Свободни затихващи трептения.

Намаляването на енергията на трептящата система води до постепенно намаляване на амплитудата на трептенията, т.к.

В този случай те казват това вибрациите изчезват .

Подобна ситуация възниква в осцилаторна верига. Истинската намотка, която е част от верига, винаги има активно съпротивление. Когато токът протича през активното съпротивление на намотката, ще се освободи Джаулова топлина. Енергията на веригата ще намалее, което ще доведе до намаляване на амплитудата на колебанията на заряда, напрежението и тока.

Нашата задача– разберете по какъв закон намалява амплитудата на трептенията, по какъв закон се променя самата осцилираща величина, с каква честота възникват затихнали трептения, за колко време трептенията „угасват“.

§1 Затихване на трептенията в системи с вискозно триене

Нека разгледаме една осцилаторна система, в която действа силата на вискозното триене.Пример за такава осцилаторна система е математическо махало, което трепти във въздуха.

В този случай, когато системата е извадена от равновесно положение от

върху махалото ще действат две сили: квазиеластична сила и сила на съпротивление (сила на вискозно триене).

Вторият закон на Нютон ще бъде записан, както следва:

(1)

Знаем, че при ниски скорости силата на вискозното триене е пропорционална на скоростта на движение:

Тогава уравнение (2) ще приеме формата:

получаваме уравнението на движението в следния вид:

(3)

където d е коефициентът на затихване, той зависи от коефициента на триене r,

w 0 - циклична честота на идеални трептения (при липса на триене).

Преди да решите уравнение (3), разгледайте колебателната верига. Активното съпротивление на бобината е свързано последователно с капацитет C и индуктивност L.

Нека напишем втория закон на Кирхоф

Нека вземем предвид, че , .

Тогава вторият закон на Кирхоф ще приеме формата:

Нека разделим двете страни на уравнението на:

Нека въведем нотацията

Накрая получаваме

Обърнете внимание на математическата идентичност диференциални уравнения(3) и (3’). Няма нищо изненадващо. Вече показахме абсолютната математическа идентичност на процеса на трептене на махалото и електромагнитни вибрациивъв веригата. Очевидно процесите на гасене на вибрациите във верига и в системи с вискозно триене също протичат по същия начин.

Решавайки уравнение (3), ще получим отговори на всички въпроси, поставени по-горе.

Тогава за желаното уравнение (3) получаваме крайния резултат

Лесно е да се види, че зарядът на кондензатор в реална осцилираща верига ще се промени според закона

Анализ на получения резултат:

1 В резултат на комбинираното действие на квазиеластична сила и съпротивителна сила, системата Може би направете трептящо движение. За това трябва да е изпълнено условието w 0 2 - d 2 > 0. С други думи, триенето в системата трябва да е малко.

2 Честотата на затихналите трептения w не съвпада с честотата на трептенията на системата при липса на триене w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . С течение на времето честотата на затихналите трептения остава непроменена.

Ако коефициентът на затихване d е малък, тогава честотата на затихващите трептения е близка до естествената честота w 0 .

4 Ако w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Където .

Чрез директно заместване е лесно да се провери, че функция (4) наистина е решение на уравнение (3). Очевидно сумата от две експоненциални функции не е такава периодична функция. От физическа гледна точка това означава, че в системата няма да възникнат трептения. След като системата бъде извадена от равновесно положение, тя бавно ще се върне в него. Този процес се нарича апериодичен .

§2 Колко бързо затихват трептенията в системи с вискозно триене?

Намаляване на затихването

За електрическите трептения във веригата коефициентът на затихване зависи от параметрите на намотката: колкото по-голямо е активното съпротивление на намотката, толкова по-бързо намаляват амплитудите на заряда на кондензатора, напрежението и тока.

Функцията е произведение на намаляваща експоненциална функция и хармонична функция, така че функцията не е хармонична. Но има определена степен на „повторение“, която се състои в това, че максимумите, минимумите и нулите на функцията се появяват на равни интервали от време. Графиката на функцията е синусоида, ограничена до две експоненти.

Моля, обърнете внимание, че резултатът не зависи от това кои два последователни периода смятате - в началото на осцилаторното движение или след известно време. За всеки период амплитудата на трептенията се променя не със същата сума, но същия брой пъти !!

Не е трудно да се види това за всякакви различни периоди от време амплитудата на затихналите трептения намалява с еднакъв брой пъти.

Време за релаксация

Времето за релаксация се нарича време, през което амплитудата на затихналите трептения намалява с e пъти:

Тогава .

От тук е лесно да се инсталира физически смисълкоефициент на затихване:

По този начин коефициентът на затихване е реципрочната стойност на времето за релаксация. Нека, например, в осцилаторна верига коефициентът на затихване е равен на . Това означава, че след време c амплитудата на трептенията ще намалее с дведнъж.

