Kako smanjiti razlomke sa različitim nazivnicima. Kako smanjiti razlomak? Pravila za sve situacije

Smanjenje razlomaka je neophodno kako bi se razlomak sveo na jednostavniji oblik, na primjer, u odgovoru koji se dobije kao rezultat rješavanja izraza.

Smanjenje razlomaka, definicija i formula.

Šta je reduciranje razlomaka? Šta znači smanjiti razlomak?

definicija:
Reducing Fractions- ovo je podjela brojnika i nazivnika razlomka istim pozitivnim brojem koji nije jednak nuli i jedan. Kao rezultat redukcije dobija se razlomak sa manjim brojnikom i imeniocem, jednak prethodnom razlomku prema.

Formula za smanjenje frakcija glavna imovina racionalnih brojeva.

\(\frac(p \puts n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Pogledajmo primjer:
Smanjite razlomak \(\frac(9)(15)\)

Rješenje:
Možemo rastaviti razlomak u proste faktore i poništiti zajedničke faktore.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Odgovor: nakon redukcije dobili smo razlomak \(\frac(3)(5)\). Prema osnovnom svojstvu racionalnih brojeva, originalni i rezultujući razlomak su jednaki.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Kako smanjiti razlomke? Svođenje razlomka na njegov nesvodljivi oblik.

Da bismo kao rezultat dobili nesvodljivi razlomak, trebamo pronađite najveće zajednički djelitelj(NOD) za brojnik i imenilac razlomka.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje GCD-a u primjeru ćemo koristiti dekompoziciju brojeva na proste faktore.

Dobiti nesmanjivi razlomak \(\frac(48)(136)\).

Rješenje:
Nađimo GCD(48, 136). Zapišimo brojeve 48 i 136 u proste faktore.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Pravilo za svođenje razlomka u nesvodljivi oblik.

Moramo pronaći najveći zajednički djelitelj za brojnik i nazivnik.
Morate podijeliti brojilac i imenilac najvećim zajedničkim djeliteljem da dobijete nesmanjivi razlomak.

primjer:
Smanjite razlomak \(\frac(152)(168)\).

Rješenje:
Nađimo GCD(152, 168). Zapišimo brojeve 152 i 168 u proste faktore.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Odgovor: \(\frac(19)(21)\) je nesvodljivi razlomak.

Smanjenje nepravilnih razlomaka.

Kako rezati nepravilan razlomak?
Pravila za smanjenje razlomaka su ista za prave i nepravilne razlomke.

Pogledajmo primjer:
Smanjite nepravilan razlomak \(\frac(44)(32)\).

Rješenje:
Zapišimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce. A onda ćemo smanjiti uobičajene faktore.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \puts 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Smanjenje miješanih frakcija.

Mješoviti razlomci slijede ista pravila kao i obični razlomci. Jedina razlika je u tome što možemo ne dirajte cijeli dio, već smanjite dio ili Pretvorite mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, smanjite ga i vratite u pravilan razlomak.

Pogledajmo primjer:
Otkažite mješoviti razlomak \(2\frac(30)(45)\).

Rješenje:
Rešimo to na dva načina:
prvi način:
Zapišimo razlomak u jednostavne činioce, ali nećemo dirati cijeli dio.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Drugi način:
Hajde da ga prvo pretvorimo u nepravilan razlomak, a zatim ga zapišemo u proste faktore i smanjimo. Pretvorimo rezultirajući nepravilan razlomak u pravi razlomak.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \puta) 3) \times 2 \times 2)(3 \puta \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Povezana pitanja:
Možete li smanjiti razlomke pri sabiranju ili oduzimanju?
Odgovor: ne, prvo morate dodati ili oduzeti razlomke prema pravilima, a tek onda ih smanjiti. Pogledajmo primjer:

Procijenite izraz \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Rješenje:
Često griješe smanjujući iste brojeve u brojniku i nazivniku, u našem slučaju broj 20, ali se ne mogu smanjiti dok ne završite sabiranje i oduzimanje.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Za koje brojeve možete smanjiti razlomak?
Odgovor: Možete smanjiti razlomak za najveći zajednički faktor ili zajednički djelitelj brojnika i nazivnika. Na primjer, razlomak \(\frac(100)(150)\).

