Lekcija „Primjena različitih metoda za faktoriranje polinoma. Primjena različitih metoda za faktoriranje polinoma Primjena različitih metoda za faktoriranje polinoma

PLAN LEKCIJE čas algebre u 7. razredu

Učiteljica Prilepova O.A.

Ciljevi lekcije:

Prikaz primjene različitih metoda za faktoriranje polinoma

Ponoviti metode faktorizacije i učvrstiti svoje znanje tokom vježbi

Razvijati vještine i sposobnosti učenika u primjeni skraćenih formula za množenje.

Razvijati logičko mišljenje učenika i interesovanje za predmet.

Zadaci:

u pravcu lični razvoj:

Razvijanje interesovanja za matematičku kreativnost i matematičke sposobnosti;

Razvijanje inicijative, aktivnosti u rješavanju matematičkih zadataka;

Negovanje sposobnosti donošenja nezavisnih odluka.

u metasubjektnom pravcu :

Formiranje opštih načina intelektualne aktivnosti, svojstvenih matematici i koji su osnova kognitivne kulture;

Upotreba ICT tehnologije;

u predmetnoj oblasti:

Ovladavanje matematičkim znanjima i vještinama neophodnim za nastavak školovanja;

Formiranje kod učenika sposobnosti da traže načine za faktorizaciju polinoma i pronađu ih za polinom koji je faktorizovan.

Oprema:materijali, putni listovi sa kriterijima evaluacije,multimedijalni projektor, prezentacija.

Vrsta lekcije:ponavljanje, generalizacija i sistematizacija obrađenog gradiva

Oblici rada:rad u parovima i grupama, individualni, kolektivni,samostalan, frontalni rad.

Tokom nastave:

Postoji nekoliko različitih načina faktorizacija polinoma. Najčešće se u praksi ne koristi jedna, već nekoliko metoda odjednom. Ovdje ne može postojati određeni redoslijed radnji, u svakom primjeru sve je individualno. Ali možete pokušati slijediti sljedeći redoslijed:

1. Ako postoji zajednički faktor, onda ga izbacite iz zagrade;

2. Nakon toga pokušajte faktorizirati polinom koristeći skraćene formule za množenje;

3. Ako nakon toga još nismo dobili željeni rezultat, pokušajmo koristiti metodu grupisanja.

Skraćene formule za množenje

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Pogledajmo sada nekoliko primjera:

Primjer 1

Faktorizujte polinom: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Prvo, primjenjujemo skraćenu formulu množenja "razlika kvadrata" i otvaramo unutrašnje zagrade.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Imajte na umu da se izrazi za kvadrat zbira i kvadrat razlike dvaju izraza dobijaju u zagradama. Primijenite ih i dobijte odgovor.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

odgovor:(a-1)^2*(a+1)^2;

Primjer 2

Faktorizujte polinom 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Kao što možete vidjeti direktno ovdje, nijedna od metoda nije prikladna. Ali postoje dva kvadrata, mogu se grupirati. Pokusajmo.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Dobili smo formulu za razliku kvadrata u prvoj zagradi, au drugoj zagradi je zajednički faktor dva. Primijenimo formulu i izvadimo zajednički faktor.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Može se vidjeti da su dobijene dvije identične zagrade. Mi ih izdvajamo kao zajednički faktor.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);

odgovor:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Kao što vidite, ne postoji univerzalni način. S iskustvom, vještina će doći i rastavljanje polinoma u faktore će biti vrlo lako.

U prethodnoj lekciji proučavali smo množenje polinoma monomom. Na primjer, proizvod monoma a i polinoma b + c nalazi se ovako:

a(b + c) = ab + bc

Međutim, u nekim slučajevima je prikladnije izvesti inverznu operaciju, koja se može nazvati vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada:

ab + bc = a(b + c)

Na primjer, pretpostavimo da trebamo izračunati vrijednost polinoma ab + bc sa vrijednostima varijabli a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Ako ih zamenimo direktno u izraz, dobićemo

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

U ovom slučaju, polinom ab + bc smo predstavili kao proizvod dva faktora: a i b + c. Ova akcija se naziva faktorizacija polinoma.

Štaviše, svaki od faktora na koje se polinom razlaže može, zauzvrat, biti polinom ili monom.

