Određivanje položaja ekvipotencijala i konstruisanje linija električnog polja. Ekvipotencijalne površine

Za vizuelniji grafički prikaz polja, osim zateznih linija, koristite površine jednakog potencijala ili ekvipotencijalne površine. Kao što ime govori, ekvipotencijalna površina je površina na kojoj sve tačke imaju isti potencijal. Ako je potencijal zadan kao funkcija x, y, z, tada jednadžba ekvipotencijalne površine ima oblik:

Linije jačine polja su okomite na ekvipotencijalne površine.

Dokažimo ovu tvrdnju.

Neka linija i linija sile tvore određeni ugao (slika 1.5).

Pomjerimo probni naboj od tačke 1 do tačke 2 duž linije. U ovom slučaju, terenske snage rade:

. (1.5)

To jest, rad obavljen pomicanjem ispitnog naboja duž ekvipotencijalne površine je nula. Isti rad se može definisati i na drugi način - kao proizvod naelektrisanja modulom jačine polja koji deluje na ispitno naelektrisanje, količinom pomaka i kosinusom ugla između vektora i vektora pomaka, tj. kosinus ugla (vidi sliku 1.5):

.

Količina rada ne zavisi od načina njegovog izračunavanja prema (1.5), jednaka je nuli. Iz ovoga proizilazi da i, shodno tome, što je trebalo dokazati.

Ekvipotencijalna površina se može povući kroz bilo koju tačku u polju. Prema tome, može se konstruirati beskonačan broj takvih površina. Dogovoreno je, međutim, da se površine nacrtaju na način da potencijalna razlika za dvije susjedne površine bude svuda ista. Tada se po gustini ekvipotencijalnih površina može suditi o veličini jačine polja. Zaista, što su ekvipotencijalne površine gušće, potencijal se brže mijenja kada se kreće duž normale na površinu.

Na slici 1.6a prikazane su ekvipotencijalne površine (tačnije, njihovi preseci sa ravninom crteža) za polje tačkastog naelektrisanja. U skladu sa prirodom promjene, ekvipotencijalne površine postaju gušće kako se približavaju naboju. Slika 1.6b prikazuje ekvipotencijalne površine i zatezne linije za dipolno polje. Sa slike 1.6 je jasno da je uz istovremenu upotrebu ekvipotencijalnih površina i zateznih linija slika polja posebno jasna.

Za jednolično polje, ekvipotencijalne površine očigledno predstavljaju sistem ravni jednako udaljenih jedna od druge, okomito na pravac jačine polja.

1.8. Odnos između jačine polja i potencijala

(potencijalni gradijent)

Neka postoji proizvoljno elektrostatičko polje. U ovom polju crtamo dvije ekvipotencijalne površine na način da se međusobno razlikuju po potencijalu za iznos dφ(Sl. 1.7)

Vektor napetosti je usmjeren normalno na površinu. Normalni smjer je isti kao i smjer x-ose. Axis x povučen iz tačke 1 siječe površinu u tački 2.

Segment dx predstavlja najkraću udaljenost između tačaka 1 i 2. Rad obavljen pri kretanju naboja duž ovog segmenta:

S druge strane, isti rad se može napisati kao:

Izjednačavajući ova dva izraza, dobijamo:

gdje simbol djelomične derivacije naglašava da se diferencijacija provodi samo u odnosu na x. Ponavljanje sličnog razmišljanja za osi y I z, možemo pronaći vektor:

, (1.7)

gdje su jedinični vektori koordinatnih osa x, y, z.

Vektor definiran izrazom (1.7) naziva se gradijent skalara φ . Za njega se, uz oznaku, koristi i oznaka. ("nabla") znači simbolički vektor nazvan Hamiltonov operator

Elektrostatičko polje se može okarakterisati skupom sila i ekvipotencijalnih linija.

dalekovod - ovo je linija mentalno povučena u polju, koja počinje na pozitivno nabijenom tijelu i završava se na negativno nabijenom tijelu, povučena na način da tangenta na nju u bilo kojoj tački polja daje smjer napetosti u toj tački .

Linije sile se zatvaraju na pozitivnim i negativnim nabojima i ne mogu se zatvoriti same od sebe.

Ispod ekvipotencijalna površina razumjeti skup tačaka polja koje imaju isti potencijal ().

Ako presječete elektrostatičko polje sekantnom ravninom, tada će u presjeku biti vidljivi tragovi presjeka ravnine s ekvipotencijalnim površinama. Ovi tragovi se nazivaju ekvipotencijalne linije.

