Integriranje racionalnih razlomaka u neodređeni integral. Primjeri integracije racionalnih funkcija (razlomaka)

Jedna od najvažnijih klasa funkcija, čiji su integrali izraženi kroz elementarne funkcije, je klasa racionalne funkcije.

Definicija 1. Funkcija oblika gdje
- polinomi stepeninImnaziva racionalnim. Cijela racionalna funkcija, tj. polinom, direktno integriše. Integral of frakciona racionalna funkcija može se pronaći razlaganjem u termine, koji se na standardni način pretvaraju u osnovne tabelarne integrale.

Definicija 2. Razlomak
naziva se tačnim ako je stepen brojiocanmanji od stepena nazivnikam.

Razlomak u kojem je stepen brojioca veći ili jednak stepenu nazivnika naziva se nepravilan.

Bilo koji nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Ovo se radi dijeljenjem polinoma polinomom, poput dijeljenja brojeva.

Primjer.
Zamislimo razlomak

kao zbir polinoma i pravilnog razlomka:

x - 1
Prvi mandat
u količniku se dobije kao rezultat dijeljenja glavnog člana , podijeljeno vodećim pojmom X
razdjelnik Zatim se množimo po djelitelju x-1

a rezultirajući rezultat se oduzima od dividende; Preostali članovi nepotpunog količnika nalaze se slično.

Podijelivši polinome, dobijamo:

Ova radnja se zove odabir cijelog dijela.

Definicija 3. Najjednostavniji razlomci su pravi racionalni razlomci sljedećih tipova:

I.
II.

(K=2, 3, …).
III.

gdje je kvadratni trinom
IV.
gdje je K=2, 3, …; kvadratni trinom

nema prave korene.
a) proširi imenilac
u najjednostavnije realne faktore (prema osnovnoj teoremi algebre, ovo proširenje može sadržavati linearne binome oblika
i kvadratni trinomi

, bez korijena);
b) napišite dijagram dekompozicije datog razlomka na zbir prostih razlomaka. Štaviše, svaki faktor forme odgovara k

komponente tipa I i II:
svakom faktoru forme

Bilo koji nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir polinoma i pravilnog razlomka. Ovo se radi dijeljenjem polinoma polinomom, poput dijeljenja brojeva.

odgovara e terminima tipova III i IV:
Zapišite shemu proširenja razlomaka

na zbir najjednostavnijih.

c) izvršiti sabiranje najjednostavnijih dobijenih razlomaka.
Zapišite jednakost brojila dobivenih i originalnih razlomaka;

d) naći koeficijente odgovarajuće ekspanzije:

Integriranje bilo kojeg pravilnog racionalnog razlomka nakon dekompozicije u njegove najjednostavnije termine svodi se na pronalaženje integrala jednog od sljedećih tipova:

(odgovara I e =2, 3, …).

Izračunavanje integrala svodi na formulu III:

integral - na formulu II:

integral može se naći po pravilu specificiranom u teoriji integracije funkcija koje sadrže kvadratni trinom; - kroz transformacije prikazane dolje u primjeru 4.

Primjer 1.

a) faktor imenilac:

b) napišite dijagram za dekomponovanje integrala na pojmove:

c) izvrši sabiranje prostih razlomaka:

Zapišimo jednakost brojilaca razlomaka:

d) postoje dvije metode za pronalaženje nepoznatih koeficijenata A, B, C.

Dva polinoma su jednaka ako i samo ako su njihovi koeficijenti jednaki za iste potencije , podijeljeno vodećim pojmom, tako da možete kreirati odgovarajući sistem jednačina. Ovo je jedna od metoda rješenja.

Koeficijenti at

slobodni članovi (koeficijent pri ):4A=8.

Nakon što smo riješili sistem, dobijamo A=2, B=1, C= - 10.

Druga metoda - privatne vrijednosti - bit će razmotrena u sljedećem primjeru;

e) zamijenite pronađene vrijednosti u šemu dekompozicije:

Zamjenjujući rezultirajući zbir pod predznakom integrala i integrirajući svaki član posebno, nalazimo:

Primjer 2.

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti nepoznanica koje su u njemu uključene. Na osnovu ovoga metod privatne vrijednosti. , podijeljeno vodećim pojmom Može se dati

bilo koje vrijednosti. Za izračune je pogodnije uzeti one vrijednosti zbog kojih svi članovi na desnoj strani jednakosti nestaju. Neka x = 0 . Onda 1 = A 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1)+S Slično za x = - 2 imamo 1= - 2V*(-3 ), at x = 1 imamo.

