Пресечен конус е тяло, получено чрез въртене. Прав кръгъл конус

Пресечен конус се получава, ако от конуса се отреже по-малък конус с равнина, успоредна на основата (фиг. 8.10). Пресеченият конус има две основи: "долна" - основата на оригиналния конус - и "горна" - основата на отрязания конус. Според теоремата за сечението на конус, основите на пресечен конус са подобни .

Надморската височина на пресечен конус е перпендикулярът, прекаран от точка на една основа към равнината на друга. Всички такива перпендикуляри са равни (вижте раздел 3.5). Височината се нарича още тяхната дължина, т.е. разстоянието между равнините на основите.

Пресеченият конус на въртене се получава от конуса на въртене (фиг. 8.11). Следователно основите му и всички успоредни на тях сечения са окръжности с центрове на една и съща права линия - на оста. Пресечен конус на въртене се получава чрез завъртане на правоъгълен трапец около неговата страна, перпендикулярно на основите, или въртене

равнобедрен трапец около оста на симетрия (фиг. 8.12).

Странична повърхност на пресечен конус на въртене

Това е неговата част от страничната повърхност на конуса на въртене, от който произлиза. Повърхността на пресечен конус на въртене (или цялата му повърхност) се състои от основите и страничната му повърхност.

8.5. Изображения на конуси на революция и пресечени конуси на революция.

Прав кръгъл конус е начертан така. Първо, начертайте елипса, представляваща кръга на основата (фиг. 8.13). След това намират центъра на основата - точка О и чертаят вертикална отсечка PO, която изобразява височината на конуса. От точка P се начертават допирателни (референтни) линии към елипсата (на практика това се прави на око, като се прилага линийка) и сегментите RA и PB на тези линии се избират от точка P до точките на допиране A и B. Моля, имайте предвид, че сегмент AB не е диаметърът на основния конус, а триъгълникът ARV не е аксиалното сечение на конуса. Аксиалното сечение на конуса е триъгълник APC: сегмент AC минава през точка O. Невидимите линии са начертани с удари; Сегментът OP често не се рисува, а само се очертава мислено, за да се изобрази върха на конуса P точно над центъра на основата - точка O.

Когато изобразявате пресечен конус на въртене, е удобно първо да начертаете конуса, от който се получава пресеченият конус (фиг. 8.14).

8.6. Конични сечения. Това вече го казахме странична повърхностцилиндърът на въртене пресича равнината по елипса (раздел 6.4). Също така, сечението на страничната повърхност на конус на въртене от равнина, която не пресича основата му, е елипса (фиг. 8.15). Следователно елипсата се нарича конично сечение.

Коничните сечения включват и други добре познати криви - хиперболи и параболи. Нека разгледаме неограничен конус, получен чрез разширяване на страничната повърхност на конуса на въртене (фиг. 8.16). Нека го пресечем с равнина a, която не минава през върха. Ако a пресича всички генератори на конуса, тогава в сечението, както вече беше казано, получаваме елипса (фиг. 8.15).

Като завъртите равнината на OS, можете да гарантирате, че тя пресича всички образуващи на конуса K, с изключение на една (на която OS е успоредна). Тогава в напречното сечение получаваме парабола (фиг. 8.17). Накрая, завъртайки равнината OS допълнително, ще я преместим в такова положение, че a, пресичаща част от генераторите на конуса K, не пресича безкрайния брой други негови генератори и е успоредна на две от тях (фиг. 8.18). ). Тогава в сечението на конуса K с равнината a получаваме крива, наречена хипербола (по-точно един от нейните „клонове“). И така, хипербола, която е графиката на функция специален случайхиперболи - равностранна хипербола, точно както кръгът е частен случай на елипса.

Всички хиперболи могат да бъдат получени от равностранни хиперболи с помощта на проекция, по същия начин, както елипса се получава чрез успоредна проекция на окръжност.

За да се получат двата клона на хиперболата, е необходимо да се вземе част от конус, който има две „кухини“, т.е. конус, образуван не от лъчи, а от прави линии, съдържащи генераторите на страничните повърхности на конуса на революция (фиг. 8.19).

Коничните сечения са изучавани от древногръцките геометри и тяхната теория е един от върховете на древната геометрия. Повечето пълно изследванеКоничните сечения в древността са извършени от Аполоний от Перга (III век пр. н. е.).