Ekvipotencijalne linije su zatvorene za sebe.

Električni vodovi i ekvipotencijalne linije seku pod pravim uglom.

R
Razmotrimo ekvipotencijalnu površinu:

(pošto tačke leže na ekvipotencijalnoj površini).

– skalarni proizvod

Linije jačine elektrostatičkog polja prodiru u ekvipotencijalnu površinu pod uglom od 90 0, zatim ugao između vektora
jednak je 90 stepeni, a njihov skalarni proizvod je jednak 0.

Jednačina ekvipotencijalne linije

Razmotrimo liniju sile:

N
intenzitet elektrostatičkog polja je usmjeren tangencijalno na liniju sile (vidi definiciju linije sile), a element puta je također usmjeren , pa je ugao između ova dva vektora jednak nuli.

ili

Jednačina polja polja

Potencijalni gradijent

Potencijalni gradijent je stopa potencijalnog povećanja u najkraćem smjeru između dvije tačke.

Postoji određena potencijalna razlika između dvije tačke. Ako se ova razlika podijeli s najkraćom udaljenosti između uzetih tačaka, onda će rezultirajuća vrijednost karakterizirati brzinu promjene potencijala u smjeru najkraće udaljenosti između tačaka.

Gradijent potencijala pokazuje smjer najvećeg porasta potencijala, numerički je jednak modulu napona i negativno je usmjeren u odnosu na njega.

Prilikom definiranja gradijenta bitne su dvije odredbe:

Smjer u kojem se vode dvije obližnje tačke treba biti takav da je brzina promjene maksimalna.

Smjer je to skalarna funkcija raste u ovom pravcu.

Za kartezijanski koordinatni sistem:

Brzina promjene potencijala u smjeru osi X, Y, Z:

;
;

Dva vektora su jednaka samo ako su njihove projekcije jednake jedna drugoj. Projekcija vektora napetosti na osu X jednaka projekciji brzine promjene potencijala duž ose X, uzeti sa suprotnim predznakom. Isto i za sjekire Y I Z.

;
;
.

U cilindričnom koordinatnom sistemu, izraz za potencijalni gradijent imaće sledeći oblik.

Smjer dalekovod(linije napetosti) u svakoj tački poklapa se sa smjerom. Iz toga slijedi napon je jednak razlici potencijala U po jedinici dužine dalekovoda .

Duž linije polja dolazi do maksimalne promjene potencijala. Stoga, uvijek možete odrediti između dvije tačke mjerenjem U između njih i što su tačke bliže, to su tačnije. U jednoličnom električnom polju, linije sile su ravne. Stoga je ovdje najlakše odrediti:

Grafički prikaz linija polja i ekvipotencijalnih površina prikazan je na slici 3.4.

Prilikom kretanja duž ove površine za d l potencijal se neće promijeniti:

Iz toga slijedi da je projekcija vektora na d l jednak nuli , to jest Stoga je u svakoj tački usmjerena duž normale na ekvipotencijalnu površinu.

Možete nacrtati onoliko ekvipotencijalnih površina koliko želite. Po gustini ekvipotencijalnih površina može se suditi o vrednosti , to će biti pod uvjetom da je razlika potencijala između dvije susjedne ekvipotencijalne površine jednaka konstantnoj vrijednosti.

Formula izražava odnos između potencijala i napetosti i dozvoljava poznate vrednostiφ pronaći jačinu polja u svakoj tački. Moguće je riješiti i inverzni problem, tj. Koristeći poznate vrijednosti u svakoj tački polja, pronađite razliku potencijala između dvije proizvoljne tačke polja. Da bismo to učinili, iskoristili smo činjenicu da je posao obavljen od strane terenskih snaga na naboju q kada se pomera od tačke 1 do tačke 2, može se izračunati kao:

S druge strane, rad se može predstaviti kao:

, Onda

Integral se može uzeti duž bilo koje linije koja spaja tačku 1 i tačku 2, jer rad sila polja ne zavisi od putanje. Da bismo prešli zatvorenu petlju, dobijamo:

one. Došli smo do dobro poznate teoreme o cirkulaciji vektora napetosti: cirkulacija vektora jačine elektrostatičkog polja duž bilo koje zatvorene konture je nula.

Polje koje ima ovo svojstvo naziva se potencijal.

Iz nestajanja vektorske cirkulacije slijedi da se linije elektrostatičkog polja ne mogu zatvoriti: one počinju na pozitivnih naboja(izvori) i završavaju na negativnim nabojima (ponori) ili idu u beskonačnost(Sl. 3.4).