1 = 3A

dakle,

Primjer 3.

bilo koje vrijednosti. Za izračune je pogodnije uzeti one vrijednosti zbog kojih svi članovi na desnoj strani jednakosti nestaju. Neka d) prvo koristimo metodu parcijalne vrijednosti. . Onda , Onda.

1, A = 1 At x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) ili, 6 = - 3V.

B = - 2 , podijeljeno vodećim pojmom Da biste pronašli koeficijente C i D, potrebno je kreirati još dvije jednačine. Da biste to učinili, možete uzeti bilo koje druge vrijednosti , Na primjer x = 1 I x = 2 , podijeljeno vodećim pojmom. Možete koristiti prvi metod, tj. izjednačiti koeficijente na bilo kojim identičnim potencijama , na primjer kada

I.Dobili smo

1 = A+B+C i 4 = C + D, - IN. Znajući A = 1, . = 0 .

B = -2

, naći ćemo C = 2

Dakle, obje metode se mogu kombinirati prilikom izračunavanja koeficijenata.
Poslednji integral
nalazimo odvojeno prema pravilu specificiranom u metodi specificiranja nove varijable.

Odaberimo savršen kvadrat u nazivniku:

recimo

Onda

dobijamo:

Zamjenom prethodne jednakosti nalazimo

Primjer 4.

Nađi

U trećem integralu zamjenjujemo varijablu:

(Prilikom izvođenja transformacija koristili smo formulu trigonometrije

Pronađite integrale:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Pitanja za samotestiranje.

Koji od podataka racionalni razlomci su tačni:

2. Da li je dijagram za razlaganje razlomka na zbir prostih razlomaka ispravno napisan?

Racionalna funkcija je razlomak oblika, čiji su brojnik i nazivnik polinomi ili proizvodi polinoma.

Primjer 1. Korak 2.

Neodređene koeficijente množimo polinomima koji nisu u ovom pojedinačnom razlomku, ali koji su u drugim rezultujućim razlomcima:

Otvorite zagrade i izjednačite brojnik originalnog integranda sa rezultirajućim izrazom:

U obje strane jednakosti tražimo članove s istim potencijama od x i sastavljamo sistem jednačina od njih:

Poništavamo sve x i dobijamo ekvivalentan sistem jednačina:

Dakle, konačno proširenje integrala u zbir prosti razlomci:

Primjer 2. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Sada počinjemo tražiti neizvjesne koeficijente. Da bismo to učinili, izjednačavamo brojilac originalnog razlomka u izrazu funkcije sa brojnikom izraza koji se dobije nakon svođenja sume razlomaka na zajednički nazivnik:

Sada treba da kreirate i rešite sistem jednačina. Da bismo to uradili, izjednačavamo koeficijente varijable do odgovarajućeg stepena u brojiocu originalnog izraza funkcije i slične koeficijente u izrazu dobijenom u prethodnom koraku:

Rezultujući sistem rešavamo:

Dakle, odavde

dakle, Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Počinjemo tražiti neizvjesne koeficijente. Da bismo to učinili, izjednačavamo brojilac originalnog razlomka u izrazu funkcije sa brojnikom izraza koji se dobije nakon svođenja sume razlomaka na zajednički nazivnik:

Kao iu prethodnim primjerima, sastavljamo sistem jednačina:

Smanjujemo x i dobijamo ekvivalentan sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačnu dekompoziciju integrala u zbir prostih razlomaka:

recimo Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Iz prethodnih primjera već znamo kako izjednačiti brojnik originalnog razlomka sa izrazom u brojniku koji se dobije nakon što se razlomak razloži na zbir prostih razlomaka i ovaj zbroj dovede do zajedničkog nazivnika. Stoga, samo u svrhu kontrole, predstavljamo rezultujući sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačnu dekompoziciju integrala u zbir prostih razlomaka:

Primjer 5. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Nezavisno svodimo ovaj zbir na zajednički imenilac, izjednačavajući brojilac ovog izraza sa brojnikom originalnog razlomka. Rezultat bi trebao biti sljedeći sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačnu dekompoziciju integrala u zbir prostih razlomaka:

Primjer 6. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

S ovim iznosom izvodimo iste radnje kao u prethodnim primjerima. Rezultat bi trebao biti sljedeći sistem jednačina:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačnu dekompoziciju integrala u zbir prostih razlomaka:

Primjer 7. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Nakon određenih radnji s rezultirajućim iznosom, treba dobiti sljedeći sistem jednadžbi:

Rješavajući sistem dobijamo sljedeće vrijednosti neizvjesnih koeficijenata:

Dobijamo konačnu dekompoziciju integrala u zbir prostih razlomaka:

Primjer 8. Korak 2. U koraku 1 dobili smo sljedeću dekompoziciju originalnog razlomka u zbir jednostavnih razlomaka s neodređenim koeficijentima u brojiocima:

Učinimo neke izmjene u radnjama koje su već dovedene do automatizma da bismo dobili sistem jednačina. Postoji umjetna tehnika koja u nekim slučajevima pomaže u izbjegavanju nepotrebnih proračuna. Dovodeći zbir razlomaka u zajednički nazivnik, dobijamo i izjednačavajući brojilac ovog izraza sa brojnikom originalnog razlomka, dobijamo.

