Projekcija (geometrijska, algebarska) vektora na osu. Svojstva projekcija

1. Projekcija vektora na dati pravac.

Neka su data dva vektora `vec a` i `vec b`. Hajde da svedemo ove vektore na isto poreklo `O`.

Ugao koji formiraju zrake koje izlaze iz tačke `O` i koje su usmjerene duž vektora `vec a` i `vec b` naziva se ugao između vektora `vec a` i `vec b`. Označimo ovaj ugao sa `alfa`.

Broj `a_b = a cos alpha` naziva se projekcija vektora `vec a` na smjer vektora `vec b`. Projekcija vektora `vec a` se dobija ako se okomica spusti sa njenog kraja u pravcu vektora `vec b` (slika 10), tada se rastojanje od ukupne početak vektora - tačke `O` - do tačke presjeka navedene okomice s pravom na kojoj leži vektor `vec b`, bit će jednak modulu projekcije vektora `vec a` na smjer vektora `vec b`.

Ugao `alpha` može zauzeti različita značenja, dakle, ovisno o predznaku `cos alpha`, projekcija može biti pozitivna, negativne vrijednosti ili nula. Na primjer, ako je ugao `alpha` tup, odnosno veći od `90^@`, ali manji od `180^@`, tada je kosinus takvog ugla negativan.

Projekcija je nula ako su smjerovi vektora `vec a` i `vec b` međusobno okomite.

Projekcije jednakih vektora u bilo kojem smjeru jednake su jedna drugoj. Projekcije suprotnih vektora razlikuju se po predznaku.

Lako je pokazati da je projekcija sume vektora jednaka algebarski zbir njihove projekcije i da kada se vektor pomnoži sa brojem, njegova projekcija se množi sa istim brojem.

2. Vektorska dekompozicija.

Do sada smo govorili o sabiranju vektora. Za rješavanje mnogih problema može biti potrebno provesti obrnuti postupak - razložiti vektor na njegove komponente, na primjer, pronaći nekoliko sila koje bi svojim zajedničkim djelovanjem mogle zamijeniti jednu datu silu. Ova operacija se zove dezintegracija snaga.

Neka su na ravni dati vektor `vec a` i dvije prave `AO` i `OB` koje se seku u tački `O`.

Vektor `vec a` može se predstaviti kao zbir dva vektora usmjerena duž datih linija. Da bismo to učinili, paralelnim prevođenjem kombinujemo početak vektora `vec a` sa tačkom `O` preseci linija. Od kraja vektora `vec a` crtamo dva ravna segmenta paralelna sa `AO` i `OB`. Rezultat će biti paralelogram. Po izgradnji

Vektori `vec(a_1)` i `vec(a_2)` se pozivaju komponente vektor `vec a` u datim pravcima, a reprezentacija samog vektora u obliku sume (*) je dekompozicija vektora u dva pravca.

Koja je razlika između projekcije vektora na osu i komponente (komponente) vektora duž te ose?

Projekcija vektora je skalar; komponenta vektora duž ove ose je vektor usmeren duž ove ose.

Neka je `a = 1`, ugao između pravih `AO` i `OB` je `phi = 45^@`, a ugao između vektora `vec a` i `vec(a_1)` je `phi = 15^@`. Odredite veličine vektora `vec a_1` i `vec a_2` u ekspanziji (*), kao i vrijednosti projekcija vektora `vec a` na pravce `vec(a_1)` i `vec (a_2)`.

`a_(a1) = a cos phi_1 ~~ 0,97`, `a_(a2) = a cos phi_2 = cos 30^@ ~~ 0,87`.

odakle je `a_1 = (sin phi_2)/(sin (phi_1 + phi_2)) = (sin 30^@)/(sin 45^@) ~~ 0.71`

i slično `a_2 = (sin 15^@)/(sin 45^@) ~~ 0.37`.

