1 on annettu kolmion abc kärjen koordinaatit, etsi. Annettu kolmion kärkien koordinaatit

Ongelma 1. Kolmion ABC kärkien koordinaatit on annettu: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Etsi: 1) sivun AB pituus; 2) sivujen AB ja BC yhtälöt ja niiden kulmakertoimet; 3) kulma B radiaaneina kahden numeron tarkkuudella; 4) korkeuden CD ja sen pituuden yhtälö; 5) mediaanin AE yhtälö ja tämän mediaanin ja korkeuden CD leikkauspisteen K koordinaatit; 6) pisteen K kautta kulkevan suoran yhtälö yhdensuuntaisesti sivun AB kanssa; 7) pisteen M koordinaatit, jotka sijaitsevat symmetrisesti pisteen A suhteen suoran CD:n suhteen.

Ratkaisu:

1. Pisteiden A(x 1 ,y 1) ja B(x 2 ,y 2) välinen etäisyys d määritetään kaavalla

Sovellettaessa (1) saadaan sivun AB pituus:

2. Pisteiden A(x 1 ,y 1) ja B(x 2 ,y 2) läpi kulkevan suoran yhtälöllä on muoto

(2)

Korvaamalla pisteiden A ja B koordinaatit kohtaan (2), saadaan sivun AB yhtälö:

Kun olet ratkaissut viimeisen yhtälön y:lle, löydämme sivun AB yhtälön suoran yhtälön muodossa, jossa on kulmakerroin:

missä

Korvaamalla pisteiden B ja C koordinaatit kohtaan (2), saadaan suoran BC yhtälö:

Tai

3. Tiedetään, että kahden suoran välisen kulman tangentti, joiden kulmakertoimet ovat vastaavasti yhtä suuret, lasketaan kaavalla

(3)

Haluttu kulma B muodostuu suorista AB ja BC, joiden kulmakertoimet löytyvät: Sovellettaessa (3) saadaan

Tai iloinen.

4. Tietyn pisteen kautta tiettyyn suuntaan kulkevan suoran yhtälöllä on muoto

(4)

Korkeus CD on kohtisuorassa sivua AB vastaan. Korkeus-CD:n kaltevuuden löytämiseksi käytämme viivojen kohtisuoran ehtoa. Siitä lähtien Korvaamalla (4) pisteen C koordinaatit ja löydetty korkeuskulmakerroin saadaan

Korkeuden CD pituuden selvittämiseksi määritämme ensin pisteen D koordinaatit - suorien AB ja CD leikkauspisteen. Järjestelmän ratkaiseminen yhdessä:

löydämme nuo. D(8;0).

Kaavan (1) avulla löydämme korkeus-CD:n pituuden:

5. Mediaani-AE:n yhtälön löytämiseksi määritämme ensin pisteen E koordinaatit, joka on sivun BC keskipiste, käyttämällä kaavoja, joilla jana jaetaan kahteen yhtä suureen osaan:

(5)

Siten,

Korvaamalla pisteiden A ja E koordinaatit kohtaan (2), löydämme mediaanin yhtälön:

Korkeuden CD ja mediaanin AE leikkauspisteen koordinaatit löytämiseksi ratkaisemme yhdessä yhtälöjärjestelmän

Löydämme.

6. Koska haluttu suora on yhdensuuntainen sivun AB kanssa, sen kulmakerroin on yhtä suuri kuin suoran AB kulmakerroin. Korvaamalla (4) löydetyn pisteen K koordinaatit ja kulmakerroin saadaan

3x + 4v – 49 = 0 (KF)

7. Koska suora AB on kohtisuorassa suoraa CD vastaan, on suoralla AB:llä haluttu piste M, joka sijaitsee symmetrisesti pisteeseen A suhteessa suoraan CD. Lisäksi piste D on janan AM keskipiste. Kaavojen (5) avulla löydämme halutun pisteen M koordinaatit:

Kolmio ABC, korkeus CD, mediaani AE, suora KF ja piste M on muodostettu xOy-koordinaatistossa kuvassa 2. 1.

Tehtävä 2. Luo yhtälö niiden pisteiden paikalle, joiden etäisyydet tiettyyn pisteeseen A(4; 0) ja tiettyyn suoraan x=1 ovat yhtä suuret kuin 2.

Ratkaisu:

Koordinaattijärjestelmässä xOy muodostetaan piste A(4;0) ja suora x = 1. Olkoon M(x;y) mielivaltainen piste halutusta geometrisesta pisteen sijainnista. Lasketaan kohtisuora MB annettuun suoraan x = 1 ja määritetään pisteen B koordinaatit. Koska piste B sijaitsee annetulla suoralla, sen abskissa on yhtä suuri kuin 1. Pisteen B ordinaatti on yhtä suuri kuin pisteen M ordinaatit Siksi B(1;y) (kuvio 2).

