

Тоест те определят линията на функционалното ниво:

Ж(х, Y) = 5x + 10y.

От друга страна, с помощта на линии на ниво Функции на Коб-Дъглас (Фиг. 36) можете да покажете нарастването на функцията: във всяка точка от линията на нивото посоката на градиента е посоката на най-голямото увеличение и за да се конструира градиент в точка, е достатъчно да се начертае допирателна към линията на нивото в тази точка, изградете перпендикуляр на тангентата и посочете посоката на градиента. От фиг. 36 може да се види, че линията на нивото на функцията на Коб-Дъглас трябва да се премести по протежение на градиента, докато стане допирателна към линията на ниво 5x + 10y = 30. По този начин, използвайки концепциите за линия на ниво, градиент и свойства на градиента, е възможно да се разработят подходи за най-добро използване на ресурсите по отношение на увеличаване на обема на продукцията.

Определение. Функция за ниво на повърхността U = Е ( х , Y , З ) наречена повърхностЕ(х, Y, З)=С, в чиито точки функцията запазва постоянна стойностU= ° С.

Пример 52. Намерете повърхности на функционално ниво U= х2 + З2 - Y2 .

Решение.Уравнението за семейство равни повърхности има формата х2 + З2 - Y2 =C. Ако С=0, тогава получаваме х2 + З2 - Y2 =0 – конус; Ако ° С<0 , Че х2 + З2 - Y2 =C –Семейство от двулистни хиперболоиди.

Някои понятия и термини се използват в чисто тясна рамка, други дефиниции се срещат в области, които са рязко противоположни. Например понятието „градиент“ се използва от физик, математик, маникюрист или специалист по Photoshop. Какво е градиент като понятие? Нека да го разберем.

Какво казват речниците?

Специалните тематични речници тълкуват какво е „градиент“ във връзка с тяхната специфика. В превод от латински тази дума означава „този, който върви, расте“. И Wikipedia определя това понятие като „вектор, показващ посоката на увеличаване на количеството“. В обяснителните речници виждаме значението на тази дума като „промяна на всяка стойност с една стойност“. Едно понятие може да има както количествено, така и качествено значение.

Накратко, това е плавен постепенен преход на всяка стойност с една стойност, прогресивна и непрекъсната промяна в количеството или посоката. Векторът е изчислен от математици и метеоролози. Тази концепция се използва в астрономията, медицината, изкуството и компютърната графика. Подобен термин определя напълно различни видове дейности.

Математически функции

Какво е градиентът на функция в математиката? Това показва посоката на растеж на функция в скаларно поле от една стойност към друга. Големината на градиента се изчислява с помощта на частични производни. За да се определи най-бързата посока на растеж на функция, се избират две точки на графиката. Те определят началото и края на вектора. Скоростта, с която една стойност расте от една точка до друга, е величината на градиента. Математическите функции, базирани на изчисленията на този индикатор, се използват във векторната компютърна графика, чиито обекти са графични изображения на математически обекти.

Какво е градиент във физиката?

Концепцията за градиент е често срещана в много клонове на физиката: градиент на оптиката, температура, скорост, налягане и т.н. В този клон концепцията обозначава мярка за увеличаване или намаляване на стойност с единица. Изчислява се чрез изчисления като разлика между два показателя. Нека разгледаме някои от стойностите по-подробно.

Какво е потенциален градиент? При работа с електростатично поле се определят две характеристики: напрежение (сила) и потенциал (енергия). Тези различни количества са свързани с околната среда. И въпреки че определят различни характеристики, те все още имат връзка помежду си.

За определяне на силата на силовото поле се използва потенциалният градиент - величина, която определя скоростта на изменение на потенциала по посока на силовата линия. Как да изчислим? Потенциалната разлика между две точки на електрическото поле се изчислява от известно напрежение, като се използва векторът на интензитета, който е равен на градиента на потенциала.

Условия на метеоролозите и географите

За първи път концепцията за градиент беше използвана от метеоролозите за определяне на промените в големината и посоката на различни метеорологични показатели: температура, налягане, скорост и сила на вятъра. Това е мярка за количествени промени в различни количества. Максуел въвежда термина в математиката много по-късно. При определяне на метеорологичните условия има понятия за вертикален и хоризонтален градиент. Нека ги разгледаме по-отблизо.

Какво е вертикален температурен градиент? Това е стойност, която показва изменението на показателите, изчислени на височина 100 м. Тя може да бъде положителна или отрицателна, за разлика от хоризонталната, която винаги е положителна.

Градиентът показва величината или ъгъла на наклона на земята. Изчислява се като съотношение на височината към дължината на проекцията на пътя в определен участък. Изразено като процент.

