Gradijent funkcije i njegova svojstva. Vektorska analiza skalarno polje površine i linije nivoa usmjerena derivacija derivacija gradijent skalarnog polja osnovna svojstva gradijenta invarijantna definicija pravila proračuna gradijenta gradijenta

Iz školskog predmeta matematike znamo da je vektor na ravni usmjereni segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate se izračunavaju oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.

Koncept vektora se može proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate biće n koordinata).

Gradijent gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) je vektor parcijalnih izvoda funkcije u tački, tj. vektor sa koordinatama.

Može se dokazati da gradijent funkcije karakteriše pravac najbržeg rasta nivoa funkcije u tački.

Na primjer, za funkciju z = 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj tački će imati koordinate (2; 1). Možete ga konstruisati na ravni na različite načine, uzimajući bilo koju tačku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati tačku (0; 0) sa tačkom (2; 1) ili tačku (1; 0) sa tačkom (3; 1) ili tačku (0; 3) sa tačkom (2; 4), ili tako dalje. (Vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruisani na ovaj način imaće koordinate (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Sa slike 5.8 se jasno vidi da nivo funkcije raste u pravcu gradijenta, budući da konstruisane linije nivoa odgovaraju vrednostima nivoa 4 > 3 > 2.

Slika 5.8 - Gradijent funkcije z= 2x 1 + x 2

Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z = 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće biti uvijek isti u različitim tačkama, jer su njene koordinate određene formulama (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Slika 5.9 prikazuje linije nivoa funkcije z = 1/(x 1 x 2) za nivoe 2 i 10 (prava linija 1/(x 1 x 2) = 2 je označena isprekidanom linijom, a prava linija 1/( x 1 x 2) = 10 je puna linija).

Slika 5.9 - Gradijent funkcije z= 1/(x 1 x 2) u različitim tačkama

Uzmite, na primjer, tačku (0,5; 1) i izračunajte gradijent u ovoj tački: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Imajte na umu da tačka (0,5; 1) leži na liniji nivoa 1/(x 1 x 2) = 2, jer je z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Da nacrtate vektor ( -4; -2) na slici 5.9 povežite tačku (0,5; 1) sa tačkom (-3,5; -1), jer (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Uzmimo još jednu tačku na istoj ravni, na primjer, tačku (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajmo gradijent u ovoj tački (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, povezujemo tačku (1; 0,5) sa tačkom (-1; -3,5), jer (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Uzmimo drugu tačku na istoj ravni, ali samo sada u nepozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, tačka (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj tački će biti jednak (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Oslikajmo to na slici 5.9 spajanjem tačke (-0,5; -1) sa tačkom (3,5; 1), jer (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Treba napomenuti da u sva tri razmatrana slučaja gradijent pokazuje smjer rasta nivoa funkcije (prema liniji nivoa 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Može se dokazati da je gradijent uvijek okomit na liniju nivoa (površinu nivoa) koja prolazi kroz datu tačku.

Ekstremi funkcije nekoliko varijabli

Hajde da definišemo koncept ekstrem za funkciju mnogih varijabli.

Funkcija mnogih varijabli f(X) ima u tački X (0) maksimum (minimum), ako postoji okolina ove tačke takva da su za sve tačke X iz ove okoline zadovoljene nejednakosti f(X)f(X (0)) ().

Ako su ove nejednakosti zadovoljene kao stroge, onda se naziva ekstremum jaka, a ako ne, onda slab.

Imajte na umu da je ekstremum definisan na ovaj način lokalni karaktera, jer su ove nejednakosti zadovoljene samo za određenu okolinu tačke ekstrema.

Neophodan uslov za lokalni ekstrem diferencijabilne funkcije z=f(x 1, . . ., x n) u tački je jednakost sa nulom svih parcijalnih izvoda prvog reda u ovoj tački:
.

Tačke u kojima ove jednakosti vrijede nazivaju se stacionarni.

Na drugi način, neophodan uslov za ekstrem se može formulisati na sledeći način: u tački ekstrema, gradijent je nula. Može se dokazati i opštija tvrdnja: u tački ekstrema derivacije funkcije u svim smjerovima nestaju.

Stacionarne tačke treba podvrgnuti dodatnom istraživanju kako bi se utvrdilo da li su ispunjeni dovoljni uslovi za postojanje lokalnog ekstremuma. Da biste to učinili, odredite predznak diferencijala drugog reda. Ako je za bilo koji , koji nije istovremeno jednak nuli, uvijek negativan (pozitivan), tada funkcija ima maksimum (minimum). Ako može ići na nulu ne samo sa nultim inkrementima, onda pitanje ekstrema ostaje otvoreno. Ako može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti, onda nema ekstrema u stacionarnoj tački.

U opštem slučaju, određivanje predznaka diferencijala je prilično složen problem, koji ovde nećemo razmatrati. Za funkciju dvije varijable, može se dokazati da je u stacionarnoj tački
, tada je prisutan ekstremum. U ovom slučaju, znak drugog diferencijala poklapa se sa predznakom
, tj. Ako
, onda je ovo maksimum, a ako
, onda je ovo minimum. Ako
, tada u ovom trenutku ne postoji ekstremum, i ako
, onda pitanje ekstremuma ostaje otvoreno.

