Negativni racionalni brojevi. Definicija i primjeri racionalnih brojeva

Četvrtine

Urednost. a I b postoji pravilo koje dozvoljava da se na jedinstven način identifikuje jedan i samo jedan od tri odnosa između njih: “< », « >" ili " = ". Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva nenegativna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja a I b povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako iznenada a nije negativan, ali b- negativno, onda a > b.
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka Operacija sabiranja. a I b Za sve racionalne brojeve postoji tzv pravilo sumiranja c pravilo sumiranja. Štaviše, sam broj pozvao iznos a I b brojevi i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove sumiranje .
. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: Operacija sabiranja. a I b Za sve racionalne brojeve Operacija množenja. pravilo množenja pravilo sumiranja c pravilo sumiranja. Štaviše, sam broj , što im dodeljuje neki racionalni broj iznos a I b rad i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva množenje .
. Pravilo množenja izgleda ovako: Tranzitivnost odnosa poretka. a , b I pravilo sumiranja Za bilo koju trojku racionalnih brojeva a Ako b I b Ako pravilo sumiranja manje a Ako pravilo sumiranja, To a, i ako b I b, i ako pravilo sumiranja manje a, i ako pravilo sumiranja jednaki
. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Postoji racionalni broj 1 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se množi.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Arhimedov aksiom. a Bez obzira na racionalni broj a, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0"> Dodatne nekretnine Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Takve

dodatna svojstva

toliko. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Prebrojivost skupa

Numeracija racionalnih brojeva Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. Najjednostavniji od ovih algoritama izgleda ovako. Beskonačna tabela običnih razlomaka je sastavljena na svakom i-ti red u svakom Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. j i th kolona u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Ćelije tabele su označene sa , gde

- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i

- broj kolone.

Rezultirajuća tabela se prelazi pomoću “zmije” prema sljedećem formalnom algoritmu. Ova pravila se traže od vrha do dna i sljedeća pozicija se bira na osnovu prvog podudaranja. U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim

Prateći ovaj algoritam, možemo nabrojati sve pozitivne racionalne brojeve. To znači da je skup pozitivnih racionalnih brojeva prebrojiv. Lako je uspostaviti bijekciju između skupova pozitivnih i negativnih racionalnih brojeva jednostavnim pripisivanjem svakom racionalnom broju njegovu suprotnost. To. skup negativnih racionalnih brojeva je također prebrojiv. Njihova unija je također prebrojiva svojstvom prebrojivih skupova. Skup racionalnih brojeva je također prebrojiv kao unija prebrojivog skupa sa konačnim.

Izjava o prebrojivosti skupa racionalnih brojeva može izazvati određenu zabunu, jer se na prvi pogled čini da je mnogo opsežnija od skupa prirodnih brojeva. U stvari, to nije tako i ima dovoljno prirodnih brojeva da se nabroje svi racionalni brojevi.

Nedostatak racionalnih brojeva

Hipotenuza takvog trougla ne može se izraziti nikakvim racionalnim brojem

Racionalni brojevi oblika 1 / n na slobodi n mogu se izmjeriti proizvoljno male količine. Ova činjenica stvara pogrešan utisak da se racionalni brojevi mogu koristiti za mjerenje bilo koje geometrijske udaljenosti. Lako je pokazati da to nije istina.

Bilješke

Književnost

I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školsku decu. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: pogl. ed. fizike i matematike lit. ed. "Nauka", 1977
I. L. Hmeljnicki. Uvod u teoriju algebarskih sistema

Linkovi

Wikimedia Foundation.

2010.