Логаритмичен декремент на затихване

Често скоростта на затихване на трептенията се характеризира с логаритмичен декремент на затихване. За да направите това, вземете натурален логаритъм от отношението на амплитудите, разделени от период от време в период.

Нека разберем физическия смисъл на логаритмичния декремент на затихване.

Нека N е броят на трептенията, извършени от системата по време на времето за релаксация, т.е. броят на трептенията, по време на които амплитудата на трептенията намалява с дведнъж. Очевидно, .

Вижда се, че логаритмичният декремент на затихване е реципрочната стойност на броя на трептенията, след което амплитудата намалява с дведнъж.

Да речем, това означава, че след 100 трептения амплитудата ще намалее с дведнъж.

Качествен фактор на трептящата система

В допълнение към логаритмичния декремент на затихване и времето за релаксация, скоростта на затихване на трептенията може да се характеризира с такава стойност като качествен фактор на осцилаторната система . Под фактора качество

Енергията на трептящата система в произволен момент от времето е равна на . Загубата на енергия за период може да се намери като разликата между енергията в даден момент и енергията след време, равно на периода:

Тогава

Експоненциалната функция може да бъде разширена в серия при<< 1. после подстановки получаем .

Наложихме ограничение за теглене<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Формулите, които получихме за коефициента на качество на системата, все още не казват нищо. Да кажем, че изчисленията дават стойност на качествен фактор Q = 10. Какво означава това? Колко бързо се разпадат вибрациите? Добре ли е или лошо?

Можем да отговорим на въпроса, зададен по-рано: N = 8.

Коя осцилаторна система е по-добра - с висок или нисък качествен фактор? Отговорът на този въпрос зависи от това какво искате да получите от осцилиращата система.

Ако искате системата да направи възможно най-много трептения, преди да спре, трябва да се увеличи качественият фактор на системата. как? Тъй като качественият фактор се определя от параметрите на самата осцилаторна система, е необходимо тези параметри да бъдат избрани правилно.

Например, махалото на Фуко, инсталирано в катедралата Св. Исак, трябваше да извършва слабо затихващи трептения. Тогава

Най-лесният начин да увеличите качествения фактор на махалото е да го направите по-тежък.

На практика често възникват обратни проблеми: необходимо е възможно най-бързо да се потушат възникналите вибрации (например вибрации на стрелка на измервателен уред, вибрации на каросерия на автомобил, вибрации на кораб и др.). които позволяват увеличаване на затихването в системата, се наричат ​​амортисьори (или амортисьори). Например автомобилен амортисьор, в първо приближение, е цилиндър, пълен с масло (вискозна течност), в който може да се движи бутало с множество малки дупки. Буталният прът е свързан с тялото, а цилиндърът е свързан с оста на колелото. Възникналите вибрации на тялото бързо изчезват, тъй като движещото се бутало среща голямо съпротивление по пътя си от вискозната течност, изпълваща цилиндъра.

§ 3 Демпфиране на вибрации в системи със сухо триене

Затихването на трептенията става по принципно различен начин, ако в системата действа силата на триене на плъзгане. Именно това кара пружинното махало, което се колебае по всяка повърхност, да спре.

Имайте предвид, че по време на движение отляво надясно силата на триене е постоянна по посока и големина.

Това ни позволява да твърдим, че през първата половина на периода пружинното махало е в постоянно силово поле.

При движение в обратна посока - от дясно на ляво - силата на триене ще промени посоката си, но по време на целия преход тя ще остане постоянна по големина и посока. Тази ситуация отново съответства на трептенията на махало в постоянно силово поле. Само сега това поле е различно! Промени посоката. Следователно позицията на равновесие при движение отдясно наляво също се промени. Сега той се е изместил надясно с количество D л 0 .

Нека изобразим зависимостта на координатите на тялото от времето. Тъй като за всяка половина от периода движението е хармонично трептене, графиката ще представлява половини от синусоиди, всяка от които е начертана спрямо нейното равновесно положение. Ние ще извършим операцията „сглобяване на решения“.

Нека да покажем как става това с конкретен пример.

Нека масата на товара, прикрепен към пружината, е 200 g, твърдостта на пружината е 20 N/m, а коефициентът на триене между товара и повърхността на масата е 0,1. Махалото беше приведено в трептящо движение, разтягайки пружината

За разлика от осцилаторните системи с вискозно триене, при системите със сухо триене амплитудата на трептенията намалява с течение на времето по линеен закон - за всеки период тя намалява с две ширини на зоната на застой.

Друга отличителна черта е, че трептенията в системите със сухо триене дори теоретично не могат да възникнат безкрайно дълго. Те спират веднага щом тялото спре в „зоната на застой“.

