Pet bitnih svojstava koncepta pravougaonika. Šta je pravougaonik? Posebni slučajevi pravougaonika

Pravougaonik je paralelogram u kojem su svi uglovi pravi uglovi (jednaki 90 stepeni). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica. Dijagonale pravougaonika su jednake. Druga formula za pronalaženje površine pravokutnika dolazi iz formule za površinu četverokuta pomoću dijagonala.

Pravougaonik je četverougao u kojem je svaki ugao pravi.

Kvadrat je poseban slučaj pravokutnika.

Pravougaonik ima dva para jednakih stranica. Dužina najdužih parova stranica naziva se dužina pravougaonika, a dužina najkraćih je širina pravougaonika.

Svojstva pravougaonika

1. Pravougaonik je paralelogram.

Svojstvo se objašnjava djelovanjem karakteristike paralelograma 3 (to jest, \(\ugao A = \ugao C\) , \(\ugao B = \ugao D\) )

2. Suprotne strane su jednake.

\(AB = CD,\enspace BC = AD\)

3. Suprotne strane su paralelne.

\(AB \paralelni CD,\enspace BC \paralelni AD\)

4. Susjedne strane su okomite jedna na drugu.

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Dijagonale pravougaonika su jednake.

\(AC = BD\)

Prema imovina 1 pravougaonik je paralelogram, što znači \(AB = CD\) .

dakle, \(\trokut ABD = \trokut DCA\) na dvije noge (\(AB = CD\) i \(AD\) - zglob).

Ako su obje figure - \(ABC \) i \(DCA \) identične, onda su i njihove hipotenuze \(BD \) i \(AC \) također identične.

Dakle, \(AC = BD\) .

Od svih figura (samo od paralelograma!), samo pravougaonik ima jednake dijagonale.

Dokažimo i ovo.

\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) po uslovu. \(\Rightarrow \trokut ABD = \trokut DCA \) već sa tri strane.

Ispada da je \(\ugao A = \ugao D\) (kao uglovi paralelograma). I \(\ugao A = \ugao C\) , \(\ugao B = \ugao D\) .

To zaključujemo \(\ugao A = \ugao B = \ugao C = \ugao D\). Svi oni su \(90^(\circ) \) . Ukupno - \(360^(\circ) \) .

7. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva identična pravougaona trougla.

\(\trokut ABC = \trokut ACD, \enrazmak \trokut ABD = \trokut BCD \)

8. Tačka presjeka dijagonala ih dijeli na pola.

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Točka presjeka dijagonala je centar pravougaonika i opisane kružnice.

Definicija.

Pravougaonik je četverougao u kojem su dvije suprotne stranice jednake i sva četiri ugla jednaka.

Pravokutnici se razlikuju jedan od drugog samo po omjeru duge i kratke strane, ali su sva četiri ugla prava, odnosno 90 stepeni.

Duga strana pravougaonika se zove dužina pravougaonika, a onaj kratki - širina pravougaonika.

Stranice pravougaonika su ujedno i njegove visine.

Osnovna svojstva pravougaonika

Pravougaonik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.

1. Suprotne strane pravougaonika imaju istu dužinu, odnosno jednake su:

AB = CD, BC = AD

2. Suprotne strane pravougaonika su paralelne:

3. Susedne strane pravougaonika su uvek okomite:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Sva četiri ugla pravougaonika su prava:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Zbir uglova pravougaonika je 360 stepeni:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Dijagonale pravougaonika imaju istu dužinu:

7. Zbir kvadrata dijagonale pravougaonika jednak je zbiru kvadrata stranica:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Svaka dijagonala pravougaonika deli pravougaonik na dve identične figure, odnosno pravougaone trougle.

9. Dijagonale pravokutnika se sijeku i dijele se na pola u tački presjeka:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Točka presjeka dijagonala naziva se središte pravougaonika i također je centar opisane kružnice

11. Dijagonala pravougaonika je prečnik opisane kružnice

12. Uvek možete opisati kružnicu oko pravougaonika, pošto je zbir suprotnih uglova 180 stepeni:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Krug se ne može upisati u pravougaonik čija dužina nije jednaka njegovoj širini, jer sume suprotnih strana nisu međusobno jednake (krug se može upisati samo u poseban slučaj pravougaonika - kvadrata) .

Stranice pravougaonika

Definicija.

Dužina pravougaonika je dužina dužeg para njegovih stranica. Širina pravougaonika je dužina kraćeg para njegovih stranica.

Formule za određivanje dužina stranica pravougaonika

1. Formula za stranicu pravokutnika (dužina i širina pravokutnika) kroz dijagonalu i drugu stranu:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula za stranicu pravokutnika (dužina i širina pravokutnika) kroz površinu i drugu stranu:

b = dcos	β
	2

Dijagonala pravougaonika

Definicija.

Dijagonalni pravougaonik Svaki segment koji povezuje dva vrha suprotnih uglova pravougaonika naziva se.

Formule za određivanje dužine dijagonale pravokutnika

1. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći dvije stranice pravokutnika (preko Pitagorine teoreme):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranu:

4. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice:

d = 2R

5. Formula za dijagonalu pravougaonika u smislu prečnika opisane kružnice:

d = D o

6. Formula za dijagonalu pravougaonika koristeći sinus ugla koji je susedan dijagonali i dužinu stranice suprotne ovom uglu:

8. Formula za dijagonalu pravokutnika kroz sinus oštrog ugla između dijagonala i površine pravokutnika

d = √2S: sin β

Perimetar pravougaonika

Definicija.

Perimetar pravougaonika je zbir dužina svih strana pravougaonika.

Formule za određivanje dužine perimetra pravokutnika

1. Formula za obim pravokutnika koristeći dvije stranice pravokutnika:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Formula za obim pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranu:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Formula za obim pravokutnika koristeći dijagonalu i bilo koju stranu:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula za obim pravokutnika koristeći polumjer opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula za obim pravokutnika koristeći prečnik opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Površina pravougaonika

Definicija.

Površina pravougaonika naziva se prostor ograničen stranicama pravougaonika, odnosno unutar perimetra pravougaonika.

Formule za određivanje površine pravokutnika

1. Formula za površinu pravokutnika koristeći dvije stranice:

S = a b

2. Formula za površinu pravokutnika koristeći perimetar i bilo koju stranu:

5. Formula za površinu pravokutnika koristeći polumjer opisane kružnice i bilo koje stranice:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula za površinu pravokutnika koristeći prečnik opisane kružnice i bilo koje stranice:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Krug opisan oko pravougaonika

Definicija.

Krug opisan oko pravougaonika je kružnica koja prolazi kroz četiri vrha pravougaonika, čiji centar leži na presjeku dijagonala pravokutnika.

Formule za određivanje polumjera kružnice opisane oko pravokutnika

1. Formula za polumjer kružnice opisane oko pravougaonika kroz dvije stranice:

Ciljevi lekcije

Učvrstiti znanje učenika o temi pravougaonika;
Nastaviti sa upoznavanjem učenika sa definicijama i svojstvima pravougaonika;
Naučiti školarce da koriste stečeno znanje o ovoj temi prilikom rješavanja zadataka;
Razvijati interesovanje za predmet matematike, pažnju, logičko razmišljanje;
Razvijati sposobnost samoanalize i discipline.

Ciljevi lekcije

Ponoviti i konsolidirati znanje učenika o konceptu pravougaonika, nadovezujući se na znanje stečeno u prethodnim razredima;
Nastaviti sa usavršavanjem znanja učenika o svojstvima i karakteristikama pravougaonika;
Nastaviti razvijati vještine u procesu rješavanja zadataka;
Probuditi interesovanje za časove matematike;
Negujte interesovanje za egzaktne nauke i pozitivan stav prema nastavi matematike.

Plan lekcije

1. Teorijski dio, opšte informacije, definicije.
2. Ponavljanje teme “Pravougaonici”.
3. Svojstva pravougaonika.
4. Znakovi pravougaonika.
5. Zanimljive činjenice iz života trouglova.
6. Zlatni pravougaonik, opšti pojmovi.
7. Pitanja i zadaci.

Šta je pravougaonik

U prethodnim razredima ste već učili teme o pravokutnicima. Sada osvježimo pamćenje i prisjetimo se kakva je to figura koja se zove pravougaonik.

Pravougaonik je paralelogram čija su četiri ugla prava i jednaka 90 stepeni.

Pravougaonik je geometrijska figura koja se sastoji od 4 stranice i četiri prava ugla.

Suprotne strane pravougaonika su uvek jednake.

Ako uzmemo u obzir definiciju pravougaonika prema euklidskoj geometriji, onda da bi se četverougao smatrao pravokutnikom, potrebno je da u ovoj geometrijskoj figuri najmanje tri ugla budu prava. Iz ovoga slijedi da će i četvrti ugao biti devedeset stepeni.

Iako je jasno da kada zbir uglova četvorougla nema 360 stepeni, onda ova figura nije pravokutnik.

Ako pravilni pravougaonik ima sve strane jednake jedna drugoj, onda se takav pravougaonik naziva kvadrat.

U nekim slučajevima kvadrat može djelovati kao romb ako takav romb, osim jednakih stranica, ima sve prave uglove.

Da bi se dokazalo učešće bilo koje geometrijske figure u pravougaoniku, dovoljno je da ova geometrijska figura ispunjava barem jedan od ovih zahtjeva:

1. kvadrat dijagonale ove figure mora biti jednak zbiru kvadrata 2 strane koje imaju zajedničku tačku;
2. dijagonale geometrijske figure moraju imati istu dužinu;
3. svi uglovi geometrijske figure moraju biti jednaki devedeset stepeni.

Ako ovi uslovi ispunjavaju barem jedan uslov, onda imate pravougaonik.

Pravougaonik u geometriji je glavna osnovna figura, koja ima mnogo podtipova, sa svojim posebnim svojstvima i karakteristikama.

vježba: Ime geometrijski oblici, koji se odnose na pravokutnike.

Pravougaonik i njegova svojstva

Sada se prisjetimo svojstava pravokutnika:

Pravougaonik ima sve dijagonale jednake;
Pravougaonik je paralelogram sa paralelnim suprotnim stranama;
Stranice pravougaonika će također biti njegove visine;
Pravougaonik ima jednake suprotne stranice i uglove;
Krug se može opisati oko bilo kojeg pravougaonika, a dijagonala pravougaonika će biti jednaka prečniku opisane kružnice.
Dijagonale pravougaonika dijele ga na 2 jednak trougao;
Slijedeći Pitagorinu teoremu, kvadrat dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata njegove 2 nesuprotne strane;

vježba:

1. Pravougaonik ima dve mogućnosti u kojima se može podeliti na 2 jednaka pravougaonika. Nacrtajte dva pravougaonika u svoju svesku i podelite ih tako da dobijete 2 jednaka pravougaonika.

2. Nacrtajte krug oko pravougaonika, čiji će prečnik biti jednak dijagonali pravougaonika.

3. Da li je moguće upisati krug u pravougaonik tako da dodiruje sve njegove stranice, ali pod uslovom da ovaj pravougaonik nije kvadrat?

Pravougaoni znakovi

Paralelogram će biti pravougaonik:

1. ako je barem jedan njegov ugao pravi;
2. ako su mu sva četiri ugla prava;
3. ako su suprotne strane jednake;
4. ako su najmanje tri ugla prava;
5. ako su mu dijagonale jednake;
6. ako je kvadrat dijagonale jednak zbiru kvadrata nesuprotnih strana.

Zanimljivo je znati

Da li ste znali da ako nacrtate simetrale uglova u pravougaoniku koji ima neravne susedne strane, onda kada se preseku, na kraju ćete dobiti pravougaonik.

Ali ako nacrtana simetrala pravougaonika siječe jednu od njegovih stranica, tada odsječe jednakokraki trokut od ovog pravokutnika.

Jeste li znali da je i prije nego što je Malevich naslikao svoj izvanredni “Crni kvadrat”, 1882. godine, na izložbi u Parizu, predstavljena slika Paula Bilo na čijem je platnu bio prikazan crni pravougaonik sa osebujnim nazivom “Bitka crnaca u tunel”.

Ova ideja sa crnim pravougaonikom inspirisala je druge kulturne ličnosti. francuski pisac humorista Alphonse Allais objavio je čitav niz svojih radova i vremenom se pojavio pravougaoni pejzaž radikalno crvene boje pod nazivom „Žerba paradajza na obali Crvenog mora od strane apoplektičnih kardinala“, koji takođe nije imao nikakvu sliku.

Vježbajte

1. Imenujte svojstvo koje je svojstveno samo pravokutniku?
2. Koja je razlika između proizvoljnog paralelograma i pravougaonika?
3. Da li je tačno da bilo koji pravougaonik može biti paralelogram? Ako je to tako, onda dokažite zašto?
4. Navedite četverouglove koji su pravokutnici.
5. Navedite svojstva pravokutnika.

Istorijska činjenica

Euklidov pravougaonik

Da li ste znali da je Euklidski pravougaonik, koji se naziva zlatnim presekom, dugo vremena bio za svaku građevinu od verskog značaja savršena i proporcionalna osnova za gradnju u ono vreme. Uz njegovu pomoć izgrađena je većina renesansnih građevina i klasičnih hramova u staroj Grčkoj.

„Zlatni“ pravougaonik se obično naziva takvim geometrijskim pravougaonikom, omjerom veća strana koji je prema manjem jednak zlatnom rezu.