Razmotrimo polinom 14ab - 63b 2 . Svaki od njegovih sastavnih monoma može se predstaviti kao proizvod:

Može se vidjeti da oba polinoma imaju zajednički faktor 7b. Dakle, može se izvaditi iz zagrada:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Ispravnost vađenja faktora iz zagrada možete provjeriti inverznom operacijom - proširivanjem zagrade:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Važno je shvatiti da se polinom često može proširiti na nekoliko načina, na primjer:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Obično pokušavaju da izdrže, grubo rečeno, "najveći" monom. To jest, polinom je postavljen na takav način da se iz preostalog polinoma ništa više ne može izvaditi. Dakle, prilikom razdvajanja

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

zbir monoma koji imaju zajednički faktor c ostaje u zagradama. Ako i to izvadimo, onda u zagradama neće biti uobičajenih faktora:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Hajde da detaljnije analiziramo kako pronaći zajedničke faktore za monome. Podijelimo sumu

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Sastoji se od tri termina. Prvo, pogledajmo numeričke koeficijente ispred njih. To su 8, 12 i 16. U 3. lekciji 6. razreda razmatrana je tema GCD i algoritam za njeno pronalaženje.Ovo je najveći zajednički djelitelj.Gotovo uvijek ga možete podići usmeno. Numerički koeficijent zajedničkog faktora će biti samo GCD numeričkih koeficijenata članova polinoma. U ovom slučaju, broj je 4.

Zatim ćemo pogledati stepene ovih varijabli. U zajedničkom faktoru, slova moraju imati minimalne stepene koji se javljaju u terminima. Dakle, varijabla a u polinomu stepena 3, 2 i 4 (minimalno 2), tako da će zajednički faktor biti a 2 . Varijabla b ima minimalni stepen 3, tako da će zajednički faktor biti b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

Kao rezultat toga, preostali članovi 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 nemaju zajedničku slovnu varijablu, a njihovi koeficijenti 2, 3 i 4 nemaju zajedničke djelitelje.

Iz zagrada možete izvaditi ne samo monome, već i polinome. Na primjer:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Još jedan primjer. Potrebno je proširiti izraz

5t(8g - 3x) + 2s(3x - 8g)

Rješenje. Podsjetimo da znak minus preokreće znakove u zagradama, dakle

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

Dakle, možete zamijeniti (3x - 8y) sa - (8y - 3x):

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

Odgovor: (8g - 3x)(5t - 2s).

Zapamtite da se oduzeto i smanjeno mogu zamijeniti promjenom znaka ispred zagrada:

(a - b) = - (b - a)

Vrijedi i obrnuto: minus koji je već ispred zagrada može se ukloniti ako se oduzeti i smanjeni istovremeno preurede:

Ova tehnika se često koristi u rješavanju problema.

Metoda grupisanja

Razmotrite još jedan način faktorizacije polinoma, koji pomaže faktorizaciji polinoma. Neka postoji izraz

ab - 5a + bc - 5c

Nije moguće izdvojiti faktor koji je zajednički za sva četiri monoma. Međutim, ovaj polinom možete predstaviti kao zbir dva polinoma, iu svakom od njih izvaditi varijablu iz zagrada:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Sada možete izvaditi izraz b - 5:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

Prvi mandat smo "grupisali" sa drugim, a treći sa četvrtim. Stoga se opisana metoda naziva metodom grupiranja.

Primjer. Proširimo polinom 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Rješenje. Grupisanje 1. i 2. pojma je nemoguće, jer nemaju zajednički faktor. Pa hajde da zamijenimo monome:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Razlike 3y - b i b - 3y razlikuju se samo po redoslijedu varijabli. U jednoj od zagrada može se promijeniti pomicanjem znaka minus iz zagrada:

(b - 3y) = - (3y - b)

Koristimo ovu zamjenu:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

Rezultat je identitet:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Odgovor: (3g - b)(2x - a)

Možete grupirati ne samo dva, već općenito bilo koji broj pojmova. Na primjer, u polinomu

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

možete grupirati prva tri i poslednja 3 monoma:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Pogledajmo sada zadatak povećane složenosti

Primjer. Proširite kvadratni trinom x 2 - 8x +15.

Rješenje. Ovaj polinom se sastoji od samo 3 monoma, pa se stoga, kako se čini, grupisanje ne može izvršiti. Međutim, možete izvršiti sljedeću zamjenu:

Tada se originalni trinom može predstaviti na sljedeći način:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Grupirajmo pojmove:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Odgovor: (x - 5) (x - 3).

