Намиране на най-малкото общо кратно: методи, примери за намиране на LCM. Общ делител и кратно

Най-голям общ делител

Определение 2

Ако естествено число a се дели на естествено число $b$, тогава $b$ се нарича делител на $a$, а числото $a$ се нарича кратно на $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича общ делител на $a$ и $b$.

Множеството от общи делители на числата $a$ и $b$ е крайно, тъй като никой от тези делители не може да бъде по-голям от $a$. Това означава, че сред тези делители има най-голям, който се нарича най-голям общ делител на числата $a$ и $b$ и се обозначава със следните обозначения:

$GCD\(a;b)\ или \D\(a;b)$

За да намерите най-големия общ делител на две числа, трябва:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

Пример 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които са включени в разширението на тези числа

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$GCD=2\cdot 11=22$

Пример 2

Намерете НОД на мономите $63$ и $81$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ние избираме числата, които са включени в разширението на тези числа

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ делител.

$GCD=3\cdot 3=9$

Можете да намерите gcd на две числа по друг начин, като използвате набор от делители на числа.

Пример 3

Намерете НОД на числата $48$ и $60$.

Решение:

Нека намерим множеството от делители на числото $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Сега нека намерим множеството от делители на числото $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - това множество ще определи множеството от общи делители на числата $48$ и $60 $. Най-големият елемент в този набор ще бъде числото $12$. Това означава, че най-големият общ делител на числата $48$ и $60$ е $12$.

Дефиниция на NPL

Определение 3

Обикновени кратни на естествени числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригиналните числа без остатък. Например за числата $25$ и $50$ общите кратни ще бъдат числата $50,100,150,200$ и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малко общо кратно и ще се обозначава като LCM$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да намерите LCM на две числа, трябва:

1. Разложете числата на прости множители
2. Запишете множителите, които са част от първото число и добавете към тях множителите, които са част от второто и не са част от първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $99$ и $77$.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Разложете числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Запишете факторите, включени в първия

добавете към тях множители, които са част от втория, а не част от първия

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаното най-малко общо кратно

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Съставянето на списъци с делители на числа често е много трудоемка задача. Има начин да се намери GCD, наречен Евклидов алгоритъм.

Изявления, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Ако $a$ и $b$ са естествени числа, така че $b

Използвайки $D(a;b)= D(a-b;b)$, можем последователно да намаляваме разглежданите числа, докато достигнем двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде търсеният най-голям общ делител за числата $a$ и $b$.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
2. Ако $a\vdots b$ , тогава К$(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$ е естествено число, тогава K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е общ делител за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ и $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е общото кратно на $a$ и $b$

За всякакви естествени числа $a$ и $b$ равенството е в сила

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Всеки общ делител на числата $a$ и $b$ е делител на числото $D(a;b)$

Нека продължим разговора за най-малкото общо кратно, което започнахме в раздела „LCM - най-малко общо кратно, определение, примери.“ В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа и ще разгледаме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD

Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да определяме LCM чрез GCD. Първо, нека разберем как да направим това за положителни числа.

Определение 1

Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Пример 1

Трябва да намерите LCM на числата 126 и 70.

Решение

Да вземем a = 126, b = 70. Нека заместим стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .

Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от евклидовия алгоритъм: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, следователно НОД (126 , 70) = 14 .

Нека изчислим LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Отговор: LCM(126, 70) = 630.

Пример 2

Намерете числото 68 и 34.

Решение

GCD в този случай не е трудно да се намери, тъй като 68 се дели на 34. Нека изчислим най-малкото общо кратно по формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Отговор: LCM(68, 34) = 68.

В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Сега нека разгледаме метода за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числа на прости множители.

Определение 2

За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:

• съставяме произведението на всички прости множители на числата, за които трябва да намерим LCM;
• ние изключваме всички прости множители от техните резултатни продукти;
• произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.

Този метод за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b). Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разлагането на тези две числа. В този случай gcd ​​на две числа е равна на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.

