Diferencijalna jednadžba viših redova koja dozvoljava smanjenje reda. Metode redukcije reda jednadžbe

Jedna od metoda za integraciju DE-ova višeg reda je metoda redukcije naloga. Suština metode je da se zamjenom varijable (supstitucijom) ovaj DE svodi na jednačinu nižeg reda.

Razmotrimo tri vrste jednadžbi koje dozvoljavaju redukciju po redu.

I. Neka je data jednadžba

Redoslijed se može smanjiti uvođenjem nove funkcije p(x), postavljanjem y " =p(x). Tada y "" =p " (x) i dobijamo DE prvog reda: p " =ƒ(x). Nakon što smo je riješili, odnosno, nakon što smo pronašli funkciju p = p (x), rješavamo jednačinu y" = p (x). Dobili smo opšte rešenje datu jednačinu (3.6).

U praksi se ponašaju drugačije: red se redukuje direktno sekvencijalnom integracijom jednačine.

Jer jednadžba (3.6) se može napisati u obliku dy " =ƒ(x) dx. Tada, integrirajući jednačinu y "" =ƒ(x), dobijamo: y " = ili y " =j1 (x) + s 1 Dalje, integrirajući rezultirajuću jednačinu za x, nalazimo: - opće rješenje ove jednačine. onda, integrirajući ga sukcesivno n puta, nalazimo opće rješenje jednačine:

Primjer 3.1. Riješite jednačinu

Rješenje: Dosljedno integrirajući ovu jednačinu četiri puta, dobijamo

Neka je data jednadžba

Označimo y " =r, gdje je r=r(h) nova nepoznata funkcija. Tada y "" =p " i jednačina (3.7) poprima oblik p " =ƒ(h;r). Neka je r=j (h;s 1) je opšte rješenje rezultirajuće diferencijalne jednadžbe prvog reda dovoljno da se integriše poslednja jednačina (. 3.7) imaće oblik

Poseban slučaj jednačine (3.7) je jednačina

koji takođe ne sadrži eksplicitno željenu funkciju, onda se njen redosled može smanjiti za k jedinica postavljanjem y (k) = p (x). Tada y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) i jednačina (3.9) poprima oblik F(x;p;p" ;... ;p (n-κ) ) )=0. Poseban slučaj jednačine (3.9) je jednačina

Koristeći zamjenu y (n-1) =p(x), y (n) =p " ova jednačina se reducira na DE prvog reda.

Primjer 3.2. Riješite jednačinu

Rješenje: Pretpostavljamo da je y"=p, gdje Onda Ovo je jednadžba koja se može odvojiti: Integracijom dobijamo Vraćajući se na originalnu varijablu, dobijamo y"=c 1 x,

- opšte rješenje jednačine.

III. Razmotrite jednačinu

koji ne sadrži eksplicitno nezavisnu varijablu x.

Da bismo smanjili redoslijed jednadžbe, uvodimo novu funkciju p=p(y), u zavisnosti od varijable y, postavljajući y"=p. Ovu jednakost razlikujemo s obzirom na x, uzimajući u obzir da je p =p(y (x)):

tj. Sada će jednačina (3.10) biti zapisana u obliku

Neka je p=j(y;c 1) opće rješenje ovog DE prvog reda. Zamjenom funkcije p(y) sa y", dobijamo y"=j(y;c 1) - DE sa odvojivim varijablama. Integrirajući ga, nalazimo opći integral jednačine (3.10):

Poseban slučaj jednačine (3.10) je diferencijalna jednačina

Ova jednačina se može riješiti korištenjem slične zamjene: y " =p(y),

Isto radimo i kada rješavamo jednačinu F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Njen redoslijed se može smanjiti za jedan postavljanjem y"=p, gdje je p=p(y ). Prema pravilu diferencijacije složena funkcija nalazimo Zatim nalazimo

p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, ili p=c 1 ey+y. Zamenivši p sa y ", dobijamo: y"=c 1 -e y +y. Zamijenivši y"=2 i y=2 u ovu jednakost, nalazimo sa 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

Imamo y"=y. Otuda y=c 2 e x. C 2 nalazimo iz početnih uslova: 2=c 2 e°, c 2 =2. Dakle, y=2e x je posebno rješenje ovog

Stoga postoji prirodna želja da se jednačina reda višeg od prvog svede na jednačinu nižeg reda. U nekim slučajevima to se može učiniti. Pogledajmo ih.

1. Jednačine oblika y (n) =f(x) rješavaju se sekvencijalnom integracijom n puta
, ,… .
Primjer. Riješite jednačinu xy""=1. Stoga možemo napisati y"=ln|x| + C 1 i, ponovo integrirajući, konačno ćemo dobiti y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. U jednadžbama oblika F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (tj. ne sadrže eksplicitno nepoznatu funkciju i neke od njenih derivata), red se smanjuje promjenom varijable y (k) = z(x). Tada je y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) i dobijamo jednačinu F(x,z,z",..,z (n - k)) red n-k. Njeno rješenje je funkcija z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) ili, sjetivši se šta je z, dobijamo jednačinu y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) razmatra se u slučaju tipa 1.
Primjer 1. Riješite jednačinu x 2 y"" = (y") 2. Napravite zamjenu y"=z(x) . Tada je y""=z"(x). Zamjenom u originalnu jednačinu dobijamo x 2 z"=z 2. Odvajajući varijable, dobijamo . Integrisanje, imamo , ili, što je isto, . Posljednja relacija je zapisana u obliku , odakle . Integrisanjem, konačno dobijamo
Primjer 2. Riješite jednačinu x 3 y"" +x 2 y"=1. Vršimo promjenu varijabli: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Napravimo promjenu varijabli: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 ili u"x 2 -xu+xu=1 ili u"x^2=1. Od: u"=1/x 2 ili du/ dx=1/x 2 ili u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Pošto je z=u/x, onda je z = -1/x 2 +c 1 /x. Pošto je y"=z, onda je dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Odgovor: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Sljedeća jednačina koja se može reducirati po redu je jednačina oblika F(y,y",y"",...,y (n))=0, koja ne sadrži eksplicitno nezavisnu varijablu. jednačina se smanjuje zamjenom varijable y" =p(y) , gdje je p nova željena funkcija ovisno o y. Onda
= i tako dalje. Indukcijom imamo y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)).Zamjenom u originalnu jednačinu, snižavamo njen red za jedan.

