Ekvipotencijalne površine i linije sile elektrostatičkog polja. Ekvipotencijalne površine

Ekvipotencijalne površine To su površine čija svaka tačka ima isti potencijal. To jest, na ekvipotencijalnoj površini, električni potencijal ima konstantnu vrijednost. Takva površina je površina provodnika, jer je njihov potencijal isti.

Zamislimo površinu za koju će razlika potencijala biti nula za dvije tačke. Ovo će biti ekvipotencijalna površina. Jer potencijal na njemu je isti. Ako posmatramo ekvipotencijalnu površinu u dvodimenzionalnom prostoru, recimo na crtežu, tada će ona imati oblik linije. Rad snaga električno polje prema kretanju električnog naboja duž ove linije bit će jednak nuli.

Jedno od svojstava ekvipotencijalnih površina je da su one uvijek okomite na linije polja. Ovo svojstvo se može formulisati i obrnuto. Svaka površina koja je okomita u svim tačkama na linije električnog polja naziva se ekvipotencijalna.

Takođe, takve površine se nikada ne seku jedna s drugom. Pošto bi to značilo razliku u potencijalu unutar jedne površine, što je u suprotnosti sa definicijom. Takođe su uvek zatvoreni. Površine jednakog potencijala ne mogu započeti i otići u beskonačnost bez jasnih granica.

U pravilu nema potrebe da se na crtežima prikazuju cijele površine. Češće prikazuju okomit presjek na ekvipotencijalne površine. Tako se degenerišu u liniju. Ovo se pokazalo sasvim dovoljnim za procjenu distribucije ovog polja. Prilikom grafičkog prikaza površine su postavljene u jednakim intervalima. Odnosno, između dvije susjedne površine primjećuje se isti korak, recimo jedan volt. Tada se po gustoći linija formiranih poprečnim presjekom ekvipotencijalnih površina može suditi o jakosti električnog polja.

Na primjer, razmotrite polje koje stvara tačkasti električni naboj. Linije sile takvog polja su radijalne. To jest, počinju u centru naboja i pokazuju prema beskonačnosti ako je naboj pozitivan. Ili usmjeren prema naboju ako je negativan. Ekvipotencijalne površine takvog polja imat će oblik sfera sa središtem na naboju i odstupajući od njega. Ako prikažemo dvodimenzionalni presjek, tada će ekvipotencijalne linije biti u obliku koncentričnih krugova, čije se središte također nalazi u naboju.

Slika 1 - ekvipotencijalne linije tačkastog naboja

Za jednolično polje kao što je, na primjer, polje između ploča električnog kondenzatora, površine jednakog potencijala imat će oblik ravnina. Ove ravni se nalaze paralelno jedna s drugom na istoj udaljenosti. Istina, na rubovima ploča slika polja će biti izobličena zbog efekta ruba. Ali zamislićemo da su ploče beskonačno dugačke.

Slika 2 - ekvipotencijalne linije uniformno polje

Za prikaz ekvipotencijalnih linija za polje koje stvaraju dva naelektrisanja jednake veličine i suprotnog predznaka, nije dovoljno primijeniti princip superpozicije. Budući da će u ovom slučaju, kada se dvije slike tačkastog naboja superponiraju, postojati tačke preseka linija polja. Ali to ne može biti, jer polje ne može biti usmjereno u dva različita smjera odjednom. U ovom slučaju, problem se mora riješiti analitički.

Slika 3 - Slika polja sa dva električnih naboja

> Ekvipotencijalni vodovi

Karakteristike i svojstva ekvipotencijalne površinske linije: stanje električnog potencijala polja, statička ravnoteža, formula tačkastog naboja.

Ekvipotencijalne linije polja su jednodimenzionalna područja u kojima električni potencijal ostaje nepromijenjen.

Cilj učenja

• Okarakterizirati oblik ekvipotencijalnih linija za nekoliko konfiguracija punjenja.