Zapišimo brojeve 100 i 150 u proste faktore.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Najveći zajednički djelitelj će biti broj GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Dobili smo nesvodljivi razlomak \(\frac(2)(3)\).

Ali nije potrebno uvijek dijeliti sa gcd nesvodljivi razlomak nije uvijek potreban; Na primjer, brojevi 100 i 150 imaju zajednički djelitelj 2. Smanjimo razlomak \(\frac(100)(150)\) za 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Dobili smo reducibilni razlomak \(\frac(50)(75)\).

Koji se razlomci mogu smanjiti?
Odgovor: Možete smanjiti razlomke u kojima brojnik i imenilac imaju zajednički djelitelj. Na primjer, razlomak \(\frac(4)(8)\). Broj 4 i 8 imaju broj kojim su oba djeljiva - broj 2. Dakle, takav razlomak se može smanjiti za broj 2.

primjer:
Uporedite dva razlomka \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(8)(12)\).

Ova dva razlomka su jednaka. Pogledajmo pobliže razlomak \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \puta 1=\frac(2)(3)\)

Odavde dobijamo, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dva razlomka su jednaka ako i samo ako se jedan od njih dobije smanjenjem drugog razlomka zajedničkim faktorom brojnika i nazivnika.

primjer:
Ako je moguće, smanjite sljedeće razlomke: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Rješenje:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \ puta 3 \ puta 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) nesvodljivi razlomak
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \puta 5 \puts 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ puta 5)=\frac(2)(5)\)

Koristeći razlomke, isti dio cijelog objekta može se napisati na različite načine.

Na slici je polovina kruga zasjenjena

Dakle, svi ovi razlomci su jednaki.

Radi praktičnosti, dodatni faktor je napisan na kosoj crti desno iznad razlomka.

Vratimo se ponovo na naše razlomke i zapišemo ih drugačijim redoslijedom.

Razlomak jednak datom može se dobiti ako se brojnik i nazivnik razlomka istovremeno podijele istim brojem koji nije jednak nuli.

Ova konverzija razlomka se zove smanjenje razlomka.

Smanjenje razlomka obično se piše na sljedeći način.

Brojilac i imenilac su precrtani, a pored njih se upisuju rezultati dijeljenja (količnika) brojnika i imenioca istim brojem.

Imajte na umu broj kojim se dijele brojilac i nazivnik.

U našem primjeru smanjili smo (tj. podijelili i brojnik i nazivnik) razlomak za dva, što smo imali na umu.

Smanjenje frakcija se može vršiti uzastopno.

Glavno svojstvo razlomka

Hajde da formulišemo glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije jednak nuli, dobićete razlomak jednak datom.

Zapišimo ovo svojstvo u obliku literalnih izraza.

, gdje su "a", "b" i "k" prirodni brojevi.

Smanjenje razlomaka, pravila i primjeri reduciranja razlomaka.

U ovom članku ćemo detaljno pogledati kako redukcijske frakcije. Prvo, razgovarajmo o tome što se zove smanjenje razlomka. Nakon ovoga, razgovarajmo o reduciranju razlomka koji se može reducirati na nesvodljivi oblik. Zatim ćemo dobiti pravilo za smanjenje razlomaka i, na kraju, razmotriti primjere primjene ovog pravila.

Navigacija po stranici.

Šta znači smanjiti razlomak?

Znamo da se obični razlomci dijele na svodljive i nesvodljive razlomke. Iz imena možete pretpostaviti da se svodivi razlomci mogu smanjiti, ali nesvodljivi razlomci ne mogu.

Šta znači smanjiti razlomak? Smanjite razlomak- to znači dijeljenje njegovog brojnika i imenioca njihovim pozitivnim i ne-jedinstvenim zajedničkim djeliteljem. Jasno je da se smanjenjem razlomka dobija novi razlomak sa manjim brojinikom i nazivnikom, a zbog osnovne osobine razlomka, rezultujući razlomak je jednak originalnom.

Na primjer, smanjimo običan razlomak 8/24 dijeljenjem brojača i nazivnika sa 2. Drugim riječima, smanjimo razlomak 8/24 za 2. Pošto je 8:2=4 i 24:2=12, ovo smanjenje rezultira u razlomku 4/12, koji je jednak originalnom razlomku 8/24 (vidi jednake i nejednake razlomke). Kao rezultat, imamo .