Primjer 1. Pronađite ekstreme funkcije
.

Nađimo parcijalne izvode koristeći metodu logaritamske diferencijacije.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Isto tako
.

Nađimo stacionarne tačke iz sistema jednačina:

Tako su pronađene četiri stacionarne tačke (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).

Nađimo parcijalne izvode drugog reda:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Isto tako
;
.

Jer
, znak izraza
zavisi samo od
. Imajte na umu da je u oba ova izvoda imenilac uvijek pozitivan, tako da možete uzeti u obzir samo predznak brojioca, ili čak znak izraza x(x 2 – 3) i y(y 2 – 3). Hajde da ga definišemo u svakoj kritičnoj tački i proverimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem.

Za tačku (1; 1) dobijamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух negativni brojevi
> 0, i
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Za tačku (1; -1) dobijamo 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Jer proizvod ovih brojeva
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Za tačku (-1; -1) dobijamo (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Jer proizvod dva pozitivna broja
> 0, i
> 0, u tački (-1; -1) se može naći minimum. Jednako je 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Nađi globalno maksimum ili minimum (najveća ili najmanja vrijednost funkcije) je nešto složeniji od lokalni ekstrem, budući da se ove vrijednosti mogu postići ne samo u stacionarnim tačkama, već i na granici domene definicije. Nije uvijek lako proučavati ponašanje funkcije na granici ovog područja.

Neka Z= F(M) – funkcija definirana u nekom susjedstvu točke M(y; x);L={ Cos; Cos} – jedinični vektor (na slici 33 1=  , 2= ); L– usmjerena prava linija koja prolazi kroz tačku M; M1(x1; y1), gdje je x1=x+x i y1=y+y– tačka na pravoj L;  L– dužina segmenta MM1;  Z= F(x+x, y+y)-F(X, Y) – prirast funkcije F(M) u tački M(x; y).

Definicija. Granica omjera, ako postoji, naziva se Derivat funkcije Z = F ( M ) u tački M ( X ; Y ) u smjeru vektora L .

Oznaka.

Ako je funkcija F(M) diferencibilan u tački M(x;y), zatim u tački M(x;y) postoji derivat u bilo kom pravcu L proizilaze iz M; izračunava se pomoću sljedeće formule:

(8)

Gdje Cos I Cos- kosinus smjera vektora L.

Primjer 46. Izračunajte derivaciju funkcije Z= X2 + Y2 X u tački M(1; 2) u pravcu vektora MM1, Gdje M1– tačka sa koordinatama (3; 0).

. Nađimo jedinični vektor L, ima ovaj pravac:

Gdje Cos= ; Cos=- .

Izračunajmo parcijalne izvode funkcije u tački M(1; 2):

Koristeći formulu (8) dobijamo

Primjer 47. Pronađite izvod funkcije U = Xy2 Z3 u tački M(3; 2; 1) U pravcu vektora MN, Gdje N(5; 4; 2) .

. Nađimo vektor i njegove kosinuse smjera:

Izračunajmo vrijednosti parcijalnih izvoda u tački M:

dakle,

Definicija. Gradijent FunkcijeZ= F(M) u tački M(x; y) je vektor čije su koordinate jednake odgovarajućim parcijalnim derivacijama i uzete u tački M(x; y).

Oznaka.

Primjer 48. Pronađite gradijent funkcije Z= X2 +2 Y2 -5 u tački M(2; -1).

Rješenje. Pronalaženje parcijalnih izvoda: i njihove vrijednosti u tom trenutku M(2; -1):

Primjer 49. Pronađite veličinu i smjer gradijenta funkcije u tački

Rješenje. Nađimo parcijalne derivacije i izračunajmo njihove vrijednosti u tački M:

dakle,

Smjerno izvod za funkciju tri varijable određuje se na sličan način U= F(X, Y, Z) , formule su prikazane

Uvodi se koncept gradijenta

Hajde da to naglasimo Osnovna svojstva funkcije gradijenta važnije za analizu ekonomske optimizacije: u pravcu gradijenta funkcija raste. Sljedeća svojstva gradijenta se koriste u ekonomskim problemima:

1) Neka je funkcija data Z= F(X, Y) , koji imaju parcijalne izvode u domenu definicije. Hajde da razmotrimo neku tačku M0(x0, y0) iz domena definicije. Neka je vrijednost funkcije u ovoj tački jednaka F(X0 , Y0 ) . Pogledajmo graf funkcije. Kroz tačku (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) trodimenzionalnom prostoru crtamo ravan tangentu na površinu grafa funkcije. Zatim gradijent funkcije izračunat u tački (x0, y0), geometrijski posmatran kao vektor primenjen u tački (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , bit će okomita na tangentnu ravan. Geometrijska ilustracija je prikazana na Sl. 34.