Glavne tačke

• Za određeno izolovano tačkasto naelektrisanje, potencijal se zasniva na radijalnoj udaljenosti. Stoga se ekvipotencijalne linije pojavljuju okrugle.
• Ako nekoliko diskretnih naelektrisanja dođe u kontakt, njihova polja se ukrštaju i pokazuju potencijal. Kao rezultat, ekvipotencijalne linije postaju iskrivljene.
• Kada su naboji raspoređeni na dvije provodne ploče u statičkoj ravnoteži, ekvipotencijalne linije su u suštini ravne.

Uslovi

• Ekvipotencijal - dio gdje svaka tačka ima isti potencijal.
• Statička ravnoteža - fizičko stanje, gdje sve komponente miruju i neto sila je jednaka nuli.

Ekvipotencijalne linije predstavljaju jednodimenzionalne oblasti u kojima električni potencijal ostaje nepromenjen. Odnosno, za takvo naelektrisanje (bez obzira gdje se nalazi na ekvipotencijalnoj liniji) nije potrebno izvršiti rad da se pređe od jedne tačke do druge unutar određene linije.

Linije ekvipotencijalne površine mogu biti ravne, zakrivljene ili nepravilne. Sve se to zasniva na raspodjeli naknada. Smješteni su radijalno oko nabijenog tijela, tako da ostaju okomiti na linije električnog polja.

Punjenje u jednoj tački

Za jednokratno punjenje, formula potencijala je:

Ovdje postoji radijalna ovisnost, odnosno, bez obzira na udaljenost do točkastog naboja, potencijal ostaje nepromijenjen. Stoga se uzimaju ekvipotencijalne linije okruglog oblika sa tačkastim nabojem u centru.

Izolirano tačkasto naelektrisanje sa linijama električnog polja (plavo) i ekvipotencijalnim linijama (zeleno)

Višestruko punjenje

Ako je nekoliko diskretnih naboja u kontaktu, onda vidimo kako se njihova polja preklapaju. Ovo preklapanje uzrokuje kombinovanje potencijala i iskrivljenje ekvipotencijalnih linija.

Ako je prisutno više naboja, tada se ekvipotencijalne linije formiraju nepravilno. U tački između naboja, kontrola može osjetiti efekte oba naboja.

Kontinuirano punjenje

Ako se naelektrisanja nalaze na dve provodne ploče u uslovima statičke ravnoteže, gde naelektrisanja nisu prekinuta i nalaze se u pravoj liniji, tada se ekvipotencijalne linije ispravljaju. Činjenica je da kontinuitet naboja uzrokuje kontinuirane akcije u bilo kojoj tački.

Ako su naboji uvučeni u liniju i nisu prekinuti, tada ekvipotencijalne linije idu direktno ispred njih. Kao izuzetak, možemo zapamtiti samo zavoj blizu rubova provodnih ploča

Kontinuitet se prekida bliže krajevima ploča, zbog čega se na ovim područjima stvara zakrivljenost - efekat ruba.

Za vizuelni prikaz vektorskih polja koristi se slika linija polja. Linija sile je imaginarna matematika krivulja u prostoru, smjer tangente na koju je svaki tačka kroz koju prolazi poklapa se sa pravcem vektora polja na istoj tački(Sl. 1.17).
Rice. 1.17:
Uslov za paralelizam vektora E → i tangente može se zapisati kao jednakost nuli vektorski proizvod E → i element luka d r → linija sile:

Ekvipotencijal je površina na kojoj za koje je električni potencijal konstantanϕ. U polju tačkastog naboja, kao što je prikazano na sl. , sferne površine sa centrima na mestu naelektrisanja su ekvipotencijalne; ovo se može vidjeti iz jednačine ϕ = q ∕ r = const.

Analizirajući geometriju linija električnog polja i ekvipotencijalnih površina, možemo naznačiti broj opšta svojstva geometrija elektrostatičkog polja.

prvo, dalekovodi početi na naplatu. Oni ili idu u beskonačnost ili završavaju na drugim nabojima, kao na sl. .

