Sähköstaattisen kentän ekvipotentiaalipinnat ja voimalinjat. Potentiaalien tasauspinnat

Potentiaalien tasauspinnat Nämä ovat pintoja, joiden jokaisella pisteellä on sama potentiaali. Toisin sanoen ekvipotentiaalipinnalla sähköpotentiaalilla on vakioarvo. Tällainen pinta on johtimien pinta, koska niiden potentiaali on sama.

Kuvitellaan pinta, jonka potentiaaliero on nolla kahdelle pisteelle. Tämä on potentiaalintasauspinta. Koska sen potentiaali on sama. Jos tarkastelemme ekvipotentiaalipintaa kaksiulotteisessa avaruudessa, esimerkiksi piirustuksessa, niin sillä on viivan muoto. Voimien työtä sähkökenttä sähkövarauksen liikkeen mukaan tätä linjaa pitkin on nolla.

Yksi ekvipotentiaalipintojen ominaisuuksista on, että ne ovat aina kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan. Tämä ominaisuus voidaan muotoilla päinvastoin. Kaikkia pintoja, jotka ovat kohtisuorassa kaikissa pisteissä sähkökenttäviivoja vastaan, kutsutaan ekvipotentiaaliksi.

Tällaiset pinnat eivät myöskään koskaan leikkaa toisiaan. Koska tämä tarkoittaisi potentiaalieroa yhden pinnan sisällä, mikä on ristiriidassa määritelmän kanssa. Ne ovat myös aina kiinni. Saman potentiaalin pinnat eivät voi alkaa ja mennä äärettömyyteen ilman selkeitä rajoja.

Pääsääntöisesti kokonaisia ​​pintoja ei tarvitse kuvata piirustuksissa. Useimmiten ne kuvaavat kohtisuoraa leikkausta potentiaalitasapainopintoihin nähden. Näin ne rappeutuvat linjaksi. Tämä osoittautuu aivan riittäväksi arvioimaan tämän kentän jakautumista. Graafisesti kuvatessa pinnat sijoitetaan tasavälein. Eli kahden vierekkäisen pinnan välillä havaitaan sama askel, sanotaan yksi voltti. Sitten ekvipotentiaalipintojen poikkileikkauksen muodostamien viivojen tiheyden perusteella voidaan arvioida sähkökentän voimakkuus.

Tarkastellaan esimerkiksi pistesähkövarauksen luomaa kenttää. Tällaisen kentän voimalinjat ovat säteittäisiä. Toisin sanoen ne alkavat varauksen keskustasta ja osoittavat kohti ääretöntä, jos varaus on positiivinen. Tai suunnattu varausta kohti, jos se on negatiivinen. Tällaisen kentän ekvipotentiaalipinnat ovat pallojen muotoisia, jotka ovat keskittyneet varaukseen ja poikkeavat siitä. Jos kuvaamme kaksiulotteisen poikkileikkauksen, ekvipotentiaaliviivat ovat samankeskisten ympyröiden muodossa, joiden keskipiste sijaitsee myös varauksessa.

Kuva 1 - pistevarauksen ekvipotentiaaliviivat

Tasaisella kentällä, kuten esimerkiksi sähkökondensaattorin levyjen välisellä kentällä, samanpotentiaaliset pinnat ovat tasojen muotoisia. Nämä tasot sijaitsevat samansuuntaisesti toistensa kanssa samalla etäisyydellä. Totta, levyjen reunoilla kenttäkuva vääristyy reunaefektin takia. Mutta kuvittelemme, että levyt ovat äärettömän pitkiä.

kuva 2— ekvipotentiaalilinjoja yhtenäinen kenttä

Kahden samansuuruisen ja vastakkaisen etumerkin varauksen luoman kentän ekvipotentiaaliviivojen kuvaamiseen ei riitä, että sovelletaan superpositiota. Koska tässä tapauksessa, kun kaksi pistevarausten kuvaa on päällekkäin, on kenttäviivojen leikkauspisteitä. Mutta näin ei voi olla, koska kenttää ei voi ohjata kahteen eri suuntaan kerralla. Tässä tapauksessa ongelma on ratkaistava analyyttisesti.