Redukcija običnih razlomaka u nesvodljivi oblik

Tipično, krajnji cilj redukcije razlomka je da se dobije nesvodljivi razlomak koji je jednak originalnom reducibilnom razlomku. Ovaj cilj se može postići smanjenjem originalnog svodljivog razlomka za najveći zajednički djelitelj njegovog brojnika i nazivnika. Kao rezultat takve redukcije uvijek se dobije nesvodljivi razlomak. Zaista, djelić je nereducibilan, jer je iz svojstava GCD poznato da I - obostrano prosti brojevi. Ovdje ćemo reći da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka najveći broj za koji se ovaj razlomak može smanjiti.

dakle, svođenje običnog razlomka u nesvodljivi oblik sastoji se od dijeljenja brojnika i nazivnika originalnog svodivog razlomka njihovim gcd.

Pogledajmo primjer za koji se vraćamo na razlomak 8/24 i smanjujemo ga za najveći zajednički djelitelj brojeva 8 i 24, koji je jednak 8. Pošto je 8:8=1 i 24:8=3, dolazimo do nesvodljivog razlomka 1/3. Dakle, .

Imajte na umu da izraz "smanjiti razlomak" često znači svođenje originalnog razlomka na njegov nesvodljivi oblik. Drugim riječima, smanjenje razlomka se vrlo često odnosi na dijeljenje brojnika i nazivnika njihovim najvećim zajedničkim faktorom (a ne bilo kojim zajedničkim faktorom).

Kako smanjiti razlomak? Pravila i primjeri smanjenja razlomaka

Ostaje samo pogledati pravilo za smanjenje razlomaka, koje objašnjava kako smanjiti dati razlomak.

Pravilo za smanjenje razlomaka sastoji se od dva koraka:

prvo se pronalazi gcd brojnika i nazivnika razlomka;
drugo, brojilac i nazivnik razlomka se dijele sa svojim gcd, što daje nesvodljivi razlomak jednak originalnom.

Hajde da to sredimo primjer smanjenja razlomka prema navedenom pravilu.

www.cleverstudents.ru

Smanjenje frakcija. Šta znači smanjiti razlomak?

Smanjenje razlomaka je neophodno kako bi se razlomak sveo na jednostavniji oblik, na primjer, u odgovoru koji se dobije kao rezultat rješavanja izraza.

Smanjenje razlomaka, definicija i formula.

Šta je reduciranje razlomaka? Šta znači smanjiti razlomak?

Formula za smanjenje frakcija osnovna svojstva racionalnih brojeva.

Pogledajmo primjer:
Smanjite razlomak \(\frac \)

Rješenje:
Možemo rastaviti razlomak u proste faktore i poništiti zajedničke faktore.

Odgovor: nakon redukcije dobili smo razlomak \(\frac\). Prema osnovnom svojstvu racionalnih brojeva, originalni i rezultujući razlomak su jednaki.

Kako smanjiti razlomke? Svođenje razlomka na njegov nesvodljivi oblik.

Da bismo kao rezultat dobili nesvodljivi razlomak, trebamo pronađite najveći zajednički djelitelj (GCD) za brojnik i imenilac razlomka.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje GCD-a u primjeru ćemo koristiti dekompoziciju brojeva na proste faktore.

Dobijte nesmanjivi razlomak \(\frac\).

Rješenje:
Nađimo GCD(48, 136). Zapišimo brojeve 48 i 136 u proste faktore.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

Pravilo za svođenje razlomka u nesvodljivi oblik.

Moramo pronaći najveći zajednički djelitelj za brojnik i nazivnik.
Morate podijeliti brojilac i imenilac najvećim zajedničkim djeliteljem da dobijete nesmanjivi razlomak.

primjer:
Smanjite razlomak \(\frac\).

Rješenje:
Nađimo GCD(152, 168). Zapišimo brojeve 152 i 168 u proste faktore.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

Odgovor: \(\frac \) je nesvodljivi razlomak.

Smanjenje nepravilnih razlomaka.

Kako smanjiti nepravilan razlomak?
Pravila za smanjenje razlomaka su ista za prave i nepravilne razlomke.