Ovaj odnos je istinit samo za elektrostatičko polje. Naknadno ćemo saznati da polje pokretnih naboja nije potencijalno i za njega ovaj odnos ne vrijedi.

Ekvipotencijalna površina ekvipotencijalna površina

površina na kojoj sve tačke imaju isti potencijal. Ekvipotencijalna površina je ortogonalna na linije polja. Površina provodnika u elektrostatici je ekvipotencijalna površina.

EKVIPOTENCIJALNA POVRŠINA, površina u svim tačkama čiji je potencijal (cm. POTENCIJAL (u fizici)) električno polje ima istu vrijednost j= const. Na ravni ove površine predstavljaju ekvipotencijalne linije polja.
Koristi se za grafički prikaz raspodjele potencijala.
Između bilo koje dvije tačke na ekvipotencijalnoj površini, razlika potencijala je nula. To znači da je vektor sile u bilo kojoj tački putanje naelektrisanja duž ekvipotencijalne površine okomit na vektor brzine. Dakle, linije napetosti (cm. JAKOĆA ELEKTRIČNOG POLJA) elektrostatičko polje su okomite na ekvipotencijalnu površinu. Drugim riječima: ekvipotencijalna površina je ortogonalna na linije polja (cm. ELEKTROVODOVI) polja, a vektor jakosti električnog polja E je uvijek okomit na ekvipotencijalne površine i uvijek je usmjeren u smjeru opadanja potencijala. Rad koji vrše sile električnog polja za bilo koje kretanje naelektrisanja duž ekvipotencijalne površine jednak je nuli, jer je?j = 0.
Ekvipotencijalne površine polja tačkastog električnog naboja su sfere u čijem se središtu nalazi naboj. Ekvipotencijalne površine jednolikog električnog polja su ravni okomite na linije napetosti. Površina provodnika u elektrostatičkom polju je ekvipotencijalna površina.

Encyclopedic Dictionary. 2009 .

Pogledajte šta je "ekvipotencijalna površina" u drugim rječnicima:

Površina na kojoj sve tačke imaju isti potencijal. Ekvipotencijalna površina je ortogonalna na linije polja. Površina provodnika u elektrostatici je ekvipotencijalna površina... Veliki enciklopedijski rječnik

Površina i sve tačke u roju imaju isti potencijal. Na primjer, površina provodnika u elektrostatici E. p enciklopedijski rečnik. M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni i odgovorni urednik A. M. Prokhorov. 1983 ... Fizička enciklopedija

ekvipotencijalna površina- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Englesko-ruski rečnik elektrotehnike i energetike, Moskva, 1999.] Teme elektrotehnike, osnovni pojmovi EN površina jednakih potencijalajednaka energija površinaekvipotencijalna... ... Vodič za tehnički prevodilac

Ekvipotencijalne površine električnog dipola (njihovi presjeci su prikazani u mraku ravninom crteža; boja konvencionalno prenosi vrijednost potencijala u različite tačke najveće vrijednosti su ljubičasta i crvena, n ... Wikipedia

ekvipotencijalna površina- vienodo potencijalo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotencijalna površina vok. Equipotential fläche, f rus. ekvipotencijalna površina, f pranc. konstanta površinskog potencijala, f; površinski d'égal potencijal, f; površina… … Fizikos terminų žodynas

Površina jednakog potencijala je površina u kojoj sve tačke imaju isti potencijal. Na primjer, površina provodnika u elektrostatici je električno polje U polju sile, linije sile su normalne (okomite) na električnu energiju... Veliki Sovjetska enciklopedija

- (od latinskog aequus jednak i potencijal) geom. mjesto bodova u polju, Krimu odgovara istoj potencijalnoj vrijednosti. E. linije su okomite na linije sile. Ekvipotencijal je, na primjer, površina provodnika koja se nalazi u elektrostatičkom ... ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

Za vizuelni prikaz vektorskih polja koristi se slika linija polja. Linija sile je imaginarna matematika krivulja u prostoru, smjer tangente na koju je svaki tačka kroz koju prolazi poklapa se sa pravcem vektora polja na istoj tački(Sl. 1.17).
Rice. 1.17:
Uslov za paralelizam vektora E → i tangente može se zapisati kao jednakost nuli vektorski proizvod E → i element luka d r → linija sile:

Ekvipotencijal je površina na kojoj za koje je električni potencijal konstantanϕ. U polju tačkastog naboja, kao što je prikazano na sl. , sferne površine sa centrima na mestu naelektrisanja su ekvipotencijalne; ovo se može vidjeti iz jednačine ϕ = q ∕ r = const.