2) Funkcija gradijenta F(X, Y) u tački M0(x0, y0) označava smjer najbržeg povećanja funkcije u tački M0. Osim toga, bilo koji smjer koji čini oštar ugao s gradijentom je smjer rasta funkcije u tački M0. Drugim riječima, mali pokret iz tačke (x0, y0) u smjeru gradijenta funkcije u ovoj tački dovodi do povećanja funkcije, i to u najvećoj mjeri.

Razmotrite vektor suprotan gradijentu. To se zove Anti-gradijent . Koordinate ovog vektora su:

Funkcija protiv gradijenta F(X, Y) u tački M0(x0, y0) označava smjer najbržeg smanjenja funkcije u tački M0. Svaki pravac koji formira oštar ugao sa antigradijentom je pravac u kojem funkcija opada u toj tački.

3) Prilikom proučavanja funkcije često postoji potreba za pronalaženjem takvih parova (x, y) iz domene definicije funkcije, u kojoj funkcija uzima iste vrijednosti. Razmotrite skup tačaka (X, Y) iz domene funkcije F(X, Y) , takav da F(X, Y)= Konst, gdje je ulaz “ Konst” znači da je vrijednost funkcije fiksna i jednaka nekom broju iz opsega funkcije.

Definicija. Linija nivoa funkcije U = F ( X , Y ) zove linijaF(X, Y)=C u avionuXOy, u tačkama u kojima funkcija održava konstantnu vrijednostU= C.

Linije nivoa su geometrijski prikazane na ravni promjene nezavisnih varijabli u obliku zakrivljenih linija. Dobijanje linija nivoa može se zamisliti na sljedeći način. Razmotrite set WITH, koji se sastoji od tačaka trodimenzionalnog prostora sa koordinatama (X, Y, F(X, Y)= Konst), koji, s jedne strane, pripadaju grafu funkcije Z= F(X, Y), s druge strane, leže u ravni paralelnoj sa koordinatnom ravninom HOU, i razmaknuti od njega za iznos jednak datoj konstanti. Zatim, da bi se konstruisala linija nivoa, dovoljno je presjeći površinu grafa funkcije ravninom Z= Konst i projektovati liniju preseka na ravan HOU. Gore navedeno obrazloženje opravdava mogućnost direktne konstrukcije ravnih linija na ravni HOU.

Definicija. Pozivaju se mnoge linije nivoa Linijska karta.

Dobro su poznati primjeri ravnih linija - nivoi istih visina na topografska karta i linije jednakog barometarskog pritiska na vremenskoj karti.

Definicija. Smjer duž kojeg je brzina povećanja funkcije maksimalna se naziva "poželjnom" pravcu, ili Smjer najbržeg rasta.

“Preferirani” smjer je dat vektorom gradijenta funkcije. Na sl. 35 prikazuje maksimum, minimum i sedlo u problemu optimizacije funkcije dvije varijable u odsustvu ograničenja. Donji dio slike prikazuje linije nivoa i smjera najbržeg rasta.

Primjer 50. Pronađite linije na nivou funkcije U= X2 + Y2 .

Rješenje. Jednačina porodice linija nivoa ima oblik X2 + Y2 = C (C>0) . Davanje WITH različite realne vrijednosti, dobijamo koncentrične krugove sa centrom u početku.

Izgradnja nivelete. Njihova analiza nalazi široka primena u ekonomskim problemima mikro i makro nivoa, teoriji ravnoteže i efikasna rješenja. Izokvante, izokvante, krive indiferencije - sve su to linije nivoa konstruirane za različite ekonomske funkcije.

Primjer 51. Razmotrite sljedeću ekonomsku situaciju. Neka se opiše proizvodnja proizvoda Cobb-Douglas funkcija F(X, Y)=10x1/3y2/3, Gdje X- količina rada, U– iznos kapitala. Za kupovinu resursa izdvojeno je 30 USD. jedinica, cijena rada je 5 USD. jedinice, kapital – 10 USD. jedinice Zapitajmo se: koji je najveći učinak koji se može dobiti pod ovim uvjetima? Ovdje „dati uslovi“ označavaju date tehnologije, cijene resursa i vrstu proizvodne funkcije. Kao što je već napomenuto, funkcija Cobb-Douglas monotono raste za svaku varijablu, tj. povećanje svake vrste resursa dovodi do povećanja outputa. Pod ovim uslovima, jasno je da je moguće povećati nabavku resursa sve dok ima dovoljno novca. Setovi resursa, čija je cijena 30 USD. jedinica, zadovoljavaju uslov:

5x + 10y = 30,

To jest, oni određuju liniju nivoa funkcije:

G(X, Y) = 5x + 10y.