Pogledajmo primjer:
Smanjite nepravilan razlomak \(\frac\).

Rješenje:
Zapišimo brojilac i imenilac u jednostavne činioce. A onda ćemo smanjiti uobičajene faktore.

Smanjenje miješanih frakcija.

Pogledajmo primjer:
Otkažite mješoviti razlomak \(2\frac\).

Rješenje:
Rešimo to na dva načina:
prvi način:
Zapišimo razlomak u jednostavne činioce, ali nećemo dirati cijeli dio.

Drugi način:
Hajde da ga prvo pretvorimo u nepravilan razlomak, a zatim ga zapišemo u proste faktore i smanjimo. Pretvorimo rezultirajući nepravilan razlomak u pravi razlomak.

Rješenje:
Često griješe smanjujući iste brojeve u brojniku i nazivniku, u našem slučaju broj 20, ali se ne mogu smanjiti dok ne završite sabiranje i oduzimanje.

Za koje brojeve možete smanjiti razlomak?
Odgovor: Možete smanjiti razlomak za najveći zajednički faktor ili zajednički djelitelj brojnika i nazivnika. Na primjer, razlomak \(\frac \).

Zapišimo brojeve 100 i 150 u proste faktore.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Najveći zajednički djelitelj će biti broj GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

Dobili smo nesvodljivi razlomak \(\frac \).

Ali nije potrebno uvijek dijeliti sa gcd nesvodljivi razlomak nije uvijek potreban; Na primjer, brojevi 100 i 150 imaju zajednički djelitelj 2. Smanjimo razlomak \(\frac \) za 2.

Dobili smo reducibilni razlomak \(\frac\).

Koji se razlomci mogu smanjiti?
Odgovor: Možete smanjiti razlomke u kojima brojnik i imenilac imaju zajednički djelitelj. Na primjer, razlomak \(\frac \). Broj 4 i 8 imaju broj kojim su oba djeljiva - broj 2. Dakle, takav razlomak se može smanjiti za broj 2.

primjer:
Uporedite dva razlomka \(\frac \) i \(\frac \).

Ova dva razlomka su jednaka. Pogledajmo pobliže razlomak \(\frac \):

Dva razlomka su jednaka ako i samo ako se jedan od njih dobije smanjenjem drugog razlomka zajedničkim faktorom brojnika i nazivnika.

primjer:
Smanjite sljedeće razlomke ako je moguće: a) \(\frac \) b) \(\frac \) c) \(\frac \) d) \(\frac \)

Operacije sa običnim razlomcima

Ekspanzija frakcija. Smanjenje razlomka. Poređenje razlomaka.

Svođenje na zajednički imenilac. Sabiranje i oduzimanje razlomci.

Množenje razlomaka. Podjela razlomaka .

Ekspanzija frakcija. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako pomnožite njegov brojnik i imenilac istim brojem koji nije nula. proširenje razlomka. na primjer,

Smanjenje razlomka. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako podijelite njegov brojnik i imenilac istim brojem koji nije nula.. Ova transformacija se zove smanjenje razlomka. na primjer,

Poređenje razlomaka. Od dva razlomka sa istim brojiocima veći je onaj čiji je imenilac manji:

Od dva razlomka sa istim nazivnicima, veći je onaj čiji je brojilac veći:

Da biste uporedili razlomke koji imaju različite brojioce i nazivnike, morate ih proširiti kako biste ih doveli do zajedničkog nazivnika.

PRIMJER Uporedite dva razlomka:

Proširimo prvi razlomak za imenilac drugog, a drugi za imenilac prvog:

Transformacija koja se ovdje koristi se zove dovodeći razlomke na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Ako su nazivnici razlomaka isti, onda da biste sabrali razlomke, morate sabrati njihove brojioce, a da biste oduzeli razlomke, potrebno je oduzeti njihove brojioce (istim redoslijedom). Rezultirajući zbir ili razlika bit će brojnik rezultata; imenilac će ostati isti. Ako su nazivnici razlomaka različiti, prvo morate svesti razlomke na zajednički nazivnik. Prilikom sabiranja mješovitih brojeva, njihovi cijeli i razlomci se sabiraju zasebno. Prilikom oduzimanja mješovitih brojeva, preporučujemo da ih prvo pretvorite u nepravilne razlomke, zatim oduzmete jedan od drugog, a zatim ponovo pretvorite rezultat, ako je potrebno, u mješoviti broj.