3. Projektovanje vektora na koordinatnu osu.

Posebno važno poseban slučaj proširenje vektora u dva međusobno okomita smjera. Neka su na ravni dati pravougaoni koordinatni sistem `xOy` i neki vektor `vec a`. Nacrtajmo od ishodišta duž pozitivnog smjera osa `Ox` i `Oy` vektore `vec i` i `vec j`, respektivno, tako da je `|vec i| = 1` i `|vec j| = 1`. Nazovimo vektore `vec i` i `vec j` jedinični vektori.

Pomjerimo vektor `vec a` tako da mu se početak poklapa sa ishodištem koordinata. Neka je u ovoj poziciji predstavljen usmjerenim segmentom `AO`.

Spustimo okomice iz tačke `A` na osi `Ox` i `Oy`. Tada će vektori `vec(a_x)` i `vec(a_y)` biti komponente vektora `vec a` duž koordinatnih osa, a vektor `vec(a_x)` će biti kolinearan vektor`vec i`, a vektor `vec(a_y)` je kolinearan vektoru `vec j` Prema tome, postoje brojevi `a_x` i `a_y` takvi da je `vec(a_x) = a_x vec i` i `vec(a_y) =. a_y vec j `. Dakle, vektor `vec a` može se predstaviti kao proširenje osi:

Brojevi `a_x` i `a_y` su projekcija vektora `vec a` na smjerove vektora `vec i` i `vec j` respektivno, odnosno na `Ox` i `Oy` osi. Također se koristi oblik pisanja vektora koji nije (3), naime `vec a = (a_x ; a_y)`.

Ponekad govore i o vektorskoj komponenti jedan jednu os - bez navođenja druge. Jednostavno se prećutno pretpostavlja da je druga osovina okomito prvo (ali iz nekog razloga nije nacrtano).

Neka je kut između pozitivnog smjera ose `Ox` i vektor `vec a` jednako `alfa`. Tada je `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.

U zavisnosti od vrijednosti ugla `alpha`, projekcije vektora `vec a` na ose pravokutnog koordinatnog sistema mogu biti pozitivne, negativne ili jednake nuli.

Poznavanje projekcija vektora `vec a` na koordinatnoj osi možete pronaći njegovu veličinu i smjer pomoću formula:

i znakove `a_x` i `a_y` će naznačiti kojem kvadrantu pripada vrijednost `alpha`.

4. Neka nam je sada data vektorska jednakost `vec a + vec b = vec c`.

Projektovanjem svih vektora na koordinatne ose dobijamo očigledne jednakosti

`c_x = a_x + b_x`, `c_y = a_y + b_y`,

`c_x = a cos alfa + b cos beta`,

`c_y = a sin alfa + b sin beta`,

tj. iz projekcija vektora `vec a` i `vec b` lako se mogu naći projekcije ukupnog vektora `vec c`.

Osa je pravac. To znači da se projekcija na osu ili na usmjerenu liniju smatra istom. Projekcija može biti algebarska ili geometrijska. U geometrijskom smislu, projekcija vektora na osu se shvata kao vektor, a u algebarskom smislu, to je broj. Odnosno, koriste se koncepti projekcije vektora na osu i numeričke projekcije vektora na osu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ako imamo L os i vektor različit od nule A B →, onda možemo konstruisati vektor A 1 B 1 ⇀, označavajući projekcije njegovih tačaka A 1 i B 1.

A 1 B → 1 će biti projekcija vektora A B → na L.

Definicija 1

Projekcija vektora na osu je vektor čiji su početak i kraj projekcije početka i kraja dati vektor. n p L A B → → uobičajeno je označavati projekciju A B → na L. Da bi se konstruisala projekcija na L, okomite se spuštaju na L.

Primjer 1

Primjer vektorske projekcije na osu.

Na koordinatnoj ravni O x y određena je tačka M 1 (x 1, y 1). Potrebno je konstruisati projekcije na O x i O y da bi se prikazao radijus vektor tačke M 1. Dobijamo koordinate vektora (x 1, 0) i (0, y 1).

