X 7 rješenje. Rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

U ovom videu ćemo analizirati cijeli set linearne jednačine, koji se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:

1. Proširite zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj, kada je to moguće, jednačina se svodi na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Zatim kombinirajte slično
3. Konačno, izolirajte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, od samog jednostavni zadaci.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova šema ne funkcionira uvijek u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične pojmove predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekih sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Ovdje ima nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje - ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali, ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste učinili nešto pogrešno.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ovoga jednostavna činjenicaće vam omogućiti da izbjegnete glupe i uvredljive greške u srednjoj školi, kada se takve radnje uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednačine. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekih sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekih sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenje, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednadžbe, od kojih obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva člana - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Nećete više morati da izvodite toliko transformacija svaki put; Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekih sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

1. Otvorite zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slične.
4. Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije prve akcije i nakon nje, naime, riješiti se razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorite zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slične.
5. Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne tačke

Ključni nalazi su:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brini ako vidiš kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
• Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Ostanite sa nama, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

Uputstva. Za online rješenja potrebno je odabrati vrstu jednačine i postaviti dimenziju odgovarajućih matrica.

Primjer br. 1. Vježbajte. Pronađite rješenje matrične jednadžbe
Rješenje. Označimo:
Tada će se matrična jednačina napisati u obliku: A·X·B = C.
Determinanta matrice A je jednaka detA=-1
Pošto je A nesingularna matrica, postoji inverzna matrica A -1. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani sa A -1: Pomnožite obje strane ove jednačine na lijevoj strani sa A -1 i na desnoj strani sa B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Kako je A A -1 = B B -1 = E i E X = X E = X, onda je X = A -1 C B -1

Inverzna matrica A-1:
Nađimo inverznu matricu B -1.
Transponovana matrica B T:
Inverzna matrica B -1:
Tražimo matricu X koristeći formulu: X = A -1 ·C·B -1

odgovor:

Primjer br. 2. Vježbajte. Riješite matričnu jednačinu
Rješenje. Označimo:
Tada će se matrična jednačina napisati u obliku: A·X = B.
Determinanta matrice A je detA=0
Kako je A singularna matrica (determinanta je 0), jednadžba nema rješenja.

Primjer br. 3. Vježbajte. Pronađite rješenje matrične jednadžbe
Rješenje. Označimo:
Tada će se matrična jednačina napisati u obliku: X A = B.
Determinanta matrice A je detA=-60
Pošto je A nesingularna matrica, postoji inverzna matrica A -1. Pomnožimo obje strane jednačine na desnoj strani sa A -1: X A A -1 = B A -1, odakle nalazimo da je X = B A -1
Nađimo inverznu matricu A -1.
Transponovana matrica A T:
Inverzna matrica A -1:
Tražimo matricu X koristeći formulu: X = B A -1


Odgovor: >

Besplatni kalkulator koji vam predstavljamo ima bogat arsenal mogućnosti za matematičke proračune. Omogućava vam korištenje online kalkulatora raznim poljima aktivnosti: obrazovni, profesionalni I komercijalni. Naravno, korištenje online kalkulatora je posebno popularno među studenti I školska djeca, to im znatno olakšava izvođenje raznih proračuna.

Međutim, kalkulator može postati koristan alat u nekim područjima poslovanja i za ljude različite profesije. Naravno, potreba za korištenjem kalkulatora u poslovanju ili radna aktivnost determinisan prvenstveno samom vrstom aktivnosti. Ako su vaš posao i profesija povezani sa stalnim proračunima i proračunima, onda je vrijedno isprobati elektronski kalkulator i procijeniti stupanj njegove korisnosti za određeni zadatak.

Ovaj online kalkulator može

• Ispravno izvoditi standard matematičke funkcije, napisano u jednom redu kao - 12*3-(7/2) i može obraditi brojeve veće nego što možemo izbrojati ogromne brojeve u online kalkulatoru. Ne znamo ni kako da ispravno nazovemo takav broj (. ima 34 karaktera i to uopće nije ograničenje).
• Osim tangenta, kosinus, sine i druge standardne funkcije - kalkulator podržava računske operacije arktangent, arkkotangens i drugi.
• Dostupno u Arsenalu logaritmi, faktorijali i druge zanimljive karakteristike
• Ovaj online kalkulator zna da pravi grafikone!!!