S druge strane, korištenjem ravnih linija Cobb-Douglasove funkcije (Sl. 36) možete prikazati povećanje funkcije: u bilo kojoj tački linije nivoa, smjer gradijenta je smjer najvećeg povećanja, a za konstruiranje gradijenta u tački dovoljno je nacrtati tangentu na liniju nivoa u ovoj tački, konstruirajte okomitu na tangentu i označite smjer gradijenta. Od sl. 36 može se vidjeti da liniju nivoa Cobb-Douglasove funkcije treba pomicati duž gradijenta sve dok ne postane tangenta na liniju nivoa 5x + 10y = 30. Tako je, koristeći koncepte linija nivoa, gradijenta i svojstava gradijenta, moguće razviti pristupe za najbolje korišćenje resursa u smislu povećanja obima proizvodnje.

Definicija. Funkcija površinskog nivoa U = F ( X , Y , Z ) zove se površinaF(X, Y, Z)=S, u čijim tačkama funkcija održava konstantnu vrijednostU= C.

Primjer 52. Pronađite površine na nivou funkcije U= X2 + Z2 - Y2 .

Rješenje. Jednačina za porodicu ravnih površina ima oblik X2 + Z2 - Y2 =C. Ako S=0, onda dobijamo X2 + Z2 - Y2 =0 – konus; Ako C<0 , To X2 + Z2 - Y2 =C – Porodica hiperboloida sa dva lista.

Neki koncepti i termini se koriste u čisto uskom okviru. Druge definicije se nalaze u područjima koja su oštro suprotstavljena. Na primjer, koncept "gradijent" koriste fizičar, matematičar i maniker ili stručnjak za Photoshop. Šta je gradijent kao koncept? Hajde da to shvatimo.

Šta kažu rječnici?

Posebni tematski rječnici tumače šta je „gradijent“ u odnosu na njihove specifičnosti. Prevedeno s latinskog, ova riječ znači “onaj koji ide, raste”. Wikipedia ovaj koncept definira kao "vektor koji pokazuje smjer povećanja količine." U objašnjavajućim rječnicima značenje ove riječi vidimo kao „promjenu bilo koje vrijednosti za jednu vrijednost“. Koncept može imati i kvantitativno i kvalitativno značenje.

Ukratko, to je glatka postepena tranzicija bilo koje vrijednosti za jednu vrijednost, progresivna i kontinuirana promjena količine ili smjera. Vektor izračunavaju matematičari i meteorolozi. Ovaj koncept se koristi u astronomiji, medicini, umjetnosti i kompjuterskoj grafici. Sličan pojam definira potpuno različite vrste aktivnosti.

Matematičke funkcije

Koliki je gradijent funkcije u matematici? Ovo ukazuje na smjer rasta funkcije u skalarnom polju od jedne vrijednosti do druge. Veličina gradijenta se izračunava pomoću parcijalnih izvoda. Da bi se odredio najbrži smjer rasta funkcije, na grafu se biraju dvije točke. Oni definiraju početak i kraj vektora. Brzina kojom vrijednost raste od jedne tačke do druge je veličina gradijenta. Matematičke funkcije zasnovane na proračunima ovog indikatora koriste se u vektorskoj kompjuterskoj grafici čiji su objekti grafičke slike matematičkih objekata.

Šta je gradijent u fizici?

Koncept gradijenta je uobičajen u mnogim granama fizike: gradijent optike, temperature, brzine, pritiska itd. U ovoj grani, koncept označava meru povećanja ili smanjenja vrednosti za jedan. Izračunava se proračunima kao razlika između dva indikatora. Pogledajmo neke od vrijednosti detaljnije.

Šta je potencijalni gradijent? Pri radu sa elektrostatičkim poljem određuju se dvije karakteristike: napetost (sila) i potencijal (energija). Ove različite količine su povezane sa životnom sredinom. I iako definiraju različite karakteristike, one i dalje imaju veze jedna s drugom.

Za određivanje jačine polja sile koristi se gradijent potencijala - vrijednost koja određuje brzinu promjene potencijala u smjeru linije sile. Kako izračunati? Razlika potencijala između dvije tačke električnog polja izračunava se iz poznatog napona pomoću vektora intenziteta, koji je jednak gradijentu potencijala.

Termini meteorologa i geografa

Po prvi put su meteorolozi koristili koncept gradijenta za određivanje promjena u veličini i smjeru različitih meteoroloških indikatora: temperature, pritiska, brzine i jačine vjetra. To je mjera kvantitativnih promjena u različitim količinama. Maxwell je taj termin uveo u matematiku mnogo kasnije. U određivanju vremenskih uslova postoje koncepti vertikalnih i horizontalnih nagiba. Pogledajmo ih pobliže.

Šta je vertikalni temperaturni gradijent? Ovo je vrijednost koja pokazuje promjenu pokazatelja, izračunatu na visini od 100 m, može biti pozitivna ili negativna, za razliku od horizontalne, koja je uvijek pozitivna.

Gradijent pokazuje veličinu ili ugao nagiba na tlu. Izračunava se kao omjer visine i dužine projekcije staze u određenoj dionici. Izraženo u postocima.

Medicinski indikatori

Definicija “temperaturnog gradijenta” se također može naći među medicinskim terminima. Pokazuje razliku u odgovarajućim pokazateljima unutrašnjih organa i površine tijela. U biologiji, fiziološki gradijent bilježi promjene u fiziologiji bilo kojeg organa ili organizma u cjelini u bilo kojoj fazi njegovog razvoja. U medicini metabolički indikator je intenzitet metabolizma.