Analizirajući geometriju linija električnog polja i ekvipotencijalnih površina, možemo naznačiti broj opšta svojstva geometrija elektrostatičkog polja.

Prvo, linije sile počinju od naboja. Oni ili idu u beskonačnost ili završavaju na drugim nabojima, kao na sl. .

Drugo, u potencijalnom polju, linije polja ne mogu biti zatvorene. Inače bi bilo moguće odrediti tako zatvoreno kolo da rad električnog polja pri kretanju naboja duž ovog kola nije jednak nuli.

Treće, linije sile sijeku bilo koju ekvipotencijalnu normalu na nju. stvarno, električno polje posvuda je usmjeren ka brzom smanjenju potencijala, a na ekvipotencijalnoj površini potencijal je po definiciji konstantan (sl. ).
Rice. 1.20:
I konačno, linije polja se ne seku nigde osim u tačkama gde je E → = 0. Presek linija polja znači da je polje u tački preseka dvosmislena funkcija koordinata, a vektor E → nema određeni pravac. Jedini vektor koji ima ovo svojstvo je nulti vektor. Struktura električnog polja blizu nulte tačke biće analizirana u zadacima za ??

Metoda polja polja je, naravno, primjenjiva na grafički prikaz bilo kojeg vektorskog polja. Dakle, u poglavlju ?? upoznaćemo koncept magnetnih linija sile. Međutim, geometrija magnetno polje

potpuno drugačija od geometrije električnog polja.
Rice. 1.21: Ideja o linijama sile usko je povezana s konceptom cijevi sile. Uzmimo bilo koju proizvoljnu zatvorenu konturu L i povucimo električnu liniju sile kroz svaku njenu tačku (sl. ). Ove linije formiraju strujnu cijev. Razmotrimo proizvoljan presjek cijevi s površinom S. Pozitivnu normalu crtamo u istom smjeru u kojem su usmjerene linije polja. Neka je N tok vektora E → kroz presjek S. To je lako vidjeti ako unutra nema cijevi električnih naboja , tada protok N ostaje isti po cijeloj dužini cijevi. Da bismo to dokazali, trebamo uzeti još jedan poprečni presjek S ′. Prema Gaussovoj teoremi, tok električnog polja kroz zatvorenu površinu ograničenu bočnom površinom cijevi i presjecima S, S′ jednak je nuli, jer unutar strujne cijevi nema električnih naboja. Protok kroz bočna površina

jednaka je nuli, pošto vektor E → dodiruje ovu površinu. Posljedično, protok kroz dionicu S ′ je numerički jednak N, ali suprotnog predznaka. Spoljna normala na zatvorenu površinu na ovom preseku je usmerena suprotno od n →. Ako je normala usmjerena u istom smjeru, tada će se tokovi kroz dijelove S i S ′ podudarati i po veličini i po predznaku. Konkretno, ako je cijev beskonačno tanka i presjeci S i S ′ su normalni na nju, tada

E S = E ′ S ′ .

Prije pronalaska kompjutera, za eksperimentalnu reprodukciju linija sila, uzeta je staklena posuda s ravnim dnom i u nju je ulivena neprovodna tekućina, poput ricinusovog ulja ili glicerina. U tečnost su ravnomerno umešani praškasti kristali gipsa, azbesta ili nekih drugih duguljastih čestica. Metalne elektrode su uronjene u tečnost. Kada su spojene na izvore električne energije, elektrode su pobuđivale električno polje. U ovom polju, čestice su naelektrisane i, privučene jedna drugoj suprotnim naelektrisanim krajevima, raspoređene su u obliku lanaca duž linija sile. Slika linija polja je iskrivljena zbog strujanja fluida uzrokovanih silama koje na nju djeluju u neujednačenom električnom polju.

To Be Do Do You
Rice. 1.22:
Najbolji rezultati su dobijeni metodom koju je koristio Robert W. Pohl (1884-1976). Staniol elektrode se lijepe na staklenu ploču između kojih se stvara električni napon. Zatim se laganim tapkanjem na ploču izlivaju duguljaste čestice, na primjer, kristali gipsa. Nalaze se duž nje duž linija sile. Na sl. ??

Prikazana je slika linija polja između dva suprotno nabijena kruga staniola.

▸ Problem 9.1 Zapišite jednadžbu linija polja u proizvoljnoj ortogonalnoj

koordinate

▸ Problem 9.2