Naravno, pogađanje o zamjeni - 8x = - 3x - 5x u gornjem primjeru nije lako. Hajde da pokažemo drugačiju liniju rezonovanja. Moramo proširiti polinom drugog stepena. Kao što se sjećamo, prilikom množenja polinoma, njihovi stupnjevi se sabiraju. To znači da ako kvadratni trinom možemo rastaviti na dva faktora, onda će to biti dva polinoma 1. stepena. Napišimo proizvod dva polinoma prvog stepena, čiji su vodeći koeficijenti jednaki 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Ovdje su a i b neki proizvoljni brojevi. Da bi ovaj proizvod bio jednak originalnom trinomu x 2 - 8x +15, potrebno je odabrati odgovarajuće koeficijente za varijable:

Uz pomoć selekcije može se utvrditi da brojevi a= - 3 i b = - 5 zadovoljavaju ovaj uslov.

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

što se može provjeriti otvaranjem zagrada.

Radi jednostavnosti, razmotrili smo samo slučaj kada pomnoženi polinomi 1. stepena imaju najveće koeficijente jednake 1. Međutim, oni bi mogli biti jednaki, na primjer, 0,5 i 2. U ovom slučaju, dekompozicija bi izgledala nešto drugačije:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0,5x - 2,5)

Međutim, ako uzmemo faktor 2 iz prve zagrade i pomnožimo ga sa drugom, dobili bismo originalnu ekspanziju:

(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3)(x - 5)

U razmatranom primjeru kvadratni trinom smo razložili na dva polinoma prvog stepena. U budućnosti ćemo to često morati da radimo. Međutim, vrijedno je napomenuti da su neki kvadratni trinomi, na primjer,

nemoguće je na ovaj način rastaviti u proizvod polinoma. To će se kasnije dokazati.

Primjena faktorizacije polinoma

Faktoriranje polinoma može pojednostaviti neke operacije. Neka je potrebno procijeniti vrijednost izraza

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Izvlačimo broj 2, dok se stepen svakog člana smanjuje za jedan:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Označite zbir

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

za x. Tada se gornja jednačina može prepisati:

x + 2 9 = 2 (1 + x)

Dobili smo jednačinu, riješit ćemo je (pogledajte lekciju jednadžbe):

x + 2 9 = 2 (1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Sada izrazimo iznos koji tražimo u terminima x:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Prilikom rješavanja ovog problema, broj 2 smo podigli samo na 9. stepen, a sve ostale operacije eksponencijalnosti smo uspjeli isključiti iz izračunavanja faktoringom polinoma. Slično, možete napraviti formulu izračuna za druge slične iznose.

Sada izračunajmo vrijednost izraza

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

je djeljiv sa 73. Imajte na umu da su brojevi 9 i 81 potenci tri:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Znajući to, napravit ćemo zamjenu u originalnom izrazu:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Izvadimo 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Proizvod 3 12 .73 je djeljiv sa 73 (pošto je jedan od faktora djeljiv s njim), pa je izraz 81 4 - 9 7 + 3 12 djeljiv ovim brojem.

Faktoriranje se može koristiti za dokazivanje identiteta. Na primjer, dokažimo valjanost jednakosti

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Da bismo riješili identitet, transformiramo lijevu stranu jednakosti tako što ćemo izvaditi zajednički faktor:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2 ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Još jedan primjer. Dokažimo da je za bilo koje vrijednosti varijabli x i y izraz

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

nije pozitivan broj.

Rješenje. Izvadimo zajednički faktor x - y:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Imajte na umu da smo dobili proizvod dva slična binoma koji se razlikuju samo po redoslijedu slova x i y. Ako bismo zamijenili varijable u jednoj od zagrada, dobili bismo proizvod dva identična izraza, odnosno kvadrat. Ali da biste zamijenili x i y, morate staviti znak minus ispred zagrade:

(x - y) = -(y - x)

Tada možete napisati:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

Kao što znate, kvadrat bilo kojeg broja je veći ili jednak nuli. Ovo važi i za izraz (y - x) 2 . Ako ispred izraza postoji minus, onda on mora biti manji ili jednak nuli, odnosno nije pozitivan broj.