§4 Примери за решаване на задачи

Проблем 1 Характерът на промяната в амплитудата на затихналите трептения в системи с вискозно триене

Амплитудата на затихналите трептения на махалото за време t 1 = 5 min намалява 2 пъти. През колко време t 2 амплитудата на трептенията ще намалее 8 пъти? След колко време t 3 можем да считаме, че махалото е спряло да трепти?

Решение:

Амплитудата на трептенията в системи с вискозно триене във времето

нито намалява експоненциално, където е амплитудата на трептенията в началния момент от време, а е коефициентът на затихване.

1 Записваме закона за промяна на амплитудата два пъти

2 Решаваме уравненията заедно. Логаритмуваме всяко уравнение и получаваме

Разделете второто уравнение, а не първото, и намерете времето t 2

4

След трансформациите получаваме

Разделете последното уравнение на уравнение (*)

Задача 2 Период на затихнали трептения в системи с вискозно триене

Определете периода на затихналите трептения на системата T, ако периодът на собствените трептения е T 0 = 1 s, а логаритмичният декремент на затихване е . Колко трептения ще направи тази система, преди да спре напълно?

Решение:

1 Периодът на затихналите трептения в система с вискозно триене е по-голям от периода на собствените трептения (при липса на триене в системата). Честотата на затихналите трептения, напротив, е по-малка от естествената честота и е равна на , където е коефициентът на затихване.

2 Нека изразим цикличната честота чрез период. и вземете предвид, че логаритмичният декремент на затихване е равен на:

3 След трансформации получаваме .

Енергията на системата е равна на максималната потенциална енергия на махалото

След трансформациите получаваме

5 Изразяваме коефициента на затихване чрез логаритмичен декремент, получаваме

Броят трептения, които системата ще направи, преди да спре, е равен на

Задача 3 Броят трептения, извършени от махалото, докато амплитудата се намали наполовина

Логаритмичният декремент на затихване на махалото е q = 3×10 -3. Определете броя на пълните трептения, които махалото трябва да направи, за да намалее амплитудата на неговите трептения наполовина.

Решение:

3 Лесно се вижда, че това е логаритмичният декремент на затихване. Получаваме

Намиране на броя на трептенията

Задача 4 Добротност на трептящата система

Определете коефициента на доброта на махалото, ако за времето, през което са направени 10 трептения, амплитудата е намаляла 2 пъти. Колко време ще отнеме махалото да спре?

Решение:

1 Амплитудата на трептенията в системи с вискозно триене намалява експоненциално с времето, където е амплитудата на трептенията в началния момент от време, а е коефициентът на затихване.

Тъй като амплитудата на трептенията намалява с коефициент 2, получаваме

2 Времето на трептене може да бъде представено като произведение на периода на трептене и техния брой:

Заместете получената времева стойност в израза (*)

3 Лесно се вижда, че това е логаритмичният декремент на затихване. Получаваме логаритмичния декремент на затихване, равен на

4 Качествен фактор на трептящата система

Енергията на системата е равна на максималната потенциална енергия на махалото

След трансформациите получаваме

Намерете времето, след което трептенията ще спрат .

Задача 5 Трептения на магнита

Вася Лисичкин, известен експериментатор в цялото училище, реши да накара магнитната фигурка на любимия му литературен герой Колобок да вибрира по стената на хладилника. Той закрепи фигурата към пружина с твърдост k = 10 N/m, разтегна я с 10 cm и я освободи. Колко трептения ще направи Колобок, ако масата на фигурката е m = 10 g, коефициентът на триене между фигурката и стената е μ = 0,4 и може да се откъсне от стената със сила F = 0,5 N.

Решение:

1 При движение от най-ниско към най-високо положение, когато скоростта на товара е насочена нагоре, силата на триене при плъзгане е насочена надолу и е числено равна . По този начин пружинното махало е в постоянно силово поле, създадено от силите на гравитацията и триенето. В постоянно силово поле равновесното положение на махалото се измества:

където е опъването на пружината в новото „равновесно положение“.

2 При движение от най-високо към най-ниско положение, когато скоростта на товара е насочена надолу, силата на триене при плъзгане е насочена нагоре и е числено равна . Така пружинното махало отново е в постоянно силово поле, създадено от силите на гравитацията и триенето. В постоянно силово поле равновесното положение на махалото се измества:

където е деформацията на пружината в новото „равновесно положение“, знакът „-“ показва, че в това положение пружината е компресирана.

3 Зоната на застой е ограничена от деформации на пружината от - 1 см до 3 см и възлиза на 4 см. Средата на зоната на застой, в която деформацията на пружината е 1 см, съответства на положението на товара, в което няма сила на триене. В зоната на застой еластичната сила на пружината е по-малка от резултантната сила в модул максимална сила на статично триенеи гравитацията. Ако махалото спре в зоната на застой, трептенията спират.