Ne samo fizičari, već i doktori koriste ovaj termin u svom radu. Šta je gradijent pritiska u kardiologiji? Ovaj koncept definira razliku u krvnom tlaku u svim međusobno povezanim dijelovima kardiovaskularnog sistema.

Opadajući gradijent automatizma pokazatelj je smanjenja frekvencije ekscitacije srca u smjeru od njegove baze prema vrhu, koje se događa automatski. Pored toga, kardiolozi identifikuju lokaciju arterijskog oštećenja i njegov stepen praćenjem razlike u amplitudama sistolnih talasa. Drugim riječima, koristeći gradijent amplitude impulsa.

Šta je gradijent brzine?

Kada govore o brzini promjene određene veličine, pod tim podrazumijevaju brzinu promjene u vremenu i prostoru. Drugim riječima, gradijent brzine određuje promjenu prostornih koordinata u odnosu na vremenske indikatore. Ovaj pokazatelj izračunavaju meteorolozi, astronomi i hemičari. Gradijent brzine smicanja tečnih slojeva se određuje u industriji nafte i gasa kako bi se izračunala brzina podizanja tečnosti kroz cev. Ovaj pokazatelj tektonskih kretanja područje je proračuna seizmologa.

Ekonomske funkcije

Ekonomisti naširoko koriste koncept gradijenta kako bi potkrijepili važne teorijske zaključke. Kada se rješavaju problemi potrošača, koristi se funkcija korisnosti koja pomaže u predstavljanju preferencija iz skupa alternativa. "Funkcija budžetskog ograničenja" je termin koji se koristi za označavanje skupa potrošačkih paketa. Gradijent u ovoj oblasti se koristi za izračunavanje optimalne potrošnje.

Gradijent boje

Izraz "gradijent" poznat je kreativnim ljudima. Iako su daleko od egzaktnih nauka. Šta je gradijent za dizajnera? Budući da se u egzaktnim naukama radi o postepenom povećanju vrijednosti za jedan, tako u boji ovaj pokazatelj označava glatki, produženi prijelaz nijansi iste boje iz svjetlije u tamniju, ili obrnuto. Umjetnici ovaj proces nazivaju "istezanjem". Također je moguće prebaciti se na različite prateće boje u istom rasponu.

Gradijentni nizovi nijansi u sobama za slikanje zauzeli su jaku poziciju među tehnikama dizajna. Novomodni ombre stil - glatki protok nijanse od svijetle do tamne, od svijetle do blijede - efektivno transformira svaku prostoriju u domu ili uredu.

Optičari koriste posebne leće u sunčanim naočalama. Šta je gradijent u naočarima? Ovo je izrada sočiva na poseban način, kada se od vrha do dna boja mijenja iz tamnije u svjetliju nijansu. Proizvodi napravljeni ovom tehnologijom štite oči od sunčevog zračenja i omogućavaju vam da vidite objekte čak i pri vrlo jakom svjetlu.

Boja u web dizajnu

Oni koji se bave web dizajnom i kompjuterskom grafikom dobro su svjesni univerzalnog alata "gradijent", koji se može koristiti za stvaranje širokog spektra efekata. Prijelazi boja se pretvaraju u naglaske, bizarnu pozadinu i trodimenzionalnost. Manipuliranje nijansama i stvaranje svjetla i sjene daje volumen vektorskim objektima. U ove svrhe koristi se nekoliko vrsta gradijenata:

Linearno.
Radijalno.
Konusnog oblika.
Ogledalo.
U obliku dijamanta.
Gradijent buke.

Gradient beauty

Za posjetitelje kozmetičkih salona, pitanje šta je gradijent neće biti iznenađenje. Istina, ni u ovom slučaju nije potrebno poznavanje matematičkih zakona i osnova fizike. Još uvijek govorimo o prijelazima boja. Objekti gradijenta su kosa i nokti. Tehnika ombre, što na francuskom znači "ton", u modu je ušla od ljubitelja sporta, surfanja i drugih aktivnosti na plaži. Prirodno izbijeljena i ponovo izrasla kosa postala je hit. Modne su počele posebno bojati kosu s jedva primjetnim prijelazom nijansi.

Ombre tehnika nije prošla ni pored salona za nokte. Gradijent na noktima stvara boju uz postepeno posvjetljivanje ploče od korijena do ruba. Majstori nude horizontalne, vertikalne, s prijelazom i druge sorte.

Ručni rad

Rukarice su upoznate s konceptom "gradijenta" s još jedne strane. Slična tehnika se koristi za izradu ručno rađenih predmeta u decoupage stilu. Na taj način nastaju nove starinske stvari ili se obnavljaju stare: komode, stolice, komode itd. Decoupage uključuje primjenu uzorka pomoću šablone, čija je osnova gradijent boje kao pozadina.

