Slobodne prigušene oscilacije.

Smanjenje energije oscilatornog sistema dovodi do postepenog smanjenja amplitude oscilacija, jer

U ovom slučaju to kažu vibracije izumiru .

Slična situacija se događa u oscilatornom krugu. Prava zavojnica koja je dio kola uvijek ima aktivni otpor. Kada struja teče kroz aktivni otpor zavojnice, džulova toplota će se osloboditi. Energija kola će se smanjiti, što će dovesti do smanjenja amplitude oscilacija naboja, napona i struje.

Naš zadatak- saznati po kojem se zakonu smanjuje amplituda oscilacija, po kojem se zakonu mijenja sama oscilirajuća veličina, s kojom frekvencijom se javljaju prigušene oscilacije, koliko dugo oscilacije „umiru“.

§1 Prigušenje oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem

Razmotrimo oscilatorni sistem u kojem djeluje sila viskoznog trenja. Primjer takvog oscilatornog sistema je matematičko klatno koje oscilira u zraku.

U ovom slučaju, kada se sistem ukloni iz ravnotežnog položaja za

na klatno će djelovati dvije sile: kvazielastična sila i sila otpora (sila viskoznog trenja).

Njutnov drugi zakon će biti napisan na sledeći način:

(1)

Znamo da je pri malim brzinama sila viskoznog trenja proporcionalna brzini kretanja:

Tada će jednačina (2) poprimiti oblik:

dobijamo jednacinu kretanja u sledecem obliku:

(3)

gdje je d koeficijent prigušenja, ovisi o koeficijentu trenja r,

w 0 - ciklična frekvencija idealnih oscilacija (u odsustvu trenja).

Prije rješavanja jednačine (3), razmotrite oscilatorno kolo. Aktivni otpor zavojnice je povezan serijski sa kapacitivnošću C i induktivnošću L.

Napišimo drugi Kirhofov zakon

Uzmimo u obzir to, , .

Tada će Kirchhoffov drugi zakon poprimiti oblik:

Podijelimo obje strane jednačine sa:

Hajde da uvedemo notaciju

Konačno dobijamo

Obratite pažnju na matematički identitet diferencijalne jednadžbe(3) i (3’). Ovo nije iznenađujuće. Već smo pokazali apsolutni matematički identitet procesa oscilovanja klatna i elektromagnetne vibracije u kolu. Očigledno se na isti način odvijaju i procesi prigušenja vibracija u krugu iu sistemima sa viskoznim trenjem.

Rješavanjem jednačine (3) dobićemo odgovore na sva gore postavljena pitanja.

Tada za željenu jednačinu (3) dobijamo konačni rezultat

Lako je vidjeti da će se naboj kondenzatora u stvarnom oscilatornom krugu mijenjati prema zakonu

Analiza dobijenog rezultata:

1 Kao rezultat kombinovanog djelovanja kvazielastične sile i sile otpora, sistem Možda napraviti oscilirajući pokret. Za to mora biti zadovoljen uslov w 0 2 - d 2 > 0 Drugim rečima, trenje u sistemu mora biti malo.

2 Frekvencija prigušenih oscilacija w se ne poklapa sa frekvencijom oscilacija sistema u odsustvu trenja w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Vremenom, frekvencija prigušenih oscilacija ostaje nepromijenjena.

Ako je koeficijent prigušenja d mali, tada je frekvencija prigušenih oscilacija bliska prirodnoj frekvenciji w 0 .

4 Ako je w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Gdje .

Direktnom zamjenom lako je provjeriti da je funkcija (4) zaista rješenje jednačine (3). Očigledno, zbir dvije eksponencijalne funkcije nije periodična funkcija. Sa fizičke tačke gledišta, to znači da u sistemu neće doći do oscilacija. Nakon što se sistem ukloni iz ravnotežnog položaja, polako će se vratiti u njega. Ovaj proces se zove aperiodično .

§2 Koliko brzo opadaju oscilacije u sistemima sa viskoznim trenjem?

Smanjenje slabljenja

Za električne oscilacije u krugu, koeficijent slabljenja ovisi o parametrima zavojnice: što je veći aktivni otpor zavojnice, brže se smanjuju amplitude naboja na kondenzatoru, napon i struja.

Funkcija je proizvod opadajuće eksponencijalne funkcije i harmonijske funkcije, dakle funkcija nije harmonična. Ali ima određeni stepen „ponavljanja“, koji se sastoji u činjenici da se maksimumi, minimumi i nule funkcije javljaju u jednakim vremenskim intervalima. Grafikon funkcije je sinusoida ograničena na dvije eksponencijale.

Imajte na umu da rezultat ne zavisi od toga koja dva uzastopna perioda razmatrate - na početku oscilatornog kretanja ili nakon nekog vremena. Za svaki period se mijenja amplituda oscilacija ne za isti iznos, ali isti broj puta !!

Nije teško to vidjeti za bilo koje različite vremenske periode, amplituda prigušenih oscilacija se smanjuje za isti broj puta.

Vrijeme za opuštanje

Vrijeme opuštanja se zove vrijeme tokom kojeg se amplituda prigušenih oscilacija smanjuje za e puta:

Onda .