Kuva 3 - Kuva kahden kentästä sähkövaraukset

> Potentiaalien tasauslinjat

Ominaisuudet ja ominaisuudet ekvipotentiaalin pintaviivat: kentän sähköpotentiaalin tila, staattinen tasapaino, pistevarauskaava.

Potentiaalien tasauslinjat Kentät ovat yksiulotteisia alueita, joissa sähköpotentiaali pysyy muuttumattomana.

Oppimistavoite

• Kuvaile potentiaalintasauslinjojen muotoa useille varauskonfiguraatioille.

Pääasiat

• Tietylle eristetylle pistevaraukselle potentiaali perustuu säteittäiseen etäisyyteen. Siksi potentiaalintasausviivat näyttävät pyöreiltä.
• Jos useita erillisiä varauksia joutuu kosketuksiin, niiden kentät leikkaavat ja osoittavat potentiaalia. Seurauksena on, että potentiaalintasauslinjat vääristyvät.
• Kun varaukset jakautuvat kahdelle johtavalle levylle staattisessa tasapainossa, potentiaalintasauslinjat ovat olennaisesti suoria.

Ehdot

• Ekvipotentiaali - osa, jossa jokaisella pisteellä on sama potentiaali.
• Staattinen tasapaino - fyysinen tila, jossa kaikki komponentit ovat levossa ja nettovoima on nolla.

Potentiaalien tasausviivat edustavat yksiulotteisia alueita, joissa sähköpotentiaali pysyy muuttumattomana. Toisin sanoen tällaiselle varaukselle (riippumatta siitä, missä se on potentiaalitasauslinjalla) ei ole tarpeen suorittaa työtä siirtyäkseen pisteestä toiseen tietyn linjan sisällä.

Potentiaalien tasapinnan linjat voivat olla suoria, kaarevia tai epäsäännöllisiä. Kaikki tämä perustuu maksujen jakautumiseen. Ne sijaitsevat säteittäisesti varautuneen kappaleen ympärillä, joten ne pysyvät kohtisuorassa sähkökenttälinjoja vastaan.

Yhden pisteen maksu

Yhden pisteen latauksen mahdollinen kaava on:

Tässä on radiaalinen riippuvuus, eli riippumatta etäisyydestä pistevaraukseen, potentiaali pysyy muuttumattomana. Siksi potentiaalintasauslinjat ovat pyöreä muoto pistelatauksella keskellä.

Eristetty pistevaraus sähkökenttäviivoilla (sininen) ja potentiaalintasausviivoilla (vihreä)

Useita maksuja

Jos useita erillisiä varauksia koskettaa, niin näemme kuinka niiden kentät menevät päällekkäin. Tämä päällekkäisyys aiheuttaa potentiaalin yhdistymisen ja potentiaalintasauksen vinoutumisen.

Jos varauksia on useita, potentiaalintasauslinjat muodostuvat epäsäännöllisesti. Varausten välisessä kohdassa ohjaus pystyy tuntemaan molempien varausten vaikutukset.

Jatkuva lataus

Jos varaukset sijaitsevat kahdella johtavalla levyllä staattisen tasapainon olosuhteissa, joissa varaukset eivät keskeydy ja ovat suorassa linjassa, potentiaalintasauslinjat suoristetaan. Tosiasia on, että latausten jatkuvuus aiheuttaa jatkuvia toimia missä tahansa kohdassa.

Jos varaukset vedetään linjaan ja ne eivät katkea, menevät potentiaalintasauslinjat suoraan niiden eteen. Poikkeuksena voimme muistaa vain taivutuksen lähellä johtavien levyjen reunoja

Jatkuvuus katkeaa lähemmäs levyjen päitä, minkä vuoksi näille alueille syntyy kaarevuus - reunaefekti.