4 За всеки период деформацията на пружината намалява с две ширини на зоната на застой, т.е. с 8 см. След едно трептене деформацията на пружината ще стане равна на 10 см - 8 см = 2 см. Това означава, че след едно трептене фигурката Колобок навлиза в зоната на застой и нейните трептения спират.

§5 Задачи за самостоятелно решаване

Тест "Затихващи трептения"

1 Под затихване на трептенията имаме предвид...

А) намаляване на честотата на трептене; Б) намаляване на периода на трептене;

Б) намаляване на амплитудата на трептенията; Г) намаляване на фазата на трептенията.

2 Причината за затихването на свободните трептения е

А) ефектът върху системата от случайни фактори, които инхибират колебанията;

Б) действието на периодично променяща се външна сила;

В) наличие на сила на триене в системата;

Г) постепенно намаляване на квазиеластичната сила, стремяща се да върне махалото в равновесно положение.

А) 5 см; Б) 4 см; Б) 3 см;

Г) Не е възможно да се даде отговор, тъй като часът е неизвестен.

6 Две еднакви махала, намиращи се в различни вискозни среди, трептят. Амплитудата на тези трептения се променя с времето, както е показано на фигурата. В коя среда има по-голямо триене?

7 Две махала, намиращи се в еднаква среда, трептят. Амплитудата на тези трептения се променя с времето, както е показано на фигурата. Кое махало има най-голяма маса?

В) Невъзможно е да се даде отговор, тъй като координатните оси не са мащабирани и не могат да се извършват изчисления.

8 Коя фигура правилно показва зависимостта от времето на координатите на затихналите трептения в система с вискозно триене?

А) 1; Б) 2; AT 3; Г) Всички графики са правилни.

9 Установете съответствие между физическите величини, характеризиращи затихването на трептенията в системи с вискозно триене, и тяхното определение и физическо значение. Попълнете таблицата

А) Това е отношението на амплитудите на трептенията след време, равно на периода;

B) Това е натурален логаритъм от съотношението на амплитудите на трептенията след време, равно на периода;

Б) Това е времето, през което амплитудата на трептенията намалява д веднъж;

G) Д) Д)

G) Тази стойност е реципрочната на броя трептения, по време на които амплитудата на трептенията намалява в д веднъж;

З) Тази стойност показва колко пъти намалява амплитудата на трептенията за време, равно на периода на трептенията.

10 Направете правилно твърдение.

Добро качество означава...

А) съотношението на общата енергия на системата E към енергията W, разсеяна през периода, увеличена с 2p пъти;

Б) отношението на амплитудите след период от време, равен на периода;

В) броя на трептенията, които системата прави до момента, в който амплитудата намалее с e пъти.

Коефициентът на качество се изчислява по формулата...

а) Б) В)

Коефициентът на качество на една осцилаторна система зависи от...

А) енергия на системата;

Б) енергийни загуби за периода;

В) параметри на трептящата система и триенето в нея.

Колкото по-висок е коефициентът на качество на осцилаторната система, толкова...

А) вибрациите затихват по-бавно;

Б) вибрациите затихват по-бързо.

11 Математическо махало се привежда в трептящо движение, което отклонява окачването от равновесното положение в първия случай с 15°, във втория с 10°. В кой случай махалото ще направи повече трептения, преди да спре?

A) Когато карданът е наклонен на 15°;

B) Когато карданът е наклонен на 10°;

В) И в двата случая махалото ще направи еднакъв брой трептения.

12 топки с еднакъв радиус - алуминий и мед - бяха прикрепени към две нишки с еднаква дължина. Махалата се привеждат в трептящо движение, като се отклоняват под еднакви ъгли. Кое махало ще направи най-много трептения преди да спре?

А) алуминий; Б) Мед;

В) И двете махала ще направят еднакъв брой трептения.

13 Пружинно махало, разположено върху хоризонтална повърхност, се заклати, разтягайки пружината с 9 см. След извършване на три пълни трептения, махалото се озова на разстояние 6 см от положението на недеформираната пружина. На какво разстояние от положението на недеформираната пружина ще бъде махалото след следващите три трептения?

А) 5 см; Б) 4 см; Б) 3 см.

Затихващи трептения

Затихващи трептения на пружинно махало

Затихващи трептения- вибрации, чиято енергия намалява с времето. В природата е невъзможен безкрайно продължителен процес на видовете. Свободните трептения на всеки осцилатор рано или късно избледняват и спират. Следователно на практика обикновено имаме работа със затихнали трептения. Те се характеризират с това, че амплитудата на трептенията Ае намаляваща функция. Обикновено затихването настъпва под въздействието на съпротивителните сили на средата, изразяващи се най-често като линейна зависимост от скоростта на трептене или нейния квадрат.