Odavde je lako instalirati fizičko značenje koeficijent slabljenja:

Dakle, koeficijent prigušenja je recipročan u odnosu na vrijeme relaksacije. Neka je, na primjer, u oscilatornom krugu koeficijent prigušenja jednak . To znači da će se nakon vremena c amplituda oscilacija smanjiti za e jednom.

Dekrement logaritamskog prigušenja

Često, brzinu prigušenja oscilacija karakterizira logaritamski dekrement prigušenja. Da biste to učinili, uzmite prirodni logaritam omjera amplituda razdvojenih vremenskim periodom u periodu.

Hajde da saznamo fizičko značenje logaritamskog dekrementa prigušenja.

Neka je N broj oscilacija koje sistem izvodi tokom vremena relaksacije, odnosno broj oscilacija tokom kojih se amplituda oscilacija smanjuje za e jednom. Očigledno, .

Može se vidjeti da je logaritamski dekrement prigušenja recipročan od broja oscilacija, nakon čega se amplituda smanjuje za e jednom.

Recimo, to znači da će se nakon 100 oscilacija amplituda smanjiti za e jednom.

Faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Pored logaritamskog dekrementa prigušenja i vremena relaksacije, brzina prigušenja oscilacija može se okarakterizirati takvom vrijednošću kao što je faktor kvaliteta oscilatornog sistema . Pod faktorom kvaliteta

Energija oscilatornog sistema u proizvoljnom trenutku je jednaka . Gubitak energije tokom određenog perioda može se naći kao razlika između energije u trenutku u vremenu i energije nakon vremena jednakog periodu:

Onda

Eksponencijalna funkcija se može proširiti u niz at<< 1. после подстановки получаем .

Uveli smo ograničenje povlačenja<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Formule koje smo dobili za faktor kvaliteta sistema još ne govore ništa. Recimo da proračuni daju vrijednost faktora kvaliteta Q = 10. Šta to znači? Koliko brzo nestaju vibracije? Je li ovo dobro ili loše?

Na prethodno postavljeno pitanje možemo odgovoriti: N = 8.

Koji oscilatorni sistem je bolji - sa visokim ili niskim faktorom kvaliteta? Odgovor na ovo pitanje zavisi od toga šta želite da dobijete od oscilacionog sistema.

Ako želite da sistem napravi što više oscilacija prije zaustavljanja, potrebno je povećati faktor kvalitete sistema. Kako? Budući da je faktor kvaliteta određen parametrima samog oscilatornog sistema, potrebno je pravilno odabrati ove parametre.

Na primjer, Foucaultovo klatno postavljeno u Katedrali Svetog Izaka trebalo je da izvodi slabo prigušene oscilacije. Onda

Najlakši način da povećate faktor kvaliteta klatna je da ga otežate.

U praksi se često javljaju inverzni problemi: potrebno je što brže prigušiti nastale vibracije (na primjer, vibracije igle mjernog instrumenta, vibracije karoserije automobila, vibracije broda, itd.). koji omogućavaju povećanje slabljenja u sistemu nazivaju se amortizeri (ili amortizeri). Na primjer, automobilski amortizer, u prvoj aproksimaciji, je cilindar napunjen uljem (viskoznom tekućinom), u kojem se može kretati klip s nizom malih rupa. Klipnjača je spojena na karoseriju, a cilindar na osovinu točka. Nastale vibracije tijela brzo izumiru, jer pokretni klip nailazi na veliki otpor na svom putu od viskozne tekućine koja ispunjava cilindar.

§ 3 Prigušivanje vibracija u sistemima sa suvim trenjem

Slabljenje oscilacija nastaje na suštinski drugačiji način ako u sistemu djeluje sila trenja klizanja. To je ono što uzrokuje zaustavljanje opružnog klatna, koje oscilira duž bilo koje površine.

Imajte na umu da je tokom kretanja s lijeva na desno, sila trenja konstantna po smjeru i veličini.

Ovo nam omogućava da konstatujemo da je tokom prve polovine perioda opružno klatno u konstantnom polju sile.

Kada se kreće u suprotnom smjeru - s desna na lijevo - sila trenja će promijeniti smjer, ali će tokom cijelog prijelaza ostati konstantna po veličini i smjeru. Ova situacija opet odgovara oscilacijama klatna u konstantnom polju sile. Samo što je sada ovo polje drugačije! Promijenio je smjer. Posljedično, promijenio se i položaj ravnoteže pri kretanju s desna na lijevo. Sada se pomaknuo udesno za iznos D l 0 .

Opišimo zavisnost koordinata tijela o vremenu. Pošto je za svaku polovinu perioda kretanje harmonijska oscilacija, graf će predstavljati polovine sinusoida, od kojih je svaka iscrtana u odnosu na svoj ravnotežni položaj. Izvršit ćemo operaciju “spajanja rješenja”.

Pokažimo kako se to radi na konkretnom primjeru.

Neka masa tereta pričvršćenog za oprugu bude 200 g, krutost opruge 20 N/m, a koeficijent trenja između tereta i površine stola 0,1. Klatno je pokrenuto u oscilatorno kretanje, rastežući oprugu

Za razliku od oscilatornih sistema sa viskoznim trenjem, u sistemima sa suvim trenjem amplituda oscilacija opada tokom vremena prema linearnom zakonu - za svaki period se smanjuje za dve širine zone stagnacije.