Ako govorimo o projekciji a → na b → različit od nule ili projekciji a → na pravac b → , onda mislimo na projekciju a → na osu s kojom se poklapa pravac b →. Projekcija a → na pravu definisanu sa b → označava se n p b → a → → . Poznato je da kada se ugao između a → i b → , n p b → a → → i b → može smatrati kosmjernim. U slučaju kada je ugao tup, n p b → a → → i b → su u suprotnim smjerovima. U situaciji okomitosti a → i b →, i a → je nula, projekcija a → u pravcu b → je nulti vektor.

Numerička karakteristika projekcije vektora na osu je numerička projekcija vektora na datu osu.

Definicija 2

Numerička projekcija vektora na osu je broj koji je jednak proizvodu dužine datog vektora i kosinusa ugla između datog vektora i vektora koji određuje smjer ose.

Numerička projekcija A B → na L označava se n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na osnovu formule dobijamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odakle je a → dužina vektora a → , a ⇀ , b → ^ ugao između vektora a → i b → .

Dobijamo formulu za izračunavanje numeričke projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Primjenjivo je za poznate dužine a → i b → i ugao između njih. Formula je primjenjiva za poznate koordinate a → i b →, ali postoji pojednostavljeni oblik.

Primjer 2

Odrediti numeričku projekciju a → na pravu u pravcu b → sa dužinom a → jednakom 8 i uglom između njih od 60 stepeni. Po uslovu imamo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Dakle, zamenimo numeričke vrijednosti u formulu n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odgovor: 4.

Sa poznatim cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , imamo a → , b → kao tačkasti proizvod a → i b → . Slijedeći formulu n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^, možemo pronaći numeričku projekciju a → usmjerenu duž vektora b → i dobiti n p b → a → = a → , b → b → . Formula je ekvivalentna definiciji datoj na početku pasusa.

Definicija 3

Numerička projekcija vektora a → na osu koja se poklapa u pravcu sa b → je odnos skalarnog proizvoda vektora a → i b → na dužinu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → je primenljiva za pronalaženje numeričke projekcije a → na pravu koja se poklapa u pravcu sa b → , sa poznatim a → i b → koordinatama.

Primjer 3

Dato je b → = (- 3 , 4) . Pronađite numeričku projekciju a → = (1, 7) na L.

Rješenje

Na koordinatnoj ravni n p b → a → = a → , b → b → ima oblik n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , sa a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Da biste pronašli numeričku projekciju vektora a → na osu L, potrebno je: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

odgovor: 5.

Primjer 4

Naći projekciju a → na L, koja se poklapa sa pravcem b →, gdje postoje a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Naveden je trodimenzionalni prostor.

Rješenje

Date su a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , izračunavamo skalarni proizvod: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Dužina b → se nalazi pomoću formule b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Iz toga slijedi da će formula za određivanje numeričke projekcije a → biti: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamijenite numeričke vrijednosti: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7.

Pogledajmo vezu između a → na L i dužine projekcije a → na L. Nacrtajmo osu L, dodajući a → i b → iz tačke na L, nakon čega povučemo okomitu liniju od kraja a → do L i nacrtamo projekciju na L. Postoji 5 varijacija slike:

Prvo slučaj sa a → = n p b → a → → znači a → = n p b → a → → , dakle n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Drugo slučaj implicira upotrebu n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , što znači n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treće slučaj objašnjava da kada je n p b → a → → = 0 → dobijamo n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , tada je n p b → a → → = 0 i n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Četvrto slučaj pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , slijedi n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Peto slučaj pokazuje a → = n p b → a → → , što znači a → = n p b → a → → , dakle imamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definicija 4

Numerička projekcija vektora a → na osu L, koja je usmjerena na isti način kao b →, ima sljedeću vrijednost:

• dužina projekcije vektora a → na L, pod uslovom da je ugao između a → i b → manji od 90 stepeni ili jednak 0: n p b → a → = n p b → a → → uz uslov 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod uslovom da su a → i b → okomiti: n p b → a → = 0, kada je (a → , b → ^) = 90 °;
• dužina projekcije a → na L, pomnožena sa -1, kada postoji tup ili pravi ugao vektora a → i b →: n p b → a → = - n p b → a → → sa uslovom od 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5

S obzirom na dužinu projekcije a → na L, jednaku 2. Pronađite numeričku projekciju a → pod uslovom da je ugao 5 π 6 radijana.