Ovaj odnos stranica ovog pravougaonika bio je 382 prema 618, odnosno otprilike 19 prema 31. Euklidov pravougaonik je u to vreme bio najcelishodniji, najpogodniji, najsigurniji i pravilan pravougaonik svih geometrijskih oblika. Zbog ove karakteristike, Euklidovski pravougaonik, odnosno njegove aproksimacije, korišten je u cijelom prostoru. Korišćen je u kućama, slikama, namještaju, prozorima, vratima, pa čak i knjigama.

Kod Navaho Indijanaca, pravougaonik je uspoređivan sa ženskim oblikom, jer se smatrao uobičajenim, standardnim oblikom kuće, simbolizirajući ženu koja je vlasnik ove kuće.

Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred

Pravougaonik je četverougao u kojem je svaki ugao pravi.

Dokaz

Svojstvo se objašnjava djelovanjem karakteristike 3 paralelograma (to jest, \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D )

2. Suprotne strane su jednake.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Suprotne strane su paralelne.

AB \paralelni CD,\enrazmak BC \paralelni AD

4. Susjedne strane su okomite jedna na drugu.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Dijagonale pravougaonika su jednake.

AC = BD

Dokaz

Prema imovina 1 pravougaonik je paralelogram, što znači AB = CD.

Dakle, \trougao ABD = \trougao DCA na dva kraka (AB = CD i AD - zglob).

Ako su obje figure ABC i DCA identične, onda su i njihove hipotenuze BD i AC identične.

Dakle AC = BD.

Od svih figura (samo od paralelograma!), samo pravougaonik ima jednake dijagonale.

Dokažimo i ovo.

ABCD je paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD po uslovu. \Rightarrow \triangle ABD = \troangle DCA već sa tri strane.

Ispada da je \ugao A = \ugao D (kao uglovi paralelograma). I \ugao A = \ugao C, \ugao B = \ugao D.

To zaključujemo \ugao A = \ugao B = \ugao C = \ugao D. Svi su 90^(\circ) . Ukupno - 360^(\circ) .

Dokazano!

6. Kvadrat dijagonale jednak je zbiru kvadrata njene dvije susjedne strane.

Ovo svojstvo je tačno zbog Pitagorine teoreme.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva identična pravougaona trougla.

\trougao ABC = \trougao ACD, \enrazmak \trougao ABD = \trougao BCD

8. Tačka presjeka dijagonala ih dijeli na pola.

AO = BO = CO = DO

9. Točka presjeka dijagonala je centar pravougaonika i opisane kružnice.

10. Zbir svih uglova je 360 stepeni.

\ugao ABC + \ugao BCD + \ugao CDA + \ugao DAB = 360^(\circ)

11. Svi uglovi pravougaonika su pravi.

\ugao ABC = \ugao BCD = \ugao CDA = \ugao DAB = 90^(\circ)

12. Prečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak je dijagonali pravougaonika.

13. Uvijek možete opisati krug oko pravougaonika.

Ovo svojstvo je tačno zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova pravougaonika 180^(\circ)

\ugao ABC = \ugao CDA = 180^(\circ),\enspace \ugao BCD = \ugao DAB = 180^(\circ)

14. Pravougaonik može sadržavati upisan krug i samo jedan ako ima jednake dužine stranica (u pitanju je kvadrat).

Lekcija na temu "Pravougaonik i njegova svojstva"

Ciljevi lekcije:

Ponoviti koncept pravougaonika na osnovu znanja koje su učenici stekli na predmetu matematike od 1. do 6. razreda.

Razmotrite svojstva pravougaonika kao posebne vrste paralelograma.

Razmotrimo određeno svojstvo pravougaonika.

Pokažite primjenu svojstava na rješavanje problema.

Napredak lekcije.

I Oorganizacioni trenutak.

Informirajte svrhu lekcije, temu lekcije. (slajd 1)

IIUčenje novog gradiva.

· Ponovite:

1. Koja se figura naziva paralelogramom?

2. Koja svojstva ima paralelogram? (slajd 2)

● Uvesti koncept pravougaonika.

Koji paralelogram se može nazvati pravougaonikom?

Definicija: Pravougaonik je paralelogram u kojem su svi uglovi pravi.(slajd 3)

To znači da pošto je pravougaonik paralelogram, on ima sva svojstva paralelograma. Pošto pravougaonik ima drugačije ime, mora imati svoje svojstvo (slajd 4).

● Aktivnost učenika (samostalna): Istražite stranice, uglove i dijagonale paralelograma i pravougaonika, zapisujući rezultate u tabelu.