Drugo, u potencijalnom polju, linije polja ne mogu biti zatvorene. Inače bi bilo moguće odrediti tako zatvoreno kolo da rad električnog polja pri kretanju naboja duž ovog kola nije jednak nuli.

Treće, linije sile sijeku bilo koju ekvipotencijalnu normalu na nju. stvarno, električno polje svugdje je usmjeren ka brzom smanjenju potencijala, a na ekvipotencijalnoj površini potencijal je po definiciji konstantan (sl. ).
Rice. 1.20:
I konačno, linije polja se ne seku nigde osim u tačkama gde je E → = 0. Presek linija polja znači da je polje u tački preseka dvosmislena funkcija koordinata, a vektor E → nema određeni pravac. Jedini vektor koji ima ovo svojstvo je nulti vektor. Struktura električnog polja blizu nulte tačke biće analizirana u zadacima za ??

. Metoda polja polja je, naravno, primjenjiva na grafički prikaz bilo kojeg vektorskog polja. Dakle, u poglavlju ?? upoznaćemo koncept magnetnih linija sile. Međutim, geometrija

magnetno polje
potpuno drugačija od geometrije električnog polja. Rice. 1.21: jednaka je nuli, pošto vektor E → dodiruje ovu površinu. Posljedično, protok kroz dionicu S ′ je numerički jednak N, ali suprotnog predznaka. Spoljna normala na zatvorenu površinu na ovom preseku je usmerena suprotno od n →. Ako je normala usmjerena u istom smjeru, tada će se tokovi kroz dijelove S i S ′ podudarati i po veličini i po predznaku. Konkretno, ako je cijev beskonačno tanka i presjeci S i S ′ su normalni na nju, tada

E S = E ′ S ′ .

Rezultat je potpuna analogija sa protokom nestišljivog fluida. Na mjestima gdje je cijev tanja, polje E → je jače. Na mjestima gdje je šire, polje E → je jače. Prema tome, gustina linija polja može se koristiti za procjenu jačine električnog polja.

Prije pronalaska kompjutera, da bi eksperimentalno reproducirali linije polja, uzeli su staklenu posudu s ravnim dnom i u nju ulili tekućinu koja nije provodila električnu struju, na primjer, ricinusovo ulje ili glicerin. U tečnost su ravnomerno umešani praškasti kristali gipsa, azbesta ili nekih drugih duguljastih čestica. Metalne elektrode su uronjene u tečnost. Kada su spojene na izvore električne energije, elektrode su pobuđivale električno polje. U ovom polju, čestice su naelektrisane i, privučene jedna drugoj suprotnim naelektrisanim krajevima, raspoređene su u obliku lanaca duž linija sile. Slika linija polja je iskrivljena zbog strujanja fluida uzrokovanih silama koje na nju djeluju u neujednačenom električnom polju.

To Be Do Do You
Rice. 1.22:
Najbolji rezultati su dobijeni metodom koju je koristio Robert W. Pohl (1884-1976). Staniol elektrode se lijepe na staklenu ploču između kojih se stvara električni napon. Zatim se laganim tapkanjem na ploču izlivaju duguljaste čestice, na primjer, kristali gipsa. Nalaze se duž nje duž linija sile. Na sl. ??

Prikazana je slika linija polja između dva suprotno nabijena kruga staniola.

▸ Problem 9.1 Zapišite jednadžbu linija polja u proizvoljnoj ortogonalnoj

koordinate

▸ Problem 9.2

Zapišite jednadžbu linija polja u sfernim koordinatama.

Elektrostatičko polje se može okarakterisati skupom sila i ekvipotencijalnih linija. dalekovod

Linije sile se zatvaraju na pozitivnim i negativnim nabojima i ne mogu se zatvoriti same od sebe.

Ispod ekvipotencijalna površina razumjeti skup tačaka polja koje imaju isti potencijal ().