Za iscrtavanje grafikona, servis koristi posebno dugme (grafikon je nacrtan sivom bojom) ili slovni prikaz ove funkcije (Plot). Da biste napravili graf u online kalkulatoru, samo napišite funkciju: plot(tan(x)),x=-360..360.

Uzeli smo najjednostavniji graf za tangentu, a nakon decimalnog zareza naznačili smo raspon varijable X od -360 do 360.

Možete izgraditi apsolutno bilo koju funkciju, s bilo kojim brojem varijabli, na primjer ovu: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) ili još složenije koje možete smisliti. Obratite pažnju na ponašanje varijable X - interval od i do označen je pomoću dvije tačke.

Jedina negativna (iako je to teško nazvati nedostatkom) ovoga online kalkulator to je da on ne zna da gradi sfere i druge trodimenzionalne figure - samo ravan.

Kako koristiti matematički kalkulator

1. Displej (ekran kalkulatora) prikazuje uneseni izraz i rezultat njegovog izračunavanja u običnim simbolima, kako pišemo na papiru. Ovo polje je jednostavno za pregled trenutne transakcije. Unos se pojavljuje na ekranu dok upisujete matematički izraz u liniju za unos.

2. Polje za unos izraza je namijenjeno za snimanje izraza koji treba izračunati. Ovdje treba napomenuti da su matematički simboli korišteni u kompjuterski programi, ne poklapaju se uvijek s onima koje obično koristimo na papiru. U pregledu svake funkcije kalkulatora pronaći ćete ispravnu oznaku za određenu operaciju i primjere izračunavanja u kalkulatoru. Na ovoj stranici ispod je lista svih mogućih operacija u kalkulatoru, uz naznaku njihovog ispravnog pravopisa.

3. Traka sa alatkama - ovo su dugmad kalkulatora koja zamjenjuju ručni unos matematičkih simbola, što označava odgovarajuću operaciju. Neki tasteri kalkulatora (dodatne funkcije, pretvarač jedinica, rešavanje matrica i jednačina, grafikoni) dopunjuju traku zadataka novim poljima u koja se unose podaci za određeni proračun. Polje "Historija" sadrži primjere pisanja matematičkih izraza, kao i vaših šest najnovijih unosa.

Imajte na umu da kada pritisnete dugmad za pozivanje dodatnih funkcija, pretvaranje količina, rješavanje matrica i jednačina i crtanje grafikona, cijeli panel kalkulatora se pomiče prema gore, pokrivajući dio ekrana. Popunite tražena polja i pritisnite tipku "I" (označeno crvenom bojom na slici) da biste vidjeli prikaz u punoj veličini.

4. Numerička tastatura sadrži brojeve i aritmetičke simbole. Dugme "C" briše cijeli unos u polju za unos izraza. Da biste izbrisali znakove jedan po jedan, trebate koristiti strelicu desno od linije za unos.

Pokušajte uvijek zatvoriti zagrade na kraju izraza. Za većinu operacija to nije kritično, online kalkulator će sve ispravno izračunati. Međutim, u nekim slučajevima može doći do grešaka. Na primjer, kada se podiže na razlomak, nezatvorene zagrade će uzrokovati da nazivnik razlomka u eksponentu pređe u nazivnik baze. Zatvarač je prikazan blijedo sivom bojom na ekranu i trebao bi biti zatvoren kada se snimanje završi.

I. sjekira 2 =0 – nepotpuna kvadratna jednačina (b=0, c=0 ). Rješenje: x=0. Odgovor: 0.

Riješite jednačine.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Rješenje. Otvorimo zagrade množenjem 2x za svaki pojam u zagradi:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Pomičemo pojmove s desne strane na lijevu:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Evo sličnih pojmova:

3x 2 =0, dakle x=0.

odgovor: 0.

II. ax 2 +bx=0 –nepotpuna kvadratna jednačina (c=0 ). Rješenje: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ili ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odgovor: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Rješenje. Izdvojimo zajednički faktor X van zagrada:

x(5x-26)=0; svaki faktor može biti jednak nuli:

x=0 ili 5x-26=0→ 5x=26, podijelite obje strane jednakosti sa 5 i dobijamo: x=5.2.

odgovor: 0; 5,2.

Primjer 3. 64x+4x 2 =0.