Vektorikenttien visuaaliseen esittämiseen käytetään kenttäviivojen kuvaa. Voimalinja on kuvitteellinen matemaattinen käyrä avaruudessa, jonka tangentin suunta kussakin piste, jonka läpi se kulkee, on sama kuin vektorin suunta kentät samassa kohdassa(Kuva 1.17).
Riisi. 1.17:
Vektorin E → ja tangentin rinnakkaisuuden ehto voidaan kirjoittaa yhtäläiseksi nollaksi vektorituote E → ja kaarielementti d r → voimaviiva:

Tasapotentiaali on pinta, jolla jonka sähköpotentiaali on vakioϕ. Pistevarauksen alalla, kuten kuvassa näkyy. , pallomaiset pinnat, joiden keskipisteet ovat varauksen kohdalla, ovat ekvipotentiaalisia; tämä voidaan nähdä yhtälöstä ϕ = q ∕ r = const.

Analysoimalla sähkökenttälinjojen ja potentiaalitasapainopintojen geometriaa voidaan osoittaa luku yleiset ominaisuudet sähköstaattisen kentän geometria.

Ensinnäkin sähkölinjat alkaa maksuilla. Ne joko menevät äärettömyyteen tai päättyvät muihin varauksiin, kuten kuvassa. .

Toiseksi potentiaalikentässä kenttälinjoja ei voida sulkea. Muuten olisi mahdollista määrittää sellainen suljettu piiri, että sähkökentän työ siirrettäessä varausta tätä piiriä pitkin ei ole nolla.

Kolmanneksi voimalinjat leikkaavat minkä tahansa siihen nähden normaalin ekvipotentiaalin. Todella, sähkökenttä kaikkialla on suunnattu potentiaalin nopeaan laskuun, ja potentiaalintasaisella pinnalla potentiaali on määritelmän mukaan vakio (kuva ).
Riisi. 1.20:
Ja lopuksi, kenttäviivat eivät leikkaa missään muualla kuin pisteissä, joissa E → = 0. Kenttäviivojen leikkaus tarkoittaa, että leikkauspisteen kenttä on koordinaattien moniselitteinen funktio, eikä vektorilla E → ole tiettyä suuntaa. Ainoa vektori, jolla on tämä ominaisuus, on nollavektori. Nollapisteen lähellä olevan sähkökentän rakennetta analysoidaan tehtävissä ?? .

Kenttäviivamenetelmää voidaan tietysti soveltaa minkä tahansa vektorikenttien graafiseen esitykseen. Eli luvussa?? kohtaamme magneettisten voimalinjojen käsitteen. Kuitenkin geometria magneettikenttä täysin erilainen kuin sähkökentän geometria.

Riisi. 1.21:
Ajatus voimalinjoista liittyy läheisesti voimaputken käsitteeseen. Otetaan mikä tahansa mielivaltainen suljettu ääriviiva L ja piirretään sähköinen voimaviiva sen jokaisen pisteen läpi (kuva ). Nämä linjat muodostavat tehoputken. Tarkastellaan putken mielivaltaista osaa, jonka pinta on S. Piirretään positiivinen normaali samaan suuntaan, johon kenttäviivat on suunnattu. Olkoon N vektorin E → virtaus osan S läpi. On helppo nähdä, että jos putken sisällä ei ole sähkövarauksia, niin virtaus N pysyy samana koko putken pituudella. Sen todistamiseksi meidän on otettava toinen poikkileikkaus S ′. Gaussin lauseen mukaan putken sivupinnan ja osien S, S′ rajoittaman suljetun pinnan läpi kulkeva sähkökenttävirta on nolla, koska tehoputken sisällä ei ole sähkövarauksia. Virrata lävitse sivupinta on yhtä suuri kuin nolla, koska vektori E → koskettaa tätä pintaa. Näin ollen virtaus osan S ′ läpi on numeerisesti yhtä suuri kuin N, mutta etumerkillisesti vastakkainen. Tämän osan suljetun pinnan ulompi normaali on suunnattu n →:tä vastapäätä. Jos normaali suuntautuu samaan suuntaan, niin osien S ja S ′ läpi kulkevat virtaukset osuvat sekä suuruudeltaan että etumerkiltä. Erityisesti, jos putki on äärettömän ohut ja osat S ja S ′ ovat sille normaalit, niin

E S = E ′ S ′ .