Медицински показатели

Определението за „температурен градиент“ може да се намери и сред медицинските термини. Той показва разликата в съответните показатели на вътрешните органи и повърхността на тялото. В биологията физиологичният градиент записва промените във физиологията на всеки орган или организъм като цяло на всеки етап от неговото развитие. В медицината метаболитният показател е интензивността на метаболизма.

Не само физиците, но и лекарите използват този термин в работата си. Какво е градиент на налягането в кардиологията? Тази концепция определя разликата в кръвното налягане във всички взаимосвързани части на сърдечно-съдовата система.

Намаляващият градиент на автоматизма е индикатор за намаляване на честотата на възбуждане на сърцето в посока от основата му към върха, възникващо автоматично. В допълнение, кардиолозите идентифицират местоположението на артериалното увреждане и неговата степен, като наблюдават разликата в амплитудите на систоличните вълни. С други думи, използвайки амплитудния градиент на импулса.

Какво е градиент на скоростта?

Когато говорят за скоростта на изменение на определена величина, те имат предвид скоростта на промяна във времето и пространството. С други думи, градиентът на скоростта определя промяната в пространствените координати по отношение на индикаторите за време. Този показател се изчислява от метеоролози, астрономи и химици. Градиентът на скоростта на срязване на течните слоеве се определя в нефтената и газовата промишленост, за да се изчисли скоростта на издигане на течност през тръба. Този показател за тектонични движения е областта на изчисленията на сеизмолозите.

Икономически функции

Икономистите широко използват понятието градиент, за да обосноват важни теоретични заключения. При решаване на потребителски проблеми се използва функция на полезност, за да помогне за представянето на предпочитания от набор от алтернативи. „Функция на бюджетно ограничение“ е термин, използван за обозначаване на набор от потребителски пакети. Градиентите в тази област се използват за изчисляване на оптималната консумация.

Цветен градиент

Терминът "градиент" е познат на креативните хора. Въпреки че са далеч от точните науки. Какво е градиент за дизайнер? Тъй като в точните науки това е постепенно увеличаване на стойността с единица, така че в цвета този индикатор означава плавен, продължителен преход на нюанси на един и същи цвят от по-светъл към по-тъмен или обратно. Художниците наричат този процес „разтягане“. Също така е възможно да се премине към различни съпътстващи цветове в същата гама.

Градиентните нюанси в помещенията за боядисване са заели силна позиция сред дизайнерските техники. Новомодният стил омбре - плавно преливане на нюанси от светло към тъмно, от ярко към бледо - преобразява ефектно всяка стая в дома или офиса.

Оптиците използват специални стъкла в слънчевите очила. Какво е градиент в очилата? Това е изработката на леща по специален начин, когато отгоре надолу цветът се променя от по-тъмен към по-светъл нюанс. Продуктите, направени по тази технология, предпазват очите от слънчевата радиация и ви позволяват да гледате обекти дори при много ярка светлина.

Цвят в уеб дизайна

Тези, които се занимават с уеб дизайн и компютърна графика, са добре запознати с универсалния инструмент „градиент“, който може да се използва за създаване на голямо разнообразие от ефекти. Цветовите преходи се трансформират в акценти, странен фон и триизмерност. Манипулирането на нюанси и създаването на светлина и сянка придава обем на векторните обекти. За тези цели се използват няколко вида градиенти:

Линеен.
Радиална.
Конусовидна.
Огледало.
С форма на диамант.
Градиент на шума.

Градиентна красота

За посетителите на салоните за красота въпросът какво е градиент няма да бъде изненада. Вярно е, че дори и в този случай не е необходимо познаване на математическите закони и основите на физиката. Все още говорим за цветови преходи. Обектите на градиента са косата и ноктите. Техниката ombre, което означава „тон“ на френски, дойде на мода от любителите на спорта на сърфа и други плажни дейности. Естествено изрусената и повторно израснала коса се превърна в хит. Модниците започнаха специално да боядисват косата си с едва забележим преход на нюанси.

Техниката омбре не е подминала и салоните за маникюр. Градиентът върху ноктите създава цвят с постепенно изсветляване на плочата от корена до ръба. Майсторите предлагат хоризонтални, вертикални, с преход и други разновидности.

Ръкоделие

Ръководителите са запознати с концепцията за „градиент“ от друга страна. Подобна техника се използва за създаване на ръчно изработени предмети в стил декупаж. По този начин се създават нови антични вещи или се възстановяват стари: скринове, столове, сандъци и др. Декупажът включва прилагане на шаблон с помощта на шаблон, чиято основа е цветен градиент като фон.