Množenje razlomaka. Pomnožiti broj razlomkom znači pomnožiti ga brojilom i podijeliti proizvod sa nazivnikom. Stoga imamo opšte pravilo množenje razlomaka: da biste pomnožili razlomke, morate posebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi proizvod podijeliti drugim.

PRIMJER

Dijeljenje razlomaka. Da biste broj podijelili razlomkom, morate ovaj broj pomnožiti sa recipročnim razlomkom. Ovo pravilo proizilazi iz definicije dijeljenja (vidi odjeljak „Aritmetičke operacije“).

PRIMJER

Množenje i dijeljenje razlomaka

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju „Sabiranje i oduzimanje razlomaka“). Najteži dio tih radnji bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobre vijesti je da su ove operacije čak jednostavnije od sabiranja i oduzimanja. Prvo, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez odvojenog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim razlomkom.

Iz definicije slijedi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste "okrenuli" razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo tokom čitave lekcije uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, može nastati (i često nastaje) razlomak koji se može smanjiti - on se, naravno, mora smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, cijeli dio treba istaknuti. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički imenitelj: bez unakrsnih metoda, najvećih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Množenje razlomaka cijelim i negativnim razlomcima

Ako je prisutan u razlomcima cijeli dio, moraju se pretvoriti u pogrešne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus po minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za djelo se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko nedostataka odjednom:

Negative precrtavamo u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnim slučajevima može preživjeti jedan minus – onaj za koji nije bilo partnera;
Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan jer za njega nije bilo para, uzimamo ga izvan granica množenja. Rezultat je negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Sve razlomke pretvaramo u nepravilne, a zatim iz množenja izvlačimo minuse. Ono što je preostalo množimo po uobičajenim pravilima. dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus koji se pojavljuje ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na cijeli njegov dio (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također imajte na umu negativni brojevi: Prilikom množenja, oni su zatvoreni u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio precizniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo radno intenzivna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da pojednostavite problem, možete pokušati dodatno smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je ostalo od njih su označeni crvenom bojom.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Na njihovom mjestu ostaju jedinice koje, općenito govoreći, ne treba pisati. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, nikada nemojte koristiti ovu tehniku kada dodajete i oduzimate razlomke! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje jer pri sabiranju brojnik razlomka daje zbroj, a ne proizvod brojeva. Shodno tome, nemoguće je primijeniti osnovno svojstvo razlomka, jer se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Drugih razloga za smanjenje razlomaka jednostavno nema, pa ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, pogledajmo prvo primjer.

Smanjiti razlomak znači podijeliti brojilac i imenilac istom stvari. I 360 i 420 završavaju cifrom, tako da ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. U novom razlomku, i 180 i 210 su također djeljivi sa 2, pa taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105, zbir cifara je djeljiv sa 3, pa su oba ova broja djeljiva sa 3, razlomak smanjujemo za 3. U novom razlomku 30 i 35 završavaju na 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva sa 5, pa smanjujemo razlomak za 5. Dobijeni razlomak od šest sedmih je nesvodljiv. Ovo je konačan odgovor.

Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.

I 360 i 420 završavaju na nulu, što znači da su djeljivi sa 10. Smanjujemo razlomak za 10. U novom razlomku, i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se sa 2. Smanjujemo razlomak za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i imenilac 21 dijele se sa 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.

I još jedno rešenje.

Sljedeći put ćemo pogledati primjere smanjenja razlomaka.

Djeca u školi uče pravila smanjenja razlomaka u 6. razredu. U ovom članku ćemo vam prvo reći što znači ova radnja, a zatim ćemo objasniti kako pretvoriti reducibilni razlomak u nesvodivi razlomak. Sljedeća točka će biti pravila za smanjenje razlomaka, a zatim ćemo postepeno doći do primjera.

Šta znači "smanjiti razlomak"?

Tako da svi to znamo obične frakcije dijele se u dvije grupe: svodljive i nesvodive. Već po nazivima možete shvatiti da su kontraktivni ugovoreni, a nesvodivi nisu ugovoreni.