Skup racionalnih brojeva

Skup racionalnih brojeva je označen i može se napisati na sljedeći način: Ispostavilo se da različite oznake mogu predstavljati isti razlomak, na primjer, i , (svi razlomci koji se mogu dobiti jedan od drugog množenjem ili dijeljenjem istim prirodnim brojem predstavljaju isti racionalni broj). Budući da dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem možemo dobiti jedan nesvodljivi prikaz racionalnog broja, možemo govoriti o njihovom skupu kao skupu nesvodivo

razlomci sa zajedničkim prostim cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom:

Skup racionalnih brojeva je prirodna generalizacija skupa cijelih brojeva. Lako je vidjeti da ako racionalni broj ima nazivnik , onda je to cijeli broj. Skup racionalnih brojeva nalazi se svuda gusto na brojevnoj osi: između bilo koja dva različita racionalna broja postoji barem jedan racionalni broj (i stoga beskonačan skup racionalnih brojeva). Međutim, ispostavilo se da skup racionalnih brojeva ima prebrojivu kardinalnost (to jest, svi njegovi elementi mogu biti prenumerisani). Napomenimo, uzgred, da su stari Grci bili uvjereni u postojanje brojeva koji se ne mogu predstaviti kao razlomak (na primjer, dokazali su da ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat 2).

Terminologija

Formalna definicija

Formalno, racionalni brojevi su definisani kao skup klasa ekvivalencije parova u odnosu na relaciju ekvivalencije if. U ovom slučaju, operacije sabiranja i množenja su definirane na sljedeći način:

Povezane definicije

Pravilni, nepravilni i mješoviti razlomci

Tačno Razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika naziva se razlomak. Pravi razlomci predstavljaju racionalne brojeve po modulu manje od jedan. Razlomak koji nije pravi naziva se pogrešno i predstavlja racionalni broj veći ili jednak jedinici po modulu.

Nepravilan razlomak se može predstaviti kao zbir cijelog broja i pravilan razlomak, zvao mješovita frakcija . Na primjer, . Sličan zapis (sa nedostajućim znakom sabiranja), iako se koristi u elementarnoj aritmetici, izbjegava se u strogoj matematičkoj literaturi zbog sličnosti zapisa za mješoviti razlomak sa zapisom za proizvod cijelog broja i razlomka.

Visina udarca

Visina običan razlomak je zbir modula brojioca i nazivnika ovog razlomka. Visina racionalnog broja je zbir modula brojioca i nazivnika nesvodljivog običnog razlomka koji odgovara ovom broju.

Na primjer, visina razlomka je . Visina odgovarajućeg racionalnog broja je jednaka , budući da se razlomak može smanjiti za .

Komentar

Termin razlomak (razlomak) Ponekad [ specificirati] se koristi kao sinonim za pojam racionalni broj, a ponekad i sinonim za bilo koji necijeli broj. U potonjem slučaju, razlomak i racionalni brojevi su različite stvari, jer su tada necijeli racionalni brojevi samo poseban slučaj razlomak

Svojstva

Osnovna svojstva

Skup racionalnih brojeva zadovoljava šesnaest osnovnih svojstava, koja se lako mogu izvesti iz svojstava cijelih brojeva.