В акустиката: затихване - намаляване нивото на сигнала до пълна нечуваемост.

Затихващи трептения на пружинно махало

Нека има система, състояща се от пружина (подчинена на закона на Хук), единият край на която е неподвижно фиксиран, а от другата има тяло с маса м. Трептения възникват в среда, където съпротивителната сила е пропорционална на скоростта с коефициент ° С(виж вискозно триене).

Чиито корени се изчисляват по следната формула

Решения

В зависимост от стойността на коефициента на затихване решението е разделено на три възможни варианта.

• Апериодичност

Ако , тогава има два реални корена и решението на диференциалното уравнение приема формата:

В този случай трептенията затихват експоненциално от самото начало.

• Граница на апериодичност

Ако , два реални корена съвпадат и решението на уравнението е:

В този случай може да има временно увеличение, но след това експоненциален спад.

• Слабо затихване

Ако , тогава решението на характеристичното уравнение е два комплексно спрегнати корена

Тогава решението на първоначалното диференциално уравнение е

Къде е собствената честота на затихналите трептения.

Константите и във всеки случай се определят от началните условия:

Вижте също

• Намаляване на затихването

Литература

Лит.: Савелиев И.В., Курс по обща физика: Механика, 2001.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво са „затихнали трептения“ в други речници:

Затихващи трептения- Затихващи трептения. ЗАГУБЕНИ ВИБРАЦИИ, трептения, чиято амплитуда A намалява с течение на времето поради загуби на енергия: преобразуването на енергията на трептенията в топлина в резултат на триене в механични системи (например в точка на окачване... ... Илюстрован енциклопедичен речник

Собствени трептения, чиято амплитуда A намалява с времето t съгласно закона на експоненциала A(t) = Аоexp (?t) (? индикатор за затихване поради разсейване на енергия поради сили на вискозно триене за механични затихващи трептения и омични. .. ... Голям енциклопедичен речник

Трептения, чиято амплитуда постепенно намалява, напр. трептения на махало, изпитващо въздушно съпротивление и триене в окачването. Всички свободни вибрации, които се срещат в природата, са в по-голяма или по-малка степен Z.K. Electrical Z.K.... ...Морски речник

затихващи трептения- Механични трептения с намаляващи стойности на диапазона на обобщената координата или нейната производна по отношение на времето. [Сборник с препоръчителни термини. Брой 106. Механични вибрации. Академия на науките на СССР. Научно-технически комитет... ... Ръководство за технически преводач

Затихващи трептения- (ВИБРАЦИЯ) трептения (вибрация) с намаляващи стойности на люлеене... Руска енциклопедия по охрана на труда

Собствени трептения на системата, чиято амплитуда A намалява с времето t съгласно експоненциалния закон A(t) = A0exp(?α t) (α е индексът на затихване) поради разсейване на енергия поради сили на вискозно триене за механично затихване трептения и омични... ... енциклопедичен речник

Затихващи трептения- 31. Затихващи трептения Трептения с намаляващи стойности на люлеене Източник... Речник-справочник на термините на нормативната и техническата документация

Собствени трептения на системата, амплитудата A до ryx намалява с времето t съгласно експоненциалния закон A(t) = = Aoeхр(at) (индекс на затихване) поради разсейване на енергия поради силите на вискозно триене за механично. 3. до и омично съпротивление за електрически ... Естествени науки. енциклопедичен речник

затихващи трептения- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. затихнало трептене vok. gedämpfte Schwingung, ф рус. затихващи трептения, n пранц. аморти на трептения, f; осцилации décroissantes, f … Автоматичен терминų žodynas

затихващи трептения- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. затихващи трептения; гасени вибрации; умиращи трептения vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, ф рус. затихващи трептения, n пранц. колебания amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Всички реални трептящи системи са дисипативни. Енергията на механичните трептения на системата се изразходва с времето за работа срещу силите на триене, така че естествените трептения винаги се гасят - амплитудата им постепенно намалява. Загубата на енергия възниква и при деформации на тела, тъй като напълно еластични тела не съществуват, а деформациите на не напълно еластични тела се придружават от частичен преход на механична енергия в енергията на хаотично топлинно движение на частиците на тези тела.

В много случаи, като първо приближение, можем да приемем, че при ниски скорости на движение силите, причиняващи затихване на механичните вибрации, са пропорционални на големината на скоростта. Ще наричаме тези сили, независимо от техния произход, сили на триене или съпротивление и ще ги изчисляваме по следната формула: . Тук r е коефициентът на съпротивление на средата и е скоростта на тялото. Знакът минус показва, че силите на триене винаги са насочени в посока, обратна на посоката на движение на тялото.