Има редица важни свойства, които комбинират елипси, хиперболи и параболи в един клас. Например, те изчерпват „неизродените“, т.е. криви, които не се свеждат до точка, права или двойка прави, които са дефинирани на равнина в Декартови координатиуравнения на формата

Коничните сечения играят важна роля в природата: телата се движат в гравитационни полета по елиптични, параболични и хиперболични орбити (помнете законите на Кеплер). Забележителните свойства на коничните сечения често се използват в науката и технологиите, например при производството на определени оптични инструменти или прожектори (повърхността на огледалото в прожектора се получава чрез въртене на дъгата на парабола около оста на параболата ). Коничните сечения могат да се наблюдават като граници на сянката на кръглите абажури (фиг. 8.20).

Получава се чрез комбиниране на всички лъчи, излизащи от една точка ( върховеконус) и преминаващ през равна повърхност. Понякога конусът е част от такова тяло, получено чрез комбиниране на всички сегменти, свързващи върха и точките на равна повърхност (последната в този случай се нарича базаконус, а конусът се нарича облегнатна тази основа). Това е случаят, който ще бъде разгледан по-долу, освен ако не е посочено друго. Ако основата на конуса е многоъгълник, конусът става пирамида.

"== Свързани определения ==

• Сегментът, свързващ върха и границата на основата, се нарича образуваща на конуса.
• Обединението на образуващите на конус се нарича образуваща(или страна) конична повърхност. Образуващата повърхност на конуса е конична повърхност.
• Сегмент, спуснат перпендикулярно от върха към равнината на основата (както и дължината на такъв сегмент) се нарича височина на конуса.
• Ако основата на конуса има център на симетрия (например кръг или елипса) и ортогоналната проекция на върха на конуса върху равнината на основата съвпада с този център, тогава конусът се нарича директен. В този случай се нарича правата линия, свързваща върха и центъра на основата конична ос.
• Наклонен (наклонен) конус - конус, чиято ортогонална проекция на върха върху основата не съвпада с неговия център на симетрия.
• Кръгъл конус- конус, чиято основа е кръг.
• Прав кръгъл конус(често наричана просто конус) може да се получи чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около линия, съдържаща крака (тази линия представлява оста на конуса).
• Конус, почиващ върху елипса, парабола или хипербола, се нарича съответно елипсовидна, параболиченИ хиперболичен конус(последните две имат безкраен обем).
• Частта от конуса, разположена между основата и равнината, успоредна на основата и разположена между върха и основата, се нарича пресечен конус.

Имоти

• Ако площта на основата е крайна, тогава обемът на конуса също е краен и е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат еднакъв обем, тъй като техните височини са равни.
• Центърът на тежестта на всеки конус с краен обем лежи на една четвърт от височината от основата.
• Телесният ъгъл при върха на прав кръгов конус е равен на

• Площта на страничната повърхност на такъв конус е равна на

• Обемът на кръгъл конус е равен на

• Пресечната точка на равнина с прав кръгов конус е едно от коничните сечения (в неизродени случаи - елипса, парабола или хипербола, в зависимост от положението на сечащата равнина).

Обобщения

В алгебричната геометрия конусе произволно подмножество на векторно пространство над поле, за което за всяко

Вижте също

• Конус (топология)

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "прав кръгъл конус" в други речници:

Прав кръгъл конус. Директно и... Уикипедия

Прав кръгъл конус Конусът е тяло, получено чрез комбиниране на всички лъчи, излизащи от една точка (върха на конуса) и преминаващи през равна повърхност. Понякога конусът е част от такова тяло, получено чрез комбиниране на всички сегменти, свързващи ... Wikipedia

Конус- Прав кръгъл конус. КОНУС (от латински conus, от гръцки konos конус), геометрично тяло, ограничена от кръг конична повърхности равнина, която не минава през върха на коничната повърхнина. Ако върхът лежи на... ... Илюстрован енциклопедичен речник

- (латински conus; гръцки konos). Тяло, ограничено от повърхност, образувана от обръщане на права линия, единият край на която е неподвижен (върхът на конуса), а другият се движи по обиколката на дадена крива; прилича на захарна питка. Речник чужди думи,… … Речник на чуждите думи на руския език