Rješenje

Iz uslova je jasno da je ovaj ugao tup: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6

Data je ravan O x y z vektorske dužine a → jednaka 6 3, b → (- 2, 1, 2) sa uglom od 30 stepeni. Pronađite koordinate projekcije a → na osu L.

Rješenje

Prvo izračunamo numeričku projekciju vektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Po uslovu, ugao je oštar, tada je numerička projekcija a → = dužina projekcije vektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ovaj slučaj pokazuje da su vektori n p L a → → i b → kousmjereni, što znači da postoji broj t za koji je tačna jednakost: n p L a → → = t · b → . Odavde vidimo da je n p L a → → = t · b → , što znači da možemo pronaći vrijednost parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada je n p L a → → = 3 · b → sa koordinatama projekcije vektora a → na osu L jednakom b → = (- 2 , 1 , 2) , gdje je potrebno vrijednosti pomnožiti sa 3. Imamo n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odgovor: (- 6, 3, 6).

Potrebno je ponoviti prethodno naučene informacije o stanju kolinearnosti vektora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prvo, prisjetimo se šta je to koordinatna osa, projekcija tačke na osu I koordinate tačke na osi.

Koordinatna osa- Ovo je prava linija kojoj je dat neki pravac. Možete ga zamisliti kao vektor sa beskonačno velikim modulom.

Koordinatna osa označava se nekim slovom: X, Y, Z, s, t... Obično se (proizvoljno) na osi bira tačka koja se naziva ishodište i po pravilu se označava slovom O. Od ove tačke mjere se udaljenosti do drugih tačaka koje nas zanimaju.

Projekcija tačke na osu- ovo je osnova okomice spuštena iz ove tačke na ovu os (slika 8). To jest, projekcija tačke na osu je tačka.

Koordinata točke na osi- ovo je broj čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) koji se nalazi između početka ose i projekcije tačke na ovu osu. Ovaj broj se uzima sa znakom plus ako se projekcija tačke nalazi u smjeru ose od njenog početka i sa znakom minus ako je u suprotnom smjeru.

Skalarna projekcija vektora na osu- Ovo broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (na odabranoj skali) zatvorenog između projekcija početne i krajnje tačke vektora. Važno! Obično umjesto izraza skalarna projekcija vektora na osu jednostavno kažu - projekcija vektora na osu, odnosno riječ skalar spušteno. Vektorska projekcija označava se istim slovom kao i projektovani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), sa nižim (u pravilu) indeksom naziva ose na koju se ovaj vektor projektuje. Na primjer, ako se vektor projektuje na os X A, tada je njegova projekcija označena sa x. Prilikom projektovanja istog vektora na drugu osu, recimo, Y osu, njegova projekcija će biti označena sa y (slika 9).

Da izračunam projekcija vektora na osu(na primjer, X os), potrebno je oduzeti koordinatu početne tačke od koordinate njene krajnje tačke, tj.

a x = x k − x n.

Moramo zapamtiti: skalarna projekcija vektora na osu (ili, jednostavno, projekcija vektora na osu) je broj (ne vektor)!Štaviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n, negativna ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n i jednaka nuli ako je x k jednako x n (slika 10).

Projekcija vektora na osu može se naći i poznavanjem modula vektora i ugla koji čini sa ovom osom.

Sa slike 11 je jasno da je a x = a Cos α

To jest, projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu modula vektora i kosinusa ugla između smjera ose i smjera vektora. Ako je ugao oštar, onda je Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tup, kosinus tupog ugla je negativan, a projekcija vektora na osu će takođe biti negativna.

Uglovi mjereni od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, a uglovi mjereni duž ose su negativni. Međutim, pošto je kosinus parna funkcija, odnosno Cos α = Cos (− α), pri izračunavanju projekcija uglovi se mogu brojati i u smeru kazaljke na satu i u suprotnom smeru.