Нека запишем уравнението на втория закон на Нютон за затихнали праволинейни трептения на пружинно махало

Тук: m е масата на товара, k е твърдостта на пружината, е проекцията на скоростта върху оста OX, е проекцията на ускорението върху оста OX. Нека разделим двете страни на уравнение (13) на маса m и го пренапишем във формата:

. (14)

Нека въведем следната нотация:

, (15)

. (16)

Нека го наречем коефициент на затихване, а преди това го нарекохме естествена циклична честота. Като се вземат предвид въведените обозначения (15 и 16), ще бъде написано уравнение (14).

. (17)

Това е диференциално уравнение на затихнали трептения от всякакъв характер. Видът на решението на това линейно диференциално уравнение от втори ред зависи от връзката между величината - собствената честота на незатихващите трептения и коефициента на затихване.

Ако триенето е много голямо (в този случай), тогава системата, извадена от равновесно положение, се връща към него, без да осцилира („пълзи“). Това движение (крива 2 на фиг. 3) се нарича апериодично.

Ако в началния момент система с голямо триене е в равновесно положение и й се придаде определена начална скорост, тогава системата достига най-голямото отклонение от равновесното положение, спира и след това преместването асимптотично клони към нула (фиг. 4).

Фиг.3 Фиг.4

Ако системата бъде извадена от равновесно положение при условието и освободена без начална скорост, тогава системата също не преминава равновесното положение. Но в този случай времето за практически подход към него се оказва по-малко, отколкото при високо триене (крива 1 на фиг. 3). Този режим се нарича критичен и се търси при използване на различни измервателни уреди (за най-бързо отчитане).

с ниско триене (в този случай), движението има колебателен характер (фиг. 5) и решението на уравнение (17) има формата:

(19)

описва промяна амплитуди на затихнали трептенияс време. Амплитудата на затихващите колебания намалява с течение на времето (фиг. 5) и колкото по-бързо, толкова по-висок е коефициентът на съпротивление и толкова по-малка е масата на осцилиращото тяло, т.е. толкова по-малка е инерцията на системата.

Размер

наречена циклична честота на затихващите трептения. Затихващите колебания са непериодични колебания, тъй като те никога не повтарят, например, максималните стойности на изместване, скорост и ускорение. Следователно тя може да се нарече честота само условно в смисъл, че показва колко пъти в секунда трептящата система преминава през равновесното положение. По същата причина стойността

(21)

може да се нарече условен период на затихнали трептения.

За да характеризираме затихването, въвеждаме следните величини:

Логаритмичен декремент на затихване;

Време за релаксация;

Добро качество.

Съотношението на всеки две последователни премествания, разделени във времето с един период, се нарича декремент на затихване.

Логаритмичен декремент на затихванее естественият логаритъм от съотношението на амплитудните стойности на затихналите трептения в моменти t и t+T (естественият логаритъм от съотношението на всеки две последователни премествания, разделени във времето с един период):

Тъй като и , тогава .

Нека използваме формулата за зависимостта на амплитудата от времето (19) и получаваме

Нека разберем физическия смисъл на количествата и . Нека означим с период от време, през който амплитудата на затихващите трептения намалява с фактор e и го наричаме време за релаксация. Тогава . следва, че

ГЛАВНА ИНФОРМАЦИЯ

трептениясе наричат ​​движения или процеси, които се характеризират с известна повторяемост във времето. Трептенията се наричат Безплатно, ако възникват поради първоначално придадената енергия при последващо отсъствие на външни въздействия върху трептящата система. Най-простият тип трептения са хармоничните трептения - трептения, при които осцилиращата величина се променя във времето според закона на синуса или косинуса.

Диференциалното уравнение на хармоничните трептения има формата:

където е осцилиращото количество и е цикличната честота.

е решението на това уравнение. Ето амплитудата и е началната фаза.

Фаза на трептене.

Амплитудата е максималната стойност на осцилиращо количество.

Периодът на трептене е периодът от време, през който движението на тялото се повтаря. Фазата на трептене се увеличава през периода. . , - брой трептения.

Честотата на трептене е броят на пълните трептения, извършени за единица време. . . Измерено в Херц (Hz).

Цикличната честота е броят на трептенията, извършвани за секунда. . Мерна единица .

Фазата на трептене е величина под знака на косинуса и характеризираща състоянието на трептящата система във всеки момент.

Начална фаза - фазата на трептенията в началния момент от времето. Фазата и началната фаза се измерват в радиани ().

Свободни затихващи трептения- трептения, чиято амплитуда намалява с времето поради загуби на енергия от реалната трептителна система. Най-простият механизъм за намаляване на енергията на вибрациите е нейното превръщане в топлина поради триене в механични осцилаторни системи, както и омични загуби и излъчване на електромагнитна енергия в електрическите осцилаторни системи.

- логаритмичен декремент на затихване.