Još jedna karakteristična karakteristika je da se oscilacije u sistemima sa suhim trenjem, čak ni teoretski, ne mogu dešavati beskonačno. Prestaju čim se tijelo zaustavi u „zoni stagnacije“.

§4 Primjeri rješavanja problema

Problem 1 Priroda promjene amplitude prigušenih oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem

Amplituda prigušenih oscilacija klatna za vrijeme t 1 = 5 min smanjila se za 2 puta. Za koje vrijeme t 2 će se amplituda oscilacija smanjiti za 8 puta? Nakon kojeg vremena t 3 možemo smatrati da je klatno prestalo da osciluje?

Rješenje:

Amplituda oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem tokom vremena

niti opada eksponencijalno, gdje je amplituda oscilacija u početnom trenutku vremena, a koeficijent prigušenja.

1 Dvaput pišemo zakon promjene amplitude

2 Zajedno rješavamo jednačine. Logaritamo svaku jednačinu i dobijemo

Podijelite drugu jednačinu, a ne prvu i pronađite vrijeme t 2

4

Nakon transformacija dobijamo

Podijelite posljednju jednačinu jednačinom (*)

Problem 2 Period prigušenih oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem

Odrediti period prigušenih oscilacija sistema T, ako je period prirodnih oscilacija T 0 = 1 s, a logaritamski dekrement prigušenja je . Koliko će oscilacija napraviti ovaj sistem prije nego što se potpuno zaustavi?

Rješenje:

1 Period prigušenih oscilacija u sistemu sa viskoznim trenjem je veći od perioda prirodnih oscilacija (u odsustvu trenja u sistemu). Frekvencija prigušenih oscilacija je, naprotiv, manja od prirodne frekvencije i jednaka je , gdje je koeficijent slabljenja.

2 Izrazimo cikličnu frekvenciju kroz period. i uzeti u obzir da je logaritamski dekrement prigušenja jednak:

3 Nakon transformacija dobijamo .

Energija sistema jednaka je maksimalnoj potencijalnoj energiji klatna

Nakon transformacija dobijamo

5 Koeficijent slabljenja izražavamo kroz logaritamski dekrement, dobijamo

Broj oscilacija koje će sistem napraviti prije zaustavljanja jednak je

Zadatak 3 Broj oscilacija koje vrši klatno dok se amplituda ne prepolovi

Logaritamski dekrement prigušenja klatna je q = 3×10 -3. Odredite broj potpunih oscilacija koje klatno mora napraviti da bi se amplituda njegovih oscilacija smanjila za polovicu.

Rješenje:

3 Lako je vidjeti da je to logaritamski dekrement prigušenja. Dobili smo

Određivanje broja oscilacija

Zadatak 4 Faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Odrediti faktor kvaliteta klatna ako je za vrijeme u kojem je napravljeno 10 oscilacija amplituda smanjena za 2 puta. Koliko će vremena trebati da se klatno zaustavi?

Rješenje:

1 Amplituda oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem opada eksponencijalno tokom vremena, gdje je amplituda oscilacija u početnom trenutku vremena, a koeficijent prigušenja.

Pošto se amplituda oscilacija smanjuje za faktor 2, dobijamo

2 Vrijeme oscilacije se može predstaviti kao proizvod perioda oscilacije i njihovog broja:

Zamijenite rezultirajuću vrijednost vremena u izraz (*)

3 Lako je vidjeti da je to logaritamski dekrement prigušenja. Dobijamo logaritamski dekrement slabljenja jednak

4 Faktor kvaliteta oscilatornog sistema

Energija sistema jednaka je maksimalnoj potencijalnoj energiji klatna

Nakon transformacija dobijamo

Pronađite vrijeme nakon kojeg će oscilacije prestati .

Problem 5 Oscilacije magneta

Vasya Lisichkin, poznati eksperimentator u školi, odlučio je da magnetna figurica njegovog omiljenog književnog lika Koloboka vibrira duž zida frižidera. Figuru je pričvrstio na oprugu krutosti k = 10 N/m, istegnuo je za 10 cm i oslobodio. Koliko će oscilacija napraviti Kolobok ako je masa figurice m = 10 g, koeficijent trenja između figurice i zida μ = 0,4, a može se otkinuti od zida silom F = 0,5 N.

Rješenje:

1 Prilikom kretanja iz najnižeg u najviši položaj, kada je brzina tereta usmjerena prema gore, sila trenja klizanja usmjerena je naniže i brojčano je jednaka . Dakle, opružno klatno je u stalnom polju sila koje stvaraju sile gravitacije i trenja. U konstantnom polju sile, ravnotežni položaj klatna se pomera:

gdje je rastezanje opruge u novom "ravnotežnom položaju".

2 Prilikom kretanja iz najvišeg u najniži položaj, kada je brzina tereta usmjerena naniže, sila trenja klizanja usmjerena je prema gore i brojčano je jednaka . Tako je opružno klatno ponovo u stalnom polju sila koje stvaraju sile gravitacije i trenja. U konstantnom polju sile, ravnotežni položaj klatna se pomera:

gdje je deformacija opruge u novom "ravnotežnom položaju", znak "-" označava da je u ovom položaju opruga stisnuta.