Художниците на тъкани са възприели този метод на боядисване за нови модели. Рокли с градиентни цветове завладяха модните подиуми. Модата беше подета от плетачки - плетачки. Популярни са плетените елементи с плавен преход на цвета.

За да обобщим определението за „градиент“, можем да кажем за много широка област от човешката дейност, в която този термин има място. Замяната със синонима „вектор“ не винаги е подходяща, тъй като векторът все още е функционална, пространствена концепция. Това, което определя обобщеността на понятието, е постепенна промяна на определено количество, вещество, физичен параметър с единица за определен период. В цвят е плавен преход на тона.

Градиент функции– векторна величина, чието определяне е свързано с определянето на частните производни на функцията. Посоката на градиента показва пътя на най-бързия растеж на функцията от една точка на скаларното поле до друга.

Инструкции

1. За решаване на проблема с градиента на функция се използват методи на диференциално смятане, а именно намиране на частични производни от първи ред по отношение на три променливи. Предполага се, че самата функция и всички нейни частни производни притежават свойството на непрекъснатост в областта на дефиниране на функцията.

2. Градиентът е вектор, чиято посока показва посоката на най-бързото нарастване на функцията F. За целта на графиката се избират две точки M0 и M1, които са краищата на вектора. Големината на градиента е равна на скоростта на нарастване на функцията от точка M0 до точка M1.

3. Функцията е диференцируема във всички точки на този вектор; следователно проекциите на вектора върху координатните оси са всичките му частични производни. Тогава формулата на градиента изглежда така: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, където i, j, k са координатите на единичния вектор . С други думи, градиентът на функция е вектор, чиито координати са нейните частни производни grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Пример 1. Нека е дадена функцията F = sin(x z?)/y. Изисква се да се открие градиентът му в точката (?/6, 1/4, 1).

5. Решение Определете частните производни по всяка променлива: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Заменете известните координатни стойности на точката: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Приложете формулата за градиент на функцията: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Пример 2. Намерете координатите на градиента на функцията F = y arсtg (z/x) в точка (1, 2, 1).

9. Решение.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.град = (- 1, ?/4, 1).

Градиентът на скаларното поле е векторна величина. По този начин, за да го намерите, е необходимо да се определят всички компоненти на съответния вектор, въз основа на познаването на разделението на скаларното поле.

Инструкции

1. Прочети в някой учебник по висша математика какво е градиент на скаларно поле. Както знаете, тази векторна величина има посока, характеризираща се с максималната скорост на затихване на скаларната функция. Тази интерпретация на тази векторна величина е оправдана от израза за определяне на нейните компоненти.

2. Не забравяйте, че всеки вектор се определя от величините на неговите компоненти. Компонентите на вектора всъщност са проекции на този вектор върху една или друга координатна ос. По този начин, ако се разглежда триизмерното пространство, тогава векторът трябва да има три компонента.

3. Запишете как се определят компонентите на вектор, който е градиент на дадено поле. Всички координати на такъв вектор са равни на производната на скаларния потенциал по отношение на променливата, чиято координата се изчислява. Тоест, ако трябва да изчислите компонента „x“ на вектора на градиента на полето, тогава трябва да диференцирате скаларната функция по отношение на променливата „x“. Моля, обърнете внимание, че производната трябва да е частична. Това означава, че по време на диференцирането останалите променливи, които не участват в него, трябва да се считат за константи.

4. Напишете израз за скаларното поле. Както е известно, този термин предполага само скаларна функция на няколко променливи, които също са скаларни величини. Броят на променливите на една скаларна функция е ограничен от размерността на пространството.

5. Диференцирайте скаларната функция отделно по отношение на всяка променлива. В резултат на това ще получите три нови функции. Запишете произволна функция в израза за градиентния вектор на скаларното поле. Всяка от получените функции всъщност е индикатор за единичен вектор на дадена координата. Така крайният вектор на градиента трябва да изглежда като полином с експоненти под формата на производни на функцията.

Когато разглеждаме въпроси, включващи градиентно представяне, обичайно е да мислим за функциите като за скаларни полета. Поради това е необходимо да се въведе подходящо обозначение.

Ще имаш нужда

– бум;
- химилка.

Инструкции

1. Нека функцията е зададена с три аргумента u=f(x, y, z). Частичната производна на функция, например по отношение на x, се определя като производната по отношение на този аргумент, получена чрез фиксиране на останалите аргументи. Подобно за други аргументи. Нотацията за частичната производна е записана във формата: df/dx = u’x ...