КОНУС- (1) в елементарната геометрия, геометрично тяло, ограничено от повърхност, образувана от движението на права линия (генерираща конус) през фиксирана точка (върха на конуса) по водач (основата на конуса). Образуваната повърхност е затворена между... Голяма политехническа енциклопедия

- (право кръгло) геометрично тяло, образувано от въртене правоъгълен триъгълникблизо до един от краката. Хипотенузата се нарича генератор; фиксирана височина на краката; окръжност, описана от въртящ се крак с основа. Странична повърхност K...... Енциклопедия на Брокхаус и Ефрон

- (прав кръг К.) геометрично тяло, образувано от въртенето на правоъгълен триъгълник около един от краката. Хипотенузата се нарича генератор; фиксирана височина на краката; окръжност, описана от въртящ се крак с основа. Странична повърхност…

- (право кръгло) геометрично тяло, образувано от въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката. Хипотенузата се нарича генератор; фиксирана височина на краката; окръжност, описана от въртящ се крак с основа. Странична повърхност K... енциклопедичен речникЕ. Brockhaus и I.A. Ефрон

- (латински conus, от гръцки konos) (математика), 1) К., или конична повърхност, геометричното място на прави линии (генератори) на пространството, свързващо всички точки на определена линия (водач) с дадена точка (върх) на пространството.…… Велика съветска енциклопедия

Конус (от гръцки "konos")- Шишарка. Шишарката е позната на хората от древни времена. През 1906 г. е открита книгата „За метода“, написана от Архимед (287-212 г. пр.н.е.), тази книга дава решение на проблема с обема на общата част на пресичащи се цилиндри. Архимед казва, че това откритие принадлежи на древногръцкия философ Демокрит (470-380 г. пр.н.е.), който с помощта този принципполучиха формули за изчисляване на обема на пирамида и конус.

Конус (кръгов конус) е тяло, което се състои от окръжност - основата на конуса, точка, която не принадлежи на равнината на тази окръжност - върха на конуса и всички сегменти, свързващи върха на конуса и точките на основният кръг. Отсечките, които свързват върха на конуса с точките на основната окръжност, се наричат ​​образуващи на конуса. Повърхността на конуса се състои от основа и странична повърхност.

Конусът се нарича прав, ако правата линия, която свързва върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. Правият кръгъл конус може да се разглежда като тяло, получено чрез въртене на правоъгълен триъгълник около катета му като ос.

Височината на конуса е перпендикулярът, спуснат от върха му към равнината на основата. U прав конусосновата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на прав конус е правата линия, съдържаща неговата височина.

Разрезът на конус от равнина, минаваща през генератора на конуса и перпендикулярна на аксиалното сечение, начертано през този генератор, се нарича допирателна равнина на конуса.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, пресича конуса в окръжност, а страничната повърхност пресича окръжност с център върху оста на конуса.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, отрязва по-малък конус от него. Останалата част се нарича пресечен конус.

Обемът на конус е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат еднакъв обем, тъй като техните височини са равни.

Площта на страничната повърхност на конуса може да се намери по формулата:

S страна = πRl,

Общата повърхност на конуса се намира по формулата:

S con = πRl + πR 2,

където R е радиусът на основата, l е дължината на образуващата.

Обемът на кръгъл конус е равен на

V = 1/3 πR 2 H,

където R е радиусът на основата, H е височината на конуса

Площта на страничната повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:

S страна = π(R + r)l,

Общата повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, l е дължината на образуващата.

Сила на звука пресечен конусможе да се намери, както следва:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, H е височината на конуса.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Получава се чрез комбиниране на всички лъчи, излизащи от една точка ( върховеконус) и преминаващ през равна повърхност. Понякога конусът е част от такова тяло, получено чрез комбиниране на всички сегменти, свързващи върха и точките на равна повърхност (последната в този случай се нарича базаконус, а конусът се нарича облегнатна тази основа). Това е случаят, който ще бъде разгледан по-долу, освен ако не е посочено друго. Ако основата на конуса е многоъгълник, конусът става пирамида.