Materijal predstavljen u ovoj temi zasnovan je na informacijama predstavljenim u temi "Racionalni razlomci. Dekompozicija racionalnih razlomaka na elementarne (jednostavne) razlomke". Toplo preporučujem da barem preletite ovu temu prije nego što pređete na čitanje ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tabela neodređenih integrala.

Dozvolite mi da vas podsjetim na nekoliko pojmova. O njima je bilo reči u odgovarajućoj temi, pa ću se ovde ograničiti na kratku formulaciju.

Omjer dva polinoma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni razlomak se zove ispravan, ako je $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется pogrešno.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri vrste:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (poželjno za potpunije razumijevanje teksta): prikaži\sakrij

Zašto je potreban uslov $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za izraz $x^2+5x+10$ dobijamo: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Pošto je $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Inače, za ovu provjeru uopće nije potrebno da koeficijent od $x^2$ bude jednak 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ dobijamo: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Pošto je $D > 0$, izraz $5x^2+7x-3$ se može faktorizovati.

Mogu se pronaći primjeri racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i primjeri razlaganja racionalnog razlomka na elementarne. Ovdje će nas zanimati samo pitanja njihove integracije. Počnimo s integracijom elementarnih razlomaka. Dakle, svaki od četiri tipa elementarnih razlomaka iznad je lako integrirati koristeći formule u nastavku. Da vas podsjetim da se pri integraciji razlomaka tipa (2) i (4) pretpostavljaju $n=2,3,4,\ldots$. Formule (3) i (4) zahtijevaju ispunjenje uslova $p^2-4q< 0$.

\begin(jednačina) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(jednačina) \begin(jednačina) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednačina) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednačina)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ vrši se zamjena $t=x+\frac(p)(2)$, nakon čega je rezultujući interval podijeljen na dva. Prvi će se izračunati unosom pod znakom diferencijala, a drugi će imati oblik $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se uzima korištenjem rekurentne relacije

\begin(jednačina) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\u N\kraj (jednačina)

Proračun takvog integrala je razmatran u primjeru br. 7 (vidi treći dio).

Šema za izračunavanje integrala racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):

Ako je integrand elementaran, onda primijeniti formule (1)-(4).
Ako integrand nije elementaran, onda ga predstavite kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte koristeći formule (1)-(4).

Gornji algoritam za integraciju racionalnih razlomaka ima neospornu prednost - univerzalan je. One. koristeći ovaj algoritam možete integrirati bilo koji racionalni razlomak. Zbog toga se gotovo sve promjene varijabli u neodređenom integralu (Euler, Chebyshev, univerzalna trigonometrijska zamjena) vrše na način da nakon ove promjene dobijemo racionalni razlomak ispod intervala. I onda primenite algoritam na to. Analizirat ćemo direktnu primjenu ovog algoritma koristeći primjere, nakon što napravimo malu napomenu.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

U principu, ovaj integral je lako dobiti bez mehaničke primjene formule. Ako iz predznaka integrala uzmemo konstantu $7$ i uzmemo u obzir da je $dx=d(x+9)$, dobićemo:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučujem da pogledate temu. Ona detaljno objašnjava kako se takvi integrali rješavaju. Inače, formula je dokazana istim transformacijama koje su primijenjene u ovom paragrafu prilikom rješavanja „ručno“.

2) Opet, postoje dva načina: koristite gotovu formulu ili bez nje. Ako primijenite formulu, treba uzeti u obzir da će se koeficijent ispred $x$ (broj 4) morati ukloniti. Da bismo to uradili, jednostavno izvadimo ovo četiri iz zagrada:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\levo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je vrijeme da primijenite formulu:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Možete i bez upotrebe formule. Čak i bez uzimanja konstantnih 4$ iz zagrada. Ako uzmemo u obzir da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, dobijamo:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja za pronalaženje ovakvih integrala data su u temi “Integracija supstitucijom (supstitucija pod predznakom diferencijala)”.