Primjer. Riješite jednačinu (y") 2 +2yy""=0. Napravimo standardnu ​​zamjenu y"=p(y), zatim y″=p′·p. Zamjenom u jednačinu dobijamo Razdvajanjem varijabli, za p≠0, dobijamo ili, što je ista stvar, . Onda ili. Integrirajući posljednju jednakost, konačno dobijamo Prilikom razdvajanja varijabli mogli bismo izgubiti rješenje y=C, koje se dobija za p=0, ili, što je isto, za y"=0, ali je sadržano u gore dobivenom.

4. Ponekad je moguće primijetiti osobinu koja vam omogućava da smanjite redoslijed jednačine na načine različite od onih o kojima se raspravljalo gore. Pokažimo to primjerima.

Primjeri.
1. Ako su obje strane jednačine yy"""=y′y″ podijeljene sa yy″, dobijamo jednačinu koja se može prepisati kao (lny″)′=(lny)′. Iz posljednje relacije slijedi da lny″=lny +lnC, ili, što je isto, y″=Cy Rezultat je jednačina koja je red veličine niža i tipa o kojem se govorilo ranije.
2. Slično, za jednačinu yy″=y′(y′+1) imamo, ili (ln(y"+1))" = (lny)". Iz posljednje relacije slijedi da je ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, ili y"=C 1 y-1. Odvajajući varijable i integrirajući, dobijamo ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Odluči se jednadžbe koje se mogu reducirati moguće korištenjem posebne usluge

Diferencijalna jednačina drugog reda ima oblik:

Opće rješenje jednadžbe je porodica funkcija koje zavise od dvije proizvoljne konstante i: (ili - opći integral diferencijalna jednadžba 2. red). Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu 2. reda (1.1) sastoji se od pronalaženja određenog rješenja jednačine koje zadovoljava početne uvjete: za: , . Treba napomenuti da se grafovi rješenja jednačine 2. reda mogu seći, za razliku od grafova rješenja jednačine 1. reda. Međutim, rješenje Cauchyjevog problema za jednačine drugog reda (1.1) pod prilično širokim pretpostavkama za funkcije uključene u jednačinu je jedinstveno, tj. bilo koja dva rješenja sa zajedničkim početnim uvjetom poklapaju se na sjecištu intervala definicije.

Nije uvijek moguće dobiti opće rješenje ili analitički riješiti Cauchyjev problem za diferencijalnu jednačinu 2. reda. Međutim, u nekim slučajevima moguće je sniziti red jednačine uvođenjem različitih zamjena. Pogledajmo ove slučajeve.

1. Jednačine koje ne sadrže eksplicitno nezavisnu varijablu.

Neka diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik: , tj. očito ne postoji nezavisna varijabla u jednačini (1.1). Ovo nam omogućava da ga uzmemo kao novi argument i uzmemo izvod 1. reda kao novu funkciju. Onda.

Dakle, jednačina 2. reda za funkciju koja nije eksplicitno sadržana je svedena na jednadžbu 1. reda za funkciju. Integracijom ove jednačine dobijamo opšti integral ili, a ovo je diferencijalna jednačina 1. reda za funkciju. Rješavajući ga, dobivamo opći integral originalne diferencijalne jednadžbe, ovisno o dvije proizvoljne konstante: .

Primjer 1. Riješiti diferencijalnu jednačinu za date početne uslove: , .

Pošto u originalnoj jednačini nema eksplicitnog argumenta, uzećemo a kao novu nezavisnu varijablu, a - kao. Tada jednadžba poprima sljedeći oblik za funkciju: .

Ovo je diferencijalna jednadžba sa odvojivim varijablama: . Gdje slijedi, tj. .

Pošto za i, zatim zamjenom početnih uslova u posljednju jednakost, dobijamo ono i, što je ekvivalentno. Kao rezultat, za funkciju imamo jednadžbu sa odvojivim varijablama, rješavanjem koje dobijamo. Koristeći početne uslove, dobijamo to. Prema tome, parcijalni integral jednačine koji zadovoljava početne uslove ima oblik: .

2. Jednačine koje ne sadrže eksplicitno željenu funkciju.

Neka diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik: , tj. jednadžba očito ne uključuje željenu funkciju. U ovom slučaju se uvodi izjava. Tada se jednačina 2. reda za funkciju pretvara u jednadžbu 1. reda za funkciju. Integracijom dobijamo diferencijalnu jednačinu 1. reda za funkciju: . Rješavajući posljednju jednačinu, dobijamo opći integral date diferencijalne jednadžbe, ovisno o dvije proizvoljne konstante: .