2. Общият диференциал ще бъде равен на du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz Частичните производни могат да се разбират като производни по посоките на координатните оси. Следователно възниква въпросът за намиране на производната по отношение на посоката на даден вектор s в точката M(x, y, z) (не забравяйте, че посоката s се определя от единичния вектор s^o). В този случай вектор-диференциалът на аргументите (dx, dy, dz) = (дscos(алфа), dscos(бета), dscos(гама)).

3. Като се има предвид формата на общия диференциал du, можем да заключим, че производната по посока s в точка M е равна на: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(бета) +((df/dz)|M) cos(гама). Ако s= s(sx,sy,sz), тогава косинусите на посоката (cos(алфа), cos(бета) ), cos( гама)) се изчисляват (виж Фиг. 1а).

4. Дефиницията на производната по посока, разглеждайки точка M като променлива, може да бъде пренаписана под формата на скаларно произведение: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(алфа) , cos(бета), cos (гама)))=(град u, s^o). Този израз ще бъде обективен за скаларно поле. Ако една функция се разглежда лесно, тогава gradf е вектор с координати, съвпадащи с частните производни f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Тук (i, j, k) са единичните вектори на координатните оси в правоъгълна декартова координатна система.

5. Ако използваме диференциалния векторен оператор на Hamilton Nabla, тогава gradf може да се запише като умножение на този операторен вектор по скалара f (виж Фиг. 1b). От гледна точка на връзката между gradf и производната по посока, равенството (gradf, s^o)=0 е приемливо, ако тези вектори са ортогонални. Следователно gradf често се определя като посоката на най-бързата метаморфоза на скаларното поле. И от гледна точка на диференциалните операции (gradf е една от тях), свойствата на gradf точно повтарят свойствата на диференциращите функции. По-специално, ако f=uv, тогава gradf=(vgradu+u gradv).

Видео по темата

ГрадиентТова е инструмент, който в графичните редактори запълва силует с плавен преход от един цвят към друг. Градиентможе да придаде на силует резултат от обем, да имитира осветление, отблясъци от светлина върху повърхността на обект или резултат от залез на фона на снимка. Този инструмент се използва широко, така че за обработка на снимки или създаване на илюстрации е много важно да се научите как да го използвате.

Ще имаш нужда

Компютър, графичен редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net или друг.

Инструкции

1. Отворете изображение в програмата или вземете ново. Направете силует или изберете желаната област в изображението.

2. Включете инструмента за градиент в лентата с инструменти на графичния редактор. Поставете курсора на мишката върху точката в избраната област или силует, където ще започне първият цвят на градиента. Щракнете и задръжте левия бутон на мишката. Преместете курсора до точката, където искате градиентът да се промени до крайния цвят. Пуснете левия бутон на мишката. Избраният силует ще бъде запълнен с градиентно запълване.

3. ГрадиентМожете да зададете прозрачност, цветове и тяхното съотношение в определена точка от запълването. За да направите това, отворете прозореца за редактиране на градиента. За да отворите прозореца за редактиране във Photoshop, щракнете върху примера за градиент в панела с опции.

4. Прозорецът, който се отваря, показва наличните опции за градиентно запълване под формата на примери. За да редактирате една от опциите, изберете я с щракване на мишката.

5. В долната част на прозореца се показва пример за градиент под формата на широка скала, върху която са разположени плъзгачи. Плъзгачите показват точките, в които градиентът трябва да има зададени съпоставки, а в интервала между плъзгачите цветът равномерно преминава от цвета, посочен в първата точка, към цвета на втората точка.

6. Плъзгачите, разположени в горната част на скалата, задават прозрачността на градиента. За да промените прозрачността, щракнете върху желания плъзгач. Под скалата ще се появи поле, в което въвеждате необходимата степен на прозрачност като процент.

7. Плъзгачите в долната част на скалата задават цветовете на градиента. Като щракнете върху един от тях, ще можете да изберете желания цвят.

8. Градиентможе да има няколко преходни цвята. За да зададете друг цвят, щракнете върху свободното място в долната част на скалата. На него ще се появи друг плъзгач. Придайте му необходимия цвят. Скалата ще покаже пример за градиента с още една точка. Можете да местите плъзгачите, като ги задържите с левия бутон на мишката, за да постигнете желаната комбинация.

9. ГрадиентПредлагат се в няколко вида, които могат да придадат форма на плоски силуети. Например, за да придадете на кръг формата на топка, се използва радиален градиент, а за да придадете формата на конус, се използва конусообразен градиент. За да придадете на повърхността илюзия за изпъкналост, можете да използвате огледален градиент, а градиент с форма на диамант може да се използва за създаване на акценти.