3 Zona stagnacije ograničena je deformacijama opruge od - 1 cm do 3 cm i iznosi 4 cm. sila. U zoni stagnacije, elastična sila opruge je manja od rezultantne sile u modulu maksimalna statička sila trenja i gravitacije. Ako se klatno zaustavi u zoni stagnacije, oscilacije prestaju.

4 Za svaki period deformacija opruge se smanjuje za dvije širine zone stagnacije, tj. za 8 cm, deformacija opruge će postati jednaka 10 cm - 8 cm = 2 cm. To znači da nakon jednog oscilovanja figurica Kolobok ulazi u zonu stagnacije i njene oscilacije.

§5 Zadaci za samostalno rješavanje

Test "Prigušene oscilacije"

1 Pod prigušenjem oscilacija podrazumijevamo...

A) smanjenje frekvencije oscilovanja; B) smanjenje perioda oscilovanja;

B) smanjenje amplitude oscilacija; D) smanjenje faze oscilacija.

2 Razlog za prigušivanje slobodnih oscilacija je

A) uticaj na sistem slučajnih faktora koji inhibiraju oscilacije;

B) dejstvo spoljne sile koja se periodično menja;

C) prisustvo sile trenja u sistemu;

D) postepeno smanjenje kvazielastične sile koja teži da vrati klatno u ravnotežni položaj.

A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm;

D) Nije moguće dati odgovor, jer je vrijeme nepoznato.

6 Dva identična klatna, koja se nalaze u različitim viskoznim medijima, osciliraju. Amplituda ovih oscilacija se mijenja tokom vremena kao što je prikazano na slici. U kojoj sredini ima veće trenje?

7 Dva klatna, koja se nalaze u identičnim sredinama, osciliraju. Amplituda ovih oscilacija se mijenja tokom vremena kao što je prikazano na slici. Koje klatno ima najveću masu?

C) Nemoguće je dati odgovor, jer koordinatne ose nisu skalirane i ne mogu se izvršiti proračuni.

8 Koja slika ispravno prikazuje vremensku zavisnost koordinata prigušenih oscilacija u sistemu sa viskoznim trenjem?

A) 1; B) 2; B) 3; D) Svi grafikoni su tačni.

9 Uspostaviti korespondenciju između fizičkih veličina koje karakterišu prigušenje oscilacija u sistemima sa viskoznim trenjem i njihove definicije i fizičkog značenja. Popunite tabelu

A) Ovo je omjer amplituda oscilacija nakon vremena jednakog periodu;

B) Ovo je prirodni logaritam odnosa amplituda oscilacija nakon vremena jednakog periodu;

B) Ovo je vrijeme za koje se amplituda oscilacija smanjuje e jednom;

G) D) E)

G) Ova vrijednost je recipročna od broja oscilacija tokom kojih se amplituda oscilacija smanjuje u e jednom;

H) Ova vrijednost pokazuje koliko puta se amplituda oscilacije smanjuje tokom vremena jednakog periodu oscilacije.

10 Dajte tačnu izjavu.

Dobar kvalitet znači...

A) odnos ukupne energije sistema E i energije W disipirane tokom perioda povećan je za 2p puta;

B) odnos amplituda nakon vremenskog perioda koji je jednak periodu;

C) broj oscilacija koje sistem napravi do trenutka kada se amplituda smanji za e puta.

Faktor kvaliteta se izračunava pomoću formule...

A) B) C)

Faktor kvaliteta oscilatornog sistema zavisi od...

A) energija sistema;

B) gubici energije za period;

C) parametri oscilatornog sistema i trenja u njemu.

Što je veći faktor kvaliteta oscilatornog sistema, to je...

A) vibracije sporije opadaju;

B) vibracije opadaju brže.

11 Matematičko klatno se pokreće u oscilatorno kretanje, odbijajući suspenziju od ravnotežnog položaja u prvom slučaju za 15°, u drugom za 10°. U kom slučaju će klatno napraviti više oscilacija prije nego što se zaustavi?

A) Kada je kardan nagnut za 15°;

B) Kada je kardan nagnut za 10°;

C) U oba slučaja klatno će napraviti isti broj oscilacija.

12 kuglica istog radijusa - aluminijumske i bakarne - bile su pričvršćene na dva navoja iste dužine. Klatna se pokreću u oscilatorno kretanje odbijanjem pod jednakim uglovima. Koje će klatno napraviti najviše oscilacija prije zaustavljanja?

A) Aluminijum; B) Bakar;

C) Oba klatna će napraviti isti broj oscilacija.

13 Opružno klatno koje se nalazi na horizontalnoj površini postavljeno je u oscilaciju, istezanjem opruge za 9 cm. Nakon tri pune oscilacije, klatno se našlo na udaljenosti od 6 cm od položaja nedeformisane opruge. Na kojoj udaljenosti od položaja nedeformisane opruge će se klatno nalaziti nakon naredne tri oscilacije?

A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm.

Prigušene oscilacije

Prigušene oscilacije opružnog klatna

Prigušene oscilacije- vibracije čija energija opada tokom vremena. U prirodi je nemoguć beskrajno trajan proces vrste. Slobodne oscilacije bilo kojeg oscilatora prije ili kasnije nestaju i prestaju. Stoga se u praksi najčešće bavimo prigušenim oscilacijama. Karakterizira ih činjenica da je amplituda oscilacija A je opadajuća funkcija. Tipično, slabljenje nastaje pod uticajem sila otpora sredine, najčešće izražene kao linearna zavisnost od brzine oscilovanja ili njenog kvadrata.

U akustici: slabljenje - smanjenje nivoa signala do potpune nečujnosti.

Prigušene oscilacije opružnog klatna

Neka postoji sistem koji se sastoji od opruge (podložna Hookeovom zakonu), čiji je jedan kraj čvrsto fiksiran, a na drugom se nalazi tijelo mase m. Oscilacije se javljaju u mediju gdje je sila otpora proporcionalna brzini s koeficijentom c(vidi viskozno trenje).

Čiji se korijeni izračunavaju korištenjem sljedeće formule

Rješenja

U zavisnosti od vrijednosti koeficijenta prigušenja, rješenje se dijeli na tri moguće opcije.

• Aperiodičnost

Ako , tada postoje dva realna korijena, a rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:

U ovom slučaju, oscilacije opadaju eksponencijalno od samog početka.

• Granica aperiodičnosti

Ako , dva realna korijena se poklapaju, a rješenje jednadžbe je:

U ovom slučaju može doći do privremenog povećanja, ali zatim do eksponencijalnog opadanja.

• Slabo slabljenje

Ako je , tada je rješenje karakteristične jednadžbe dva kompleksna konjugirana korijena

Tada je rješenje originalne diferencijalne jednadžbe

Gdje je prirodna frekvencija prigušenih oscilacija.

Konstante i u svakom slučaju su određene iz početnih uslova:

Vidi također

• Smanjenje slabljenja

Književnost

Lit.: Savelyev I.V., Kurs opšte fizike: Mehanika, 2001.

Wikimedia Foundation.

2010.

Prigušene oscilacije Pogledajte šta su "prigušene oscilacije" u drugim rječnicima: - Prigušene oscilacije. PRIGUŠENE VIBRACIJE, oscilacije čija se amplituda A vremenom smanjuje zbog gubitaka energije: pretvaranje energije oscilovanja u toplotu kao rezultat trenja u mehaničkim sistemima (na primjer, u tački ovjesa... ...

Ilustrovani enciklopedijski rječnik Prirodne oscilacije, čija amplituda A opada s vremenom t prema zakonu eksponencijalnog A(t) = Aoexp (?t) (? indikator slabljenja zbog disipacije energije uslijed viskoznih sila trenja za mehaničke prigušene oscilacije i omske. ... ...

Oscilacije čija se amplituda postepeno smanjuje, npr. oscilacije klatna koje doživljava otpor zraka i trenje u ovjesu. Sve slobodne vibracije koje se javljaju u prirodi su, u većoj ili manjoj mjeri, Z.K. Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary

prigušene oscilacije- Mehaničke oscilacije sa opadajućim vrijednostima opsega generalizirane koordinate ili njene derivacije u odnosu na vrijeme. [Zbirka preporučenih termina. Broj 106. Mehaničke vibracije. Akademija nauka SSSR-a. Naučno-tehnički odbor...... Vodič za tehnički prevodilac

Prigušene oscilacije- (VIBRACIJA) oscilacije (vibracije) sa smanjenjem vrijednosti zamaha... Ruska enciklopedija zaštite rada

Prirodne oscilacije sistema, čija amplituda A opada s vremenom t prema eksponencijalnom zakonu A(t) = A0exp(?α t) (α je indeks prigušenja) zbog disipacije energije uslijed viskoznih sila trenja za mehaničko prigušeno oscilacije i omske ... ... Encyclopedic Dictionary

Prigušene oscilacije- 31. Prigušene oscilacije Oscilacije sa opadajućim vrijednostima zamaha Izvor... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Prirodne oscilacije sistema, amplituda A do ryx opada s vremenom t prema eksponencijalnom zakonu A(t) = = Aoehr(at) (a je indeks prigušenja) zbog disipacije energije zbog sila viskoznog trenja za mehanički. 3. do i omski otpor za električne ... Prirodne nauke. Encyclopedic Dictionary

prigušene oscilacije- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. prigušene oscilacije vok. gedämpfte Schwingung, f rus. prigušene oscilacije, n pranc. amorti oscilacija, f; oscilacije décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

prigušene oscilacije- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. prigušene oscilacije; prigušene vibracije; umiruće oscilacije vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. prigušene oscilacije, n pranc. oscilacije amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Svi pravi oscilatorni sistemi su disipativni. Energija mehaničkih oscilacija sistema se vremenom troši na rad protiv sila trenja, pa se prirodne oscilacije uvijek slabe - njihova amplituda se postepeno smanjuje. Gubitak energije nastaje i prilikom deformacija tijela, jer potpuno elastična tijela ne postoje, a deformacije nepotpuno elastičnih tijela su praćene djelomičnim prijelazom mehaničke energije u energiju haotičnog toplinskog kretanja čestica ovih tijela.

U mnogim slučajevima, kao prvu aproksimaciju, možemo pretpostaviti da su pri malim brzinama kretanja sile koje uzrokuju prigušenje mehaničkih vibracija proporcionalne veličini brzine. Ove sile ćemo, bez obzira na njihovo porijeklo, nazvati silama trenja ili otpora i izračunati ih pomoću sljedeće formule: . Ovdje je r koeficijent otpora medija i brzina tijela. Znak minus označava da su sile trenja uvijek usmjerene u smjeru suprotnom od smjera kretanja tijela.

Zapišimo jednadžbu drugog Newtonovog zakona za prigušene pravolinijske oscilacije opružnog klatna

Ovdje: m je masa tereta, k je krutost opruge, projekcija brzine na os OX, projekcija ubrzanja na os OX. Podijelimo obje strane jednačine (13) masom m i prepišemo je u obliku:

. (14)

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

, (15)

. (16)

Nazovimo to koeficijent prigušenja, a ranije smo ga zvali prirodna ciklička frekvencija. Uzimajući u obzir uvedene oznake (15 i 16), jednačina (14) će se napisati

. (17)

Ovo je diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija bilo koje prirode. Vrsta rješenja ove linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda ovisi o odnosu između veličine - prirodne frekvencije neprigušenih oscilacija i koeficijenta prigušenja.

Ako je trenje veoma veliko (u ovom slučaju), onda se sistem, izbačen iz ravnotežnog položaja, vraća u njega bez oscilovanja („puzi“). Ovo kretanje (kriva 2 na slici 3) naziva se aperiodično.

Ako se u početnom trenutku sistem sa velikim trenjem nalazi u ravnotežnom položaju i da mu se prenese određena početna brzina, tada sistem dostiže najveće odstupanje od ravnotežnog položaja, zaustavlja se, a nakon toga pomak asimptotski teži nuli (sl. 4).

Sl.3 Sl.4

Ako se sistem ukloni iz ravnotežnog položaja pod uslovom i pusti bez početne brzine, tada sistem također ne prelazi ravnotežni položaj. Ali u ovom slučaju, vrijeme praktičnog pristupa njemu je manje nego u slučaju visokog trenja (kriva 1 na sl. 3). Ovaj način rada naziva se kritičnim i tražen je pri korištenju različitih mjernih instrumenata (za najbrže očitavanje).

sa malim trenjem (u ovom slučaju), kretanje je oscilatorne prirode (slika 5) i rješenje jednačine (17) ima oblik:

(19)

opisuje promjenu amplitude prigušenih oscilacija tokom vremena. Amplituda prigušenih oscilacija s vremenom se smanjuje (slika 5) i što je brže, to je veći koeficijent otpora i manja masa oscilirajućeg tijela, odnosno manja je inercija sistema.

Veličina

naziva se ciklička frekvencija prigušenih oscilacija. Prigušene oscilacije su neperiodične oscilacije, jer nikada ne ponavljaju, na primjer, maksimalne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja. Stoga se može nazvati frekvencijom samo uslovno u smislu da pokazuje koliko puta u sekundi oscilirajući sistem prolazi kroz ravnotežni položaj. Iz istog razloga, vrijednost

(21)

može se nazvati uslovni period prigušenih oscilacija.

Da bismo okarakterizirali slabljenje, uvodimo sljedeće veličine:

Dekrement logaritamskog prigušenja;

Vrijeme opuštanja;

Dobra kvaliteta.

Zove se omjer bilo koja dva uzastopna pomaka razdvojena u vremenu jednim periodom dekrement prigušenja.

Dekrement logaritamskog prigušenja je prirodni logaritam omjera vrijednosti amplitude prigušenih oscilacija u trenucima t i t+T (prirodni logaritam omjera bilo koja dva uzastopna pomaka odvojena u vremenu jednom periodom):

Od i , tada .

Koristimo formulu za zavisnost amplitude od vremena (19) i dobijemo

Hajde da saznamo fizičko značenje veličina i . Označimo vremenskim periodom tokom kojeg se amplituda prigušenih oscilacija smanjuje za faktor e i nazovimo ga vrijeme opuštanja. Onda . iz toga sledi

OPĆE INFORMACIJE

Oscilacije pokreti ili procesi koji se odlikuju određenom ponovljivošću tokom vremena nazivaju se. Oscilacije se nazivaju besplatno, ako nastaju zbog prvobitno prenesene energije u naknadnom odsustvu vanjskih utjecaja na oscilatorni sistem. Najjednostavniji tip oscilacija su harmonijske oscilacije - oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik:

gdje je oscilirajuća veličina i ciklična frekvencija.

je rješenje ove jednačine. Ovdje je amplituda i početna faza.

Faza oscilovanja.

Amplituda je maksimalna vrijednost oscilirajuće veličine.

Period oscilovanja je vremenski period kroz koji se kretanje tijela ponavlja. Faza oscilovanja se povećava tokom perioda. . , - broj oscilacija.

Frekvencija oscilovanja je broj kompletnih oscilacija koje se izvode u jedinici vremena. . . Mjereno u hercima (Hz).

Ciklična frekvencija je broj oscilacija u sekundi. . Jedinica mjerenja.

Faza oscilovanja je veličina pod predznakom kosinusa i koja karakteriše stanje oscilatornog sistema u bilo kom trenutku.

Početna faza - faza oscilacija u početnom trenutku vremena. Faza i početna faza se mjere u radijanima ().