Ako presečete elektrostatičko polje sekantnom ravninom, tada ćete u presjeku vidjeti tragove presjeka ravnine s ekvipotencijalnim površinama. Ovi tragovi se nazivaju ekvipotencijalne linije.

Ekvipotencijalne linije su zatvorene za sebe.

Linije polja i ekvipotencijalne linije seku se pod pravim uglom.

R
Pogledajmo ekvipotencijalnu površinu:

(pošto tačke leže na ekvipotencijalnoj površini).

– skalarni proizvod

Linije jakosti elektrostatičkog polja prodiru u ekvipotencijalnu površinu pod uglom od 90 0, zatim ugao između vektora
jednak je 90 stepeni, a njihov skalarni proizvod jednak je 0.

Jednačina ekvipotencijalne linije

Razmotrimo liniju sile:

N
intenzitet elektrostatičkog polja je usmjeren tangencijalno na liniju sile (vidi definiciju linije sile), a element puta je također usmjeren , pa je ugao između ova dva vektora jednak nuli.

ili

Jednačina polja polja

Potencijalni gradijent

Potencijalni gradijent je stopa potencijalnog povećanja u najkraćem smjeru između dvije tačke.

Postoji određena potencijalna razlika između dvije tačke. Ako se ova razlika podijeli s najkraćom udaljenosti između uzetih tačaka, onda će rezultirajuća vrijednost karakterizirati brzinu promjene potencijala u smjeru najkraće udaljenosti između tačaka.

Gradijent potencijala pokazuje smjer najvećeg porasta potencijala, numerički je jednak modulu napona i negativno je usmjeren u odnosu na njega.

Prilikom definiranja gradijenta bitne su dvije odredbe:

Smjer u kojem se vode dvije obližnje tačke treba biti takav da je brzina promjene maksimalna.

Smjer je to skalarna funkcija raste u ovom pravcu.

Za kartezijanski koordinatni sistem:

Brzina promjene potencijala u smjeru osi X, Y, Z:

;
;

Dva vektora su jednaka samo ako su njihove projekcije jednake jedna drugoj. Projekcija vektora napetosti na osu X jednaka projekciji brzine promjene potencijala duž ose X, uzeti sa suprotnim predznakom. Isto i za sjekire Y I Z.

;
;
.

U cilindričnom koordinatnom sistemu, izraz za potencijalni gradijent imaće sledeći oblik.

Odnos između napetosti i potencijala.

Za potencijalno polje, između potencijalne (konzervativne) sile i potencijalna energija postoji veza

gdje je ("nabla") Hamiltonov operator.

Pošto To

Znak minus pokazuje da je vektor E usmjeren prema opadajućem potencijalu.

Za grafički prikaz raspodjele potencijala koriste se ekvipotencijalne površine - površine u svim tačkama čiji potencijal ima istu vrijednost.

Ekvipotencijalne površine se obično crtaju tako da su potencijalne razlike između dvije susjedne ekvipotencijalne površine iste. Tada gustina ekvipotencijalnih površina jasno karakterizira jačinu polja u različite tačke. Tamo gdje su ove površine gušće, jačina polja je veća. Na slici isprekidana linija pokazuje linije sile, pune linije prikazuju preseke ekvipotencijalnih površina za: pozitivan tačkasti naboj (a), dipol (b), dva naelektrisanja istog imena (c), naelektrisani metal kondukter složena konfiguracija(G).

Za tačkasto punjenje potencijal stoga su ekvipotencijalne površine koncentrične sfere. S druge strane, zatezne linije su radijalne prave. Posljedično, zatezne linije su okomite na ekvipotencijalne površine.

Može se pokazati da je u svim slučajevima vektor E okomit na ekvipotencijalne površine i uvijek usmjeren u smjeru pada potencijala.

Primjeri proračuna najvažnijih simetričnih elektrostatičkih polja u vakuumu.