Пример 3

Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разложим, както следва: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Ако съставите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.

Пример 4

Намерете LCM на числата 441 И 700 , разлагайки двете числа на прости множители.

Решение

Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7.

Продуктът на всички фактори, участвали в разлагането на тези числа, ще има формата: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общи множители. Това е числото 7. Нека го изключим от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Отговор: LOC(441, 700) = 44 100.

Нека дадем друга формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители.

Определение 3

Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:

• Нека разделим двете числа на прости множители:
• добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
• получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.

Пример 5

Да се ​​върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5И 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3, 5 и 5 числата 75 добавете липсващите множители 2 И 7 номера 210. Получаваме: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.

Пример 6

Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.

Решение

Нека разделим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7И 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Нека добавим към произведението множителите 2, 2, 3 и 7 числа 84 липсващи множители 2, 3, 3 и
3 номера 648. Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Отговор: LCM(84, 648) = 4536.

Намиране на LCM на три или повече числа

Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: ние последователно ще намерим LCM на две числа. Има теорема за този случай.

Теорема 1

Да приемем, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kтези числа се намират чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи за решаване на конкретни проблеми.

Пример 7

Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четири числа 140, 9, 54 и 250 .

Решение

Нека въведем обозначението: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Нека приложим алгоритъма на Евклид, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Получаваме: НОД (140, 9) = 1, НОД (140, 9) = 140 9: НОД (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1,260.

Сега нека изчислим, използвайки същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). По време на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.

Просто трябва да изчислим m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Следваме същия алгоритъм. Получаваме m 4 = 94 500.

LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.

Отговор: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.

Определение 4

Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:

• разлагаме всички числа на прости множители;
• към произведението на множителите на първото число добавяме липсващите множители от произведението на второто число;
• към продукта, получен на предишния етап, добавяме липсващите фактори на третото число и т.н.;
• полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.

Пример 8

Трябва да намерите LCM на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение

Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. прости числа, което е числото 7, не може да бъде разложено на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.

Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.

Продължаваме да добавяме липсващите множители. Нека преминем към числото 48, от произведението на чиито прости множители вземаме 2 и 2. След това добавяме простия множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на първоначалните пет числа.

Отговор: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа

За намиране на най-малкото общо кратно отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак и след това изчисленията трябва да се извършат с помощта на горните алгоритми.

Пример 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) и LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Такива действия са допустими поради факта, че ако приемем това аИ − а– противоположни числа,
тогава наборът от кратни на число асъответства на набора от кратни на число − а.

Пример 10

Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 И − 45 .

Решение

Да заменим числата − 145 И − 45 към техните противоположни числа 145 И 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, като преди това сме определили GCD с помощта на Евклидовия алгоритъм.

Получаваме, че LCM на числата е − 145 и − 45 равно на 1 305 .

Отговор: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Второ число: b=

Разделител за хилядниБез разделител за интервал „´

Резултат:

Най-голям общ делител gcd( а,b)=6

Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468

Нарича се най-голямото естествено число, което може да се дели без остатък на числата a и b най-голям общ делител(GCD) от тези числа. Означава се с gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Най-малко общо кратноНОК на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).

Целите числа a и b се наричат взаимно прости, ако нямат общи делители, различни от +1 и −1.

Най-голям общ делител

Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общият делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще се разбира като цяло число.

Позволявам а 1 ≥ а 2 и нека

Където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).

Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2 тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Тест за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общият делител а 2 и а 3. Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3 тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също се дели на λ . Следователно общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1, тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общия делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-простата задача за намиране на общия делител на числата а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3. Тогава

,

Където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 съвпада с общи делители на числа а 2 и а 3, а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... са числа, които непрекъснато намаляват и тъй като между тях има краен брой цели числа а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2 =0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител на числата а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (запомнете това а n+2 =0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n+1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се извиква най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 може да бъде положително или отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа е недефиниран.

Горният алгоритъм се извиква Евклидов алгоритъмда се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа

Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

В стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 са делители и на числата 630 и 434.