Tehtävän ehtojen mukaan |MA|: |MV| = 2. Etäisyydet |MA| ja |MB| löydämme tehtävän 1 kaavasta (1):

Neliöimällä vasemman ja oikean puolen saamme

tai

Tuloksena oleva yhtälö on hyperboli, jossa todellinen puoliakseli on a = 2 ja kuvitteellinen puoliakseli on

Määritellään hyperbelin polttopisteet. Hyperbolalle yhtäläisyys täyttyy, joten ja – hyperbolitemppuja. Kuten näet, annettu piste A(4;0) on hyperbelin oikea fokus.

Määritetään tuloksena olevan hyperbolin epäkeskisyys:

Hyperbola-asymptoottien yhtälöillä on muoto ja . Siksi tai ja ovat hyperbolan asymptootteja. Ennen hyperbelin rakentamista rakennamme sen asymptootit.

Ongelma 3. Muodosta yhtälö pisteestä A(4; 3) yhtä kaukana olevien pisteiden paikasta ja suorasta y = 1. Pelistä saatu yhtälö yksinkertaisimpaan muotoonsa.

Ratkaisu: Olkoon M(x; y) yksi halutun geometrisen pisteen pisteistä. Pudotetaan kohtisuora MB pisteestä M tälle suoralle y = 1 (kuva 3). Määritetään pisteen B koordinaatit. On selvää, että pisteen B abskissa on yhtä suuri kuin pisteen M abskissa ja pisteen B ordinaatta on yhtä suuri kuin 1, eli B(x; 1). Tehtävän ehtojen mukaan |MA|=|MV|. Näin ollen mille tahansa pisteelle M(x;y), joka kuuluu haluttuun geometriseen pisteen paikkaan, seuraava yhtälö on tosi:

Tuloksena oleva yhtälö määrittelee paraabelin, jonka kärkipiste on pisteessä. Paraabeliyhtälön saattamiseksi yksinkertaisimpaan muotoonsa asetetaan ja y + 2 = Y, jolloin paraabeliyhtälö saa muodon:

Esimerkki joidenkin tehtävien ratkaisemisesta vakiotyöstä "Analyyttinen geometria tasossa"

Huiput on annettu,
,
kolmio ABC. Löytö:

Kolmion kaikkien sivujen yhtälöt;

Kolmion määrittelevä lineaarinen epäyhtälöjärjestelmä ABC;

Kolmion korkeus-, mediaani- ja puolittajayhtälöt, jotka on vedetty kärjestä A;

Kolmion korkeuksien leikkauspiste;

Kolmion mediaanien leikkauspiste;

Korkeuden pituus alaspäin sivuun AB;

Kulma A;

Tee piirustus.

Olkoon kolmion huipuilla koordinaatit: A (1; 4), SISÄÄN (5; 3), KANSSA(3; 6). Piirretään piirustus heti:

1. Kolmion kaikkien sivujen yhtälöiden kirjoittamiseen käytetään yhtälöä suorasta, joka kulkee kahden koordinaatin ( x 0 , y 0 ) ja ( x 1 , y 1 ):

=

Siten korvaamalla sen sijaan ( x 0 , y 0 ) pisteen koordinaatit A, ja sen sijaan ( x 1 , y 1 ) pisteen koordinaatit SISÄÄN, saamme suoran yhtälön AB:

Tuloksena oleva yhtälö on suoran yhtälö AB, kirjoitettu sisään yleinen muoto. Samalla tavalla löydämme suoran yhtälön AC:

Ja myös suoran yhtälö Aurinko:

2. Huomaa, että kolmion pisteiden joukko ABC edustaa kolmen puolitason leikkauskohtaa, ja jokainen puolitaso voidaan määritellä lineaarisen epäyhtälön avulla. Jos otetaan jommankumman puolen yhtälö ∆ ABC, Esimerkiksi AB, sitten eriarvoisuudet

Ja

määrittää pisteet, jotka sijaitsevat suoran vastakkaisilla puolilla AB. Meidän on valittava puolitaso, jossa piste C sijaitsee. Korvataan sen koordinaatit molemmilla epäyhtälöillä:

Toinen epäyhtälö on oikea, mikä tarkoittaa, että vaaditut pisteet määrää epäyhtälö

.

Teemme saman suoran BC:n yhtälön kanssa
. Käytämme pistettä A (1, 1) testipisteenä:

Tämä tarkoittaa, että vaaditulla epätasa-arvolla on muoto:

.