1. Elektrostatičko polje električnog dipola u vakuumu.

Električni dipol (ili dvostruki električni pol) je sistem od dva jednaka po veličini suprotnih tačkastih naboja (+q,-q), razmak l između kojih je znatno manji od udaljenosti do tačaka polja koje se razmatra (l<< r).

Dipol krak l je vektor usmjeren duž ose dipola od negativnog do pozitivnog naboja i jednak je udaljenosti između njih.

Električni moment dipola re je vektor koji se poklapa u pravcu sa krakom dipola i jednak je proizvodu modula naelektrisanja |q| na ramenu I:

Neka je r udaljenost do tačke A od sredine ose dipola. Onda, s obzirom na to

2) Jačina polja u tački B na okomici vraćena na os dipola iz njenog centra na

Tačka B je jednako udaljena od +q i -q naelektrisanja dipola, tako da je potencijal polja u tački B nula. Vektor Ëv je usmjeren suprotno vektoru l.

3) U vanjskom električnom polju, par sila djeluje na krajeve dipola, koji nastoje da zarotiraju dipol na način da se električni moment dipola re okreće u smjeru polja E (sl. a)).

U spoljašnjem uniformnom polju, moment para sila je jednak M = qElsin a ili U vanjskom nehomogenom polju (sl. (c)), sile koje djeluju na krajeve dipola nisu identične a njihova rezultanta teži da pomjeri dipol u područje polja većeg intenziteta - dipol se povlači u područje jačeg polja.

2. Polje jednolično nabijene beskonačne ravni.

Beskonačna ravan je nabijena konstantnom površinskom gustinom Zatezne linije su okomite na razmatranu ravninu i usmjerene od nje u oba smjera.

Kao Gaussovu površinu uzimamo površinu cilindra čiji su generatori okomiti na nabijenu ravan, a baze su paralelne s nabijenom ravninom i leže na suprotnim stranama na jednakim udaljenostima.

Budući da su generatori cilindra paralelni zateznim linijama, tok vektora napetosti kroz bočnu površinu cilindra je nula, a ukupni tok kroz cilindar jednak je zbiru fluksova kroz njegove baze 2ES. Naboj sadržan u cilindru je jednak . Po Gaussovoj teoremi gdje:

E ne zavisi od dužine cilindra, tj. Jačina polja na bilo kojoj udaljenosti je ista po veličini. Takvo polje se naziva homogeno.

Razlika potencijala između tačaka koje leže na udaljenostima x1 i x2 od ravni je jednaka

3. Polje dvije beskonačne paralelne suprotno nabijene ravni sa jednakim apsolutnim vrijednostima površinskih gustoća naboja σ>0 i - σ.

Iz prethodnog primjera proizilazi da su vektori napetosti E 1 i E 2 prve i druge ravni jednaki po veličini i svuda su usmjereni okomito na ravnine. Stoga se u prostoru izvan ravnina međusobno kompenzuju, a u prostoru između ravni ukupna napetost . Dakle, između aviona

(u dielektriku.).

Polje između ravnina je jednolično. Razlika potencijala između aviona.
(u dielektriku ).

4.Polje jednoliko nabijene sferne površine.

Sferna površina radijusa R sa ukupnim nabojem q nabijena je jednoliko površinskom gustinom

Pošto je sistem naelektrisanja, a samim tim i samo polje centralno simetrično u odnosu na centar sfere, linije napetosti su usmerene radijalno.

Kao Gausovu površinu biramo sferu polumjera r koja ima zajednički centar sa nabijenom sferom. Ako je r>R, tada cijeli naboj q ulazi unutar površine. Po Gaussovoj teoremi, odakle

Na adresi r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Razlika potencijala između dvije tačke koje leže na udaljenostima r 1 i r 2 od centra sfere

(r1 >R,r2 >R), jednako je

Izvan nabijene sfere, polje je isto kao polje tačkastog naboja q koji se nalazi u centru sfere. Unutar nabijene sfere nema polja, pa je potencijal svuda isti i isti kao i na površini