Rješenje. Izdvojimo zajednički faktor 4x van zagrada:

4x(16+x)=0. Imamo tri faktora, 4≠0, dakle, ili x=0 ili 16+x=0. Iz posljednje jednakosti dobijamo x=-16.

odgovor: -16; 0.

Primjer 4.(x-3) 2 +5x=9.

Rješenje. Primjenjujući formulu za kvadrat razlike dva izraza, otvorit ćemo zagrade:

x 2 -6x+9+5x=9; transformirati u oblik: x 2 -6x+9+5x-9=0; Predstavimo slične pojmove:

x 2 -x=0; mi ćemo ga izvaditi X izvan zagrada dobijamo: x (x-1)=0. Odavde ili x=0 ili x-1=0→ x=1.

odgovor: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –nepotpuna kvadratna jednačina (b=0 ); Rješenje: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Ako (-c/a)<0 , onda nema pravih korijena. Ako (-s/a)>0

Primjer 5. x 2 -49=0.

Rješenje.

x 2 =49, odavde x=±7. odgovor:-7; 7.

Primjer 6. 9x 2 -4=0.

Rješenje.

Često morate pronaći zbir kvadrata (x 1 2 +x 2 2) ili zbir kocki (x 1 3 +x 2 3) korijena kvadratne jednadžbe, rjeđe - zbir recipročnih vrijednosti ​kvadrata korijena ili sume aritmetike kvadratni korijeni iz korijena kvadratne jednadžbe:

Vietina teorema može pomoći u tome:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Hajde da se izrazimo kroz str I q:

1) zbir kvadrata korijena jednadžbe x 2 +px+q=0;

2) zbir kubnih korijena jednadžbe x 2 +px+q=0.

Rješenje.

1) Izraz x 1 2 +x 2 2 dobijeno kvadriranjem obe strane jednačine x 1 + x 2 = -p;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; otvorite zagrade: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; potrebnu količinu izražavamo: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Dobili smo korisnu jednakost: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Izraz x 1 3 +x 2 3 Predstavimo zbir kocki koristeći formulu:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Još jedna korisna jednačina: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Primjeri.

3) x 2 -3x-4=0. Bez rješavanja jednačine, izračunajte vrijednost izraza x 1 2 +x 2 2.

Rješenje.

x 1 +x 2 =-p=3, i rad x 1 ∙x 2 =q=u primjeru 1) jednakost:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Imamo -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Onda x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

odgovor: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Izračunaj: x 1 3 +x 2 3 .

Rješenje.

Prema Vietinom teoremu, zbir korijena ove redukovane kvadratne jednadžbe je x 1 +x 2 =-p=2, i rad x 1 ∙x 2 =q=-4. Primijenimo ono što smo dobili ( u primjeru 2) jednakost: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

odgovor: x 1 3 +x 2 3 =32.

Pitanje: šta ako nam je data neredukovana kvadratna jednačina? Odgovor: uvijek se može „smanjiti“ dijeljenjem pojma po član sa prvim koeficijentom.

5) 2x 2 -5x-7=0. Bez odlučivanja, izračunajte: x 1 2 +x 2 2.

Rješenje. Dobili smo kompletnu kvadratnu jednačinu. Podijelite obje strane jednakosti sa 2 (prvi koeficijent) i dobijete sljedeću kvadratnu jednačinu: x 2 -2,5x-3,5=0.

Prema Vietinoj teoremi, zbir korijena je jednak 2,5 ; proizvod korijena je jednak -3,5 .

Rješavamo ga na isti način kao u primjeru 3) koristeći jednakost: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

odgovor: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Pronađite:

Transformirajmo ovu jednakost i, koristeći Vietin teorem, zamijenimo zbir korijena kroz -p, i proizvod korijena kroz q, dobijamo još jednu korisnu formulu. Prilikom izvođenja formule koristili smo jednakost 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

U našem primjeru x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Ove vrijednosti zamjenjujemo u rezultirajuću formulu:

7) x 2 -13x+36=0. Pronađite:

Transformirajmo ovaj zbir i dobijemo formulu koja se može koristiti za pronalaženje sume aritmetičkih kvadratnih korijena iz korijena kvadratne jednadžbe.

