Smjerni izvod skalarne funkcije više varijabli. Smjerni derivat

1) Slučaj funkcije dvije varijable. Smjer je zadan vektorom. Odaberimo jedinični vektor koji određuje smjer na ravni: . Ovaj vektor formira ugao sa pozitivnim smerom ose OX. Izvod funkcije dvije varijable s obzirom na smjer se obično naziva izrazom .

2) Slučaj funkcije tri varijable. Neka je zadan jedinični vektor koji formira uglove sa OX, OY i OZ osa, respektivno. Ako koordinate vektora označimo sa , onda koristeći formulu za kosinus kuta između dva vektora dobivamo . Isto tako, . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, jedinični vektor koji formira uglove sa osovinama OX, OY i OZ, ima koordinate . Derivat funkcije tri varijable s obzirom na smjer se obično naziva izrazom

.

Definicija.Gradijent funkcije se obično nazivaju vektorima . Iz tog razloga, derivacija funkcije u smjeru određenom jediničnim vektorom može se izračunati pomoću formule , gdje je desno u formuli tačkasti proizvod gradijent funkcije i vektor jediničnog smjera.

Osnovno svojstvo gradijenta: među svim mogućim smjerovima, derivacija smjera uzima najveću i pozitivnu vrijednost u smjeru gradijenta. Ovo svojstvo proizlazi iz definicije skalarnog proizvoda. Budući da pozitivnost derivacije znači rast funkcije, smjer gradijenta u tački - ϶ᴛᴏ smjer najvećeg rasta funkcije.

Parcijalni derivati ​​višeg reda.

Bilo koji parcijalni izvod funkcije varijabli sama po sebi je takođe funkcija varijabli. Obično se naziva parcijalni izvod parcijalnog izvoda funkcije nekoliko varijabli parcijalni izvod drugog reda funkcije Štaviše, ako se varijable u odnosu na koje se izvode uzimaju prvo iz funkcije, a zatim iz funkcije ne poklapaju, takav parcijalni izvod se obično naziva mješovitim. Notacija djelomične derivacije drugog reda: . U slučaju kada - kontinuirane funkcije u blizini određene tačke, u ovoj tački.

Slično se uvode parcijalni derivati ​​bilo kojeg reda.

PRIMJER
Objavljeno na ref.rf
Pronađi iz funkcije. Imamo
.

Da bismo izračunali istu derivaciju koristeći MAXIM, koristimo naredbu diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

Diferencijali višeg reda.

Po analogiji sa derivacijama uvode se diferencijali višeg reda, odnosno diferencijali od diferencijala. Razmotrimo funkciju tri varijable. Diferencijal ove funkcije je izraz . Imajte na umu da su derivati ​​uključeni u posljednji izraz funkcije , a diferencijali varijabli ne zavise od . Iz tog razloga, pod uslovom kontinuiteta mješovitih derivacija, diferencijal drugog reda ima oblik

U posljednjoj formuli iskoristili smo svojstvo jednakosti mješovitih derivata. Lako je vidjeti da je diferencijalna formula drugog reda slična formuli drugog reda za zbir tri člana. Nije teško prebrojati diferencijale drugog i trećeg reda funkcije dvije varijable: ,

Vježbajte. Nađi za funkciju u tački (1,1).

Taylorova formula za funkciju nekoliko varijabli.

Kao iu slučaju funkcija jedne varijable, za funkcije mnogih varijabli Taylorova formula daje vezu između prirasta funkcije u nekoj tački i njenih diferencijala u istoj točki:

Gdje .

Konkretno, za funkciju dvije varijable imamo:

Evo .

Smjerni derivat. - koncept i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Directionary derivative". 2017, 2018.

početkom XIX

veka. Upravo u ovome.... Razmotrimo funkciju u(x, y, z) u tački M(x, y, z) i tački M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz). Nacrtajmo 1 vektor kroz tačke M i M. Uglovi nagiba ovog vektora prema smjeru koordinatnih osa x, y, z će biti označeni sa a, b, g. Kosinusi ovih uglova se nazivaju

kosinus smjera

vektor

Označimo udaljenost između tačaka M i M 1 na vektoru kao DS.

gdje su količine e 1 , e 2 , e 3 beskonačno male na .

Iz geometrijskih razmatranja očigledno je:

Dakle, gore navedene jednakosti mogu se predstaviti na sljedeći način:

Imajte na umu da je veličina s skalarna. On samo određuje smjer vektora. Iz ove jednačine slijedi sljedeća definicija: Granica se zove

derivacija funkcije u(x, y, z) u smjeru vektora

u tački sa koordinatama (x, y, z). Objasnimo značenje gornjih jednakosti na primjeru.

Primjer 9.1. Izračunajte derivaciju funkcije z = x 2 + y 2 x u tački A(1, 2) u smjeru vektora. B (3, 0).

Rješenje. Prije svega, potrebno je odrediti koordinate vektora.:

Pronalazimo parcijalne izvode funkcije z in

opšti pogled

=

Vrijednosti ovih veličina u tački A: Da bismo pronašli kosinus smjera vektora, izvodimo sljedeće transformacije: Proizvoljan vektor usmjeren duž

dati vektor

, tj. određivanje pravca diferencijacije.

Odavde dobijamo vrednosti kosinusa smera vektora: cosa = ; cosb = - Konačno dobijamo:- vrijednost derivata

datu funkciju

,

u pravcu vektora. Ako je u nekom domenu D data funkcija u = u(x, y, z) i neki vektor čije su projekcije na koordinatne osi jednake vrijednostima funkcije u u odgovarajućoj tački tada se ovaj vektor naziva

gradijent

funkcije u. U ovom slučaju kažu da je u području D određeno polje gradijenata.

.

Teorema:

Neka je data funkcija u = u(x, y, z) i gradijentno polje Razmotrimo jedinični vektor i neku funkciju u = u(x, y, z) i pronađimo skalarni proizvod vektora i gradu.

Izraz na desnoj strani ove jednakosti je derivacija funkcije u u smjeru s.

One. . Ako je ugao između vektora gradu i označen sa j, onda se skalarni proizvod može napisati kao proizvod modula ovih vektora i kosinusa ugla između njih. Uzimajući u obzir činjenicu da je vektor jediničan, tj. njegov modul je jednak jedan, možemo napisati:

Izraz na desnoj strani ove jednakosti je projekcija vektora grad u na vektor.

Teorema je dokazana.

Za ilustraciju geometrijskog i fizičko značenje gradijent, recimo da je gradijent vektor koji pokazuje smjer najbrže promjene nekog skalarnog polja u u nekoj tački. U fizici postoje koncepti kao što su temperaturni gradijent, gradijent pritiska itd. One. smjer gradijenta je smjer najbržeg rasta funkcije.

Sa geometrijske tačke gledišta, gradijent je okomit na površinu nivoa funkcije.

Skalarno polje naziva se dio prostora (ili cijeli prostor), svaka tačka kojoj odgovara numerička vrijednost neke skalarne veličine.

Primjeri

Tijelo koje ima određenu temperaturnu vrijednost u svakoj tački je skalarno polje.

Nehomogeno tijelo, čija svaka tačka odgovara određenoj gustini - skalarnom polju gustoće.

U svim ovim slučajevima, skalarna veličina U ne zavisi od vremena, već zavisi od položaja (koordinata) tačke M u prostoru, odnosno funkcija je tri varijable, tzv. funkcija polja. I obrnuto, svaka funkcija tri varijable u=f(x, y, z) specificira neko skalarno polje.

Funkcija ravnog skalarnog polja ovisi o dvije varijable z=f(x, y).

Razmotrimo skalarno polje u=f(x, y, z).

Vektor čije su koordinate parcijalni izvod funkcije izračunate u dati poen, zvao Ako je u nekom domenu D data funkcija u = u(x, y, z) i neki vektor čije su projekcije na koordinatne osi jednake vrijednostima funkcije u u odgovarajućoj tački funkcija u ovoj tački ili gradijent skalarnog polja.

Razmotrimo vektor i dvije tačke na njemu M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i . Nađimo prirast funkcije u smjeru:

Smjerni derivat sljedeća granica se poziva ako postoji:

gdje su kosinusi smjera vektora; α, β, γ su uglovi koje formira vektor sa koordinatnim osa, ako je .

Za funkciju dvije varijable, ove formule imaju oblik:

ili ,

jer .

Postoji veza između gradijenta i usmjerene derivacije u istoj tački.

Teorema. Skalarni proizvod gradijenta funkcije i vektora nekog smjera jednak je derivaciji ove funkcije u smjeru ovog vektora:

.

Posljedica. Smjerna derivacija ima najveća vrijednost, ako se ovaj smjer poklapa sa smjerom gradijenta (opravdajte ga sami, koristeći definiciju skalarnog proizvoda i uz pretpostavku da je ).

Zaključci:

1. Gradijent je vektor koji pokazuje smjer najvećeg povećanja funkcije u datoj tački i ima modul, numerički jednak brzini ovog povećanja:

.

2. Smjerni izvod je brzina promjene funkcije u smjeru: ako , onda funkcija u ovom smjeru raste, ako , onda funkcija opada.

3. Ako se vektor poklapa sa jednim od vektora, onda se derivacija u odnosu na pravac ovog vektora poklapa sa odgovarajućim parcijalnim izvodom.

Na primjer, ako , onda .

Primjer

Funkcija data , tačka A(1, 2) i vektor.

Pronađite: 1) ;

Rješenje

1) Pronađite parcijalne izvode funkcije i izračunajte ih u tački A.

, .

Onda .

2) Pronađite kosinus smjera vektora:

odgovor: ; .

Književnost [ 1,2]

Pitanja za samotestiranje:

1. Šta se zove funkcija dvije varijable, njen domen definicije?

2. Kako se određuju parcijalni derivati?

3. Šta je to? geometrijsko značenje parcijalni derivati?

4. Koliki je gradijent skalarnog polja u datoj tački?

5. Kako se zove derivacija usmjerenja?

6. Formulirajte pravila za pronalaženje ekstrema funkcije dvije varijable.

Opcija 1

Zadatak br. 1

A) ; b) ;

V) ; G) .

Zadatak br. 2 Ispitajte funkciju na kontinuitet: pronađite točke diskontinuiteta funkcije i odredite njihov tip. Konstruirajte šematski graf funkcije.

Zadatak br. Dat je kompleksan broj Z. Obavezno: napišite broj Z u algebarskom i trigonometrijskom obliku. .

Zadatak br. 4.

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Zadatak br. 5. Istražite funkciju koristeći metode diferencijalnog računa i, koristeći rezultate istraživanja, konstruirajte graf. .

Zadatak br. 6. Zadana je funkcija z=f(x,y). Provjerite da li vrijedi identitet F≡0?

Zadatak br. 7 Zadata funkcija Z=x 2 +xy+y 2, tačka i vektor. Nađi:

1) grad z u tački A;

2) derivat u tački A u pravcu vektora .

Opcija 2

Zadatak br. 1 Izračunajte granice funkcija bez korištenja L'Hopitalovog pravila.

A) ; b) ;

V) ; G) .

Zadatak br. 2 Ispitajte funkciju na kontinuitet: pronađite točke diskontinuiteta funkcije i odredite njihov tip. Konstruirajte šematski graf funkcije.

Zadatak br. 3 Dat je kompleksan broj Z. Obavezno: napišite broj Z u algebarskom i trigonometrijskom obliku.

Zadatak br. 4. Naći izvode prvog reda ovih funkcija.

Smjerni derivat.

Pustite u avion XOY tačka locirana M 0 (x 0 ,y 0 ). Postavimo proizvoljan ugao a i razmotrimo skup tačaka na istoj ravni, čije su koordinate određene iz formula

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + t grijeh a. (1)

Evo t- parametar koji može biti jednak bilo kojem broju. Iz formule (1) slijedi:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