Jos tarkistamme suoran AC (testipiste B), saamme:

Tämä tarkoittaa, että vaadittavalla epätasa-arvolla on muoto

Lopulta saamme epätasa-arvojärjestelmän:

Merkit “≤”, “≥” tarkoittavat, että kolmion sivuilla olevat pisteet sisältyvät myös pisteiden joukkoon, jotka muodostavat kolmion ABC.

3. a) Löytääkseen kärjestä pudonneen korkeuden yhtälön A sivulle Aurinko, harkitse sivun yhtälöä Aurinko:
. Vektori koordinaatteineen
kohtisuoraan sivuun nähden Aurinko ja siksi yhdensuuntainen korkeuden kanssa. Kirjataan pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö A yhdensuuntainen vektorin kanssa
:

Tämä on yhtälö korkeudelle, joka on jätetty pois t:stä. A sivulle Aurinko.

b) Etsi sivun keskikohdan koordinaatit Aurinko kaavojen mukaan:

Tässä
– nämä ovat t:n koordinaatit. SISÄÄN, A
– koordinaatit t. KANSSA. Korvaamme ja hankimme:

Tämän pisteen ja pisteen kautta kulkeva suora viiva A on vaadittu mediaani:

c) Etsimme puolittajan yhtälöä sen perusteella, että tasakylkisessä kolmiossa yhdestä kärjestä kolmion kantaan laskeutuva korkeus, mediaani ja puolittaja ovat yhtä suuret. Etsitään kaksi vektoria
Ja
ja niiden pituudet:

Sitten vektori
on sama suunta kuin vektorilla
, ja sen pituus
Samoin yksikkövektori
osuu suunnassa yhteen vektorin kanssa
Vektorin summa

on vektori, joka on suunnassa sama kuin kulman puolittaja A. Siten halutun puolittajan yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

4) Olemme jo rakentaneet yhtälön yhdelle korkeudesta. Muodostetaan yhtälö toiselle korkeudelle esimerkiksi kärjestä SISÄÄN. Sivu AC yhtälön antama
Joten vektori
kohtisuorassa AC, ja siten yhdensuuntainen halutun korkeuden kanssa. Sitten kärjen läpi kulkevan suoran yhtälö SISÄÄN vektorin suuntaan
(eli kohtisuorassa AC), on muotoa:

Tiedetään, että kolmion korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä. Erityisesti tämä piste on löydettyjen korkeuksien leikkauspiste, ts. yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen:

- tämän pisteen koordinaatit.

5. Keski AB on koordinaatit
. Kirjoitetaan sivulle mediaanin yhtälö AB. Tämä viiva kulkee pisteiden läpi, joilla on koordinaatit (3, 2) ja (3, 6), mikä tarkoittaa, että sen yhtälö on muotoa:

Huomaa, että suoran yhtälön murto-osan nimittäjässä oleva nolla tarkoittaa, että tämä suora kulkee yhdensuuntaisesti ordinaatta-akselin kanssa.

Mediaanien leikkauspisteen löytämiseksi riittää yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen:

Kolmion mediaanien leikkauspisteellä on koordinaatit
.

6. Korkeuden pituus sivulle laskettuna AB, yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä KANSSA suoralle viivalle AB yhtälön kanssa
ja se löytyy kaavasta:

7. Kulman kosini A voidaan löytää käyttämällä vektorien välisen kulman kosinin kaavaa Ja , joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaaritulon suhde niiden pituuksien tuloon:

.

1. Ottaen huomioon kolmion kärjet ABC.A(–9; –2), SISÄÄN(3; 7), KANSSA(1; –7).

1) sivun pituus AB;

2) sivujen yhtälöt AB Ja AC ja niiden kulmakertoimet;

3) kulma A radiaaneina;

4) korkeusyhtälö KANSSAD ja sen pituus;

5) ympyrän yhtälö, jonka korkeus KANSSAD on halkaisija;

6) järjestelmä lineaariset epätasa-arvot, joka määrittää kolmion ABC.

Ratkaisu. Tehdään piirustus.

1. Etsitään sivun AB pituus. Kahden pisteen välinen etäisyys määritetään kaavalla

2. Etsitään sivujen yhtälötAB JaAC ja niiden kulmakertoimet.

Kirjataan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälö.