Prilikom rješavanja problema često će se koristiti sljedeća svojstva projekcija: ako

A = b + c +…+ d, tada a x = b x + c x +…+ d x (slično drugim osama),

a= m b, tada a x = mb x (slično za druge ose).

Formula a x = a Cos α će biti vrlo često nastaju prilikom rješavanja problema, tako da to svakako trebate znati. Morate znati pravilo za određivanje projekcije napamet!

Zapamtite!

Da bi se pronašla projekcija vektora na osu, modul ovog vektora mora se pomnožiti kosinusom ugla između smjera ose i smjera vektora.

Još jednom - napamet!

a na osi ili nekom drugom vektoru nalaze se pojmovi njegove geometrijske projekcije i numeričke (ili algebarske) projekcije. Rezultat geometrijske projekcije će biti vektor, a rezultat algebarske projekcije će biti nenegativan realan broj. Ali prije nego što pređemo na ove koncepte, podsjetimo se potrebne informacije.

Preliminarne informacije

Glavni koncept je koncept samog vektora. Da uvedem definiciju geometrijski vektor Prisjetimo se šta je segment. Hajde da uvedemo sljedeću definiciju.

Definicija 1

Segment je dio prave koji ima dvije granice u obliku tačaka.

Segment može imati 2 smjera. Da bismo označili pravac, nazvaćemo jednu od granica segmenta njegovim početkom, a drugu granicu njegovim krajem. Smjer je označen od njegovog početka do kraja segmenta.

Definicija 2

Vektor ili usmjereni segment je segment za koji se zna koja se od granica segmenta smatra početkom, a koja krajem.

Oznaka: Sa dva slova: $\overline(AB)$ – (gdje je $A$ njegov početak, a $B$ njegov kraj).

Jednom malim slovom: $\overline(a)$ (slika 1).

Hajde da uvedemo još nekoliko koncepata vezanih za koncept vektora.

Definicija 3

Dva vektori koji nisu nula zvaćemo ih kolinearni ako leže na istoj pravoj ili na pravima paralelnim jedna s drugom (slika 2).

Definicija 4

Dva vektora različita od nule nazvaćemo kosmjernim ako zadovoljavaju dva uslova:

1. Ovi vektori su kolinearni.
2. Ako su usmjereni u jednom smjeru (slika 3).

Notacija: $\overline(a)\overline(b)$

Definicija 5

Dva vektora različita od nule nazvat ćemo suprotno usmjerena ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Ovi vektori su kolinearni.
2. Ako su usmjereni u različitim smjerovima (slika 4).

Notacija: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definicija 6

Dužina vektora $\overline(a)$ bit će dužina segmenta $a$.

Notacija: $|\overline(a)|$

Pređimo na određivanje jednakosti dva vektora

Definicija 7

Dva vektora ćemo nazvati jednakima ako zadovoljavaju dva uslova:

1. Oni su kosmjerni;
2. Njihove dužine su jednake (slika 5).

Geometrijska projekcija

Kao što smo ranije rekli, rezultat geometrijske projekcije će biti vektor.

Definicija 8

Geometrijska projekcija vektora $\overline(AB)$ na osu je vektor koji se dobija na sledeći način: Početna tačka vektora $A$ se projektuje na ovu osu. Dobijamo tačku $A"$ - početak željenog vektora. Krajnja tačka vektora $B$ se projektuje na ovu osu. Dobijamo tačku $B"$ - kraj željenog vektora. Vektor $\overline(A"B")$ će biti željeni vektor.

Hajde da razmotrimo problem:

Primjer 1

Konstruirajte geometrijsku projekciju $\overline(AB)$ na osu $l$ prikazanu na slici 6.

Nacrtajmo okomicu iz tačke $A$ na osu $l$, dobićemo na njoj tačku $A"$. Zatim, nacrtamo okomicu iz tačke $B$ na osu $l$, dobićemo tačku $B "$ na njemu (sl. 7).