Urednost. Za sve racionalne brojeve postoji pravilo koje vam omogućava da jedinstveno identifikujete jednu i samo jednu od tri relacije između njih: “”, “” ili “”. Ovo pravilo se zove pravilo naručivanja i formulira se na sljedeći način: dva pozitivna broja i povezani su istom relacijom kao dva cijela broja i ; dva nepozitivna broja i povezani su istim odnosom kao dva nenegativna broja i ; ako odjednom nije negativan, već - negativan, onda .
src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Zbrajanje razlomaka postoji tzv pozvao brojevi i i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se zove. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: .
. Pravilo sumiranja ima sljedeći oblik: Za sve racionalne brojeve postoji tzv Operacija množenja., što ih stavlja u korespondenciju sa nekim racionalnim brojem. U ovom slučaju se poziva sam broj , što im dodeljuje neki racionalni broj brojevi i i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva i označava se sa , a proces pronalaženja takvog broja se također naziva. Pravilo množenja ima sljedeći oblik: .
. Pravilo množenja izgleda ovako: Za bilo koju trojku racionalnih brojeva, i ako je manje i manje, onda manje, a ako je jednako i jednako, onda jednako.
Komutativnost sabiranja. Promena mesta racionalnih članova ne menja zbir.
. 6435">Komutativnost sabiranja. Promjenom mjesta racionalnih članova ne mijenja se zbir.
Asocijativnost sabiranja. Redoslijed sabiranja tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Prisustvo nule. Postoji racionalni broj 0 koji čuva svaki drugi racionalni broj kada se doda.
Prisustvo suprotnih brojeva. Svaki racionalni broj ima suprotan racionalni broj, koji kada se doda na daje 0.
Komutativnost množenja. Promena mesta racionalnih faktora ne menja proizvod.
Asocijativnost množenja. Redoslijed kojim se množe tri racionalna broja ne utječe na rezultat.
Dostupnost jedinice. Svaki racionalni broj različit od nule ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Prisustvo recipročnih brojeva. Svaki racionalni broj ima inverzni racionalni broj, koji kada se pomnoži sa daje 1.
Distributivnost množenja u odnosu na sabiranje. Isti racionalni broj može se dodati lijevoj i desnoj strani racionalne nejednakosti.
Veza između relacije reda i operacije množenja. Lijeva i desna strana racionalne nejednakosti mogu se pomnožiti istim pozitivnim racionalnim brojem.
/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Koji god da je racionalni broj, možete uzeti toliko jedinica da njihov zbir premašuje.

.

Sva ostala svojstva svojstvena racionalnim brojevima ne izdvajaju se kao osnovna, jer, općenito govoreći, više se ne zasnivaju direktno na svojstvima cijelih brojeva, već se mogu dokazati na osnovu datih osnovnih svojstava ili direktno definicijom nekog matematičkog objekta. . Postoji mnogo takvih dodatnih nekretnina. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

toliko. Ovdje ima smisla navesti samo neke od njih.

Da biste procijenili broj racionalnih brojeva, morate pronaći kardinalnost njihovog skupa. Lako je dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Da biste to učinili, dovoljno je dati algoritam koji nabraja racionalne brojeve, odnosno uspostavlja bijekciju između skupova racionalnih i prirodnih brojeva. Primjer takve konstrukcije je sljedeći jednostavan algoritam. Sastavlja se beskonačna tabela običnih razlomaka, u svakom redu u svakoj koloni u kojoj se nalazi razlomak. Radi određenosti, pretpostavlja se da su redovi i stupci ove tabele numerisani počevši od jedan. Označene su ćelije tabele, gde je broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, a broj kolone.

- broj reda tabele u kojem se ćelija nalazi, i

- broj kolone.

U procesu takvog obilaska, svaki novi racionalni broj je povezan s drugim prirodnim brojem. To jest, razlomcima se dodeljuje broj 1, razlomcima se dodeljuje broj 2, itd. Treba napomenuti da su samo nesvodljivi razlomci numerisani. Formalni znak nesvodljivosti je da je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika razlomka jednak jedan.

Naravno, postoje i drugi načini za nabrajanje racionalnih brojeva. Na primjer, za ovo možete koristiti strukture kao što su Kalkin-Wilf stablo, Stern-Broko drvo ili Farey serija.

Nedostatak racionalnih brojeva

Vidi također


	Integers

Racionalni brojevi

Realni brojevi Kompleksni brojevi Kvaternioni

Bilješke

Književnost

I. Kushnir. Priručnik iz matematike za školsku decu. - Kijev: ASTARTA, 1998. - 520 str.
P. S. Aleksandrov. Uvod u teoriju skupova i opću topologiju. - M.: pogl. ed. fizike i matematike lit. ed. "Nauka", 1977
I. L. Hmeljnicki. Uvod u teoriju algebarskih sistema

Definicija racionalnih brojeva:

Racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao razlomak. Brojilac takvog razlomka pripada skupu cijelih brojeva, a imenilac skupu prirodnih brojeva.

Zašto se brojevi nazivaju racionalnim?

Na latinskom, ratio znači omjer. Racionalni brojevi se mogu predstaviti kao omjer, tj. drugim riječima, kao razlomak.

Primjer racionalnog broja

Broj 2/3 je racionalan broj. Zašto? Ovaj broj je predstavljen kao razlomak, čiji brojnik pripada skupu cijelih brojeva, a nazivnik skupu prirodnih brojeva.

Za više primjera racionalnih brojeva pogledajte članak.

Jednaki racionalni brojevi

Razne frakcije može predstavljati jedan racionalni broj.

Razmotrimo racionalni broj 3/5. Ovaj racionalni broj je jednak

Smanjite brojilac i nazivnik za zajednički faktor 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Dobili smo razlomak 3/5, što znači da

Kao što smo već vidjeli, skup prirodnih brojeva

je zatvoren pod sabiranjem i množenjem i skupom cijelih brojeva

zatvoreno pod sabiranjem, množenjem i oduzimanjem. Međutim, nijedan od ovih skupova nije zatvoren dijeljenjem, jer dijeljenje cijelih brojeva može rezultirati razlomcima, kao u slučajevima 4/3, 7/6, -2/5, itd. Skup svih takvih razlomaka čini skup racionalnih brojeva. Dakle, racionalni broj ( racionalni razlomak) je broj koji se može predstaviti u obliku , gdje su a i d cijeli brojevi, a d nije jednako nuli. Hajde da damo nekoliko komentara o ovoj definiciji.

1) Tražili smo da d bude različit od nule. Ovaj zahtjev (matematički napisan kao nejednakost) je neophodan jer je ovdje d djelitelj. Razmotrite sljedeće primjere:

Slučaj 1. .

Slučaj 2...

U slučaju 1, d je delilac u smislu prethodnog poglavlja, tj. 7 je tačan delilac od 21. U slučaju 2, d je i dalje delilac, ali u drugačijem smislu, pošto 7 nije tačan delilac od 25 .

Ako se 25 zove dividenda, a 7 djelitelj, dobijamo količnik 3 i ostatak od 4. Dakle, riječ djelitelj se ovdje koristi u širem smislu i primjenjuje se na veći broj slučajeva nego u Pogl. I. Međutim, u slučajevima kao što je slučaj 1, koncept djelitelja uveden u pogl. I; stoga je neophodno, kao u pogl. I, isključujem mogućnost d = 0.

2) Imajte na umu da iako su izrazi racionalni broj i racionalni razlomak sinonimi, sama riječ razlomak se koristi za označavanje bilo kojeg algebarskog izraza koji se sastoji od brojnika i nazivnika, kao što je

3) Definicija racionalnog broja uključuje izraz „broj koji se može predstaviti u obliku , gdje su a i d cijeli brojevi i . Zašto se ne može zamijeniti izrazom „broj oblika , gdje su a i d cijeli brojevi i Razlog za to je činjenica da postoji beskonačno mnogo načina da se izrazi isti razlomak (na primjer, 2/3 može takođe se zapisuje kao 4/6, 6 /9, ili ili 213/33, ili, itd.), a za nas je poželjno da naša definicija racionalnog broja ne zavisi od određenog načina izražavanja.

Razlomak je definiran na način da se njegova vrijednost ne mijenja kada se brojnik i imenilac pomnože istim brojem. Međutim, nije uvijek moguće reći samo gledajući dati razlomak da li je racionalan ili ne. Razmotrite, na primjer, brojeve

Nijedan od njih u unosu koji smo odabrali nije oblika , gdje su a i d cijeli brojevi.

Možemo, međutim, izvršiti seriju aritmetičkih transformacija na prvom razlomku i dobiti

Dakle, dolazimo do razlomka jednakog originalnom razlomku, za koji . Broj je dakle racionalan, ali ne bi bio racionalan ako bi definicija racionalnog broja zahtijevala da broj bude oblika a/b, gdje su a i b cijeli brojevi. U slučaju konverzije frakcija

dovesti do broja. U narednim poglavljima naučit ćemo da se broj ne može predstaviti kao omjer dva cijela broja i stoga nije racionalan ili se kaže da je iracionalan.

4) Imajte na umu da je svaki cijeli broj racionalan. Kao što smo upravo videli, ovo je tačno u slučaju broja 2. U opštem slučaju proizvoljnih celih brojeva, na sličan način se svakom od njih može dodeliti imenilac 1 i dobiti njihov prikaz kao racionalni razlomci.

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Uprkos razlikama u formulacijama, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi kombinuju cele brojeve i razlomci brojeva, baš kao što cijeli brojevi kombinuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomke.

Počnimo sa definicije racionalnih brojeva, što se percipira najprirodnije.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili broj nula.

Iz navedene definicije proizilazi da je racionalan broj:

Bilo koji prirodni broj n. Zaista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1 .

· Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj se može napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. na primjer, 26=26/1 , .

· Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). Ovo direktno potvrđuje data definicija racionalnih brojeva.

· Bilo koji mješoviti broj. Zaista, uvijek možete predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Na primjer, i.

· Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični razlomak. To je zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, a 0,(3)=1/3 .

Takođe je jasno da bilo koji beskonačan neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4 ,903 , 100 321 Ovo su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Integers 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 su također primjeri racionalnih brojeva. Uobičajeni razlomci 4/9 , 99/3 , su također primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su takođe brojevi.

Iz gornjih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulisati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi imenovati brojeve koji se mogu napisati kao razlomci z/n, Gdje z je cijeli broj i n– prirodni broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da liniju razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, a zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila za dijeljenje cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na osnovu ovu definiciju. Brojevi −5 , 0 , 3 , i racionalni su brojevi, budući da se mogu zapisati kao razlomci s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika i, respektivno.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačni ili beskonačno periodični decimalni.

Ova definicija je također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a bilo koji cijeli broj može biti povezan s decimalnim razlomkom sa nulama iza decimalnog zareza.

Na primjer, brojevi 5 , 0 , −13 , su primjeri racionalnih brojeva, jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 I −7,(18) .

Završimo teoriju ove tačke sa sljedećim izjavama:

· cijeli i razlomak (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;

· svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojicom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;

· svaki racionalni broj se može predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj.

Vrh stranice

Sabiranje pozitivnih racionalnih brojeva je komutativno i asocijativno,

("a, b O Q +) a + b= b + a;

("a, b, c O Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Prije nego što formulirate definiciju množenja pozitivnih racionalnih brojeva, razmotrite sljedeći problem: poznato je da se dužina segmenta X izražava kao razlomak s jedinicom dužine E, a dužina jediničnog segmenta mjeri se jedinicom E 1 i izražava se kao razlomak. Kako pronaći broj koji će predstavljati dužinu segmenta X ako se mjeri pomoću jedinice za dužinu E 1?

Pošto je X = E, onda je nX = mE, a iz činjenice da je E = E 1 slijedi da je qE = pE 1. Pomnožimo prvu jednakost dobijenu sa q, a drugu sa m. Tada je (nq)X = (mq)E i (mq)E= (mp)E 1, odakle je (nq)X= (mp)E 1. Ova jednakost pokazuje da je dužina segmenta x sa jediničnom dužinom izražena kao razlomak, što znači , =, tj. množenje razlomaka uključuje kretanje s jedne jedinice dužine na drugu prilikom mjerenja dužine istog segmenta.

Definicija: Ako je pozitivan broj a predstavljen razlomkom, a pozitivan racionalni broj b razlomak, tada je njihov proizvod broj a b, koji je predstavljen razlomkom.

Množenje pozitivnih racionalnih brojeva komutativno, asocijativno i distributivno u odnosu na sabiranje i oduzimanje. Dokaz ovih svojstava zasniva se na definiciji množenja i sabiranja pozitivnih racionalnih brojeva, kao i na odgovarajućim svojstvima sabiranja i množenja prirodnih brojeva.

46. Kao što je poznato oduzimanje- Ovo je suprotna akcija sabiranja.

Ako a I b - pozitivni brojevi, zatim oduzimanje broja b od broja a znači pronaći broj c koji, kada se doda broju b, daje broj a.
a - b = c ili c + b = a
Definicija oduzimanja vrijedi za sve racionalne brojeve. Odnosno, oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva može se zamijeniti sabiranjem.
Da biste oduzeli drugi od jednog broja, potrebno je da dodate suprotni broj onom koji se oduzima.
Ili, na drugi način, možemo reći da je oduzimanje broja b isto što i sabiranje, ali sa brojem suprotnim od b.
a - b = a + (- b)
Primjer.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Primjer.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vrijedi zapamtiti dolje navedene izraze.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Pravila za oduzimanje negativnih brojeva
Oduzimanje broja b znači sabiranje sa suprotnim brojem b.
Ovo pravilo vrijedi ne samo kada oduzimate manji broj od većeg broja, već vam također omogućava da oduzmete od manjeg broja veći broj, odnosno uvijek možete pronaći razliku između dva broja.
Razlika može biti pozitivan broj, negativan broj ili broj nula.
Primjeri oduzimanja negativnih i pozitivnih brojeva.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Zgodno je zapamtiti pravilo znaka, koje vam omogućava da smanjite broj zagrada.
Znak plus ne mijenja predznak broja, pa ako se ispred zagrade nalazi plus, znak u zagradi se ne mijenja.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Znak minus ispred zagrada obrće znak broja u zagradi.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Iz jednakosti je jasno da ako postoje identični znakovi ispred i unutar zagrada, onda dobijamo „+“, a ako su znakovi različiti, onda dobijamo „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Pravilo znakova je očuvano čak i ako nije jedan broj u zagradama, ali algebarski zbir brojevi.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Imajte na umu da ako postoji nekoliko brojeva u zagradama, a ispred zagrada je znak minus, onda se predznaci ispred svih brojeva u ovim zagradama moraju promijeniti.
Da biste zapamtili pravilo znakova, možete napraviti tablicu za određivanje znakova broja.
Pravilo znaka za brojeve+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ili naučite jednostavno pravilo.
Dva negativa čine potvrdno,
Plus puta minus jednako je minus.

Pravila za dijeljenje negativnih brojeva.
Da biste pronašli modul količnika, morate podijeliti modul dividende sa modulom djelitelja.
Dakle, da biste podijelili dva broja sa istim predznacima, trebate:

· modul dividende se dijeli sa modulom djelitelja;

· stavite znak “+” ispred rezultata.

Primjeri dijeljenja brojeva sa različiti znakovi:

Također možete koristiti sljedeću tabelu da odredite znak količnika.
Pravilo znakova za podjelu
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Prilikom izračunavanja “dugih” izraza u kojima se pojavljuju samo množenje i dijeljenje, vrlo je zgodno koristiti pravilo znaka. Na primjer, za izračunavanje razlomka
Imajte na umu da brojilac ima 2 znaka minus, koji kada se pomnože daju plus. U nazivniku se nalaze i tri znaka minus, koji kada se pomnože daju znak minus. Stoga će na kraju rezultat ispasti sa predznakom minus.
Smanjenje razlomka (dalje radnje s modulima brojeva) izvodi se na isti način kao i prije:
Kvocijent nule podijeljen brojem koji nije nula je nula.
0: a = 0, a ≠ 0
NE MOŽETE podijeliti sa nulom!
Sva ranije poznata pravila dijeljenja na jedan važe i za skup racionalnih brojeva.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, gdje je a bilo koji racionalni broj.
Odnosi između rezultata množenja i dijeljenja, poznati za pozitivne brojeve, ostaju isti za sve racionalne brojeve (osim nule):
ako je a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ako je a: b = c; a = c × b; b = a: c
Ove zavisnosti se koriste za pronalaženje nepoznatog faktora, dividende i djelitelja (prilikom rješavanja jednačina), kao i za provjeru rezultata množenja i dijeljenja.
Primjer pronalaženja nepoznatog.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Povezane informacije.