Tuloksena on täydellinen analogia kokoonpuristumattoman nesteen virtauksen kanssa. Niissä paikoissa, joissa putki on ohuempi, kenttä E → on vahvempi. Niissä paikoissa, joissa se on leveämpi, kenttä E → on vahvempi. Näin ollen kenttäviivojen tiheyttä voidaan käyttää sähkökentän voimakkuuden arvioimiseen.

Ennen tietokoneiden keksimistä voimalinjojen kokeelliseen toistamiseen otettiin tasapohjainen lasiastia ja siihen kaadettiin johtamatonta nestettä, kuten risiiniöljyä tai glyseriiniä. Nesteeseen sekoitettiin tasaisesti jauhemaisia ​​kipsiä, asbestia tai muita pitkulaisia ​​hiukkasia. Metallielektrodit upotettiin nesteeseen. Kun elektrodit liitettiin sähkölähteisiin, ne virittivät sähkökentän. Tässä kentässä hiukkaset sähköistyvät ja vastakkaisten sähköistettyjen päiden vetämänä toisiinsa, ne on järjestetty ketjuiksi voimalinjoja pitkin. Kenttäviivojen kuvaa vääristävät siihen epätasaisessa sähkökentässä vaikuttavien voimien aiheuttamat nestevirrat.

Tehdään Vielä
Riisi. 1.22:
Parhaat tulokset saadaan Robert W. Pohlin (1884-1976) käyttämästä menetelmästä. Staniol-elektrodit liimataan lasilevylle, jonka väliin syntyy sähköjännite. Sitten levylle kaadetaan kevyesti koputtamalla pitkulaisia ​​hiukkasia, esimerkiksi kipsikiteitä. Ne sijaitsevat sitä pitkin voimalinjoja pitkin. Kuvassa ?? Kuva kenttäviivoista, jotka on saatu tällä tavalla kahden vastakkaisesti varautuneen stanioliympyrän välissä, on kuvattu.

▸ Tehtävä 9.1

Kirjoita muistiin kenttäviivojen yhtälö mielivaltaisessa ortogonaalisessa muodossa koordinaatit

▸ Tehtävä 9.2

Kirjoita kenttäviivojen yhtälö pallokoordinaateina.

Sähköstaattista kenttää voidaan luonnehtia joukkolla voima- ja potentiaalintasausjuovia.

voimalinja - tämä on kenttään mentaalisesti piirretty viiva, joka alkaa positiivisesti varautuneesta kappaleesta ja päättyy negatiivisesti varautuneeseen kappaleeseen, piirretty siten, että sen tangentti missä tahansa kentän kohdassa antaa jännityksen suunnan kyseisessä kohdassa .

Voimalinjat sulkeutuvat positiivisiin ja negatiivisiin varauksiin eivätkä voi sulkeutua itseensä.

Alla potentiaalintasainen pinta ymmärtää joukko kenttäpisteitä, joilla on sama potentiaali ().

Jos leikkaat sähköstaattisen kentän leikkaustasolla, tason leikkauspisteet ekvipotentiaalipintojen kanssa näkyvät leikkauksessa. Näitä jälkiä kutsutaan ekvipotentiaalilinjoiksi.

Potentiaalien tasauslinjat ovat suljettuja itsestään.

Kenttäviivat ja potentiaalintasausviivat leikkaavat suorassa kulmassa.

R
Katsotaanpa ekvipotentiaalipintaa:

(koska pisteet sijaitsevat ekvipotentiaalipinnalla).

- skalaarituote

Sähköstaattiset kentänvoimakkuusviivat tunkeutuvat ekvipotentiaalipinnan kulmaan 90 0, sitten vektorien välisen kulman
on yhtä suuri kuin 90 astetta ja niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin 0.

Potentiaalien yhtälö

Harkitse voimalinjaa:

N
sähköstaattisen kentän intensiteetti suunnataan tangentiaalisesti voimalinjaan (katso voimalinjan määritelmä), ja myös polkuelementti on suunnattu , joten näiden kahden vektorin välinen kulma on nolla.

tai

Kenttäviivayhtälö

Potentiaalinen gradientti

Potentiaalinen gradientti on potentiaalin kasvunopeus lyhimmässä suunnassa kahden pisteen välillä.

Kahden pisteen välillä on potentiaaliero. Jos tämä ero jaetaan otettujen pisteiden välisellä lyhimmällä etäisyydellä, tuloksena saatu arvo kuvaa potentiaalin muutosnopeutta pisteiden välisen lyhimmän etäisyyden suunnassa.

Potentiaaligradientti osoittaa suurimman potentiaalin kasvun suunnan, on numeerisesti yhtä suuri kuin jännitemoduuli ja on negatiivisesti suunnattu suhteessa siihen.

Gradientin määrittelyssä kaksi ehtoa ovat olennaisia:

Suunta, johon kaksi lähellä olevaa pistettä otetaan, tulee olla sellainen, että muutosnopeus on suurin.

Suunta on se skalaarifunktio lisääntyy tähän suuntaan.

Suorakulmaiselle koordinaattijärjestelmälle:

Potentiaalin muutosnopeus X-, Y-, Z-akselin suunnassa:

;
;

Kaksi vektoria ovat yhtä suuria vain, jos niiden projektiot ovat yhtä suuret toistensa kanssa. Jännitysvektorin projektio akselille X yhtä suuri kuin potentiaalin muutosnopeuden projektio akselilla X, otettu päinvastaisella merkillä. Sama kirveille Y Ja Z.

;
;
.

Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä potentiaaligradientin lausekkeella on seuraava muoto.

Jännitteen ja potentiaalin suhde.

Potentiaalikentällä, potentiaalisen (konservatiivisen) voiman ja välillä Mahdollinen energia on yhteys

missä ("nabla") on Hamiltonin operaattori.

Koska Että

Miinusmerkki osoittaa, että vektori E on suunnattu pienenevään potentiaaliin.

Potentiaalijakauman esittämiseksi graafisesti käytetään ekvipotentiaalipintoja - pintoja, joiden kaikissa kohdissa potentiaalilla on sama arvo.

Potentiaalitasauspinnat piirretään yleensä siten, että kahden vierekkäisen potentiaalitasapainopinnan potentiaalierot ovat samat. Tällöin ekvipotentiaalipintojen tiheys luonnehtii selvästi kentänvoimakkuutta sisään eri pisteet. Kun nämä pinnat ovat tiheämpiä, kentänvoimakkuus on suurempi. Kuvassa katkoviiva näyttää voimalinjat, kiinteät viivat osoittavat ekvipotentiaalipintojen osia: positiivinen pistevaraus (a), dipoli (b), kaksi samannimistä varausta (c), varautunut metalli kapellimestari monimutkainen kokoonpano(G).

Saat pisteen veloittaa potentiaalia siksi ekvipotentiaalipinnat ovat samankeskisiä palloja. Toisaalta jännityslinjat ovat säteittäisiä suoria linjoja. Näin ollen jännityslinjat ovat kohtisuorassa potentiaalitasapainopintoihin nähden.

Voidaan osoittaa, että kaikissa tapauksissa vektori E on kohtisuorassa ekvipotentiaalipintoja vastaan ​​ja on aina suunnattu pienenevän potentiaalin suuntaan.

Esimerkkejä tärkeimpien symmetristen sähköstaattisten kenttien laskelmista tyhjiössä.

1. Sähködipolin sähköstaattinen kenttä tyhjiössä.

Sähködipoli (tai kaksoissähkönapa) on järjestelmä, jossa on kaksi samansuuruista vastakkaista pistevarausta (+q,-q), joiden välinen etäisyys l on huomattavasti pienempi kuin etäisyys tarkasteltaviin kenttäpisteisiin (l<< r).

Dipolivarsi l on dipoliakselia pitkin negatiivisesta positiiviseen varaukseen suunnattu vektori, joka on yhtä suuri kuin niiden välinen etäisyys.

Dipolin sähkömomentti re on vektori, joka osuu yhteen dipolin varren suunnassa ja on yhtä suuri kuin varausmoduulin tulo |q| olkapäällä minä:

Olkoon r etäisyys pisteeseen A dipoliakselin keskeltä. Sitten sen huomioon ottaen

2) Kentänvoimakkuus pisteessä B kohtisuorassa palautetaan dipoliakseliin sen keskustasta

Piste B on yhtä kaukana dipolin +q- ja -q-varauksista, joten kenttäpotentiaali pisteessä B on nolla. Vektori Ёв on suunnattu vastapäätä vektoria l.