3) Trebamo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste bili sigurni da je ovo zaista elementarni razlomak trećeg tipa, morate provjeriti da li je ispunjen uvjet $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Rešimo isti primer, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo izolirati derivaciju nazivnika u brojiocu. Šta ovo znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. To je izraz $2x+10$ koji moramo izolovati u brojiocu. Do sada brojilac sadrži samo $4x+7$, ali ovo neće dugo trajati. Primijenimo sljedeću transformaciju na brojnik:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Sada se u brojiocu pojavljuje traženi izraz $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Podijelimo integrand na dva. Pa, i, shodno tome, sam integral je takođe "razdvojen":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Hajdemo prvo govoriti o prvom integralu, tj. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Budući da je $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada brojnik integrala sadrži diferencijal nazivnika. Ukratko, umjesto toga od izraza $( 2x+10)dx$ pišemo $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o drugom integralu. Odaberimo ceo kvadrat u nazivniku: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Osim toga, uzimamo u obzir $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala koji smo ranije dobili može prepisati u malo drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ako izvršimo zamjenu $u=x^2+10x+34$ u prvom integralu, tada će ona poprimiti oblik $\int\frac(du)(u)$ i uzeti jednostavan za korištenje druga formula iz . Što se tiče drugog integrala, za njega je izvodljiva promjena $u=x+5$, nakon čega će dobiti oblik $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo čista voda jedanaesta formula iz tabele neodređenih integrala. Dakle, vraćajući se na zbir integrala, imamo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Dobili smo isti odgovor kao i prilikom primjene formule, što, strogo govoreći, nije iznenađujuće. Općenito, formula se dokazuje istim metodama koje smo koristili za pronalaženje ovog integrala. Vjerujem da bi pažljivi čitalac mogao ovdje imati jedno pitanje, pa ću ga formulirati:

Pitanje br. 1

Ako drugu formulu iz tabele neodređenih integrala primenimo na integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, dobićemo sledeće:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto u rješenju nije bilo modula?

Odgovor na pitanje #1

Pitanje je potpuno prirodno. Modul je nedostajao samo zato što je izraz $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. Ovo je prilično lako pokazati na nekoliko načina. Na primjer, pošto je $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, tada je $(x+5)^2+9 > 0$ . Možete razmišljati drugačije, bez korištenja odabira cijelog kvadrata. Od $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (ako je ovaj logički lanac iznenađujući, savjetujem vam da pogledate grafičku metodu za rješavanje kvadratnih nejednačina). U svakom slučaju, pošto je $x^2+10x+34 > 0$, onda je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, tj. Umjesto modula, možete koristiti obične zagrade.

Sve tačke primjera br. 1 su riješene, preostaje samo da zapišete odgovor.

Odgovori:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Primjer br. 2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, integrand razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ je vrlo sličan elementarnom razlomku trećeg tipa, tj. po $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Čini se da je jedina razlika koeficijent od $3$ ispred $x^2$, ali nije potrebno dugo da se koeficijent ukloni (izbacite ga iz zagrada). Međutim, ova sličnost je očigledna. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ uslov $p^2-4q je obavezan< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent prije $x^2$ nije jednak jedinici, stoga provjerite uvjet $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант kvadratna jednačina$x^2+px+q=0$. Ako je diskriminant manje od nule, tada se izraz $x^2+px+q$ ne može faktorizirati. Izračunajmo diskriminant polinoma $3x^2-5x-2$ koji se nalazi u nazivniku našeg razlomka: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Dakle, $D > 0$, stoga se izraz $3x^2-5x-2$ može faktorizirati. To znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak trećeg tipa, i primijeniti $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) na integral 5x-2)dx$ formula nije moguća.

Pa, ako dati racionalni razlomak nije elementarni razlomak, onda ga treba predstaviti kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, iskoristite prednost staze. Kako razložiti racionalni razlomak na elementarne je detaljno napisano. Počnimo rastavljanjem imenioca na faktore:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Subinterkalnu frakciju predstavljamo u ovom obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Sada dekomponirajmo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dva standardna načina: metoda neodređenih koeficijenata i metoda zamjene parcijalnih vrijednosti. Primijenimo metodu zamjene djelomične vrijednosti, zamjenom $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Pošto su koeficijenti pronađeni, ostaje samo da se zapiše završeno proširenje:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete ostaviti ovaj unos, ali volim precizniju opciju:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Vraćajući se na izvorni integral, u njega zamjenjujemo rezultirajuću ekspanziju. Zatim dijelimo integral na dva i primjenjujemo formulu na svaki. Više volim da odmah postavim konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Primjer br. 3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebamo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Brojilac sadrži polinom drugog stepena, a nazivnik sadrži polinom trećeg stepena. Pošto je stepen polinoma u brojiocu manji od stepena polinoma u nazivniku, tj. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Sve što treba da uradimo je da podelimo dati integral na tri i primenimo formulu na svaki. Više volim da odmah postavim konstante izvan predznaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Odgovori: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize primjera ove teme nalazi se u drugom dijelu.