Umjetnici tkanina su usvojili ovu metodu bojenja za nove modele. Haljine s gradijentom boja osvojile su modne piste. Modu su pokupile igličarke - pletilje. Pleteni predmeti s glatkim prijelazom boja su popularni.

Da rezimiramo definiciju "gradijenta", možemo reći o vrlo širokom području ljudske aktivnosti u kojem ovaj pojam ima mjesto. Zamjena sinonimom "vektor" nije uvijek prikladna, jer je vektor još uvijek funkcionalan, prostorni koncept. Ono što definiše opštost koncepta je postepena promena određene količine, supstance, fizičkog parametra za jednu u određenom periodu. U boji je glatki prijelaz tonova.

Gradijent funkcije– vektorska veličina čije je određivanje povezano sa određivanjem parcijalnih izvoda funkcije. Smjer gradijenta ukazuje na put najbržeg rasta funkcije od jedne tačke skalarnog polja do druge.

Uputstva

1. Za rješavanje problema gradijenta funkcije koriste se metode diferencijalnog računa, odnosno pronalaženje parcijalnih izvoda prvog reda u odnosu na tri varijable. Pretpostavlja se da sama funkcija i svi njeni parcijalni derivati imaju svojstvo kontinuiteta u domeni definicije funkcije.

2. Gradijent je vektor čiji smjer označava smjer najbržeg porasta funkcije F. Da bi se to postiglo, na grafu su odabrane dvije točke M0 i M1, koje su krajevi vektora. Veličina gradijenta jednaka je brzini povećanja funkcije od tačke M0 do tačke M1.

3. Funkcija je diferencibilna u svim tačkama ovog vektora, dakle, projekcije vektora na koordinatne ose su sve njegove parcijalne derivacije. Tada formula gradijenta izgleda ovako: grad = (?F/?h) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdje su i, j, k koordinate jediničnog vektora . Drugim riječima, gradijent funkcije je vektor čije su koordinate njeni parcijalni izvod grad F = (?F/?h, ?F/?y, ?F/?z).

4. Primjer 1. Neka je data funkcija F = sin(x z?)/y. Potrebno je detektovati njen gradijent u tački (?/6, 1/4, 1).

5. Rješenje Odrediti parcijalne derivacije u odnosu na svaku promjenljivu: F'_h = 1/y cos(h z?) z? (-1) 1/(y?); '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zamijenite poznate vrijednosti koordinata tačke: F’_x = 4 sos(?/6) = 2 ?3; F’_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Primijeniti formulu gradijenta funkcije: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Primjer 2. Pronađite koordinate gradijenta funkcije F = y arctg (z/x) u tački (1, 2, 1).

9. Rješenje.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x) + y (arstg(z/h))'_z = y 1/(1 + (z/h)?) 1/h = y/(h (1 + (z/h)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradijent skalarnog polja je vektorska veličina. Dakle, da bismo ga pronašli, potrebno je odrediti sve komponente odgovarajućeg vektora, na osnovu poznavanja podjele skalarnog polja.

Uputstva

1. Pročitajte u udžbeniku više matematike šta je gradijent skalarnog polja. Kao što znate, ova vektorska veličina ima smjer karakteriziran maksimalnom brzinom raspada skalarne funkcije. Ovakvo tumačenje ove vektorske veličine opravdano je izrazom za određivanje njegovih komponenti.

2. Zapamtite da je svaki vektor određen veličinama njegovih komponenti. Komponente vektora su zapravo projekcije ovog vektora na jednu ili drugu koordinatnu osu. Dakle, ako se razmatra trodimenzionalni prostor, tada vektor mora imati tri komponente.

3. Zapišite kako se određuju komponente vektora koji je gradijent određenog polja. Sve koordinate takvog vektora jednake su derivaciji skalarnog potencijala u odnosu na varijablu čija se koordinata izračunava. To jest, ako trebate izračunati komponentu "x" vektora gradijenta polja, onda morate razlikovati skalarnu funkciju u odnosu na varijablu "x". Imajte na umu da izvod mora biti djelomičan. To znači da se pri diferenciranju preostale varijable koje nisu uključene u to moraju smatrati konstantama.

4. Napišite izraz za skalarno polje. Kao što je poznato, ovaj termin podrazumijeva samo skalarnu funkciju nekoliko varijabli, koje su također skalarne veličine. Broj varijabli skalarne funkcije ograničen je dimenzijom prostora.

5. Razlikujte skalarnu funkciju posebno u odnosu na svaku varijablu. Kao rezultat, dobit ćete tri nove funkcije. Upišite bilo koju funkciju u izraz za vektor gradijenta skalarnog polja. Svaka od dobijenih funkcija je zapravo indikator za jedinični vektor date koordinate. Dakle, konačni vektor gradijenta trebao bi izgledati kao polinom sa eksponentima u obliku izvoda funkcije.

Kada se razmatraju pitanja koja uključuju gradijentnu reprezentaciju, uobičajeno je razmišljati o funkcijama kao skalarnim poljima. Stoga je potrebno uvesti odgovarajuću notaciju.

Trebaće ti

– bum;
- olovka.