Smanjiti razlomak znači podijeliti njegov nazivnik i brojnik njihovim (osim jednog) pozitivnim djeliteljem. Rezultat je, naravno, novi razlomak sa manjim imeniocem i brojnikom. Dobiveni razlomak će biti jednak originalnom razlomku.

Vrijedi napomenuti da u knjigama matematike sa zadatkom "smanjite razlomak" to znači da morate svesti izvorni razlomak u ovaj nesvodljivi oblik. Ako razgovaramo jednostavnim riječima, tada je dijeljenje nazivnika i brojnika njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem redukcija.

Kako smanjiti razlomak. Pravila za smanjenje razlomaka (6. ocjena)

Dakle, ovdje postoje samo dva pravila.

Prvo pravilo smanjenja razlomaka je da prvo pronađete najveći zajednički faktor nazivnika i brojnika vašeg razlomka.
Drugo pravilo: podijelite nazivnik i brojilac najvećim zajedničkim djeliteljem, da biste na kraju dobili nesvodljivi razlomak.

Kako smanjiti nepravilan razlomak?

Pravila za smanjenje razlomaka su identična pravilima za smanjenje nepravilnih razlomaka.

Da biste smanjili nepravilan razlomak, prvo ćete morati da rastavite imenilac i brojilac u proste faktore, a tek onda da smanjite zajedničke faktore.

Smanjenje miješanih frakcija

Pravila za smanjenje razlomaka važe i za redukciju mješovitih razlomaka. Postoji samo mala razlika: ne možemo dodirnuti cijeli dio, već smanjiti razlomak ili pretvoriti miješani razlomak u nepravilan razlomak, zatim ga smanjiti i ponovo pretvoriti u pravilan razlomak.

Smanjite miješane frakcije moguće na dva načina.

Prvo: napišite razlomak u proste faktore, a zatim ostavite cijeli dio na miru.

Drugi način: prvo ga pretvoriti u nepravilan razlomak, zapisati u obične faktore, a zatim smanjiti razlomak. Pretvorite već dobijeni nepravilan razlomak u pravi razlomak.

Primjeri se mogu vidjeti na gornjoj fotografiji.

Zaista se nadamo da smo uspjeli pomoći vama i vašoj djeci. Na kraju krajeva, često su nepažljivi na nastavi, pa sami moraju intenzivnije da uče kod kuće.

Tako smo došli do smanjenja. Ovdje se primjenjuje osnovno svojstvo razlomka. ALI! Nije tako jednostavno. Sa mnogo razlomaka (uključujući od školski kurs) sasvim je moguće proći s njima. Šta ako uzmemo razlomke koji su „nagliji“? Pogledajmo izbliza! Preporučujem da gledate materijale sa frakcijama.

Dakle, već znamo da se brojnik i imenilac razlomka mogu pomnožiti i podijeliti istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Razmotrimo tri pristupa:

Priđi jednom.

Da biste smanjili, podijelite brojnik i nazivnik zajedničkim djeliteljem. Pogledajmo primjere:

skratimo:

U navedenim primjerima odmah vidimo koje djelitelje uzeti za redukciju. Proces je jednostavan - prolazimo kroz 2,3,4,5 i tako dalje. U većini primjera školskih predmeta to je sasvim dovoljno. Ali ako je u pitanju razlomak:

Ovdje proces odabira djelitelja može potrajati;). Naravno, takvi primjeri su izvan školskog programa, ali s njima se morate snaći. U nastavku ćemo pogledati kako se to radi. Za sada, vratimo se na proces smanjenja.

Kao što je gore objašnjeno, da bismo smanjili razlomak, podijelili smo zajedničkim djeliteljima koje smo odredili. Sve je tačno! Treba samo dodati znakove djeljivosti brojeva:

- ako je broj paran, onda je djeljiv sa 2.

- ako je broj iz zadnje dvije cifre djeljiv sa 4, tada je i sam broj djeljiv sa 4.

— ako je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa 3, tada je i sam broj djeljiv sa 3. Na primjer, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvanaest je deljivo sa 3, tako da je 123031 deljivo sa 3.

- ako se broj završava sa 5 ili 0, tada je broj djeljiv sa 5.