Взаимопрости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимнопрости числа, без общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 взаимно прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ И а 2 .

Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числата а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е а n+1 =1.

Нека умножим всички тези равенства по λ , Тогава

.

Нека общият делител а 1 λ И а 2 да δ . Тогава δ се включва като множител в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ се включва като множител в а 2 λ И м 2 а 3 λ , и следователно е фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Разсъждавайки по този начин, ние сме убедени, че δ се включва като множител в а n−1 λ И м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ се включва като множител в λ . Следователно броят δ е общият делител на числата λ И а 2 .

Нека разгледаме специални случаи на теорема 1.

Последица 1. Позволявам аИ ° СПростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.

Наистина ли. От теорема 1 акИ bимат същите общи делители като ° СИ b. Но числата ° СИ bотносително проста, т.е. имат един общ делител 1. Тогава акИ bсъщо имат един общ делител 1. Следователно акИ bвзаимно прости.

Последица 2. Позволявам аИ bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.

Наистина ли. От условието за одобрение акИ bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bИ к. Следователно bразделя к.

Следствие 1 може да се обобщи.

Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, произведението на тези числа е просто по отношение на числото b.

2. Нека имаме два реда числа

така че всяко число от първата серия е просто в отношението на всяко число от втората серия. След това продуктът

Трябва да намерите числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако едно число се дели на а 1, то има формата са 1 където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

Където с 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко общи кратни на числа а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:

Трябва да намерим най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε И а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε И а 3 да ε 1 . След това кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и а 4 . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 да ε 2. Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на определено число ε n, което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В специалния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Следваща, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2 тогава а 3 просто число а 1 · а 2 (следствие 1). Означава най-малкото общо кратно на числа а 1 ,а 2 ,а 3 е число а 1 · а 2 · а 3. Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група числа е най-малкото число, което се дели на всяко число в групата, без да оставя остатък. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадени числа. LCM може също да се изчисли с помощта на редица други методи, които се прилагат към групи от две или повече числа.

стъпки

Серии от кратни

Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-малко от 10. Ако са дадени по-големи числа, използвайте различен метод.

• Например, намерете най-малкото общо кратно на 5 и 8. Това са малки числа, така че можете да използвате този метод.

1. Кратно е число, което се дели на дадено число без остатък. Множествата могат да бъдат намерени в таблицата за умножение.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два набора от числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общото число. Най-малкото число, което присъства и в двата набора от кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е числото 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

   Разлагане на прости множители

   1. Вижте тези числа.Описаният тук метод се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-голямо от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че можете да използвате този метод.

   2. Разложете първото число на прости множители.Тоест, трябва да намерите такива прости числа, които при умножаване ще дадат дадено число. След като намерите простите множители, запишете ги като равенства.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\умножено по 10=20)И 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\пъти (\mathbf (5) )=10). Така простите множители на числото 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

   3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както разложихте първото число, тоест намерете такива прости числа, които, когато се умножат, ще дадат даденото число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)И 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

   4. Запишете множителите, общи за двете числа.Запишете такива множители като операция за умножение. Докато пишете всеки множител, задраскайте го и в двата израза (изрази, които описват разлагане на числа на прости множители).

      • Например, двете числа имат общ множител 2, така че напишете 2 × (\displaystyle 2\times )и задраскайте 2 в двата израза.
      • Общото между двете числа е друг множител на 2, така че пишете 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)и задраскайте второто 2 в двата израза.

   5. Добавете останалите множители към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\пъти 2\пъти 5)Двете две (2) са зачеркнати, защото са общи множители. Коефициентът 5 не е зачеркнат, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\пъти 7\пъти 3\пъти 2)и двете две (2) също са зачеркнати. Коефициентите 7 и 3 не са зачеркнати, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в операцията за писмено умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\пъти 2\пъти 5\пъти 7\пъти 3=420). Така че най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

   Намиране на общи множители

   1. Начертайте решетка като за игра на тик-так-палец.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с други две успоредни линии. Това ще ви даде три реда и три колони (мрежата изглежда много като иконата #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

      • Например, намерете най-малкото общо кратно на числата 18 и 30. Напишете числото 18 на първия ред и втората колона и напишете числото 30 на първия ред и третата колона.