Uputstva

1. Neka funkcija bude specificirana sa tri argumenta u=f(x, y, z). Parcijalni izvod funkcije, na primjer, u odnosu na x, definira se kao izvod u odnosu na ovaj argument, dobiven fiksiranjem preostalih argumenata. Slično i za druge argumente. Zapis za parcijalni izvod je napisan u obliku: df/dx = u’x ...

2. Ukupni diferencijal će biti jednak du=(df/dh)dx+ (df/dy)dy+(df/dz)dz. Shodno tome, postavlja se pitanje pronalaženja derivacije u odnosu na pravac datog vektora s u tački M(x, y, z) (ne zaboravite da je pravac s određen jediničnim vektorom s^o). U ovom slučaju, vektorski diferencijal argumenata (dx, dy, dz) = (dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. S obzirom na oblik ukupnog diferencijala du, možemo zaključiti da je izvod u pravcu s u tački M jednak: (du/ds)|M=((df/dh)|M)sos(alpha)+ (( df/dy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Ako je s= s(sx,sy,sz), onda kosinus smjera (cos(alpha), cos(beta) ), cos( gama)) se izračunavaju (vidi sliku 1a).

4. Definicija derivacije usmjerenja, s obzirom na tačku M kao promjenljivu, može se prepisati u obliku skalarnog proizvoda: (du/ds) = ((df/dh, df/dy,df/dz), (cos( alfa), cos(beta), cos (gama)))=(grad u, s^o). Ovaj izraz će biti objektivan za skalarno polje. Ako se funkcija smatra lako, onda je gradf vektor koji ima koordinate koje se poklapaju s parcijalnim derivatima f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ovdje (i, j, k) su jedinični vektori koordinatnih osa u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu.

5. Ako koristimo Hamilton Nabla diferencijalni vektorski operator, tada se gradf može napisati kao množenje ovog operatorskog vektora sa skalarom f (vidi sliku 1b). Sa stanovišta veze između gradf i usmjerenog izvoda, jednakost (gradf, s^o)=0 je prihvatljiva ako su ovi vektori ortogonalni. Zbog toga se gradf često definira kao smjer najbrže metamorfoze skalarnog polja. A sa stanovišta diferencijalnih operacija (gradf je jedna od njih), svojstva gradf tačno ponavljaju svojstva diferencirajućih funkcija. Konkretno, ako je f=uv, onda je gradf=(vgradu+u gradv).

Video na temu

Gradijent Ovo je alat koji u grafičkim uređivačima ispunjava siluetu glatkim prijelazom iz jedne boje u drugu. Gradijent može dati silueti rezultat volumena, imitirati osvjetljenje, odsjaj svjetlosti na površini objekta ili rezultat zalaska sunca u pozadini fotografije. Ovaj alat ima široku primjenu, pa je za obradu fotografija ili kreiranje ilustracija vrlo važno naučiti kako ga koristiti.

Trebaće ti

Računar, grafički uređivač Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ili drugi.

Uputstva

1. Otvorite sliku u programu ili snimite novu. Napravite siluetu ili odaberite željeno područje na slici.

2. Uključite gradijent alat na alatnoj traci grafičkog uređivača. Postavite kursor miša na tačku unutar odabranog područja ili siluete gdje će početi 1. boja gradijenta. Kliknite i držite lijevu tipku miša. Pomerite kursor do tačke na kojoj želite da se gradijent promeni u konačnu boju. Otpustite lijevu tipku miša. Odabrana silueta će biti ispunjena gradijentom.

3. Gradijent Možete podesiti transparentnost, boje i njihov omjer na određenoj tački ispune. Da biste to učinili, otvorite prozor za uređivanje gradijenta. Da biste otvorili prozor za uređivanje u Photoshopu, kliknite na primjer gradijenta u panelu Opcije.

4. Prozor koji se otvori prikazuje dostupne opcije gradijenta punjenja u obliku primjera. Da biste uredili jednu od opcija, odaberite je klikom miša.

5. Na dnu prozora prikazan je primjer gradijenta u obliku široke skale na kojoj se nalaze klizači. Klizači označavaju tačke u kojima bi gradijent trebao imati specificirane usporedbe, a u intervalu između klizača boja ravnomjerno prelazi iz boje specificirane u prvoj tački u boju 2. tačke.

6. Klizači koji se nalaze na vrhu skale postavljaju transparentnost gradijenta. Za promjenu prozirnosti kliknite na željeni klizač. Ispod skale će se pojaviti polje u koje unosite traženi stepen transparentnosti u procentima.

7. Klizači na dnu skale postavljaju boje gradijenta. Klikom na jednu od njih moći ćete odabrati željenu boju.

8. Gradijent može imati nekoliko prelaznih boja. Da biste postavili drugu boju, kliknite na slobodni prostor na dnu skale. Na njemu će se pojaviti još jedan klizač. Dajte mu potrebnu boju. Skala će prikazati primjer gradijenta sa još jednom točkom. Možete pomicati klizače držeći ih lijevom tipkom miša kako biste postigli željenu kombinaciju.