Mnogi fizičke veličine u potpunosti se određuju navođenjem određenog broja. To su, na primjer, zapremina, masa, gustina, tjelesna temperatura itd. Takve veličine se nazivaju skalarne. Zbog toga se brojevi ponekad nazivaju skalarima. Ali postoje i količine koje se određuju navođenjem ne samo broja, već i određenog smjera. Na primjer, kada se tijelo kreće, trebali biste naznačiti ne samo brzinu kojom se tijelo kreće, već i smjer kretanja. Na isti način, kada se proučava djelovanje bilo koje sile, potrebno je naznačiti ne samo vrijednost ove sile, već i smjer njenog djelovanja. Takve količine se nazivaju vektor. Da bismo ih opisali, uveden je koncept vektora, što se pokazalo korisnim za matematiku.

Vektorska definicija

Svaki uređeni par tačaka A do B u prostoru definira usmjereni segment, tj. segment zajedno sa smjerom navedenim na njemu. Ako je tačka A prva, onda se zove početak usmjerenog segmenta, a tačka B je njegov kraj. Smjer segmenta se smatra smjerom od početka do kraja.

Definicija
Usmjereni segment se naziva vektor.

Vektor ćemo označiti simbolom \(\overrightarrow(AB) \), pri čemu prvo slovo označava početak vektora, a drugo njegov kraj.

Poziva se vektor čiji se početak i kraj podudaraju nula i označava se sa \(\vec(0)\) ili jednostavno 0.

Udaljenost između početka i kraja vektora naziva se njegova dužina i označava se sa \(|\overrightarrow(AB)| \) ili \(|\vec(a)| \).

Vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) se nazivaju kolinearno, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Kolinearni vektori mogu imati isti ili suprotni smjer.

Sada možemo formulisati važan koncept jednakosti dva vektora.

Definicija
Vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) su jednaki (\(\vec(a) = \vec(b) \)) ako su kolinearni, imaju iste smjer i njihove dužine su jednake.

Na sl. 1 prikazuje nejednake vektore na lijevoj strani i jednake vektore \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) na desnoj strani. Iz definicije jednakosti vektora slijedi da ako se dati vektor pomjeri paralelno sa samim sobom, onda će rezultat biti vektor jednak datom. U tom smislu se vektori u analitičkoj geometriji nazivaju besplatno.

Projekcija vektora na osu

Neka su os \(u\) i neki vektor \(\overrightarrow(AB)\) dati u prostoru. Nacrtajmo ravni okomite na osu \(u\) kroz tačke A i B. Označimo sa A" i B" tačke preseka ovih ravni sa osom (vidi sliku 2).

Projekcija vektora \(\overrightarrow(AB) \) na osu \(u\) je vrijednost A"B" usmjerenog segmenta A"B" na osi \(u\). Podsjetimo to
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , ako se smjer \(\overrightarrow(A"B") \) poklapa sa smjerom ose \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , ako je smjer \(\overrightarrow(A"B") \) suprotan od smjera ose \(u\),
Projekcija vektora \(\overrightarrow(AB)\) na osu \(u\) označava se na sljedeći način: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

Teorema
Projekcija vektora \(\overrightarrow(AB) \) na osu \(u\) jednaka je dužini vektora \(\overrightarrow(AB) \) pomnoženoj sa kosinusom ugla između vektora \ (\overrightarrow(AB) \) i os \( u\) , tj.

Komentar
Neka se specificiraju \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) i neka os \(u\). Primjenjujući formulu teoreme na svaki od ovih vektora, dobivamo

Vektorske projekcije na koordinatne ose

Neka su u prostoru dati pravougaoni koordinatni sistem Oxyz i proizvoljni vektor \(\overrightarrow(AB)\). Neka, dalje, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Projekcije vektora X, Y, Z \(\overrightarrow(AB)\) na koordinatne osi nazivaju se koordinate. Istovremeno pišu
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Teorema
Bez obzira na dvije točke A(x 1 ; y 1 ; z 1) i B(x 2 ; y 2; z 2), koordinate vektora \(\overrightarrow(AB)\) određene su sljedećim formulama :

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Komentar
Ako vektor \(\overrightarrow(AB) \) napusti ishodište, tj. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, tada su koordinate X, Y, Z vektora \(\overrightarrow(AB) \) jednake koordinatama njegovog kraja:
X = x, Y = y, Z = z.