   2. Намерете общия делител на двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да търсите основни множители, но това не е изискване.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им множител е 2. Затова напишете 2 в първия ред и първата колона.

   3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че запишете 15 под 30.

   4. Намерете делителя, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай напишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

   5. Разделете всяко частно на неговия втори делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

   6. Ако е необходимо, добавете допълнителни клетки към мрежата.Повторете описаните стъпки, докато частните имат общ делител.

   7. Оградете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това запишете избраните числа като операция за умножение.

      • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение така: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5).

   8. Намерете резултата от умножението на числа.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на две дадени числа.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\пъти 3\пъти 3\пъти 5=90). Така че най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

   Алгоритъм на Евклид

   1. Запомнете терминологията, свързана с операцията деление.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава, когато две числа се делят.

      • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ост. 3:
        15 е дивидентът
        6 е делител
        2 е частно
        3 е остатъкът.

На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често има проблеми със следната формулировка: има две значения. Как да намерим най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби с различни знаменатели. В тази статия ще разгледаме как да намерим LOC и основните понятия.

Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествено. Най-често формулировката на тази концепция звучи така: кратно на определена стойност А е естествено число, което ще се дели без остатък на А. Така че за 4 кратните ще бъдат 8, 12, 16, 20, и така нататък до необходимия лимит.

В този случай броят на делителите за конкретна стойност може да бъде ограничен, но кратните са безкрайно много. Същата стойност има и за природните ценности. Това е показател, който се разделя на тях без остатък. След като разбрахме концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.

Намиране на НОК

Най-малкото кратно на два или повече показателя е най-малкото естествено число, което се дели изцяло на всички посочени числа.

Има няколко начина да намерите такава стойност, разгледайте следните методи:

1. Ако числата са малки, запишете на един ред всички, които се делят на него. Продължете да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. Писмено те се означават с буквата К. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
2. Ако те са големи или трябва да намерите кратно на 3 или повече стойности, тогава трябва да използвате друга техника, която включва разлагане на числа на прости множители. Първо поставете най-големия от списъка, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия подчертайте факторите и ги добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
3. При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. В разгръщането на най-голямото не са включени само две двойки от разгръщането на числото 16. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за предварително посочените числени стойности.

Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помагащи за търсене на NOC, ако предишните не помогнат.

Как да намерите GCD и NOC.

Частни методи за намиране

Както при всеки математически раздел, има специални случаи за намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:

• ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (НКМ на 60 и 15 е 15);
• относително простите числа нямат общи прости множители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 ще бъде 56;
• същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализирана литература. Това трябва да включва и случаи на разлагане на съставни числа, които са тема на отделни статии и дори на кандидатски дисертации.

Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да се научите да работите с фракции с различна степен на сложност. Това важи особено за дробите, където има неравни знаменатели.

Малко примери

Нека да разгледаме няколко примера, които ще ви помогнат да разберете принципа за намиране на най-малкото кратно:

1. Намерете LOC (35; 40). Първо разлагаме 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавете 8 към най-малкото число и вземете LOC 280.
2. НОК (45; 54). Разлагаме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме LCM равно на 270.
3. Е, последният пример. Има 5 и 4. Няма прости кратни на тях, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде тяхното произведение, което е равно на 20.

Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какъв е смисълът на такива манипулации.

Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда първоначално. За да направите това, се използват както просто разширение, така и умножение на прости стойности помежду си. Умението да работите с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено на дроби с различна степен на сложност.

Не забравяйте периодично да решавате примери с различни методи; това развива логическия ви апарат и ви позволява да запомните много термини. Научете как да намирате такъв степенен показател и ще можете да се справите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете и запомните как да намерите най-малкото общо кратно.