величина N eе броят на трептенията, извършени през времето, през което амплитудата намалява дведнъж. Логаритмичният декремент на затихване е постоянна стойност за дадена осцилаторна система.

За характеризиране на една осцилаторна система се използва понятието качествен фактор Q, което за малки стойности на логаритмичния декремент е равно на

.

Коефициентът на качество е пропорционален на броя на трептенията, извършени от системата по време на времето за релаксация.

ОПРЕДЕЛЯНЕ НА КОЕФИЦИЕНТА НА ТРИЕНИЕ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА ВЪТРЕШЕНО МАХАЛО

Теоретична обосновка на метода за определяне на коефициента на триене

Наклоненото махало е топка, окачена на дълга нишка и лежаща върху наклонена равнина.

Ако топката се премести от нейното равновесно положение (ос О.О. 1) под ъгъл a и след това отпуснете, тогава махалото ще се колебае. В този случай топката ще се търкаля по наклонена равнина близо до равновесното положение (фиг. 1, а). Ще има сила на триене при търкаляне между топката и наклонената равнина. В резултат на това трептенията на махалото постепенно ще изчезнат, тоест ще се наблюдава намаляване на амплитудата на трептенията с течение на времето.

Може да се приеме, че силата на триене и коефициентът на триене при търкаляне могат да бъдат определени от величината на амортизиране на вибрациите.

Нека изведем формула, която свързва намаляването на амплитудата на трептене с коефициента на триене при търкаляне m. Когато топката се търкаля по равнина, силата на триене действа. Тази работа намалява общата енергия на топката. Общата енергия се състои от кинетична и потенциална енергия. В тези позиции, където махалото е максимално отклонено от равновесното положение, неговата скорост и следователно кинетичната енергия е нула.

Тези точки се наричат ​​повратни точки. При тях махалото спира, завърта се и се движи назад. В момента на въртене енергията на махалото е равна на потенциалната енергия, следователно намаляването на потенциалната енергия на махалото, докато се движи от една точка на завъртане до друга, е равно на работата на силата на триене по пътя между повратните точки.

Позволявам А- повратна точка (фиг. 1, а). В това положение нишката на махалото сключва ъгъл a с оста О.О. 1. Ако нямаше триене, тогава след половината период махалото щеше да е в точката н, а ъгълът на отклонение ще бъде равен на a. Но поради триенето топката няма да достигне точката малко ни спира в една точка INТова ще бъде новата повратна точка. В този момент ъгълът на конеца сос О.О. 1 ще бъде равно на . За половината от периода ъгълът на въртене на махалото намалява с . Точка INразположен малко по-ниско от точката а,и следователно потенциалната енергия на махалото в точката INпо-малко от точката А.Следователно махалото губи височина при движение от точката Аточно IN.

Нека открием връзката между загубата на ъгъл и загубата на височина. За да направим това, проектираме точките АИ бна ос О.О. 1 (виж фиг. 1, а). Това ще бъдат точките А 1 и б 1 съответно. Очевидно дължината на сегмента А 1 IN 1

където е дължината на нишката.

Тъй като оста О.О. 1 е наклонена под ъгъл спрямо вертикалата, проекцията на сегмента върху вертикалната ос е загубата на височина (фиг. 1, b):

В този случай промяната в потенциалната енергия на махалото, когато се движи от позицията Ана позиция INравно на:

, (3)

Където м- маса на топката;

ж- ускорение на гравитацията.

Нека изчислим работата, извършена от силата на триене.

Силата на триене се определя по формулата:

Пътят, изминат от топката за половината от периода на трептене на махалото, е равен на дължината на дъгата AB:

.

Работа, извършена от силата на триене върху пътя:

Но следователно, като се вземат предвид уравнения (2), (3), (4), се оказва

. (6)

Изразът (6) е значително опростен, като се вземе предвид фактът, че ъгълът е много малък (около 10 -2 радиана). Така, . Но . Ето защо .

Така формула (6) приема формата:

,

. (7)

От формула (7) става ясно, че загубата на ъгъл за половин период се определя от коефициента на триене m и ъгъла a. Въпреки това е възможно да се намерят условия, при които a не зависи от ъгъла. Нека вземем предвид, че коефициентът на триене при търкаляне е малък (около 10 -3). Ако разгледаме достатъчно големи амплитуди на трептене на махалото a, така че , тогава членът в знаменателя на формула (7) може да бъде пренебрегнат и тогава:

.

От друга страна, нека ъгълът a е достатъчно малък, за да приемем, че . Тогава загубата на ъгъл за половината от периода на трептене ще се определи по формулата:

. (8)

Формула (8) е валидна, ако:

. (9)

Поради факта, че m е от порядъка на 10 -2, неравенството (9) се изпълнява при ъгли a от порядъка на 10 -2 -10 -1 радиана.