To znači da su sve tačke M(x,y), čije koordinate zadovoljavaju jednakosti (1), leže na pravoj liniji koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 ,y 0) i komponentu ugla a sa osovinom OX. Svaka vrijednost t odgovara jednoj tački M(x,y), koja leži na ovoj pravoj, a prema formuli (1) od udaljenosti između tačaka M 0 (x 0 ,y 0) i M(x,y) jednako t. Ovu pravu liniju možemo posmatrati kao brojevnu osu sa pozitivnim smjerom koji je određen povećanjem parametra t. Označimo simbolom pozitivan smjer ove ose l.

l.Derivat funkcije z = f(x,y) u tački M 0 (x 0 ,y 0)u pravcu l pozvani broj

Smjernom izvodu funkcije može se dati geometrijska interpretacija. Ako preko direktnog l, određen formulama (1), nacrtati okomitu ravan P(zapravo, u trodimenzionalnom prostoru jednadžbe (1) definiraju upravo ovu ravan), tada će ta ravan presjeći površinski graf funkcije z = f(x,y) zajedno

neka prostorna kriva L. Tangenta ugla između horizontalne ravnine i tangente na ovu krivu u tački M 0 (x 0 ,y 0) jednak je izvodu funkcije u ovoj tački u pravcu l.

U bilo kom kursu matematička analiza dokazano je da se derivacija smjera određena formulom (2) može predstaviti u obliku

Imajte na umu da je parcijalni izvod u odnosu na x je također usmjerena derivacija. Ovaj pravac je određen jednakostima: cos a = 1; grijeh a = 0. Slično, parcijalni izvod u odnosu na y je derivacija u odnosu na pravac, koji se može specificirati uslovima cos a = 0; grijeh a = 1.

Prije analize formule (3) izlažemo neke pojmove i činjenice iz kursa vektorske algebre. Neka u ravni sa koordinatnim sistemom XOY dati usmjereni segment ili (što je ista stvar) vektor i tačku M 0 (x 0 ,y 0) je njegova polazna tačka, i M 1 (x 1 ,y 1)‑ krajnja tačka. Odredimo koordinate vektora duž ose OX kao broj jednak x 1 ‑ x 0, a koordinata duž ose kao broj jednak y 1 ‑ y 0 . Ako navedete uređeni par bilo kojih brojeva a I b, onda se ovi brojevi mogu smatrati koordinatama nekog vektora u ravni XOY, a dužina ovog vektora je određena formulom

,

i tangenta ugla nagiba g vektor na os OX određeno iz formule tg g = b/a(imajte na umu da znajući vrijednost tg g, kao i predznak bilo kojeg od brojeva a I b, možemo odrediti ugao g tačno do 2 str).

Reprezentaciju vektora u obliku para njegovih koordinata zapisaćemo u obliku . Ova reprezentacija ima jednu karakteristična karakteristika: it ne određuje lokaciju vektora na ravni XOY. Da biste ga odredili, potrebno je navesti, zajedno s koordinatama vektora, na primjer, koordinate njegove početne točke ili, kako se to može nazvati, tačku primjene vektora.

Ako su data dva vektora: i , onda skalarni proizvod ovih vektora naziva se broj ( j- ugao između vektora).

U bilo kojem kursu vektorske algebre dokazano je da je skalarni proizvod vektora i jednak zbroju proizvoda istih koordinata ovih vektora:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Neka u nekom području G avion XOY specificirana funkcija z = f(x,y) , koji ima kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na oba argumenta.

Gradijent ili vektor gradijenta funkcije f(x,y) u tački (x,y) O G je vektor koji je dat formulom

.

Funkcija f definira za svaku tačku područja G vektor gradijenta koji izlazi iz ove tačke.

Vratimo se sada na formulu (3). Njegovu desnu stranu možemo smatrati skalarnim proizvodom vektora. Prvi od njih je vektor gradijenta funkcije z = f(x,y) u tački M 0 (x 0 ,y 0):

.

Drugi je vektor . Ovo je vektor dužine 1 i ugla nagiba prema Ox osi jednakim a.

Sada možemo zaključiti da je derivacija funkcije z = f(x,y) u pravcu određenom uglom a nagib prema osi OX, u tački M 0 (x 0 ,y 0) može se izračunati pomoću formule

. (5)

Evo b- ugao između vektora i vektora koji određuje pravac duž kojeg se uzima derivacija. Ovdje se također uzima u obzir da