— ako je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa 9, tada je i sam broj djeljiv sa 9. Na primjer, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osamnaest je deljivo sa 9, što znači da je 623032 deljivo sa 9.

Drugi pristup.

Ukratko rečeno, u stvari, cijela radnja se svodi na faktoring brojioca i nazivnika, a zatim smanjenje jednakih faktora u brojniku i nazivniku (ovaj pristup je posljedica prvog pristupa):

Vizuelno, kako bi se izbjegle zabune i greške, jednaki faktori su jednostavno precrtani. Pitanje - kako razložiti broj na faktore? Pretragom je potrebno odrediti sve djelitelje. Ovo je posebna tema, nije komplikovana, potražite informacije u udžbeniku ili na internetu. Nećete naići na velike probleme sa faktoringom brojeva koji su prisutni u školskim razlomcima.

Formalno, princip redukcije se može napisati na sljedeći način:

Pristup tri.

Evo najzanimljivijeg za napredne i one koji to žele da postanu. Smanjimo razlomak 143/273. Probajte sami! Pa, kako se to brzo dogodilo? Sada pogledajte!

Okrećemo ga (mijenjamo mjesta brojnika i nazivnika). Dobiveni razlomak podijelite uglom i pretvorite ga u mješoviti broj, odnosno odabiremo cijeli dio:

Već je lakše. Vidimo da se brojilac i imenilac mogu smanjiti za 13:

Sada ne zaboravite ponovo obrnuti razlomak, zapišimo cijeli lanac:

Provjereno - potrebno je manje vremena od pretraživanja i provjere djelitelja. Vratimo se na naša dva primjera:

Prvo. Podijelimo uglom (ne na kalkulatoru), dobijamo:

Ovaj razlomak je, naravno, jednostavniji, ali redukcija je opet problem. Sada zasebno analiziramo razlomak 1273/1463 i okrećemo ga:

Ovdje je lakše. Možemo uzeti u obzir djelitelj kao što je 19. Ostali nisu prikladni, ovo je jasno: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Ura! Hajde da zapišemo:

Sljedeći primjer. Skratimo 88179/2717.

Podelimo, dobijamo:

Zasebno analiziramo razlomak 1235/2717 i okrećemo ga:

Možemo uzeti u obzir djelitelj kao što je 13 (do 13 nije prikladno):

Brojač 247:13=19 Imenilac 1235:13=95

*Tokom procesa vidjeli smo još jedan djelitelj jednak 19. Ispada da:

Sada zapisujemo originalni broj:

I nije važno što je veće u razlomku - brojnik ili nazivnik, ako je nazivnik, onda ga okrećemo i postupamo kako je opisano. Na ovaj način možemo smanjiti bilo koji razlomak, treći pristup se može nazvati univerzalnim.

Naravno, dva gore opisana primjera nisu jednostavni primjeri. Isprobajmo ovu tehnologiju na „jednostavnim“ razlomcima koje smo već razmatrali:

Dvije četvrtine.

Sedamdeset dvije šezdesete. Brojnik je veći od nazivnika, nema potrebe da ga obrnete:

Naravno, treći pristup je primijenjen na takve jednostavni primjeri samo kao alternativa. Metoda je, kao što je već rečeno, univerzalna, ali nije zgodna i ispravna za sve razlomke, posebno za jednostavne.

Raznolikost frakcija je velika. Važno je da razumete principe. Stroga pravila jednostavno ne postoji način rada sa razlomcima. Pogledali smo, shvatili kako bi bilo zgodnije djelovati i krenuli naprijed. S vježbom, vještina će doći i ispucat ćete ih kao sjemenke.

zaključak:

Ako vidite zajednički djelitelj(e) za brojnik i nazivnik, upotrijebite ih za smanjenje.

Ako znate kako brzo razložiti broj na faktore, zatim brojilac i nazivnik na faktore, a zatim smanjite.

Ako ne možete odrediti zajednički djelitelj, koristite treći pristup.

*Da biste smanjili razlomke, važno je ovladati principima redukcije, razumjeti osnovnu osobinu razlomka, poznavati pristupe rješavanju i biti izuzetno oprezni pri proračunima.

I zapamtite! Uobičajeno je smanjiti razlomak dok se ne zaustavi, odnosno smanjivati ga sve dok postoji zajednički djelitelj.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.