Slobodne prigušene oscilacije- oscilacije čija se amplituda vremenom smanjuje zbog gubitaka energije realnog oscilatornog sistema. Najjednostavniji mehanizam za smanjenje energije vibracija je njeno pretvaranje u toplotu usled trenja u mehaničkim oscilatornim sistemima, kao i omskih gubitaka i zračenja elektromagnetne energije u električnim oscilatornim sistemima.

- logaritamski dekrement prigušenja.

Magnituda N e je broj oscilacija izvedenih za vrijeme u kojem se amplituda smanjuje e jednom. Logaritamski dekrement prigušenja je konstantna vrijednost za dati oscilatorni sistem.

Za karakterizaciju oscilatornog sistema koristi se koncept faktora kvaliteta Q, što je za male vrijednosti logaritamskog dekrementa jednako

.

Faktor kvaliteta je proporcionalan broju oscilacija koje vrši sistem tokom vremena relaksacije.

ODREĐIVANJE KOEFICIJENTA TRENJA POMOĆU UNUTRAŠNJEG KLATNA

Teorijska obrazloženja metode za određivanje koeficijenta trenja

Nagnuto klatno je lopta okačena o dugačku nit koja leži na kosoj ravni.

Ako se lopta pomakne iz ravnotežnog položaja (os O.O. 1) pod uglom a, a zatim otpustite, tada će klatno oscilirati. U tom slučaju, lopta će se kotrljati duž nagnute ravni blizu ravnotežnog položaja (slika 1, a). Između lopte i nagnute ravnine će postojati sila trenja kotrljanja. Kao rezultat toga, oscilacije klatna će postepeno nestajati, odnosno uočavaće se smanjenje amplitude oscilacija tokom vremena.

Može se pretpostaviti da se sila trenja i koeficijent trenja kotrljanja mogu odrediti iz veličine prigušenja vibracija.

Izvedemo formulu koja povezuje smanjenje amplitude oscilacije sa koeficijentom trenja kotrljanja m. Kada se lopta kotrlja duž ravnine, sila trenja radi. Ovaj rad smanjuje ukupnu energiju lopte. Ukupna energija se sastoji od kinetičke i potencijalne energije. U onim položajima gdje je klatno maksimalno otklonjeno od ravnotežnog položaja, njegova brzina, a time i kinetička energija, jednaka je nuli.

Ove tačke se nazivaju prekretnice. U njima se klatno zaustavlja, okreće i vraća nazad. U trenutku rotacije, energija klatna jednaka je potencijalnoj energiji, pa je smanjenje potencijalne energije klatna dok se kreće od jedne okretne tačke do druge jednako radu sile trenja na putu između prekretnica.

Neka A- tačka preokreta (slika 1, a). U ovom položaju nit klatna čini ugao a sa osom O.O. 1. Kada ne bi bilo trenja, onda bi nakon polovine perioda klatno bilo u tački N, a ugao otklona bi bio jednak a. Ali zbog trenja, lopta neće malo stići do boda N i zaustavlja se u jednom trenutku IN Ovo će biti nova prekretnica. U ovom trenutku ugao navoja With osi O.O. 1 će biti jednako . Više od polovine perioda, ugao rotacije klatna se smanjio za . Dot IN nalazi se nešto niže od tačke A, a samim tim i potencijalnu energiju klatna u tački IN manje nego u tački A. Posljedično, klatno je gubilo visinu pri pomicanju iz tačke A do tačke IN.

Nađimo vezu između gubitka ugla i gubitka visine. Da bismo to uradili, projektujemo tačke A I B po osi O.O. 1 (vidi sliku 1, a). Ovo će biti tačke A 1 i B 1 respektivno. Očigledno, dužina segmenta A 1 IN 1

gdje je dužina konca.

Od ose O.O. 1 je nagnut pod uglom u odnosu na vertikalu, projekcija segmenta na vertikalnu osu je gubitak visine (slika 1, b):

U ovom slučaju, promjena potencijalne energije klatna kada se kreće iz pozicije A na poziciju IN jednako:

, (3)

Gdje m- masa lopte;

g- ubrzanje slobodnog pada.

Izračunajmo rad koji vrši sila trenja.

Sila trenja određena je formulom:

Putanja koju lopta pređe za polovinu perioda oscilovanja klatna jednaka je dužini luka AB:

.

Rad koji vrši sila trenja na putu:

Ali, stoga, uzimajući u obzir jednačine (2), (3), (4) ispada

. (6)

Izraz (6) je značajno pojednostavljen uzimajući u obzir činjenicu da je ugao vrlo mali (oko 10 -2 radijana). Dakle, . Ali . Zato .

Dakle, formula (6) ima oblik:

,

. (7)

Iz formule (7) je jasno da je gubitak ugla tokom pola perioda određen koeficijentom trenja m i kutom a. Međutim, moguće je pronaći uslove pod kojima a ne zavisi od ugla. Uzmimo u obzir da je koeficijent trenja kotrljanja mali (oko 10 -3). Ako uzmemo u obzir dovoljno velike amplitude oscilacije klatna a, takve da , onda se član u nazivniku formule (7) može zanemariti i tada:

.

S druge strane, neka kut a bude dovoljno mali da možemo pretpostaviti da je . Tada će se gubitak ugla za polovinu perioda oscilovanja odrediti formulom:

. (8)

Formula (8) vrijedi ako:

. (9)

Zbog činjenice da je m reda 10 -2, nejednakost (9) je zadovoljena uglovima a reda veličine 10 -2 -10 -1 radijana.