Polinomsko proširenje pomaže u rješavanju nekih jednadžbi. Ovo koristi sljedeću izjavu:

Ako je u jednom dijelu jednadžbe nula, a u drugom proizvod faktora, onda svaki od njih treba izjednačiti sa nulom.

Primjer. Riješite jednačinu (s - 1)(s + 1) = 0.

Rješenje. Umnožak monoma s - 1 i s + 1 napisan je na lijevoj strani, a nula je napisana na desnoj. Prema tome, ili s - 1 ili s + 1 moraju biti jednaki nuli:

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 ili s + 1 = 0

s=1 ili s=-1

Svaka od dvije dobivene vrijednosti varijable s je korijen jednadžbe, odnosno ima dva korijena.

Odgovor: -1; jedan.

Primjer. Riješite jednačinu 5w 2 - 15w = 0.

Rješenje. Izvadimo 5w:

Opet, proizvod je napisan na lijevoj strani, a nula na desnoj. Nastavimo sa rješenjem:

5w = 0 ili (w - 3) = 0

w=0 ili w=3

Odgovor: 0; 3.

Primjer. Pronađite korijene jednačine k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

Rješenje. Grupirajmo pojmove:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k - 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

(k 3 + 3)(k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 ili k - 8 = 0

k 2 = -3 ili k = 8

Imajte na umu da jednadžba k 2 = - 3 nema rješenja, jer bilo koji broj na kvadrat nije manji od nule. Dakle, jedini korijen originalne jednadžbe je k = 8.

Primjer. Pronađite korijene jednadžbe

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Rješenje: Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu, a zatim grupirajte pojmove:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 ili u + 3 = 0

u=6 ili u=-3

Odgovor: - 3; 6.

Primjer. Riješite jednačinu

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 ili t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 ili t - 5 = 0

t=0 ili t=5

Pogledajmo sada drugu jednačinu. Pred nama je opet kvadratni trinom. Da biste ga faktorizirali metodom grupisanja, trebate ga predstaviti kao zbir 4 člana. Ako izvršimo zamjenu - 5t = - 2t - 3t, možemo dalje grupirati pojmove:

t 2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t - 3)(t - 2) = 0

T - 3 = 0 ili t - 2 = 0

t=3 ili t=2

Kao rezultat, otkrili smo da originalna jednadžba ima 4 korijena.

Ovo je jedan od najelementarnijih načina za pojednostavljenje izraza. Da bismo primijenili ovu metodu, prisjetimo se distributivnog zakona množenja u odnosu na sabiranje (ne bojte se ovih riječi, morate znati ovaj zakon, samo ste možda zaboravili njegovo ime).

Zakon kaže: da biste pomnožili zbir dva broja sa trećim brojem, morate svaki član pomnožiti sa ovim brojem i sabrati rezultate, drugim riječima,.

Možete napraviti i obrnutu operaciju, a upravo nas ta obrnuta operacija zanima. Kao što se može vidjeti iz uzorka, zajednički faktor a, može se izvaditi iz zagrade.

Slična operacija se može izvesti i sa varijablama, kao što su i, na primjer, i sa brojevima: .

Da, ovo je previše elementaran primjer, baš kao i prethodni primjer, sa dekompozicijom broja, jer svi znaju šta su brojevi, i sa kojima su djeljivi, ali šta ako dobijete kompliciraniji izraz:

Kako saznati na što je, na primjer, broj podijeljen, ne, s kalkulatorom svako može, ali bez njega je slab? A za to postoje znakovi djeljivosti, ove znakove zaista vrijedi znati, oni će vam pomoći da brzo shvatite može li se zajednički faktor staviti u zagrade.

Znakovi djeljivosti

Nije ih tako teško zapamtiti, najvjerovatnije vam je većina njih već bila poznata, a nešto će biti novo korisno otkriće, više detalja u tabeli:

Napomena: tablici nedostaje znak djeljivosti sa 4. Ako su zadnje dvije cifre djeljive sa 4, tada je cijeli broj djeljiv sa 4.

Pa, kako ti se sviđa znak? Savjetujem vam da ga zapamtite!

Pa, da se vratimo na izraz, možda ga izvadimo iz zagrade i dosta je? Ne, uobičajeno je da matematičari pojednostavljuju, dakle do kraja, izvadi SVE što se izvadi!