Tämä yleinen yhtälö suoraan. Ratkaistaan ​​se y:n suhteen, saamme

, suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin

Meillä on samanlainen sivuvaihtovirta.

suoran kaltevuus on yhtä suuri kuin

3. Me löydämmekulmaA radiaaneina. Tämä on kahden vektorin välinen kulma
Ja
. Kirjataan ylös vektorien koordinaatit. Vektorien välisen kulman kosini on yhtä suuri kuin

4. Me löydämmekorkeusyhtälöKANSSA D ja sen pituus.
, siksi niiden kulmakertoimet liittyvät suhteeseen
.

Kirjoitetaan korkeusyhtälö kulmakertoimen kautta

Piste
kuuluu riville CD, joten sen koordinaatit täyttävät suoran yhtälön, joten meillä on

Lopulta
tai

Laskemme korkeuden pituuden etäisyydeksi pisteestä C suoraan AB

5. Etsitään ympyrän yhtälö, mille korkeudelleKANSSA D on halkaisija.

Löydämme pisteen D koordinaatit kahden suoran AB ja CD, joiden yhtälöt tunnetaan, leikkauspisteeksi.

Etsitään pisteen O koordinaatit - ympyrän keskipiste. Tämä on CD-osan keskiosa.

Ympyrän säde on

Kirjoitetaan ympyrän yhtälö.

6) Määritellään kolmioABC lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmä.

Etsitään linjan CB yhtälö.

Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmä näyttää tältä.

2. Päättää tämä järjestelmä yhtälöt Cramerin kaavoilla. Tarkista tuloksena oleva liuos.

Ratkaisu. Lasketaan tämän järjestelmän determinantti:

.

Etsitään ratkaisevia tekijöitä
ja ratkaise järjestelmä:

Tutkimus:

Vastaus:

3. Kirjoita yhtälöjärjestelmä matriisimuotoon ja ratkaise se käyttämällä

käänteinen matriisi. Tarkista tuloksena oleva liuos

Ratkaisu.

Etsitään matriisin A determinantti

matriisi on ei-singulaarinen ja sillä on käänteinen. Etsitään kaikki algebralliset komplementit ja luodaan liittomatriisi.

käänteinen matriisi on muotoa:

Tehdään kertolasku
ja löydä ratkaisujen vektori.

Tutkimus

.
Vastaus:

Ratkaisu.

N = (2, 1). Piirrä tasoviiva, joka on kohtisuorassa normaalivektoriin nähden ja siirrä sitä normaalin suuntaan,

Tavoitefunktio saavuttaa miniminsä pisteessä A ja maksiminsa pisteessä B. Löydämme näiden pisteiden koordinaatit ratkaisemalla yhdessä niiden suorien yhtälöt, joiden leikkauskohdassa ne sijaitsevat.

5. Matkatoimisto ei vaadi enempää A kolmen tonnin linja-autot ja ei enempää V

viiden tonnin linja-autot. Ensimmäisen merkin linja-autojen myyntihinta on 20 000 USD, toisen merkin

40 000 USD Matkatoimisto voi varata enintään Kanssa c.u.

Kuinka monta kunkin merkin linja-autoa tulee ostaa erikseen, jotta niiden kokonaismäärä

(kokonais)kantavuus oli suurin. Ratkaise ongelma graafisesti.

A= 20 V= 18 Kanssa= 1000000

Ratkaisu. Säveldään matemaattinen malli tehtäviä . Merkitään
- kunkin ostettavien linja-autojen lukumäärä. Hankinnan tarkoituksena on saada ostettavien koneiden maksimikantavuus tavoitefunktiolla kuvatulla tavalla

Tehtävän rajoitukset määräytyvät ostettujen linja-autojen lukumäärän ja niiden hinnan mukaan.

Ratkaistaan ​​ongelma graafisesti. . Rakennamme ongelman toteuttamiskelpoisten ratkaisujen alueen ja tasoviivojen normaalin N = (3, 5). Piirrä tasoviiva kohtisuoraan normaalivektoriin nähden ja siirrä sitä normaalin suuntaan.

Tavoitefunktio saavuttaa maksiminsa kohdassa
, tavoitefunktio saa arvon .

Ratkaisu. 1. Toiminnon määrittelyalue on koko numeerinen akseli.

2, Funktio ei ole parillinen eikä pariton.

3. Kun x=0, y=20

4. Tarkastellaan monotonisuuden ja äärimmäisyyden funktiota.

Etsitään derivaatan nollat

Funktion kiinteät pisteet.

Piirretään kiinteät pisteet Ox-akselille ja tarkistetaan derivaatan merkit akselin jokaiselta osalta.

– maksimipiste
;
- minimipiste

5. Tarkastellaan funktion kuvaajaa kuperuuden ja koveruuden suhteen. Otetaan 2. derivaatta

Funktiograafin käännepiste.

klo
- funktio on kupera; klo
- funktio on kovera.

Funktion kaavio näyttää tältä

6. Löydä parhaat ja pienin arvo toimii intervallilla [-1; 4]

Lasketaan funktion arvo segmentin päissä
Minimipisteessä funktio ottaa arvot, joten segmentin pienin arvo [-1; 4] funktio ottaa minimipisteen ja maksimipisteen intervallin vasemmalla rajalla.

7. löytö määrittelemättömät integraalit ja tarkista integroinnin tulokset

erilaistuminen.

Ratkaisu.

Tutkimus.

Tässä kosinien tulo on korvattu summalla trigonometristen kaavojen mukaan.

1. Sivujen AB ja BC yhtälö ja niiden kulmakertoimet.
Tehtävä antaa niiden pisteiden koordinaatit, joiden kautta nämä suorat kulkevat, joten käytämme yhtälöä kahden tietyn pisteen kautta kulkevasta suorasta $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ korvaa ja hanki yhtälöt
rivin AB yhtälö $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ suoran AB kaltevuus on yhtä suuri kuin \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
linjan BC yhtälö $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ suoran BC kaltevuus on yhtä suuri kuin \ (k_( eKr.) = -7\)

2. Kulma B radiaaneina kahden numeron tarkkuudella
Kulma B on linjojen AB ja BC välinen kulma, joka lasketaan kaavalla $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$korvaa kulmakertoimien arvot näistä riveistä ja saat $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \noin 0,79 $$
3. Sivun AB pituus
Sivun AB pituus lasketaan pisteiden välisenä etäisyydenä ja on yhtä suuri kuin \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD-levyn korkeuden ja pituuden yhtälö.
Löydämme korkeusyhtälön läpi kulkevan suoran kaavan avulla annettu piste C(4;13) tietyssä suunnassa - kohtisuorassa suoraa AB:tä vastaan ​​kaavan \(y-y_0=k(x-x_0)\) mukaisesti. Etsitään korkeuden kulmakerroin \(k_(CD)\) käyttämällä kohtisuorien viivojen ominaisuutta \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) saamme $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Korvaamme yhtälöön suoran, saamme $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Etsimme korkeuden pituutta etäisyys pisteestä C(4;13) suoralle AB:lle kaavalla $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ osoittajassa on yhtälö pelkistetään suoran AB muotoon \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , korvataan tuloksella yhtälö ja pisteen koordinaatit kaavaan $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $$

5. Mediaanin AE yhtälö ja pisteen K koordinaatit, tämän mediaanin ja korkeuden CD leikkauspiste.
Etsimme mediaanin yhtälöä kahden tietyn pisteen A(-6;8) ja E kautta kulkevan suoran yhtälönä, jossa piste E on pisteiden B ja C keskipiste ja sen koordinaatit löytyvät kaava \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) korvaa pisteiden koordinaatit \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), niin mediaanin AE yhtälö on seuraava $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$ Etsitään leikkauspisteen koordinaatit korkeudet ja mediaani, ts. Etsitään niiden yhteinen kohta. Tätä varten luomme järjestelmäyhtälön $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(tapaukset)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Leikkauspisteen koordinaatit \(K(-\frac(1)(2);7 )\)

6. Yhtälö suoralle, joka kulkee pisteen K kautta yhdensuuntaisesti sivun AB kanssa.
Jos suora on yhdensuuntainen, niin niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret, ts. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), pisteen \(K(-\frac(1)(2);7)\) koordinaatit ovat myös tiedossa. , eli . löytääksesi suoran yhtälön, käytämme kaavaa tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöön tiettyyn suuntaan \(y - y_0=k(x-x_0)\), korvaamme tiedot ja saamme $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Pisteen M koordinaatit, joka on symmetrinen pisteen A kanssa suhteessa suoraan CD.
Piste M on suoralla AB, koska CD on tämän puolen korkeus. Etsitään CD:n ja AB:n leikkauspiste; ratkaise yhtälöjärjestelmä $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(tapaukset) => $$$$\begin(tapaukset )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(tapaukset) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(tapaukset)$$ Pisteen D koordinaatit(-2;5). Ehdon AD=DK mukaan tämä pisteiden välinen etäisyys saadaan Pythagoraan kaavalla \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), missä AD ja DK ovat hypotenukset yhtä suuret suorakulmaiset kolmiot, ja \(Δx =x_2-x_1\) ja \(Δy=y_2-y_1\) ovat näiden kolmioiden haarat, ts. Etsitään pisteen M haarat ja koordinaatit. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), ja \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), sitten koordinaatit pisteen M on yhtä suuri \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), ja \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3 = 2 \), havaitsimme, että pisteen koordinaatit \( M(2;2)\)