"== Свързани определения ==

• Сегментът, свързващ върха и границата на основата, се нарича образуваща на конуса.
• Обединението на образуващите на конус се нарича образуваща(или страна) конична повърхност. Образуващата повърхност на конуса е конична повърхност.
• Сегмент, спуснат перпендикулярно от върха към равнината на основата (както и дължината на такъв сегмент) се нарича височина на конуса.
• Ако основата на конуса има център на симетрия (например кръг или елипса) и ортогоналната проекция на върха на конуса върху равнината на основата съвпада с този център, тогава конусът се нарича директен. В този случай се нарича правата линия, свързваща върха и центъра на основата конична ос.
• Наклонен (наклонен) конус - конус, чиято ортогонална проекция на върха върху основата не съвпада с неговия център на симетрия.
• Кръгъл конус- конус, чиято основа е кръг.
• Прав кръгъл конус(често наричана просто конус) може да се получи чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около линия, съдържаща крака (тази линия представлява оста на конуса).
• Конус, почиващ върху елипса, парабола или хипербола, се нарича съответно елипсовидна, параболиченИ хиперболичен конус(последните две имат безкраен обем).
• Частта от конуса, разположена между основата и равнината, успоредна на основата и разположена между върха и основата, се нарича пресечен конус.

Имоти

• Ако площта на основата е крайна, тогава обемът на конуса също е краен и е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат еднакъв обем, тъй като техните височини са равни.
• Центърът на тежестта на всеки конус с краен обем лежи на една четвърт от височината от основата.
• Телесният ъгъл при върха на прав кръгов конус е равен на

• Площта на страничната повърхност на такъв конус е равна на

• Обемът на кръгъл конус е равен на

• Пресечната точка на равнина с прав кръгов конус е едно от коничните сечения (в неизродени случаи - елипса, парабола или хипербола, в зависимост от положението на сечащата равнина).

Обобщения

В алгебричната геометрия конусе произволно подмножество на векторно пространство над поле, за което за всяко

Вижте също

• Конус (топология)

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „конус (геометрична фигура)“ в други речници:

Конус: По математика Конус геометрична фигура. Конус над топологично пространство. Конус (теория на категориите). В техниката на конуса това е инструментален метод за свързване на инструмент и шпиндел в машинни инструменти. Устройство за конусни устройства... ... Wikipedia

Геометрията е клон на математиката, тясно свързан с концепцията за пространството; в зависимост от формите на описание на това понятие, различни видовегеометрия. Предполага се, че читателят, когато започне да чете тази статия, има някои... Енциклопедия на Collier

Визуализация на информационния образ на екрана на дисплея (монитор). За разлика от възпроизвеждането на изображение на хартия или друг носител, изображение, създадено на екран, може почти веднага да бъде изтрито и/или коригирано, компресирано или разтегнато... ... енциклопедичен речник

История на науката ... Wikipedia

История на науката По тема Математика Естествени науки... Уикипедия

- (гръцки geodaisia, от ge Земя и daio разделям, разделям), наука за определяне на позицията на обекти върху земната повърхност, за размера, формата и гравитационното поле на Земята и другите планети. Това е индустрията приложна математика, тясно свързано с геометрията,... ... Енциклопедия на Collier

Лекция: Конус. Основа, височина, странична повърхност, образуваща, развитие

Конус- това е тяло, което се състои от окръжност, която се намира в основата, от точка, еднакво отдалечена от всички точки на окръжността, както и от прави линии, свързващи тази точка (връх) с всички точки, лежащи на окръжността.

Няколко въпроса по-рано, разгледахме пирамидата. И така, конусът е специален случай на пирамида, в основата на която лежи кръг. Почти всички свойства на пирамидата се отнасят за конуса.

Как можете да получите конус? Спомнете си последния въпрос и как получихме цилиндъра. Сега вземете равнобедрен триъгълники го завъртете около оста си - ще получите конус.

Генератори на конуса- това са сегменти, затворени между точките на окръжността и върха на конуса. Образуващите на конуса са равни една на друга.

За да намерите дължината на генератора, трябва да използвате формулата:

Ако всички компоненти са свързани помежду си, можете да получите страничната повърхност на конус. Общата му повърхност се състои от странична повърхност и основа под формата на кръг.

Конусът има височина. За да го получите, достатъчно е да спуснете перпендикуляра от върха директно към центъра на основата.

За да намерите площта на страничната повърхност, използвайте формулата:

За да намерите общата повърхност на конус, използвайте следната формула.