TEMA: Integracija racionalnih razlomaka.

Pažnja! Prilikom proučavanja jedne od osnovnih metoda integracije: integracije racionalnih razlomaka, potrebno je uzeti u obzir polinome u kompleksnoj domeni kako bi se izvršili rigorozni dokazi. Stoga je neophodno uči unapred neka svojstva kompleksnih brojeva i operacije nad njima.

Integracija jednostavnih racionalnih razlomaka.

Ako P(z) I Q(z) su polinomi u kompleksnoj domeni, onda su racionalni razlomci. To se zove ispravan, ako stepen P(z) manji stepen Q(z) , And pogrešno, ako stepen R ne manje od diplome Q.

Ne volim tačan razlomak može se predstaviti kao: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinom čiji je stepen manji od stepena Q(z).

Dakle, integracija racionalnih razlomaka se svodi na integraciju polinoma, odnosno funkcija stepena i pravih razlomaka, budući da je to pravi razlomak.

Definicija 5. Najjednostavniji (ili elementarni) razlomci su sljedeće vrste razlomaka:

1) , 2) , 3) , 4) .

Hajde da saznamo kako se integrišu.

3) (prethodno proučavano).

Teorema 5. Svaki pravi razlomak se može predstaviti kao zbir prostih razlomaka (bez dokaza).

Posljedica 1. Ako je pravi racionalni razlomak i ako među korijenima polinoma postoje samo jednostavni realni korijeni, tada će u dekompoziciji razlomka na zbir prostih razlomaka postojati samo prosti razlomci 1. tipa:

Primjer 1.

Korolar 2. Ako je pravi racionalni razlomak, i ako među korijenima polinoma postoji samo više realnih korijena, tada će u dekompoziciji razlomka na zbir prostih razlomaka postojati samo prosti razlomci 1. i 2. vrste :

Primjer 2.

Korolar 3. Ako je pravi racionalni razlomak i ako među korijenima polinoma postoje samo jednostavni kompleksni konjugirani korijeni, tada će u dekompoziciji razlomka na zbir prostih razlomaka biti samo prosti razlomci trećeg tipa:

Primjer 3.

Korolar 4. Ako je pravi racionalni razlomak i ako među korijenima polinoma postoji samo višestruko složeno konjugirano korijenje, tada će u dekompoziciji razlomka na zbir prostih razlomaka biti samo prosti razlomci 3. i 4. vrste:

Za određivanje nepoznatih koeficijenata u datim proširenjima postupite na sljedeći način. Lijeva i desna strana ekspanzije koja sadrži nepoznate koeficijente se množe sa. Dobija se jednakost dva polinoma. Iz njega se dobijaju jednadžbe za tražene koeficijente koristeći:

1. jednakost je istinita za sve vrijednosti X (metoda parcijalnih vrijednosti). U ovom slučaju se dobija bilo koji broj jednačina, od kojih bilo koji m omogućava pronalaženje nepoznatih koeficijenata.

2. koeficijenti se poklapaju za iste stepene X (metoda neodređenih koeficijenata). U ovom slučaju se dobija sistem m - jednačina sa m - nepoznatim, iz kojih se nalaze nepoznati koeficijenti.

3. kombinovana metoda.

Primjer 5. Proširite razlomak do najjednostavnijeg.

Rješenje:

Nađimo koeficijente A i B.

Metoda 1 - metoda privatne vrijednosti:

Metoda 2 – metoda neodređenih koeficijenata:

odgovor:

Integriranje racionalnih razlomaka.

Teorema 6. Neodređeni integral bilo kojeg racionalnog razlomka na bilo kojem intervalu na kojem njegov nazivnik nije jednak nuli postoji i izražava se kroz elementarne funkcije, odnosno racionalne razlomke, logaritme i arktangente.

Dokaz.

Zamislimo racionalni razlomak u obliku: . U ovom slučaju, posljednji član je pravi razlomak, a prema teoremi 5 može se predstaviti kao linearna kombinacija jednostavnih razlomaka. Dakle, integracija racionalnog razlomka se svodi na integraciju polinoma S(x) i prosti razlomci, čiji antiderivati, kao što je pokazano, imaju oblik naznačen u teoremi.

Komentar. Glavna poteškoća u ovom slučaju je faktorizacija nazivnika, odnosno traženje svih njegovih korijena.

Primjer 1. Pronađite integral