9. Gradijent Dolaze u nekoliko vrsta koje mogu dati oblik ravnim siluetama. Na primjer, da bi se krugu dao oblik lopte, koristi se radijalni gradijent, a da bi se dobio oblik stošca koristi se gradijent u obliku stošca. Da biste površini dali iluziju konveksnosti, možete koristiti zrcalni gradijent, a gradijent u obliku dijamanta se može koristiti za stvaranje naglasaka.

Video na temu

1 0 Gradijent je usmjeren normalno na ravnu površinu (ili na liniju nivoa ako je polje ravno).

2 0 Gradijent je usmjeren ka povećanju funkcije polja.

3 0 Modul gradijenta jednak je najvećoj derivaciji u pravcu u datoj tački polja:

Ova svojstva daju invarijantnu karakteristiku gradijenta. Kažu da vektor gradU označava smjer i veličinu najveće promjene u skalarnom polju u datoj tački.

Napomena 2.1. Ako je funkcija U(x,y) funkcija dvije varijable, tada je vektor

(2.3)

leži u oksi ravni.

Neka su U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) diferencijabilne u tački M 0 (x,y,z) funkcije. Tada vrijede sljedeće jednakosti:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, gdje , U=U() ima izvod u odnosu na .

Primjer 2.1. Zadana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Odrediti gradijent funkcije u tački M(-2;3;4).

Rješenje. Prema formuli (2.2) imamo

Površine nivoa ovog skalarnog polja su porodica sfera x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor ravnina.

Primjer 2.2. Pronađite gradijent skalarnog polja U=x-2y+3z.

Rješenje. Prema formuli (2.2) imamo

Površine nivoa datog skalarnog polja su ravni

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnina ove porodice.

Primjer 2.3. Odrediti najveću strminu uspona površine U=x y u tački M(2;2;4).

Rješenje. imamo:

Primjer 2.4. Naći jedinični vektor normale na ravnu površinu skalarnog polja U=x 2 +y 2 +z 2 .

Rješenje. Površine nivoa date skalarne sfere polja x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradijent je usmjeren normalno na ravnu površinu, dakle

Definira vektor normale na ravnu površinu u tački M(x,y,z). Za jedinični normalni vektor dobijamo izraz

, Gdje

Primjer 2.5. Pronađite gradijent polja U= , gdje su i konstantni vektori, r je radijus vektor tačke.

Rješenje. Neka

onda:
. Po pravilu diferencijacije determinante dobijamo

dakle,

Primjer 2.6. Pronađite gradijent udaljenosti, gdje je P(x,y,z) tačka polja koja se proučava, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je neka fiksna tačka.

Rješenje. Imamo - jedinični vektor smjera.

Primjer 2.7. Odrediti ugao između gradijenata funkcija u tački M 0 (1,1).

Rješenje. Nalazimo gradijente ovih funkcija u tački M 0 (1,1), imamo

; Ugao između gradU i gradV u tački M 0 određuje se iz jednakosti

Dakle =0.

Primjer 2.8. Pronađite derivaciju smjera, radijus vektor je jednak

(2.4)

Rješenje. Pronađite gradijent ove funkcije:

Zamjenom (2.5) u (2.4) dobijamo

Primjer 2.9. Pronađite u tački M 0 (1;1;1) smjer najveće promjene u skalarnom polju U=xy+yz+xz i veličinu ove najveće promjene u ovoj tački.

Rješenje. Smjer najveće promjene polja označen je vektorom grad U(M). Nalazimo ga:

A to znači... Ovaj vektor određuje smjer najvećeg porasta ovog polja u tački M 0 (1;1;1). Veličina najveće promjene polja u ovoj tački je jednaka

Primjer 3.1. Pronađite vektorske linije vektorskog polja gdje je konstantni vektor.

Rješenje. Imamo tako da

(3.3)

Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka sa x, drugog sa y, trećeg sa z i dodajte član po član. Koristeći svojstvo proporcija, dobijamo

Dakle, xdx+ydy+zdz=0, što znači

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Sada pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka (3.3) sa c 1, drugog sa c 2, trećeg sa c 3 i dodajući član po član, dobijamo

Odakle od 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

I, prema tome, sa 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -konst.

Tražene jednačine vektorskih linija

Ove jednadžbe pokazuju da se vektorske linije dobivaju presjekom sfera koje imaju zajednički centar u početku sa ravnima okomitim na vektor . Iz toga slijedi da su vektorske linije kružnice čiji su centri na pravoj liniji koja prolazi kroz početak u smjeru vektora c. Ravnine kružnica su okomite na navedenu liniju.

Primjer 3.2. Pronađite vektorsku liniju polja prolazeći kroz tačku (1,0,0).

Rješenje. Diferencijalne jednadžbe vektorskih linija

dakle imamo . Rješavanje prve jednadžbe. Ili ako uvedemo parametar t, tada ćemo imati u ovom slučaju jednačinu poprima oblik ili dz=bdt, odakle je z=bt+c 2.