3) Ulkoisessa sähkökentässä dipolin päihin vaikuttaa voimapari, joka pyrkii pyörittämään dipolia siten, että dipolin sähkömomentti re kääntyy kentän E suuntaa pitkin (kuva. a)).

Ulkoisessa yhtenäisessä kentässä voimaparin momentti on yhtä suuri kuin M = qElsin a tai Ulkoisessa epähomogeenisessa kentässä (kuva (c)) dipolin päihin vaikuttavat voimat eivät ole identtiset ja niiden resultantti pyrkii siirtämään dipolin kentän alueelle, jolla on suurempi intensiteetti - dipoli vedetään vahvemman kentän alueelle.

2. Tasaisesti varautuneen äärettömän tason kenttä.

Ääretön taso on varattu vakiopintatiheydellä Jännityslinjat ovat kohtisuorassa tarkasteltavana olevaan tasoon nähden ja suunnattu siitä molempiin suuntiin.

Gaussin pintana otetaan sylinterin pinta, jonka generaattorit ovat kohtisuorassa varautuneeseen tasoon nähden ja kantat ovat samansuuntaisia ​​varautuneen tason kanssa ja sijaitsevat sen vastakkaisilla puolilla tasaisin välimatkoin.

Koska sylinterin generaattorit ovat samansuuntaisia ​​jännityslinjojen kanssa, jännitysvektorin vuo sylinterin sivupinnan läpi on nolla ja sylinterin läpi kulkeva kokonaisvirta on yhtä suuri kuin sen kannan läpi kulkevien vuotojen summa 2ES. Sylinterin sisällä oleva varaus on yhtä suuri kuin . Gaussin lauseen mukaan missä:

E ei riipu sylinterin pituudesta, ts. Kentänvoimakkuus millä tahansa etäisyydellä on suuruudeltaan sama. Tällaista kenttää kutsutaan homogeeniseksi.

Potentiaaliero pisteiden välillä, jotka sijaitsevat etäisyyksillä x1 ja x2 tasosta, on yhtä suuri

3. Kahden äärettömän yhdensuuntaisen vastakkaisesti varautuneen tason kenttä, joiden itseisarvoiset pintavaraustiheydet σ>0 ja - σ.

Edellisestä esimerkistä seuraa, että ensimmäisen ja toisen tason jännitysvektorit E1 ja E2 ovat suuruudeltaan yhtä suuret ja ne ovat kaikkialla kohtisuorassa tasoihin nähden. Siksi tasojen ulkopuolella olevassa tilassa ne kompensoivat toisiaan ja tasojen välisessä tilassa kokonaisjännitystä . Siksi lentokoneiden välillä

(dielektrisessä.).

Kenttä tasojen välillä on tasainen. Potentiaalinen ero lentokoneiden välillä.
(dielektrisessä ).

4. Tasaisesti varautuneen pallomaisen pinnan kenttä.

Pallomainen pinta, jonka säde on R ja jonka kokonaisvaraus on q, varautuu tasaisesti pintatiheydellä

Koska varausjärjestelmä ja siten itse kenttä on keskisymmetrinen pallon keskipisteen suhteen, jännitysviivat suunnataan säteittäisesti.

Valitsemme Gaussin pinnaksi pallon, jonka säde on r, jolla on yhteinen keskus varautuneen pallon kanssa. Jos r>R, niin koko varaus q pääsee pinnan sisään. Gaussin lauseen mukaan mistä

Osoitteessa r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Potentiaalinen ero kahden pisteen välillä, jotka sijaitsevat etäisyyksillä r 1 ja r 2 pallon keskipisteestä

(r1 >R,r2 >R), on yhtä suuri kuin

Varautuneen pallon ulkopuolella kenttä on sama kuin pallon keskellä sijaitsevan pistevarauksen q kenttä. Varautuneen pallon sisällä ei ole kenttää, joten potentiaali on sama kaikkialla ja sama kuin pinnalla