I tako, sa igračem je sve jasno, ali šta je sa numeričkim dijelom izraza? Oba broja su neparna, pa se ne možete podijeliti sa

Možete koristiti znak djeljivosti sa, zbir cifara, i, od kojih se broj sastoji, jednak je i djeljiv je sa, što znači da je djeljiv sa.

Znajući to, možete se sigurno podijeliti u stupac, kao rezultat dijeljenja sa dobijemo (znakovi djeljivosti su nam dobro došli!). Dakle, možemo uzeti broj iz zagrade, baš kao y, i kao rezultat imamo:

Da biste bili sigurni da je sve ispravno razloženo, možete provjeriti proširenje množenjem!

Takođe, zajednički faktor se može izvaditi u izrazima za stepen. Evo, na primjer, vidite li zajednički faktor?

Svi članovi ovog izraza imaju x - vadimo, sve dijelimo po - vadimo ponovo, gledamo šta se dogodilo: .

2. Skraćene formule za množenje

Skraćene formule množenja su već spomenute u teoriji, ako se teško možete sjetiti o čemu se radi, trebali biste ih osvježiti u sjećanju.

Pa, ako se smatrate vrlo pametnim i previše ste lijeni da pročitate takav oblak informacija, onda samo čitajte, pogledajte formule i odmah uzmite primjere.

Suština ovog proširenja je uočiti neku definitivnu formulu u izrazu pred sobom, primijeniti je i tako dobiti proizvod nečega i nečega, to je sve razlaganje. Slijede formule:

Sada pokušajte faktorizirati sljedeće izraze koristeći gornje formule:

A evo šta je trebalo da se desi:

Kao što ste primijetili, ove formule su vrlo efikasan način faktoringa, nije uvijek prikladan, ali može biti vrlo koristan!

3. Grupisanje ili metod grupisanja

Evo još jednog primjera za vas:

Pa, šta ćeš s tim? Čini se da je djeljivo na i na nešto, a nešto na i na

Ali ne možete sve zajedno podijeliti u jednu stvar, dobro ne postoji zajednički faktor, kako ne tražiti šta, a ostaviti bez faktoringa?

Ovdje treba pokazati domišljatost, a naziv ove genijalnosti je grupisanje!

Koristi se samo kada svi članovi nemaju zajedničke djelitelje. Za grupisanje vam je potrebno pronaći grupe pojmova koji imaju zajedničke djelitelje i preuredite ih tako da se iz svake grupe može dobiti isti množitelj.

Naravno, nije potrebno preuređivati ​​na mjestima, ali to daje vidljivost, radi jasnoće možete uzeti pojedine dijelove izraza u zagrade, nije zabranjeno stavljati ih koliko god želite, glavna stvar je da ne zbuniti znakove.

Sve ovo nije jasno? Dozvolite mi da objasnim na primjeru:

U polinomu - stavite član - nakon člana - dobijamo

grupiramo prva dva člana zajedno u posebnu zagradu i grupišemo treći i četvrti član na isti način, ostavljajući znak minus izvan zagrade, dobijamo:

A sada gledamo posebno svaku od dvije "gomile" u koje smo izraz razbili zagradama.

Trik je u tome da se razbije na takve hrpe iz kojih će biti moguće izvaditi najveći mogući faktor, ili, kao u ovom primjeru, pokušati grupirati članove tako da nakon vađenja faktora iz zagrada iz hrpa, imaju iste izraze unutar zagrada.

Iz obe zagrade vadimo zajedničke faktore članova, iz prve zagrade, a iz druge zagrade dobijamo:

Ali to nije raspadanje!

Pmagarac dekompozicija treba da ostane samo množenje, ali za sada imamo polinom jednostavno podijeljen na dva dijela ...

ALI! Ovaj polinom ima zajednički faktor. to

izvan zagrade i dobijamo konačni proizvod

Bingo! Kao što vidite, proizvod već postoji i van zagrada nema ni sabiranja ni oduzimanja, dekompozicija je završena, jer nemamo više šta da izvadimo iz zagrada.

Može izgledati kao čudo da nakon uzimanja faktora iz zagrada imamo i dalje iste izraze u zagradama, koje smo, opet, izvukli iz zagrada.

I nije to nikakvo čudo, činjenica je da su primjeri u udžbenicima i na ispitu posebno napravljeni na način da većina izraza u zadacima za pojednostavljenje ili faktorizacija uz pravi pristup njima, lako se pojednostavljuju i naglo se srušavaju kao kišobran kada pritisnete dugme, pa potražite baš to dugme u svakom izrazu.