Така че, по време на едно пълно трептене, загубата на ъгъл ще бъде:

,

и за нколебания - .

Формула (10) предоставя удобен начин за определяне на коефициента на триене при търкаляне. Необходимо е да се измери намаляването на ъгъла Da нза 10-15 трептения и след това изчислете m, като използвате формула (10).

Във формула (10) стойността на Da се изразява в радиани. За да използвате Da стойности в градуси, формула (10) трябва да бъде променена:

. (11)

Нека разберем физическото значение на коефициента на триене при търкаляне. Нека първо разгледаме един по-общ проблем. Маса на топката ми инерционен момент Интегрална схемаспрямо оста, минаваща през центъра на масата, се движи по гладка повърхност (фиг. 2).

Ориз. 2

Към центъра на масата ° Сприложена сила, насочена по оста воли която е функция на координатата х. Силата на триене действа върху тялото от повърхността Е TR. Нека силата на триене около оста, минаваща през центъра ° Стопка, равна М TR.

Уравненията на движение на топката в този случай имат формата:

; (12)

, (13)

Където - скорост на центъра на масата;

w - ъглова скорост.

Има четири неизвестни в уравнения (12) и (13): ,w, Е TR, М TR . Като цяло задачата не е дефинирана.

Да приемем, че:

1) тялото се търкаля без приплъзване. Тогава:

Където Р-радиус на топката;

2) тялото и равнината са абсолютно твърди, т.е. тялото не е деформирано, а докосва равнината в една точка ОТНОСНО(точков контакт), тогава има връзка между момента на силата на триене и силата на триене:

. (15)

Като вземем предвид формули (14) и (15) от уравнения (12) и (13), получаваме израза за силата на триене:

. (16)

Изразът (16) не съдържа коефициента на триене m, който се определя от физическите свойства на контактните повърхности на топката и равнината, като грапавост, или вида на материалите, от които са направени топката и равнината. Този резултат е пряко следствие от приетата идеализация, отразена от връзки (14) и (15). Освен това е лесно да се покаже, че в приетия модел силата на триене не работи. Наистина, нека умножим уравнение (12) по , а уравнение (13) - на w. Като се има предвид това

И

и добавяйки изрази (12) и (13), получаваме

Където У(х) - потенциална енергия на топката в силовото поле Е(х). трябва да бъде отбелязано че

Ако вземем предвид формули (14) и (15), тогава дясната страна на равенството (17) става нула. От лявата страна на равенството (17) е времевата производна на общата енергия на системата, която се състои от кинетичната енергия на транслационното движение на топката , кинетична енергия на въртеливото движение и потенциална енергия У(х). Това означава, че общата енергия на системата е постоянна величина, т.е. Силата на триене не действа.

Очевидно този малко странен резултат също е следствие от възприетата идеализация. Това показва, че възприетата идеализация не отговаря на физическата реалност. Всъщност, докато топката се движи, тя взаимодейства с равнината, така че нейната механична енергия трябва да намалява, което означава, че връзките (14) и (15) могат да бъдат верни само до степента, в която разсейването на енергията може да бъде пренебрегнато.

Абсолютно ясно е, че в този случай подобна идеализация не може да бъде приета, тъй като нашата цел е да определим коефициента на триене от изменението на енергията на махалото. Следователно ще считаме предположението за абсолютната твърдост на топката и повърхността за справедливо и следователно връзката (15) за справедливо. Нека обаче се откажем от предположението, че топката се движи, без да се плъзга. Ще приемем, че има леко приплъзване.

Нека скоростта на точките на контакт (точка O на фиг. 2) на топката (скорост на плъзгане):

. (19)

След това, замествайки в уравнение (17) и като вземем предвид условията (15) и (20), стигаме до уравнението:

, (21)

от което става ясно, че скоростта на разсейване на енергията е равна на мощността на силата на триене. Резултатът е съвсем естествен, защото... тяло се плъзга по повърхност със скорост И,върху него действа сила на триене, извършваща работа, в резултат на което общата енергия на системата намалява.

Извършвайки диференциране в уравнение (21) и като вземем предвид връзката (18), получаваме уравнението на движение на центъра на масата на топката:

. (22)

Подобно е на уравнението на движение на материална точка с маса:

, (23)

под въздействието на външна сила Еи сили на триене при търкаляне:

.

Освен това, Е TP е обичайната сила на триене при плъзгане. Следователно, когато една топка се търкаля, ефективната сила на триене, която се нарича сила на триене при търкаляне, е просто обикновената сила на триене при плъзгане, умножена по отношението на скоростта на плъзгане към скоростта на центъра на масата на тялото. В практиката често се наблюдава случай, когато силата на триене при търкаляне не зависи от скоростта на тялото.

Очевидно в този случай скоростта на приплъзване Ипропорционално на скоростта на тялото: