Kaava pyramidin sivupinnan laskemiseksi. Pyramidi

Mielivaltaisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivupintojen pintojen summa. On järkevää antaa erityinen kaava tämän alueen ilmaisemiseksi säännöllisen pyramidin tapauksessa. Otetaan siis säännöllinen pyramidi, jonka pohjalla on säännöllinen n-kulmio, jonka sivu on yhtä suuri kuin a. Olkoon h sivupinnan korkeus, jota kutsutaan myös apoteemi pyramidit. Yhden sivupinnan pinta-ala on 1/2ah ja pyramidin koko sivupinnan pinta-ala on n/2ha. Koska na on pyramidin pohjan ympärysmitta, voimme kirjoittaa löydetyn kaavan Muodossa:

Sivuttaispinta-ala säännöllisen pyramidin tulo on yhtä suuri kuin sen apoteemin ja puolen kannan kehän tulo.

Mitä tulee kokonaispinta-ala, sitten lisäämme yksinkertaisesti pohjan alueen sivuun.

Piirretty ja rajattu pallo ja pallo. On huomattava, että pyramidiin piirretyn pallon keskipiste sijaitsee pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasojen leikkauskohdassa. Pyramidin lähellä kuvatun pallon keskipiste sijaitsee pyramidin reunojen keskipisteiden läpi kulkevien ja niihin kohtisuorassa olevien tasojen leikkauskohdassa.

Katkaistu pyramidi. Jos pyramidi leikataan sen pohjan kanssa samansuuntaisella tasolla, niin leikkaustason ja pohjan välissä oleva osa on ns. katkaistu pyramidi. Kuvassa on pyramidi; hylkäämällä sen leikkaustason yläpuolella olevan osan, saadaan katkaistu pyramidi. On selvää, että pieni hylätty pyramidi on homoteettinen suuren pyramidin kanssa, jonka huipussa on homoteetin keskus. Samankaltaisuuskerroin on yhtä suuri kuin molempien pyramidien korkeuksien suhde: k=h 2 /h 1 tai sivureunat tai muut vastaavat lineaariset mitat. Tiedämme, että samankaltaisten kuvioiden alueet liittyvät toisiinsa kuin lineaarimittaiset neliöt; joten molempien pyramidien kantojen pinta-alat (eli katkaistun pyramidin kantojen pinta-alat) ovat suhteessa toisiinsa

Tässä S 1 on alapohjan pinta-ala ja S 2 on katkaistun pyramidin ylemmän pohjan pinta-ala. Pyramidien sivupinnat ovat samassa suhteessa. Samanlainen sääntö on olemassa volyymeille.

Samankaltaisten ruumiiden määrät ovat samankaltaisia ​​kuin niiden lineaariset mitat; esimerkiksi pyramidien tilavuudet suhteutetaan niiden korkeuksien ja kannan pinta-alan tulona, ​​josta sääntömme saadaan välittömästi. Sillä on ehdottomasti yleinen luonne ja se seuraa suoraan siitä, että tilavuudella on aina pituuden kolmannen potenssin mitta. Tätä sääntöä käyttämällä johdamme kaavan, joka ilmaisee katkaistun pyramidin tilavuuden kannan korkeuden ja alueen kautta.

Olkoon katkaistu pyramidi, jonka korkeus on h ja kantapinta-alat S 1 ja S 2. Jos kuvittelemme, että se laajenee täyteen pyramidiin, niin täyden pyramidin ja pienen pyramidin samankaltaisuuskerroin voidaan helposti löytää suhteen S 2 /S 1 juureksi. Katkaistun pyramidin korkeus ilmaistaan ​​muodossa h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nyt meillä on katkaistun pyramidin tilavuus (V 1 ja V 2 tarkoittavat täyden ja pienen pyramidin tilavuutta)

katkaistun pyramidin tilavuuden kaava

Johdetaan kaava säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-alalle S, joka kulkee kantojen ympärysmittojen P 1 ja P 2 kautta sekä apoteemin a pituus. Päättelemme täsmälleen samalla tavalla kuin johtaessamme tilavuuden kaavaa. Täydennämme pyramidia yläosalla, saamme P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, missä k on samankaltaisuuskerroin, P 1 ja P 2 ovat kantajen ympärysmitat ja S 1 ja S 2 ovat koko tuloksena olevan pyramidin ja sen yläosan sivupintojen pinta-alat. Sivupinnalle löydämme (a 1 ja a 2 ovat pyramidien apoteemeja, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

kaava säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-alalle

• Tehtävä 1. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala
• Tehtävä 2. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivupinta-ala

Ongelma 1. Etsi säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala

Ratkaisu.

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin pohjalla on tasasivuinen kolmio.
Siksi ongelman ratkaisemiseksi käytämme säännöllisen kolmion ominaisuuksia:

Tiedämme kolmion korkeuden, josta voimme löytää sen alueen.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Mistä pohjan pinta-ala on yhtä suuri:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Sivupinnan alueen löytämiseksi laskemme korkeuden KM. Ongelman mukaan kulma OKM on 45 astetta.
Täten:
OK / MK = cos 45
Käytetään trigonometristen funktioiden arvotaulukkoa ja korvausta tunnetut arvot.

OK / MK = √2/2

Otetaan huomioon, että OK on yhtä suuri kuin piirretyn ympyrän säde. Sitten
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Sitten
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Sivupinnan pinta-ala on tällöin yhtä suuri kuin puolet kolmion korkeuden ja pohjan tulosta.
Sivu = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Siten pyramidin kokonaispinta-ala on yhtä suuri
S = 3√3 + 3*6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Vastaus: 3√3 + 18/√6

Ongelma 2. Etsi säännöllisen pyramidin sivupinta-ala

Ratkaisu.

Koska säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kanta on tasasivuinen kolmio, AO on kannan ympärille piirretyn ympyrän säde.
(Tämä seuraa siitä)

Löydämme tasasivuisen kolmion ympärille rajatun ympyrän säteen sen ominaisuuksista

Mistä säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin reunojen pituus on yhtä suuri:
AM 2 = MO 2 + AO 2
pyramidin korkeus tunnetaan ehdolla (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Pyramidin jokainen sivu on tasakylkinen kolmio. Neliö tasakylkinen kolmio löydämme alla esitetystä ensimmäisestä kaavasta

S = 1/2 * 16 neliömetriä((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 neliömetriä ((556/3) - 64)
S = 8 neliötä (364/3)
S = 16 neliömetriä (91/3)

Koska säännöllisen pyramidin kaikki kolme pintaa ovat yhtä suuret, sivupinta-ala on yhtä suuri
3S = 48 √ (91/3)

Vastaus: 48 √(91/3)

Tehtävä 3. Etsi säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala

Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin sivu on 3 cm ja kulma sivupinnan ja pyramidin pohjan välillä on 45 astetta. Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.

Ratkaisu.
Koska pyramidi on säännöllinen, sen pohjassa on tasasivuinen kolmio. Siksi pohjan pinta-ala on


Joten = 9 * √3/4

Sivupinnan alueen löytämiseksi laskemme korkeuden KM. Ongelman mukaan kulma OKM on 45 astetta.
Täten:
OK / MK = cos 45
Hyödynnetään

Määritelmä. Sivureuna- tämä on kolmio, jossa yksi kulma on pyramidin huipulla ja vastakkainen puoli osuu pohjan (polygonin) sivuun.

Määritelmä. Sivukylkiluut- nämä ovat sivupintojen yhteiset puolet. Pyramidilla on yhtä monta reunaa kuin monikulmion kulmia.

Määritelmä. Pyramidin korkeus- tämä on kohtisuora, joka on laskettu pyramidin ylhäältä alas.

Määritelmä. Apothem- tämä on kohtisuora pyramidin sivupintaan nähden, laskettuna pyramidin huipulta pohjan sivulle.

Määritelmä. Diagonaalinen leikkaus- tämä on pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee pyramidin huipun ja pohjan lävistäjän läpi.

Määritelmä. Oikea pyramidi on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio, ja korkeus putoaa alustan keskelle.

Pyramidin tilavuus ja pinta-ala

Kaava. Pyramidin tilavuus pohjapinta-alan ja korkeuden läpi:

Pyramidin ominaisuudet

Putoan lateraaliset kylkiluut ovat yhtä suuret, niin ympyrä voidaan kuvata pyramidin kannan ympärillä, ja pohjan keskipiste on sama kuin ympyrän keskusta. Myös ylhäältä pudonnut kohtisuora kulkee pohjan (ympyrän) keskustan läpi.

Jos kaikki sivureunat ovat yhtä suuret, ne ovat kallistettuina pohjan tasoon samoissa kulmissa.

Sivureunat ovat yhtä suuret, kun ne muodostavat yhtä suuret kulmat pohjan tason kanssa tai jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Jos sivupinnat kallistettuna pohjan tasoon nähden yhdessä kulmassa, niin pyramidin pohjaan voidaan piirtää ympyrä ja pyramidin huippu projisoidaan sen keskelle.

Jos sivupinnat ovat vinossa pohjan tasoon nähden samassa kulmassa, niin sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

Säännöllisen pyramidin ominaisuudet

1. Pyramidin huippu on yhtä kaukana jalustan kaikista kulmista.

2. Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.

3. Kaikki sivurivat ovat kaltevassa tasaisessa kulmassa alustaan ​​nähden.

4. Kaikkien sivupintojen apoteemit ovat yhtä suuret.

5. Kaikkien sivupintojen pinta-alat ovat yhtä suuret.

6. Kaikilla pinnoilla on samat kaksitahoiset (litteät) kulmat.

7. Pyramidin ympärillä voidaan kuvata pallo. Piirretyn pallon keskipiste on reunojen keskikohdan läpi kulkevien kohtisuorien leikkauspiste.

8. Voit sovittaa pallon pyramidiin. Piirretyn pallon keskipiste on reunan ja kannan välisestä kulmasta lähtevien puolittajien leikkauspiste.

9. Jos piirretyn pallon keskipiste on sama kuin rajatun pallon keskipiste, niin tasokulmien summa kärjessä on yhtä suuri kuin π tai päinvastoin, yksi kulma on yhtä suuri kuin π/n, missä n on luku pyramidin pohjan kulmista.

Pyramidin ja pallon välinen yhteys

Pallo voidaan kuvata pyramidin ympärillä, kun pyramidin juurella on monitahoinen, jonka ympärillä voidaan kuvata ympyrää (välttämätön ja riittävä ehto). Pallon keskipiste on pyramidin sivureunojen keskipisteiden läpi kohtisuorassa kulkevien tasojen leikkauspiste.

On aina mahdollista kuvata pallo minkä tahansa kolmion tai säännöllisen pyramidin ympärillä.

Pallo voidaan kirjoittaa pyramidiin, jos pyramidin sisäisten dihedraalisten kulmien puolittajatasot leikkaavat yhdessä pisteessä (välttämätön ja riittävä ehto). Tämä piste tulee olemaan pallon keskipiste.

Pyramidin kytkentä kartioon

Kartion sanotaan olevan kaiverrettu pyramidiin, jos sen kärjet ovat yhtenevät ja kartion kanta on kaiverrettu pyramidin pohjaan.

Pyramidiin voidaan kirjoittaa kartio, jos pyramidin apoteemit ovat yhtä suuret.

Kartion sanotaan olevan pyramidin ympärillä, jos sen kärjet ovat samat ja kartion kanta on rajattu pyramidin pohjan ympärille.

Kartiota voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos kaikki pyramidin sivureunat ovat yhtä suuret.

Pyramidin ja sylinterin välinen suhde

Pyramidia kutsutaan sylinteriin kirjoitetuksi, jos pyramidin yläosa on sylinterin yhdellä pohjalla ja pyramidin kanta on kaiverrettu sylinterin toiseen kantaan.

Sylinteri voidaan kuvata pyramidin ympärillä, jos ympyrä voidaan kuvata pyramidin pohjan ympärillä.

Tetraedrillä on neljä pintaa ja neljä kärkeä ja kuusi reunaa, joissa kahdella reunalla ei ole yhteisiä kärkipisteitä, mutta ne eivät kosketa.

Jokainen kärkipiste koostuu kolmesta muodostavasta pinnasta ja reunasta kolmiokulma.

Segmenttiä, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan keskustaan, kutsutaan tetraedrin mediaani(GM).

Bimediaan kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää vastakkaisten reunojen keskipisteet, jotka eivät kosketa (KL).

Kaikki tetraedrin bimediaanit ja mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (S). Tässä tapauksessa bimediaanit jaetaan puoliksi ja mediaanit suhteessa 3:1 alkaen ylhäältä.

Määritelmä. Teräväkulmainen pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on yli puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. Tylsä pyramidi- pyramidi, jossa apoteemi on alle puolet pohjan sivun pituudesta.

Määritelmä. Säännöllinen tetraedri- tetraedri, jonka kaikki neljä sivua ovat tasasivuisia kolmioita. Se on yksi viidestä säännöllisestä monikulmiosta. Säännöisessä tetraedrissä kaikki dihedraaliset kulmat (pintojen välillä) ja kolmikulmaiset (kärkessä) ovat yhtä suuret.

Määritelmä. Suorakaiteen muotoinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka kärjessä on suora kulma kolmen reunan välillä (reunat ovat kohtisuorassa). Muodostuu kolme kasvoa suorakaiteen muotoinen kolmiokulma ja reunat ovat suorakulmaiset kolmiot, ja kanta on mielivaltainen kolmio. Minkä tahansa kasvojen apoteemi on yhtä suuri kuin puolet pohjan sivusta, jolle apoteemi putoaa.

Määritelmä. Isoedrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jonka sivupinnat ovat yhtä suuret toistensa kanssa ja kanta on säännöllinen kolmio. Tällaisella tetraedrillä on pinnat, jotka ovat tasakylkisiä kolmioita.

Määritelmä. Ortosentrinen tetraedri kutsutaan tetraedriksi, jossa kaikki korkeudet (pystysuorat), jotka lasketaan ylhäältä vastakkaiselle pinnalle, leikkaavat yhdessä pisteessä.

Määritelmä. Tähtipyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka kanta on tähti.

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja tiedottaa ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn mukaisesti, in oikeudenkäyntiä ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion virastojen pyyntöjen perusteella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Suojelemme varotoimia – mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset – henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Mitä hahmoa kutsumme pyramidiksi? Ensinnäkin se on monitahoinen. Toiseksi, tämän monitahoisen pohjassa on mielivaltainen monikulmio, ja pyramidin sivuilla (sivupinnat) on välttämättä kolmioiden muoto, jotka yhtyvät yhteen yhteiseen kärkeen. Nyt, kun olet ymmärtänyt termin, selvitetään kuinka löytää pyramidin pinta-ala.

On selvää, että pinta-ala on sellainen geometrinen runko muodostuu pohjan pinta-alojen ja sen koko sivupinnan summasta.

Pyramidin pohjan pinta-alan laskeminen

Laskentakaavan valinta riippuu pyramidimme alla olevan polygonin muodosta. Se voi olla säännöllinen, toisin sanoen samanpituinen, tai epäsäännöllinen. Harkitse molempia vaihtoehtoja.

Pohja on säännöllinen monikulmio

From koulun kurssi tiedossa:

• neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun pituus neliössä;
• Tasasivuisen kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö jaettuna 4:llä ja kerrottuna kolmen neliöjuurella.

Mutta on myös yleinen kaava minkä tahansa säännöllisen monikulmion (Sn) alueen laskemiseksi: sinun on kerrottava tämän monikulmion (P) kehä siihen kirjoitetun ympyrän säteellä (r) ja jaettava sitten tulos kahdella: Sn=1/2P*r .

Pohjassa on epäsäännöllinen monikulmio

Kaava sen alueen löytämiseksi on jakaa ensin koko monikulmio kolmioiksi, laskea kunkin pinta-ala kaavalla: 1/2a*h (jossa a on kolmion kanta, h on korkeus laskettu tämä perusta), laske yhteen kaikki tulokset.

Pyramidin sivupinta-ala

Lasketaan nyt pyramidin sivupinnan pinta-ala, ts. sen kaikkien sivusivujen pinta-alojen summa. Tässä on myös 2 vaihtoehtoa.

1. Otetaanpa mielivaltainen pyramidi, ts. yksi, jonka pohjassa on epäsäännöllinen monikulmio. Sitten sinun tulee laskea kunkin kasvon pinta-ala erikseen ja lisätä tulokset. Koska pyramidin sivut voivat määritelmän mukaan olla vain kolmioita, laskenta suoritetaan käyttämällä yllä olevaa kaavaa: S=1/2a*h.
2. Olkoon pyramidimme oikea, ts. sen pohjalla on säännöllinen monikulmio, ja pyramidin huipun projektio on sen keskellä. Sitten sivupinnan (Sb) pinta-alan laskemiseksi riittää, että löydetään puolet kantamonikulmion (P) kehän ja sivusivun korkeuden (h) tulosta (sama kaikille pinnoille) ): Sb = 1/2 P*h. Monikulmion ympärysmitta määritetään laskemalla yhteen sen kaikkien sivujen pituudet.

Säännöllisen pyramidin kokonaispinta-ala saadaan laskemalla yhteen sen pohjan pinta-ala koko sivupinnan pinta-alaan.

Esimerkkejä

Lasketaan esimerkiksi algebrallisesti useiden pyramidien pinta-alat.

Kolmion muotoisen pyramidin pinta-ala

Tällaisen pyramidin pohjassa on kolmio. Kaavalla So=1/2a*h saadaan pohjan pinta-ala. Käytämme samaa kaavaa löytääksemme pyramidin jokaisen pinnan alueen, jolla on myös kolmion muoto, ja saamme 3 aluetta: S1, S2 ja S3. Pyramidin sivupinnan pinta-ala on kaikkien pintojen summa: Sb = S1+ S2+ S3. Laskemalla yhteen sivujen ja pohjan pinta-alat saadaan halutun pyramidin kokonaispinta-ala: Sp= So+ Sb.

Nelikulmaisen pyramidin pinta-ala

Sivupinnan pinta-ala on 4 termin summa: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, joista jokainen lasketaan kolmion pinta-alan kaavalla. Ja pohjan pinta-ala on etsittävä nelikulmion muodosta riippuen - säännöllinen tai epäsäännöllinen. Pyramidin kokonaispinta-ala saadaan jälleen laskemalla yhteen pohjan pinta-ala ja annetun pyramidin kokonaispinta-ala.