Nešto što sam skrenuo, šta mi tu imamo sa pojednostavljenjem? Složeni polinom je dobio jednostavniji oblik: .

Slažete se, nije tako glomazan kao što je bio?

4. Odabir punog kvadrata.

Ponekad je za primjenu formula za skraćeno množenje (ponoviti temu) potrebno transformirati postojeći polinom, predstavljajući jedan od njegovih pojmova kao zbir ili razliku dva člana.

U kom slučaju to morate učiniti, naučit ćete iz primjera:

Polinom u ovom obliku ne može se razložiti korištenjem skraćenih formula za množenje, pa se mora pretvoriti. Možda vam u početku neće biti jasno na koji pojam podijeliti, ali s vremenom ćete naučiti da odmah vidite skraćene formule množenja, čak i ako nisu u cijelosti, i brzo ćete utvrditi šta ovdje nedostaje na punu formulu, ali za sada - uči, student, tačnije školarac.

Za punu formulu kvadrata razlike, ovdje vam je potrebno. Predstavimo treći član kao razliku, dobijamo: Možemo primijeniti formulu kvadrata razlike na izraz u zagradama (ne brkati s razlikom kvadrata!!!), imamo: , na ovaj izraz možemo primijeniti formulu za razliku kvadrata (ne treba se brkati sa razlikom na kvadrat!!!), zamišljajući kako, dobijamo: .

Izraz koji nije uvijek faktoriziran izgleda jednostavnije i manje nego što je bio prije dekompozicije, ali u ovom obliku postaje pokretljiviji, u smislu da ne možete brinuti o promjeni znakova i drugim matematičkim glupostima. Pa, da biste sami odlučili, sljedeće izraze treba rastaviti.

primjeri:

Odgovori:​

5. Faktorizacija kvadratnog trinoma

Za faktorizaciju kvadratnog trinoma, pogledajte dolje u primjerima dekompozicije.

Primjeri 5 metoda za faktoriranje polinoma

1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Primjeri.

Sjećate li se šta je distributivni zakon? Ovo je takvo pravilo:

primjer:

Faktorizirajte polinom.

Rješenje:

Drugi primjer:

Pomnožite.

Rješenje:

Ako se cijeli pojam izvadi iz zagrada, umjesto njega jedan ostaje u zagradi!

2. Formule za skraćeno množenje. Primjeri.

Najčešće korištene formule su razlika kvadrata, razlika kocki i zbroj kocki. Sjećate se ovih formula? Ako ne, hitno ponovite temu!

primjer:

Faktor izraza.

Rješenje:

U ovom izrazu lako je saznati razliku kocki:

primjer:

Rješenje:

3. Metoda grupisanja. Primjeri

Ponekad je moguće zamijeniti termine na način da se iz svakog para susjednih članova može izdvojiti jedan te isti faktor. Ovaj zajednički faktor se može izvaditi iz zagrade i originalni polinom će se pretvoriti u proizvod.

primjer:

Odvojite polinom.

Rješenje:

Grupiramo termine na sljedeći način:
.

U prvoj grupi izvlačimo zajednički faktor iz zagrada, au drugoj - :
.

Sada se i zajednički faktor može izvući iz zagrada:
.

4. Metoda odabira punog kvadrata. Primjeri.

Ako se polinom može predstaviti kao razlika kvadrata dva izraza, ostaje samo da se primeni skraćena formula za množenje (razlika kvadrata).

primjer:

Odvojite polinom.

Rješenje:primjer:

\begin(niz)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(kvadrat\ sume\ ((\lijevo (x+3 \desno))^(2)))-9-7=((\levo(x+3 \desno))^(2))-16= \\
=\levo(x+3+4 \desno)\levo(x+3-4 \desno)=\levo(x+7 \desno)\levo(x-1 \desno) \\
\end (niz)

Odvojite polinom.

Rješenje:

\begin(niz)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kvadrat\ razlike((\left(((x)^(2))-2 \desno))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \desno))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \desno)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \desno) \\
\end (niz)

5. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Primjer.

Kvadratni trinom je polinom oblika, gdje je nepoznata, štoviše, neki brojevi.