Imamo x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Ove vrijednosti zamjenjujemo u rezultirajuću formulu:

Savjet : Uvijek provjerite mogućnost pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe pomoću odgovarajuće metode, jer 4 recenzirano korisne formule omogućavaju vam da brzo završite zadatak, posebno u slučajevima kada je diskriminant „nezgodan“ broj. U svim jednostavnim slučajevima pronađite korijene i operirajte ih. Na primjer, u posljednjem primjeru biramo korijene koristeći Vietin teorem: zbir korijena trebao bi biti jednak 13 , i proizvod korijena 36 . Koji su to brojevi? svakako, 4 i 9. Sada izračunajte zbir kvadratnih korijena ovih brojeva: 2+3=5. To je to!

I. Vietina teorema za redukovanu kvadratnu jednačinu.

Zbir korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Pronađite korijene date kvadratne jednadžbe koristeći Vietin teorem.

Primjer 1) x 2 -x-30=0. Ovo je redukovana kvadratna jednadžba ( x 2 +px+q=0), drugi koeficijent p=-1, i besplatni član q=-30. Prvo, uvjerimo se da ova jednadžba ima korijene i da će korijeni (ako ih ima) biti izraženi cijelim brojevima. Da biste to učinili, dovoljno je da diskriminanta bude savršen kvadrat cijelog broja.

Pronalaženje diskriminanta D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Sada, prema Vietinoj teoremi, zbir korijena mora biti jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, tj. ( -p), a proizvod je jednak slobodnom članu, tj. ( q). onda:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Moramo izabrati dva broja tako da im je proizvod jednak -30 , a iznos je jedinica. Ovo su brojevi -5 I 6 . Odgovor: -5; 6.

Primjer 2) x 2 +6x+8=0. Imamo redukovanu kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom p=6 i besplatan član q=8. Uvjerimo se da postoje cjelobrojni korijeni. Hajde da nađemo diskriminanta D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je savršen kvadrat broja 1 , što znači da su korijeni ove jednadžbe cijeli brojevi. Odaberimo korijene koristeći Vietin teorem: zbir korijena je jednak –r=-6, a proizvod korijena je jednak q=8. Ovo su brojevi -4 I -2 .

U stvari: -4-2=-6=-r; -4∙(-2)=8=q. Odgovor: -4; -2.

Primjer 3) x 2 +2x-4=0. U ovoj redukovanoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent je p=2, i besplatni član q=-4. Hajde da nađemo diskriminanta D 1, pošto je drugi koeficijent paran broj. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nije savršen kvadrat broja, tako da to činimo zaključak: Korijeni ove jednadžbe nisu cijeli brojevi i ne mogu se pronaći pomoću Vietine teoreme. To znači da ovu jednačinu rješavamo, kao i obično, pomoću formula (u ovom slučaju pomoću formula). dobijamo:

Primjer 4). Napišite kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene if x 1 =-7, x 2 =4.

Rješenje. Tražena jednačina će biti napisana u obliku: x 2 +px+q=0, i na osnovu Vietine teoreme –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Tada će jednačina poprimiti oblik: x 2 +3x-28=0.

Primjer 5). Napišite kvadratnu jednačinu koristeći njene korijene ako:

II. Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0.

Zbir korijena je minus b, podijeljeno sa A, proizvod korijena je jednak With, podijeljeno sa O:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Primjer 6). Nađi zbir korijena kvadratne jednadžbe 2x 2 -7x-11=0.

Rješenje.

Uvjeravamo se da će ova jednadžba imati korijen. Da biste to učinili, dovoljno je kreirati izraz za diskriminanta i, bez njegovog izračunavanja, samo provjeriti da li je diskriminanta veći od nule. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Ajmo sada da koristimo teorema Vieta za potpune kvadratne jednadžbe.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Primjer 7). Pronađite proizvod korijena kvadratne jednadžbe 3x 2 +8x-21=0.

Rješenje.

Hajde da nađemo diskriminanta D 1, budući da je drugi koeficijent ( 8 ) je paran broj. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratna jednačina ima 2 korijen, prema Vietinoj teoremi, proizvod korijena x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– opšta kvadratna jednačina

Diskriminantno D=b 2 - 4ac.

Ako D>0, tada imamo dva prava korijena:

Ako D=0, tada imamo jedan korijen (ili dva jednaka korijena) x=-b/(2a).

Ako je D<0, то действительных корней нет.

Primjer 1) 2x 2 +5x-3=0.

Rješenje. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 prava korena.