Kosinus smjera vektora

Iz elementarne geometrije je poznato da je kvadrat dužine dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednak zbiru kvadrata dužina njegove tri dimenzije. dakle,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Ali \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); tako dobijamo
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ili
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Ova formula izražava dužinu proizvoljnog vektora kroz njegove koordinate.

Označimo sa \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) uglove između vektora \(\vec(a) \) i koordinatnih osa. Iz formula za projekciju vektora na osu i dužinu vektora dobijamo
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) se nazivaju kosinus smjera vektora \(\vec(a) \).

Kvadriranjem lijeve i desne strane svake od prethodnih jednakosti i sumiranjem dobijenih rezultata, imamo
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
one. zbir kvadrata kosinusa smjera bilo kojeg vektora jednak je jedan.

Linearne operacije nad vektorima i njihova osnovna svojstva

Sabiranje dva vektora

Komentar
Djelovanje oduzimanja vektora je inverzno djelovanju sabiranja, tj. razlika \(\vec(b) - \vec(a) \) vektora \(\vec(b) \) i \(\vec(a) \) je vektor koji, u zbroju sa vektorom \(\ vec(a ) \) daje vektor \(\vec(b) \) (vidi sliku).

Komentar
Određivanjem sume dva vektora, možete pronaći zbir bilo kojeg broja datih vektora. Neka su, na primjer, data tri vektora \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Sabiranjem \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \), dobijamo vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sada kada tome dodamo vektor \(\vec(c) \), dobijamo vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Umnožak vektora i broja

Ako je \(\lambda =0 \) ili \(\vec(a) = \vec(0) \), onda se proizvod \(\lambda \vec(a) \) smatra jednakim nultom vektoru.

Komentar
Koristeći definiciju množenja vektora brojem, lako je dokazati da ako su vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) kolinearni i \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), tada postoji (i samo jedan) broj \(\lambda \) takav da je \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Osnovna svojstva linearnih operacija

1. Komutativno svojstvo sabiranja
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Kombinativna osobina sabiranja
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Kombinativna osobina množenja
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Distributivna svojstva u odnosu na zbir brojeva
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Distributivna svojstva u odnosu na zbir vektora
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Komentar
Ova svojstva linearnih operacija su od fundamentalnog značaja, jer omogućavaju izvođenje običnih algebarskih operacija nad vektorima. Na primjer, zbog svojstava 4 i 5, možete pomnožiti skalarni polinom vektorskim polinomom "pojam po član".

Teoreme vektorske projekcije

Teorema
Projekcija zbira dva vektora na osu jednaka je zbiru njihovih projekcija na ovu osu, tj.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teorema se može generalizirati na slučaj bilo kojeg broja pojmova.

Teorema
Kada se vektor \(\vec(a) \) pomnoži sa brojem \(\lambda \), njegova projekcija na osu se također pomnoži ovim brojem, tj. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

Posljedica
Ako je \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) i \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), tada
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Posljedica
Ako je \(\vec(a) = (x;y;z) \), tada je \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) za bilo koji broj \(\lambda \)

Odavde je lako zaključiti uslov kolinearnosti dva vektora u koordinatama.
Zaista, jednakost \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) je ekvivalentna jednakosti \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) ili
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) tj. vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) su kolinearni ako i samo ako su njihove koordinate proporcionalne.

Dekompozicija vektora u bazu

Neka su vektori \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) jedinični vektori koordinatnih osa, tj. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), a svaki od njih je jednako usmjeren prema odgovarajućoj koordinatnoj osi (vidi sliku). Trojka vektora \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) naziva se osnovu.
Vrijedi sljedeća teorema.

Teorema
Bilo koji vektor \(\vec(a) \) može se jednoznačno proširiti preko baze \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), tj. predstavljen kao
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
gdje su \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) neki brojevi.