Vrijednosti varijable koje pretvaraju kvadratni trinom na nulu nazivaju se korijeni trinoma. Stoga su korijeni trinoma korijeni kvadratne jednadžbe.

Teorema.

primjer:

Razložimo kvadratni trinom na faktore: .

Prvo, rješavamo kvadratnu jednačinu: Sada možemo zapisati faktorizaciju ovog kvadratnog trinoma u faktore:

E sad tvoje misljenje...

Detaljno smo opisali kako i zašto faktorizirati polinom.

Naveli smo puno primjera kako se to radi u praksi, ukazali na zamke, dali rješenja...

Šta kažeš?

Kako vam se sviđa ovaj članak? Koristite li ove trikove? Da li razumete njihovu suštinu?

Pišite u komentare i... spremite se za ispit!

Do sada ti je to najvažnija stvar u životu.

Za faktorizaciju polinoma koristili smo zagrade, grupiranje i skraćene formule za množenje. Ponekad je moguće faktorizirati polinom primjenom nekoliko metoda uzastopno. U ovom slučaju, transformaciju treba, ako je moguće, započeti vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada.

Primjer 1 Hajde da faktorizujemo polinom 10a 3 - 40a.

Rješenje:Članovi ovog polinoma imaju zajednički faktor 10a. Izvadimo ovaj faktor iz zagrada:

10a 3 - 40a \u003d 10a (a 2 - 4).

Faktorizacija se može nastaviti primjenom formule razlike kvadrata na izraz a 2 - 4. Kao rezultat, dobijamo polinome nižih stepeni kao faktore.

10a (a 2 - 4) \u003d 10a (a + 2) (a - 2).

10a 3 - 40a \u003d 10a (a + 2) (a - 2).

Primjer 2 Faktorovanje polinoma

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - Zb 2 y.

Rješenje: Prvo izvlačimo zajednički faktor b2 iz zagrada:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Pokušajmo sada da faktoriziramo polinom

ab - 3b + ay - 3g.

Grupisanjem prvog člana sa drugim i trećeg sa četvrtim, imamo

ab - 3b + ay - Zu \u003d b (a - 3) + y (a - 3) = (a - 3) (b + y).

Konačno dobijamo

ab 3 - Zb 3 + ab 2 y - Zb 2 y \u003d b 2 (a - 3) (b + y).

Primjer 3 Razložimo polinom a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

Rješenje: Grupirajmo prvi, drugi i četvrti član polinoma. Dobijamo trinom a 2 - 4ax + 4x 2, koji se može predstaviti kao kvadrat razlike. Zbog toga

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (a 2 - 4ax + 4x 2) - 9 = (a - 2x) 2 - 9.

Rezultirajući izraz može se razložiti pomoću formule razlike kvadrata:

(a - 2x) 2 - 9 = (a - 2x) 2 - Z 2 = (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

shodno tome,

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Imajte na umu da pri faktorizaciji polinoma mislimo na njegovu reprezentaciju kao proizvod više polinoma, u kojima su najmanje dva faktora polinomi različitog od nule stepena (odnosno, nisu brojevi).

Ne može se svaki polinom faktorizirati. Na primjer, nemoguće je razložiti polinome x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1, itd.

Pogledajmo primjer korištenja faktorizacije za pojednostavljenje izračuna pomoću kalkulatora.

Primjer 4 Koristeći kalkulator, naći ćemo vrijednost polinoma bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 za x = 1,2.

Rješenje: Ako radnje izvodite prihvaćenim redoslijedom, tada prvo morate pronaći vrijednosti izraza x 3 5, x 2 2 i 7x, zapisati rezultate na papir ili ih unijeti u memoriju kalkulatora, a zatim nastavite sa sabiranjem i oduzimanjem. Međutim, željeni rezultat može se postići mnogo lakše ako se dati polinom transformira na sljedeći način:

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 = (5x 2 + 2x - 7)x + 4 = ((5x + 2)x - 7)x + 4.

Nakon proračuna za x = 1,2, nalazimo da je vrijednost polinoma 7,12.

Vježbe

Kontrolna pitanja i zadaci

1. Navedite primjer cjelobrojnog izraza i izraza koji nije cijeli broj.
2. Koje radnje se moraju izvršiti i kojim redoslijedom predstaviti cijeli izraz 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4) (x + 4) kao polinom?
3. Koje metode faktoringa polinoma poznajete?