Видео по темата

1 0 Градиентът е насочен нормално към равната повърхност (или към линията на нивото, ако полето е плоско).

2 0 Градиентът е насочен към увеличаване на полевата функция.

3 0 Модулът на градиента е равен на най-голямата производна по посока в дадена точка от полето:

Тези свойства осигуряват инвариантна характеристика на градиента. Казват, че векторът gradU показва посоката и големината на най-голямата промяна в скаларното поле в дадена точка.

Забележка 2.1.Ако функцията U(x,y) е функция на две променливи, тогава векторът

(2.3)

лежи в окси равнината.

Нека U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) са диференцируеми в точката M 0 (x,y,z) функции. Тогава важат следните равенства:

а) grad()= ; б) град(УВ)=ВградУ+УградВ;

в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) град = , V ;

д) gradU( = gradU, където , U=U() има производна по отношение на .

Пример 2.1.Дадена е функцията U=x 2 +y 2 +z 2. Определете градиента на функцията в точка M(-2;3;4).

Решение.Съгласно формула (2.2) имаме

Повърхнините на нивото на това скаларно поле са семейството от сфери x 2 +y 2 +z 2 , векторът gradU=(-4;6;8) е нормалният вектор на равнините.

Пример 2.2.Намерете градиента на скаларното поле U=x-2y+3z.

Решение.Съгласно формула (2.2) имаме

Повърхнините на нивото на дадено скаларно поле са равнини

x-2y+3z=C; векторът gradU=(1;-2;3) е нормалният вектор на равнините от това семейство.

Пример 2.3.Намерете най-голямата стръмност на издигането на повърхността U=x y в точка M(2;2;4).

Решение.Ние имаме:

Пример 2.4.Намерете единичния нормален вектор към повърхността на нивото на скаларното поле U=x 2 +y 2 +z 2 .

Решение.Нивелираните повърхности на дадена скаларна полева сфера x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Градиентът е насочен нормално към равната повърхност, така че

Определя нормалния вектор към повърхността на нивото в точка M(x,y,z). За единичен нормален вектор получаваме израза

, Където

Пример 2.5.Намерете градиента на полето U= , където и са постоянни вектори, r е радиус векторът на точката.

Решение.Позволявам

Тогава:
. По правилото за диференциране на детерминанта получаваме

следователно

Пример 2.6.Намерете градиента на разстоянието, където P(x,y,z) е изследваната точка на полето, P 0 (x 0,y 0,z 0) е някаква фиксирана точка.

Решение.Имаме единичен вектор на посоката.

Пример 2.7.Намерете ъгъла между градиентите на функциите в точката M 0 (1,1).

Решение.Намираме градиентите на тези функции в точката M 0 (1,1), имаме

; Ъгълът между gradU и gradV в точка M 0 се определя от равенството

Следователно =0.

Пример 2.8.Намерете производната по посока, на която е равен радиус векторът

(2.4)

Решение.Намерете градиента на тази функция:

Замествайки (2.5) в (2.4), получаваме

Пример 2.9.Намерете в точка M 0 (1;1;1) посоката на най-голямата промяна в скаларното поле U=xy+yz+xz и величината на тази най-голяма промяна в тази точка.

Решение.Посоката на най-голямото изменение на полето се обозначава с вектора grad U(M). Намираме го:

А това означава... Този вектор определя посоката на най-голямото увеличение на това поле в точка M 0 (1;1;1). Големината на най-голямата промяна на полето в тази точка е равна на

Пример 3.1.Намерете векторни линии на векторно поле където е постоянен вектор.

Решение.Имаме така че

(3.3)

Умножете числителя и знаменателя на първата дроб по x, на втората по y, на третата по z и добавете член по член. Използвайки свойството на пропорциите, получаваме

Следователно xdx+ydy+zdz=0, което означава

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Сега като умножим числителя и знаменателя на първата дроб (3.3) по c 1, втората по c 2, третата по c 3 и добавим член по член, получаваме

Където от 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

И следователно с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.

Необходимите уравнения на векторни прави

Тези уравнения показват, че векторните линии се получават от пресичането на сфери с общ център в началото с равнини, перпендикулярни на вектора . От това следва, че векторните прави са окръжности, чиито центрове са на права линия, минаваща през началото по посока на вектор c. Равнините на окръжностите са перпендикулярни на посочената права.

Пример 3.2.Намерете линия на векторно поле минаваща през точката (1,0,0).

Решение.Диференциални уравнения на векторни прави

следователно имаме . Решаване на първото уравнение. Или ако въведем параметъра t, тогава ще имаме В този случай уравнението приема формата или dz=bdt, откъдето z=bt+c 2.