4x 2 +21x+5=0.

Rješenje. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 prava korena.

II. ax 2 +bx+c=0 – kvadratna jednadžba određenog oblika sa parnom drugom

koeficijent b

Primjer 3) 3x 2 -10x+3=0.

Rješenje. a=3; b=-10 (parni broj); c=3.

primjer 4) 5x 2 -14x-3=0.

Rješenje. a=5; b= -14 (parni broj); c=-3.

primjer 5) 71x 2 +144x+4=0.

Rješenje. a=71; b=144 (parni broj); c=4.

Primjer 6) 9x 2 -30x+25=0.

Rješenje. a=9; b=-30 (parni broj); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – kvadratna jednačina privatni tip obezbeđen: a-b+c=0.

Prvi korijen je uvijek jednak minus jedan, a drugi korijen je uvijek jednak minus With, podijeljeno sa A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Primjer 7) 2x 2 +9x+7=0.

Rješenje. a=2; b=9; c=7. Provjerimo jednakost: a-b+c=0. dobijamo: 2-9+7=0 .

Onda x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. odgovor: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – kvadratna jednačina određenog oblika koji podliježe : a+b+c=0.

Prvi korijen je uvijek jednak jedan, a drugi korijen jednak With, podijeljeno sa A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Primjer 8) 2x 2 -9x+7=0.

Rješenje. a=2; b=-9; c=7. Provjerimo jednakost: a+b+c=0. dobijamo: 2-9+7=0 .

Onda x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. odgovor: 1; 3,5.

Stranica 1 od 1 1

1. Rješavanje sistema metodom zamjene.
2. Rješavanje sistema sabiranjem (oduzimanjem) sistemskih jednačina po članu.

Da bi se riješio sistem jednačina metodom supstitucije morate slijediti jednostavan algoritam:
1. Express. Iz bilo koje jednačine izražavamo jednu varijablu.
2. Zamjena. Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu umjesto izražene varijable.
3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom. Pronalazimo rješenje za sistem.

Odlučiti sistem metodom sabiranja (oduzimanja) pojam treba:
1. Odaberite varijablu za koju ćemo napraviti identične koeficijente.
2. Sabiramo ili oduzimamo jednačine, što rezultira jednačinom s jednom promjenljivom.
3. Riješite rezultirajuću linearnu jednačinu. Pronalazimo rješenje za sistem.

Rješenje sistema su tačke preseka grafova funkcija.

Razmotrimo detaljno rješenja sistema na primjerima.

Primjer #1:

Rešimo metodom zamene

2x+5y=1 (1 jednadžba)
x-10y=3 (2. jednadžba)

1. Express
Vidi se da u drugoj jednačini postoji varijabla x sa koeficijentom 1, što znači da je varijablu x najlakše izraziti iz druge jednačine.
x=3+10y

2. Nakon što smo to izrazili, zamjenjujemo 3+10y u prvu jednačinu umjesto varijable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Riješi rezultirajuću jednačinu s jednom promjenljivom.
2(3+10y)+5y=1 (otvorite zagrade)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25g=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rešenje sistema jednačina su tačke preseka grafova, stoga treba da nađemo x i y, jer se tačka preseka sastoji od x i y, u prvoj tački gde smo to izrazili zamenjujemo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Uobičajeno je da se tačke upisuju na prvom mestu upisivanjem varijable x, a na drugom mestu promenljivom y.
Odgovor: (1; -0,2)

Primjer #2:

Rešimo metodom sabiranja (oduzimanja) pojam.

3x-2y=1 (1 jednadžba)
2x-3y=-10 (2. jednadžba)

1. Biramo varijablu, recimo da biramo x. U prvoj jednačini varijabla x ima koeficijent 3, u drugoj - 2. Moramo učiniti koeficijente istim, za to imamo pravo pomnožiti jednačine ili podijeliti s bilo kojim brojem. Prvu jednačinu pomnožimo sa 2, a drugu sa 3 i dobijemo ukupan koeficijent 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Oduzmite drugu od prve jednačine da biste se riješili varijable x. Riješite linearnu jednačinu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Pronađite x. Pronađeno y zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi, recimo u prvu jednačinu.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Tačka presjeka će biti x=4,6; y=6.4
Odgovor: (4,6; 6,4)

Želite li se besplatno pripremati za ispite? Tutor online besplatno. Bez šale.