Glavna matrica. Matrični koncept

Tačke u prostoru, proizvod Rv daje drugi vektor koji određuje položaj tačke nakon rotacije. Ako v je vektor reda, ista transformacija se može dobiti pomoću vR T, gdje R T - transponirano u R matrica.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

C# - Konzola - Olimpijada - Kvadratna spirala

Matrica: definicija i osnovni pojmovi

Gdje dobiti snagu i inspiraciju Punjenje matrice od 4 kvadrata

Zbir i razlika matrica, množenje matrice brojem

Transponovana matrica / Transponovana matrica

Titlovi

Glavna dijagonala

Elementi a ii (i = 1, ..., n) čine glavnu dijagonalu kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj pravoj liniji koja ide od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog ugla matrice. Na primjer, glavna dijagonala matrice 4x4 na slici sadrži elemente a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Dijagonala kvadratne matrice koja prolazi kroz donji lijevi i gornji desni ugao naziva se strana.

Posebne vrste

Dijagonalne i trokutaste matrice

Ako su svi elementi izvan glavne dijagonale nula, A zove se dijagonala. Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale nula, A naziva se donja (gornja) trokutasta matrica.

Matrica identiteta

prihvata samo pozitivne vrijednosti(odnosno, negativne vrijednosti ili oboje). Ako kvadratni oblik uzima samo ne-negativne (odnosno, samo nepozitivne) vrijednosti, simetrična matrica se naziva pozitivno poludefinitom (odnosno, negativno poludefiniranom). Matrica će biti neodređena ako nije ni pozitivna ni negativna poludefinirana.

Simetrična matrica je pozitivno određena ako i samo ako je sva njena sopstvene vrijednosti su pozitivni. Tabela desno prikazuje dva moguća slučaja za 2x2 matrice.

Ako koristimo dva različita vektora, dobijamo bilinearni oblik povezan sa A:

Ortogonalna matrica

Ortogonalna matrica je kvadratna matrica sa realnim elementima čiji su stupci i redovi ortogonalni jedinični vektori (tj. ortonormalni). Ortogonalnu matricu također možete definirati kao matricu čiji je inverz jednak njenoj transponaciji:

odakle dolazi

Ortogonalna matrica A uvijek reverzibilno ( A −1 = A T), jedinstveni ( A −1 = A*), i normalno ( A*A = A.A.*). Determinanta bilo koje ortonormalne matrice je ili +1 ili -1. Kao linearno preslikavanje, svaka ortonormalna matrica sa determinantom +1 je jednostavna rotacija, dok je svaka ortonormirana matrica sa determinantom -1 ili jednostavna refleksija ili kompozicija refleksije i rotacije.

Operacije

Track

Odrednica det( A) ili | A| kvadratna matrica A je broj koji određuje neka svojstva matrice. Matrica je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule.

Matrix veličina m ? n je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m redova i n kolona. Pozivaju se brojevi koji čine matricu elementi matrice.

Matrice su označene velikim slovima latinica (A,B,C...), a za označavanje elemenata matrice koriste se mala slova s ​​dvostrukim indeksiranjem:

Gdje i- broj reda, j- broj kolone.

Na primjer, matrica

Ili skraćeno, A=(); i=1,2…, m; j=1,2, …, n.

Koriste se i druge matrice, na primjer: , ? ?.

Dvije matrice A I IN iste veličine se zovu jednaka, ako se poklapaju element po element, tj. = , gdje i= 1, 2, 3, …, m, A j= 1, 2, 3, …, n.

Razmotrimo glavne vrste matrica:

1. Neka je m = n, tada je matrica A - kvadratna matrica, koji ima red n:

Elementi formiraju glavnu dijagonalu, elementi formiraju sekundarnu dijagonalu.

Kvadratna matrica se zove dijagonala, ako su svi njegovi elementi, osim možda elemenata glavne dijagonale, jednaki nuli:

Dijagonalna, a samim tim i kvadratna, matrica se naziva single, ako su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1:

Imajte na umu da je matrica identiteta analog matrice jedan u skupu realnih brojeva, a također naglašavamo da je matrica identiteta definirana samo za kvadratne matrice.

Evo primjera matrica identiteta:

Kvadratne matrice

nazivaju se gornji i donji trokutasti, respektivno.

• 2. Neka m= 1, zatim matrica A- matrica reda, koja izgleda ovako:
• 3. Neka n=1, zatim matrica A- matrica stupaca, koja izgleda ovako:

4. Nulta matrica je matrica reda mn, čiji su svi elementi jednaki 0:

Imajte na umu da nulta matrica može biti kvadratna matrica, matrica reda ili matrica stupaca. Nulta matrica je matrični analog nule u skupu realnih brojeva.

5. Matrica se naziva transponovana u matricu i označava se ako su njeni stupci redovi matrice koji odgovaraju po broju.

Primjer. Neka

Imajte na umu da ako je matrica A ima red mn, tada transponovana matrica ima red nm.

6. Matrica A se zove simetrična ako je A =, a kososimetrična ako je A =.

Primjer. Ispitati simetriju matrice A I IN.

dakle matrica A- simetrično, jer A =.

dakle matrica IN- koso-simetrično, pošto B = -.

Imajte na umu da su simetrične i koso-simetrične matrice uvijek kvadratne. Bilo koji elementi mogu biti na glavnoj dijagonali simetrične matrice, a identični elementi moraju biti postavljeni simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu, odnosno nule se uvijek pojavljuju na glavnoj dijagonali koso-simetrične matrice i simetrično u odnosu na glavnu dijagonalu

matrični kvadrat laplasov otkazivanje

Matrice u matematici su jedan od najvažnijih objekata od praktičnog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg smjera.

Telefonski imenici bilo koje veličine i sa bilo kojom količinom podataka o pretplatnicima nisu ništa drugo do matrice. Takve matrice izgledaju otprilike ovako:

Jasno je da svi mi koristimo takve matrice skoro svaki dan. Ove matrice dolaze s različitim brojevima redova (razlikuju se kao imenik koji izdaje telefonska kompanija, koji može imati hiljade, stotine hiljada ili čak milione redova i novi koji ste upravo započeli notebook, u kojem ima manje od deset redaka) i kolone (direktorij zvaničnici neka organizacija u kojoj mogu postojati kolone kao što su pozicija i broj kancelarije i vaš isti adresar, gde možda nema nikakvih podataka osim imena, pa samim tim u njemu postoje samo dve kolone - ime i broj telefona).

Mogu se sabirati i množiti razne matrice, kao i druge operacije na njima, ali nema potrebe za sabiranjem i množenjem telefonskih imenika, nema koristi od toga, a osim toga, možete koristiti svoj um.

Ali mnoge matrice se mogu i trebaju zbrajati i množiti i tako rješavati razne hitne probleme. Ispod su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a redovi su godine u kojima je zabilježena proizvodnja ovog proizvoda:

Možete dodati matrice ovog tipa, koje uzimaju u obzir izlaz sličnih proizvoda različitih preduzeća, kako biste dobili zbirne podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jedne kolone, u kojoj su redovi prosječna cijena određene vrste proizvoda:

Posljednje dvije vrste matrica mogu se pomnožiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravougaona tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili samo matrica ) i piše se ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao i u determinanti, prvi indeks označava broj reda, drugi – kolonu na čijem preseku se element nalazi; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravougaona , Ako .

Ako m = n, tada se matrica zove kvadrat , a broj n je njegov po redu .

Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A. To je označeno simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nije posebno (ili nedegenerisan , ne-jednina ), ako njegova determinanta nije nula, i poseban (ili degenerisati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se pozivaju jednaka , ako imaju isti broj redova i stupaca i svi odgovarajući elementi se podudaraju.

Matrica se zove null , ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nultu matricu ćemo označiti simbolom 0 ili .

na primjer,

Matrica-red (ili mala slova ) se zove 1 n-matrica, i matrica-kolona (ili columnar ) – m 1-matrica.

Matrix A", koji se dobija iz matrice A zamena redova i kolona u njemu se zove transponovano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1) transponovana matrica je

Operacija prijelaza matrice A" transponirano u odnosu na matricu A, naziva se matrična transpozicija A. Za mn-matrica transponovana je nm-matrica.

Matrica transponovana u odnosu na matricu je A, odnosno

(A")" = A .

Primjer 1. Pronađite matricu A", transponirano u odnosu na matricu

i saznati da li su determinante originalne i transponovane matrice jednake.

Glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njene elemente, za koju su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Poziva se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Među njima može biti jednako nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju, različiti od nule, a svi ostali jednaki nuli, naziva se skalarna matrica .

Matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2. Zadate matrice:

Rješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trougla, nalazimo

Matrična determinanta B izračunajmo koristeći formulu

Lako to shvatamo

Dakle, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B– poseban (degenerisan, jednina).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.

Sami riješite problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3. Zadane matrice

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerisani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

Strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i zgodno bilježe u obliku matrica. Matrični modeli se kreiraju ne samo za pohranjivanje ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje razne zadatke sa ovim datim sredstvima linearne algebre.

Dakle, dobro poznati matrični model ekonomije je input-output model, koji je uveo američki ekonomista ruskog porijekla Vasilij Leontijev. Ovaj model se zasniva na pretpostavci da je ceo proizvodni sektor privrede podeljen na nčiste industrije. Svaka industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog ovakve podjele rada između industrija, dolazi do međuindustrijskog povezivanja, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.

Volumen proizvoda i-ta industrija (mjerena određenom mjernom jedinicom), koja je proizvedena u izvještajnom periodu, označava se i naziva se punim outputom i-th industrija. Problemi se mogu zgodno smjestiti n-komponentni red matrice.

Broj jedinica i-industrija koju treba potrošiti j-industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje označava se i naziva koeficijent direktnih troškova.

Na takvim matricama se izvode razne operacije: one se međusobno množe, pronalaze determinante itd. Matrix - poseban slučaj niz: ako niz može imati bilo koji broj dimenzija, tada se samo dvodimenzionalni niz naziva matrica.

U programiranju, matrica se naziva i dvodimenzionalni niz. Bilo koji niz u programu ima ime, kao da je jedna varijabla. Da bi se razjasnilo na koju se od ćelija niza misli, kada se spominje u programu, broj ćelije u njemu se koristi zajedno sa varijablom. I dvodimenzionalna matrica i n-dimenzionalni niz u programu mogu sadržavati ne samo numeričke, već i simboličke, stringove, logičke i druge informacije, ali uvijek iste unutar cijelog niza.

Matrice su označene velikim slovima A:MxN, gdje je A naziv matrice, M broj redova u matrici, a N broj kolona. Elementi su predstavljeni odgovarajućim malim slovima sa indeksima koji označavaju njihov broj u redu i koloni a (m, n).

Najčešće su matrice pravougaonog oblika, iako su u dalekoj prošlosti matematičari smatrali i trokutaste. Ako je broj redova i stupaca matrice isti, naziva se kvadrat. U ovom slučaju, M=N već ima ime matrice. Matrica sa samo jednim redom naziva se red. Matrica sa samo jednim stupcem naziva se kolonarna matrica. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su samo elementi koji se nalaze duž dijagonale različiti od nule. Ako su svi elementi jednaki jedan, matrica se naziva identičnost, ako su svi elementi jednaki nuli, naziva se nula.

Ako zamijenite redove i stupce u matrici, ona se transponira. Ako se svi elementi zamijene kompleksnim konjugatima, on postaje kompleksan konjugat. Osim toga, postoje i druge vrste matrica koje su određene uvjetima koji su nametnuti elementima matrice. Ali većina ovih uvjeta odnosi se samo na kvadratne.

Video na temu

Dato metodološki priručnik pomoći će vam da naučite kako se izvoditi operacije sa matricama: sabiranje matrice (oduzimanje), transpozicija matrice, množenje matrice, nalaženje inverzna matrica. Sav materijal je predstavljen u jednostavnom i pristupačnom obliku, dati su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi radnje s matricama.

Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>. Pokušaću da minimiziram teorijske proračune na nekim mjestima moguća su objašnjenja „na prste“ i upotreba nenaučnih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molim vas da se ne upuštate u kritiku, naš zadatak je.

nauči da izvodi operacije sa matricama Za SUPER BRZU pripremu na temu (ko gori) postoji intenzivni pdf kurs

Matrica, determinanta i test! elementi. As elementi razmatraćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Preporučljivo je zapamtiti termin, često će se pojavljivati, nije slučajno što sam koristio podebljan font da ga istaknem.

Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

primjer: Razmotrite matricu dva po tri:

Ova matrica se sastoji od šest elementi:

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora o bilo kakvom oduzimanju:

To je samo tabela (skup) brojeva!

I mi ćemo se složiti nemojte preuređivati brojeva, osim ako je drugačije navedeno u objašnjenjima. Svaki broj ima svoju lokaciju i ne može se miješati!

Matrica u pitanju ima dva reda:

i tri kolone:

STANDARD: kada govorimo o veličinama matrice, onda isprva označite broj redova, a tek onda broj kolona. Upravo smo razbili matricu dva po tri.

Ako je broj redova i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, Na primjer: – matrica tri po tri.

Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se takve matrice također nazivaju vektori.

U stvari, koncept matrice znamo još od škole, uzmimo u obzir, na primjer, tačku s koordinatama “x” i “y”: . U suštini, koordinate tačke se upisuju u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je red brojeva bitan: i su dva potpuno različite tačke avion.

A sada pređimo na učenje operacije sa matricama:

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Vratimo se našoj matrici . Kao što ste vjerovatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. Ovo je vrlo nezgodno sa stanovišta izvođenja raznih radnji s matricom, nezgodno je pisati toliko minusa i jednostavno izgleda ružno u dizajnu.

Pomerimo minus van matrice tako što ćemo promeniti predznak SVAKOM elementu matrice:

Na nuli, kao što razumete, znak se ne menja, nula je i nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Hajde da unesemo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOGA elementa matrice:

Pa, ispalo je mnogo ljepše. I, što je najvažnije, biće LAKŠE izvršiti bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takva matematička narodni znak: kako više kontra– što je više zabune i grešaka.

2) Drugi čin. Množenje matrice brojem.

primjer:

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu brojem, potrebno vam je svaki matrični element pomnožen datim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još jedan koristan primjer:

– množenje matrice sa razlomkom

Prvo da pogledamo šta da radimo NO NEED:

NEMA POTREBE unositi razlomak u matricu, prvo, to samo komplikuje dalje radnje sa matricom, a drugo, nastavniku je teško provjeriti rješenje (naročito ako; – konačni odgovor zadatka).

I, štaviše, NO NEED podijelite svaki element matrice sa minus sedam:

Iz članka Matematika za lutke ili odakle početi, sećamo se toga decimale u višoj matematici pokušavaju ih izbjeći na sve moguće načine.

Jedina stvar je poželjno Ono što treba učiniti u ovom primjeru je dodati minus u matricu:

Ali ako samo SVE matrični elementi su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

primjer:

U ovom slučaju, možete NEED TO pomnožite sve elemente matrice sa , jer su svi brojevi matrice djeljivi sa 2 bez traga.

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept “podjele”. Umjesto da kažete “ovo podijeljeno s onim”, uvijek možete reći “ovo pomnoženo s razlomkom”. Odnosno, dijeljenje je poseban slučaj množenja.

3) Treći čin. Matrix Transpose.

Da biste transponovali matricu, potrebno je da njene redove upišete u kolone transponovane matrice.

primjer:

Transponovana matrica

Ovdje je samo jedan red i po pravilu ga treba pisati u stupac:

– transponovana matrica.

Transponovana matrica se obično označava superskriptom ili prostim brojem u gornjem desnom uglu.

Korak po korak primjer:

Transponovana matrica

Prvo prepisujemo prvi red u prvu kolonu:

Zatim prepisujemo drugi red u drugi stupac:

I konačno, prepisujemo treći red u treću kolonu:

Spreman. Grubo rečeno, transponovanje znači okretanje matrice na stranu.

4) Četvrti čin. Zbir (razlika) matrica.

Zbir matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SAVIJATI SVE MATRICE. Za obavljanje sabiranja (oduzimanja) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je data matrica dva po dva, onda se može dodati samo sa matricom dva po dva i ničim drugim!

primjer:

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

primjer:

Pronađite razliku matrice ,

Kako možete lakše riješiti ovaj primjer, da se ne zbunite? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa da biste to učinili, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji matematike više škole ne postoji koncept „oduzimanja“. Umjesto da kažete “oduzmi ovo od ovoga”, uvijek možete reći “dodaj ovo ovome”. negativan broj" Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj sabiranja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje matrice se mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila sa matricom, neophodno je tako da je broj stupaca matrice jednak broju redova matrice.

primjer:
Da li je moguće pomnožiti matricu sa matricom?

To znači da se matrični podaci mogu množiti.

Ali ako se matrice preurede, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Dakle, množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke sa trikom, kada se od učenika traži da pomnoži matrice čije je množenje očigledno nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množiti matrice na oba načina.
Na primjer, za matrice, moguće su i množenje i množenje