Dakle, tokom jedne potpune oscilacije, gubitak ugla će biti:

,

i za n fluktuacije - .

Formula (10) pruža zgodan način za određivanje koeficijenta trenja kotrljanja. Potrebno je izmjeriti smanjenje ugla Da n za 10-15 oscilacija, a zatim izračunajte m koristeći formulu (10).

U formuli (10), vrijednost Da je izražena u radijanima. Da biste koristili Da vrijednosti u stepenima, formula (10) se mora modificirati:

. (11)

Hajde da saznamo fizičko značenje koeficijenta trenja kotrljanja. Hajde da prvo razmotrimo opštiji problem. Loptasta masa m i moment inercije Ic u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase, kreće se duž glatke površine (slika 2).

Rice. 2

Prema centru mase C primijenjena sila usmjerena duž ose vol a koja je funkcija koordinata x. Na tijelo djeluje sila trenja sa površine F TR. Neka je moment sile trenja oko ose koja prolazi kroz centar C lopta, jednaka M TR.

Jednačine kretanja lopte u ovom slučaju imaju oblik:

; (12)

, (13)

Gdje - brzina centra mase;

w - ugaona brzina.

U jednadžbi (12) i (13) postoje četiri nepoznanice: ,w, F TR, M TR . Generalno, zadatak nije definisan.

Pretpostavimo da:

1) karoserija se kotrlja bez klizanja. onda:

Gdje R- radijus lopte;

2) telo i ravan su apsolutno kruti, tj. telo nije deformisano, već dodiruje ravan u jednoj tački O(točkasti kontakt), tada postoji odnos između momenta sile trenja i sile trenja:

. (15)

Uzimajući u obzir formule (14) i (15) iz jednačina (12) i (13) dobijamo izraz za silu trenja:

. (16)

Izraz (16) ne sadrži koeficijent trenja m, koji je određen fizičkim svojstvima dodirnih površina lopte i ravnine, kao što su hrapavost, ili vrsta materijala od kojih su kugla i ravnina napravljene. Ovaj rezultat je direktna posljedica prihvaćene idealizacije koju odražavaju veze (14) i (15). Osim toga, lako je pokazati da u usvojenom modelu sila trenja ne radi. Zaista, pomnožimo jednačinu (12) sa , a jednačina (13) - na w. S obzirom na to

I

i sabiranjem izraza (12) i (13) dobijamo

Gdje W(x) - potencijalna energija lopte u polju sile F(x). Treba napomenuti da

Ako uzmemo u obzir formule (14) i (15), desna strana jednakosti (17) postaje nula. Na lijevoj strani jednakosti (17) je vremenski izvod ukupne energije sistema, koji se sastoji od kinetičke energije translacijskog kretanja lopte , kinetička energija rotacionog kretanja i potencijalnu energiju W(X). To znači da je ukupna energija sistema konstantna vrijednost, tj. Sila trenja ne radi.

Očigledno je i ovaj pomalo čudan rezultat posljedica prihvaćene idealizacije. Ovo ukazuje da prihvaćena idealizacija ne odgovara fizičkoj stvarnosti. U stvari, kako se lopta kreće, dolazi u interakciju sa ravninom, pa se njena mehanička energija mora smanjiti, što znači da veze (14) i (15) mogu biti istinite samo u onoj mjeri u kojoj se može zanemariti disipacija energije.

Apsolutno je jasno da se u ovom slučaju ovakva idealizacija ne može prihvatiti, jer nam je cilj odrediti koeficijent trenja iz promjene energije klatna. Stoga ćemo pretpostavku o apsolutnoj krutosti lopte i površine smatrati poštenom, a samim tim i vezu (15) poštenom. Međutim, napustimo pretpostavku da se lopta kreće bez klizanja. Pretpostavljamo da je došlo do blagog klizanja.

Neka je brzina dodirnih tačaka (tačka O na slici 2) lopte (brzina klizanja):

. (19)

Zatim, zamjenom u jednačinu (17) i uzimajući u obzir uslove (15) i (20), dolazimo do jednačine:

, (21)

iz čega je jasno da je brzina disipacije energije jednaka snazi ​​sile trenja. Rezultat je sasvim prirodan, jer... tijelo brzo klizi duž površine i, na njega djeluje sila trenja, koja obavlja rad, uslijed čega se ukupna energija sistema smanjuje.

Provodeći diferencijaciju u jednačini (21) i uzimajući u obzir relaciju (18), dobijamo jednačinu kretanja centra mase lopte:

. (22)

To je slično jednadžbi gibanja materijalne tačke s masom:

, (23)

pod uticajem spoljne sile F i sile trenja kotrljanja:

.

Štaviše, F TP je uobičajena sila trenja klizanja. Prema tome, kada se lopta kotrlja, efektivna sila trenja, koja se naziva sila trenja kotrljanja, je jednostavno obična sila trenja klizanja pomnožena omjerom brzine klizanja i brzine centra mase tijela. U praksi se često opaža slučaj kada sila trenja kotrljanja ne ovisi o brzini tijela.

Očigledno, u ovom slučaju stopa klizanja I proporcionalno brzini tijela: