Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Nastavimo raspravu o najmanjem zajedničkom višekratniku koju smo započeli u LCM-u - Najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri. U ovoj temi ćemo pogledati načine kako pronaći LCM za tri ili više broja, analizirat ćemo pitanje kako pronaći LCM negativnog broja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Već smo uspostavili odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja. Sada ćemo naučiti kako definirati LCM kroz GCD. Prvo, hajde da shvatimo kako to učiniti za pozitivne brojeve.

Definicija 1

Pronađite najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj možete koristiti formulu LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) .

Primjer 1

Potrebno je pronaći LCM brojeva 126 i 70.

Rješenje

Uzmimo a = 126 , b = 70 . Zamijenite vrijednosti u formuli za izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika kroz najveći zajednički djelitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Pronalazi GCD brojeva 70 i 126. Za ovo nam je potreban Euklid algoritam: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , dakle gcd (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM (126, 70) = 630.

Primjer 2

Pronađite nok brojeva 68 i 34.

Rješenje

GCD je u ovom slučaju lako pronaći, jer je 68 djeljivo sa 34. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik koristeći formulu: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

U ovom primjeru koristili smo pravilo za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika pozitivnih cijelih brojeva a i b: ako je prvi broj djeljiv drugim, tada će LCM ovih brojeva biti jednak prvom broju.

Pronalaženje LCM-a razlaganjem brojeva u proste faktore

Pogledajmo sada način da pronađemo LCM, koji se zasniva na dekompoziciji brojeva na proste faktore.

Definicija 2

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik, moramo izvršiti nekoliko jednostavnih koraka:

• sačinjavamo proizvod svih prostih faktora brojeva za koje trebamo pronaći LCM;
• iz njihovih dobijenih proizvoda isključujemo sve primarne faktore;
• proizvod koji se dobije nakon eliminacije zajedničkih prostih faktora biće jednak LCM datih brojeva.

Ovaj način pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika zasniva se na jednakosti LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) . Ako pogledate formulu, postaje jasno: proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora koji su uključeni u proširenje ova dva broja. U ovom slučaju, GCD dva broja jednak je proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u faktorizaciji ova dva broja.

Primjer 3

Imamo dva broja 75 i 210. Možemo ih izdvojiti ovako: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7. Ako napravite proizvod svih faktora dva originalna broja, dobijete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ako izuzmemo faktore zajedničke za oba broja 3 i 5, dobićemo proizvod sljedećeg oblika: 2 3 5 5 7 = 1050. Ovaj proizvod će biti naš LCM za brojeve 75 i 210.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva 441 i 700 , razlažući oba broja u proste faktore.

Rješenje

Nađimo sve proste faktore brojeva datih u uslovu:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobijamo dva lanca brojeva: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Proizvod svih faktora koji su učestvovali u ekspanziji ovih brojeva će izgledati ovako: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hajde da pronađemo zajedničke faktore. Ovaj broj je 7. Isključujemo ga iz opšteg proizvoda: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ispostavilo se da je NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Hajde da damo još jednu formulaciju metode za pronalaženje LCM dekomponovanjem brojeva na proste faktore.

Definicija 3

Prethodno smo isključili iz ukupnog broja faktora koji su zajednički za oba broja. Sada ćemo to učiniti drugačije:

• Razložimo oba broja na proste faktore:
• dodaj proizvodu prostih faktora prvog broja faktore koji nedostaju drugog broja;
• dobijamo proizvod, koji će biti željeni LCM od dva broja.

Primjer 5

Vratimo se na brojeve 75 i 210 , za koje smo već tražili LCM u jednom od prethodnih primjera. Podijelimo ih na jednostavne faktore: 75 = 3 5 5 i 210 = 2 3 5 7. Na proizvod faktora 3, 5 i 5 broj 75 dodaj faktore koji nedostaju 2 i 7 brojevi 210 . Dobijamo: 2 3 5 5 7 . Ovo je LCM brojeva 75 i 210.

Primjer 6

Potrebno je izračunati LCM brojeva 84 i 648.

Rješenje

Hajde da dekomponujemo brojeve iz uslova na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 i 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajte proizvodu faktora 2 , 2 , 3 i 7 brojevi 84 nedostajući faktori 2 , 3 , 3 i
3 brojevi 648 . Dobijamo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ovo je najmanji zajednički višekratnik 84 i 648.

odgovor: LCM (84, 648) = 4536.

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Bez obzira s kojim brojevima imamo posla, algoritam naših akcija će uvijek biti isti: sekvencijalno ćemo pronaći LCM dva broja. Za ovaj slučaj postoji teorema.

Teorema 1

Pretpostavimo da imamo cijele brojeve a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom proračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Pogledajmo sada kako se teorema može primijeniti na specifične probleme.

Primjer 7

Morate izračunati najmanji zajednički višekratnik od četiri broja 140 , 9 , 54 i 250 .

Rješenje

Hajde da uvedemo notaciju: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Počnimo s izračunavanjem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Koristimo Euklidov algoritam da izračunamo GCD brojeva 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Dobijamo: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Dakle, m 2 = 1 260 .

Sada izračunajmo prema istom algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . U toku proračuna dobijamo m 3 = 3 780.

Ostaje nam da izračunamo m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) . Postupamo po istom algoritmu. Dobijamo m 4 \u003d 94 500.

LCM od četiri broja iz primjera uvjeta je 94500.

odgovor: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kao što vidite, proračuni su jednostavni, ali prilično naporni. Da uštedite vrijeme, možete ići drugim putem.

Definicija 4

Nudimo vam sljedeći algoritam akcija:

• rastaviti sve brojeve na proste faktore;
• proizvodu faktora prvog broja dodajte faktore koji nedostaju iz proizvoda drugog broja;
• dodati faktore trećeg broja koji nedostaju proizvodu dobijenom u prethodnoj fazi, itd.;
• rezultirajući proizvod će biti najmanji zajednički višekratnik svih brojeva iz uvjeta.

Primjer 8

Potrebno je pronaći LCM od pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rješenje

Razložimo svih pet brojeva na proste faktore: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prosti brojevi, a to je broj 7, ne mogu se rastaviti u proste faktore. Takvi brojevi se poklapaju sa njihovom dekompozicijom na proste faktore.

Sada uzmimo proizvod prostih faktora 2, 2, 3 i 7 broja 84 i dodajmo im faktore koji nedostaju drugog broja. Rasporedili smo broj 6 na 2 i 3. Ovi faktori su već u proizvodu prvog broja. Stoga ih izostavljamo.

Nastavljamo sa sabiranjem množitelja koji nedostaju. Okrećemo se broju 48, od proizvoda prostih faktora od kojih uzimamo 2 i 2. Zatim dodajemo jednostavan faktor 7 od četvrtog broja i faktore 11 i 13 od petog. Dobijamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ovo je najmanji zajednički višekratnik od pet originalnih brojeva.

odgovor: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višestrukog negativnih brojeva

Da pronađemo najmanji zajednički višekratnik negativni brojevi, te brojeve prvo treba zamijeniti brojevima suprotnog predznaka, a zatim izvršiti proračune prema gore navedenim algoritmima.

Primjer 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Takve radnje su dozvoljene zbog činjenice da ako se to prihvati a i − a- suprotni brojevi
zatim skup višekratnika a poklapa se sa skupom višekratnika broja − a.

Primjer 10

Potrebno je izračunati LCM negativnih brojeva − 145 i − 45 .

Rješenje

Hajde da promenimo brojeve − 145 i − 45 na njihove suprotne brojeve 145 i 45 . Sada, koristeći algoritam, izračunavamo LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , nakon što smo prethodno odredili GCD koristeći Euklid algoritam.

Dobijamo da je LCM brojeva − 145 i − 45 jednaki 1 305 .

odgovor: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ali mnogi prirodni brojevi su jednako djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Delitelj prirodnog broja a je prirodan broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. Ovo su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a i b je broj kojim su oba data broja djeljiva bez ostatka a i b.

zajednički višestruki nekoliko brojeva naziva se broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim j zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Ovaj broj se zove najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

komutativnost:

asocijativnost:

Konkretno, ako su i koprosti brojevi , tada:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m i n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m i n. Štaviše, skup zajedničkih višekratnika m,n poklapa se sa skupom višekratnika za LCM( m,n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teoretskih funkcija brojeva.

dakle, Čebiševljeva funkcija. Kao i:

Ovo slijedi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Šta sledi iz zakona raspodele primarni brojevi.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegov odnos s LCM:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

gdje p 1 ,...,p k su razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k i e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prosti broj nije u proširenju).

Zatim LCM ( a,b) se izračunava po formuli:

Drugim riječima, LCM ekspanzija sadrži sve proste faktore koji su uključeni u barem jednu od proširenja brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračunavanja LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastavljaju brojeve na proste faktore;

- prenesite najveće proširenje na faktore željenog proizvoda (umnožak faktora najvećeg broja datih), a zatim dodajte faktore iz proširenja ostalih brojeva koji se ne javljaju u prvom broju ili se nalaze u njemu manji broj puta;

- rezultirajući proizvod prostih faktora će biti LCM datih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodni brojevi imaju svoj NOC. Ako brojevi nisu višestruki jedan od drugog ili nemaju iste faktore u ekspanziji, tada je njihov LCM jednak proizvodu ovih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), rezultirajući proizvod (84) će biti najmanji broj koji je djeljiv sa 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 od broja 25, rezultirajući proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim datim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući proizvod (150, 250, 300...) čiji su svi dati brojevi višekratnici.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak proizvodu datih brojeva.

pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve ove brojeve pomnožiti zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak (LCM) nekoliko brojeva trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao proizvod njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelioce (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stepen svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove moći.

Primjer. Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Rješenje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Definicija. Naziva se najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b djeljivi bez ostatka najveći zajednički djelitelj (gcd) ovi brojevi.

Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Delitelji 24 će biti brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji 35 će biti brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj - broj 1. Takvi brojevi se nazivaju coprime.

Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju coprime ako je njihov najveći zajednički djelitelj (gcd) 1.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) može se naći bez ispisivanja svih djelitelja datih brojeva.

Rastavljajući na faktore brojeve 48 i 36, dobijamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktora uključenih u proširenje prvog od ovih brojeva brišemo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Ostaju činioci 2 * 2 * 3. Njihov proizvod je 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.

Naći najveći zajednički djelitelj

2) iz faktora uključenih u proširenje jednog od ovih brojeva precrtati one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) naći proizvod preostalih faktora.

Ako su svi dati brojevi djeljivi sa jednim od njih, onda je i ovaj broj najveći zajednički djelitelj date brojeve.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj 15, 45, 75 i 180 je 15, jer dijeli sve ostale brojeve: 45, 75 i 180.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez pisanja višekratnika ovih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, razlažemo 75 i 60 na jednostavne faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Napišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja drugog broja (tj. kombinujemo faktore).
Dobijamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je proizvod 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Također pronađite najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.

To pronađite najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) razložiti ih na proste faktore;
2) ispisati faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) naći proizvod rezultujućih faktora.

Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, onda je ovaj broj najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik od 12, 15, 20 i 60 bi bio 60, jer je djeljiv sa svim datim brojevima.

Pitagora (VI vek pne) i njegovi učenici proučavali su pitanje deljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih njegovih djelitelja (bez samog broja), nazvali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. vijeku. n. e. Peti - 33 550 336 - pronađen je u 15. vijeku. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali do sada naučnici ne znaju da li postoje neparni savršeni brojevi, da li postoji najveći savršeni broj.
Interes drevnih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je bilo koji broj ili prost ili se može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, odnosno prosti brojevi su kao cigle od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerovatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva javljaju neravnomjerno – u nekim dijelovima niza ih ima više, u drugim – manje. Ali što se dalje krećemo duž niza brojeva, prosti brojevi su rjeđi. Postavlja se pitanje: postoji li posljednji (najveći) prost broj? Drevni grčki matematičar Euklid (3. vek p.n.e.), u svojoj knjizi „Počeci“, koja je dve hiljade godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, odnosno da iza svakog prostog broja stoji paran broj. veći prost broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je takvu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedinicu, koja nije ni prost ni složeni broj, zatim kroz jedan precrtao sve brojeve iza 2 (brojeve koji su višestruki od 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi iza 3 su precrtani (brojevi koji su višestruki od 3, tj. 6, 9, 12, itd.). na kraju su ostali neprecrtani samo prosti brojevi.

Online kalkulator vam omogućava da brzo pronađete najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički umnožak dva ili bilo kojeg drugog broja brojeva.

Kalkulator za pronalaženje GCD i NOC

Pronađite GCD i NOC

GCD i NOC pronađeni: 5806

Kako koristiti kalkulator

• Unesite brojeve u polje za unos
• U slučaju unosa pogrešnih znakova, polje za unos će biti istaknuto crvenom bojom
• pritisnite dugme "Pronađi GCD i NOC"

Kako unositi brojeve

• Brojevi se unose odvojeni razmacima, tačkama ili zarezima
• Dužina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje gcd i lcm dugih brojeva neće biti teško

Šta je NOD i NOK?

Najveći zajednički djelitelj od nekoliko brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi originalni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj je skraćeno GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik je skraćeno NOC.

Kako provjeriti da li je broj djeljiv sa drugim brojem bez ostatka?

Da biste saznali da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka, možete koristiti neka svojstva djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombinovanjem može provjeriti djeljivost po nekima od njih i njihovim kombinacijama.

Neki znakovi djeljivosti brojeva

1. Znak djeljivosti broja sa 2
Da bismo utvrdili da li je broj djeljiv sa dva (da li je paran), dovoljno je pogledati posljednju cifru ovog broja: ako je jednak 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 2.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da je broj djeljiv sa dva.

2. Znak djeljivosti broja sa 3
Broj je djeljiv sa 3 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3. Dakle, da biste utvrdili da li je neki broj djeljiv sa 3, morate izračunati zbir cifara i provjeriti da li je djeljiv sa 3. Čak i ako se zbir cifara pokazao kao vrlo velik, možete ponoviti isti postupak opet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 3.
Rješenje: računamo zbir cifara: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv sa 3, što znači da je broj djeljiv sa tri.

3. Znak djeljivosti broja sa 5
Broj je djeljiv sa 5 kada je njegova zadnja cifra nula ili pet.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 5.
Rješenje: pogledajte posljednju cifru: 8 znači da broj NIJE djeljiv sa pet.

4. Znak djeljivosti broja sa 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti sa tri: broj je djeljiv sa 9 kada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
primjer: utvrdi da li je broj 34938 djeljiv sa 9.
Rješenje: izračunavamo zbir cifara: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljivo sa 9, što znači da je broj djeljiv sa devet.

Kako pronaći GCD i LCM dva broja

Kako pronaći GCD dva broja

Većina na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja je pronaći sve moguće djelitelje tih brojeva i odabrati najveći od njih.

Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36) :

1. Faktoriziramo oba broja: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Pronalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
3. Izračunavamo proizvod ovih faktora: 1 2 2 \u003d 4 - ovo je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.

Kako pronaći LCM dva broja

Postoje dva najčešća načina da se pronađe najmanji višekratnik dva broja. Prvi način je da možete napisati prve višekratnike dva broja, a zatim među njima izabrati broj koji će biti zajednički za oba broja i istovremeno najmanji. A drugi je pronaći GCD ovih brojeva. Hajde da to samo razmotrimo.

Da biste izračunali LCM, morate izračunati proizvod originalnih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:

1. Pronađite proizvod brojeva 28 i 36: 28 36 = 1008
2. Za gcd(28, 36) je već poznato da je 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Pronalaženje GCD i LCM za više brojeva

Najveći zajednički djelitelj se može naći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Za to se brojevi za traženje najvećeg zajedničkog djelitelja razlažu na proste faktore, zatim se pronalazi proizvod zajedničkih prostih faktora ovih brojeva. Također, da biste pronašli GCD nekoliko brojeva, možete koristiti sljedeći odnos: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik brojeva: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.

1. Prvo, hajde da faktorizujemo brojeve: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
3. Njihov proizvod će dati gcd: 1 2 2 = 4
4. Sada pronađimo LCM: za ovo prvo nađemo LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Da pronađem NOC svih tri broja, trebate pronaći gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , gcd = 1 2 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOK je jedan od glavnih, posebno se često koristi u temi.Tema se izučava u srednjoj školi, dok nije posebno teško razumjeti gradivo, osobi koja poznaje stepene i tablicu množenja neće biti teško odabrati potrebne brojeve i pronađite rezultat.

Definicija

Zajednički višekratnik je broj koji se može u potpunosti podijeliti na dva broja u isto vrijeme (a i b). Najčešće se ovaj broj dobije množenjem originalnih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv sa oba broja odjednom, bez odstupanja.

NOC je prihvaćen termin za kratki naslov, sastavljena od prvih slova.

Načini da dobijete broj

Da biste pronašli LCM, metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna, mnogo je prikladnija za jednostavne jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Uobičajeno je da se dijeli na faktore, što je veći broj, to će biti više faktora.

Primjer #1

Za najjednostavniji primjer, škole obično uzimaju jednostavne, jednocifrene ili dvocifrene brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je prilično jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.

Primjer #2

Druga opcija je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, a pronalaženje LCM je obavezno. Za rješavanje zadatka pretpostavljaju se sljedeće radnje:

Dekompozicija prvog i drugog broja na najjednostavnije faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Prva faza je završena.

Druga faza uključuje rad sa već dobijenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora učestvovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki faktor, najveći broj pojavljivanja se uzima iz originalnih brojeva. LCM je uobičajen broj, pa se faktori iz brojeva moraju u njemu ponavljati do posljednjeg, čak i oni koji su prisutni u jednom primjerku. Oba početna broja imaju u svom sastavu brojeve 2, 3 i 5, u različitim stepenima, 7 je samo u jednom padežu.

Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj od njihovih predstavljenih potencija u jednačinu. Ostaje samo pomnožiti i dobiti odgovor, sa ispravno punjenje Zadatak se uklapa u dva koraka bez objašnjenja:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To je cijeli problem, ako pokušate izračunati pravi broj množenjem, onda odgovor definitivno neće biti tačan, jer je 300 * 1260 = 378.000.

pregled:

6300 / 300 = 21 - tačno;

6300 / 1260 = 5 je tačno.

Ispravnost rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a sa oba originalna broja, ako je broj u oba slučaja cijeli broj, onda je odgovor tačan.

Šta NOC znači u matematici

Kao što znate, ne postoji nijedna beskorisna funkcija u matematici, ova nije izuzetak. Najčešća svrha ovog broja je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Ono što se obično uči u 5-6 razredima srednja škola. Takođe je i zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti u zadatku. Takav izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Kako više brojeva- što je više akcija u zadatku, ali se složenost toga ne povećava.

Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, morate pronaći njihov ukupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje faktorizaciju, bez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Da bi se sastavio izraz potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su dati 2, 5, 3 - za sve ove brojeve potrebno je odrediti maksimalni stepen.

Pažnja: svi množitelji moraju biti dovedeni do potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponirajući na nivo jednocifrenih brojeva.

pregled:

1) 3000 / 250 = 12 - tačno;

2) 3000 / 600 = 5 - tačno;

3) 3000 / 1500 = 2 je tačno.

Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti genijalnog nivoa, sve je jednostavno i jasno.

Drugi način

U matematici je mnogo toga povezano, mnogo se može riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda se može koristiti u slučaju jednostavnih dvocifrenih i jednocifrenih brojeva. Sastavlja se tabela u koju se množitelj upisuje okomito, množitelj horizontalno, a proizvod je naveden u ćelijama kolone koja se sijeku. Tabelu možete prikazati linijom, uzima se broj i rezultati množenja ovog broja cijelim brojevima zapisuju se u nizu, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 bodova, drugi i sljedeći brojevi se podvrgavaju na isti računski proces. Sve se dešava dok se ne pronađe zajednički višekratnik.

S obzirom na brojeve 30, 35, 42, morate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:

1) Višestruki od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, itd.

2) Višestruki od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, itd.

3) Višekratnici 42: 84, 126, 168, 210, 252, itd.

Primjetno je da su svi brojevi dosta različiti, jedini zajednički broj među njima je 210, tako da će to biti LCM. Među procesima koji su povezani sa ovim proračunom nalazi se i najveći zajednički djelitelj, koji se računa po sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali dovoljno značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji je djeljiv sa svim datim početnim vrijednostima, a GCM uključuje izračunavanje najveća vrijednost kojim su djeljivi originalni brojevi.