Geometrisen etenemisen haku b1. Geometrinen eteneminen – Knowledge Hypermarket

Matematiikka on mitäihmiset hallitsevat luontoa ja itseään.

Neuvostoliiton matemaatikko, akateemikko A.N. Kolmogorov

Geometrinen eteneminen.

Aritmeettisen progression ongelmien ohella myös geometrisen progression käsitteeseen liittyvät ongelmat ovat yleisiä matematiikan pääsykokeissa. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti sinun on tunnettava geometristen progressioiden ominaisuudet ja oltava hyvät taidot käyttää niitä.

Tämä artikkeli on omistettu geometrisen progression perusominaisuuksien esittelylle. Tässä on myös esimerkkejä tyypillisten ongelmien ratkaisemisesta., lainattu matematiikan pääsykokeiden tehtävistä.

Huomioikaa ensin geometrisen progression perusominaisuudet ja muistetaan tärkeimmät kaavat ja lauseet, liittyvät tähän konseptiin.

Määritelmä. Numerosarjaa kutsutaan geometriseksi progressioksi, jos jokainen luku toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla. Lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi.

Geometriseen etenemiseenkaavat ovat päteviä

, (1)

Missä . Kaavaa (1) kutsutaan geometrisen etenemisen yleistermin kaavaksi, ja kaava (2) edustaa geometrisen etenemisen pääominaisuutta: progression jokainen termi osuu yhteen sen viereisten ehtojen geometrisen keskiarvon kanssa ja .

Huomautus, että juuri tämän ominaisuuden vuoksi kyseistä etenemistä kutsutaan "geometriseksi".

Yllä olevat kaavat (1) ja (2) yleistetään seuraavasti:

, (3)

Summan laskemiseen ensimmäinen geometrisen progression jäseniäkaava pätee

Jos merkitsemme , niin

Missä . Koska , kaava (6) on kaavan (5) yleistys.

Siinä tapauksessa, kun ja geometrinen eteneminenvähenee loputtomasti. Summan laskemiseenKaikista äärettömästi pienenevän geometrisen progression termeistä käytetään kaavaa

. (7)

Esimerkiksi , kaavan (7) avulla voimme näyttää, Mitä

Missä . Nämä yhtäläisyydet saadaan kaavasta (7) sillä ehdolla, että , (ensimmäinen yhtälö) ja , (toinen yhtälö).

Lause. Jos sitten

Todiste. Jos sitten

Lause on todistettu.

Siirrytään tarkastelemaan esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Geometrinen eteneminen".

Esimerkki 1. Annettu: , ja . Löytö .

Ratkaisu. Jos käytämme kaavaa (5), niin

Vastaus:.

Esimerkki 2. Anna sen olla. Löytö .

Ratkaisu. Koska ja , käytämme kaavoja (5), (6) ja saamme yhtälöjärjestelmän

Jos järjestelmän (9) toinen yhtälö jaetaan ensimmäisellä, sitten tai . Tästä seuraa, että . Tarkastellaan kahta tapausta.

1. Jos, niin järjestelmän (9) ensimmäisestä yhtälöstä saamme.

2. Jos , niin .

Esimerkki 3. Anna , ja . Löytö .

Ratkaisu. Kaavasta (2) seuraa, että tai . Siitä lähtien tai .

Ehdon mukaan. Kuitenkin, siksi. Siitä lähtien ja niin tässä meillä on yhtälöjärjestelmä

Jos järjestelmän toinen yhtälö jaetaan ensimmäisellä, niin tai .

Koska yhtälöllä on ainutlaatuinen sopiva juuri. Tässä tapauksessa se seuraa järjestelmän ensimmäisestä yhtälöstä.

Kun otetaan huomioon kaava (7), saadaan.

Vastaus:.

Esimerkki 4. Annettu: ja . Löytö .

Ratkaisu. Siitä lähtien.

Siitä lähtien tai

Kaavan (2) mukaan meillä on . Tässä suhteessa tasa-arvosta (10) saadaan tai .

Kuitenkin ehdolla siis.

Esimerkki 5. On tiedossa, että . Löytö .

Ratkaisu. Lauseen mukaan meillä on kaksi yhtäläisyyttä

Siitä lähtien tai . Koska sitten.

Vastaus:.

Esimerkki 6. Annettu: ja . Löytö .

Ratkaisu. Kun otetaan huomioon kaava (5), saadaan

Siitä lähtien. Siitä lähtien ja sitten .

Esimerkki 7. Anna sen olla. Löytö .

Ratkaisu. Kaavan (1) mukaan voimme kirjoittaa

Siksi meillä on tai . Tiedetään, että ja, siksi ja .

Vastaus:.

Esimerkki 8. Etsi äärettömän pienenevän geometrisen progression nimittäjä, jos

Ja .

Ratkaisu. Kaavasta (7) seuraa Ja . Tästä ja tehtävän ehdoista saadaan yhtälöjärjestelmä

Jos järjestelmän ensimmäinen yhtälö on neliö, ja jaa sitten saatu yhtälö toisella yhtälöllä, sitten saamme

Tai .

Vastaus:.

Esimerkki 9. Etsi kaikki arvot, joille sarja , , on geometrinen progressio.

Ratkaisu. Anna , ja . Kaavan (2) mukaan, joka määrittelee geometrisen progression pääominaisuuden, voidaan kirjoittaa tai .

Tästä saamme toisen asteen yhtälön, joiden juuret ovat Ja .

Tarkastetaan: jos, sitten , ja ; jos , niin ja .

Ensimmäisessä tapauksessa meillä on ja , ja toisessa – ja .

Vastaus: ,.

Esimerkki 10.Ratkaise yhtälö

, (11)

missä ja.

Ratkaisu. Yhtälön (11) vasemmalla puolella on äärettömän pienenevän geometrisen progression summa, jossa ja , Jollei: ja .

Kaavasta (7) seuraa, Mitä . Tässä suhteessa yhtälö (11) saa muodon tai . Sopiva juuri toisen asteen yhtälö On

Vastaus:.

Esimerkki 11. P positiivisten lukujen sarjamuodostaa aritmeettisen progression, A – geometrinen eteneminen, mitä tekemistä sillä on . Löytö .

Ratkaisu. Koska aritmeettinen sarja, Tuo (pääomaisuus aritmeettinen progressio). Koska, sitten tai . Tämä tarkoittaa, että geometrisella progressiolla on muoto. Kaavan (2) mukaan, sitten kirjoitamme sen ylös.

Siitä lähtien ja sitten . Tässä tapauksessa ilmaisu ottaa muodon tai . Ehdolla, siis yhtälöstä.saamme ainutlaatuisen ratkaisun tarkasteltavaan ongelmaan, eli .

Vastaus:.

Esimerkki 12. Laske summa

. (12)

Ratkaisu. Kerro yhtälön (12) molemmat puolet viidellä ja saa

Jos vähennämme (12) tuloksena olevasta lausekkeesta, Tuo

tai .

Laskemiseksi korvaamme arvot kaavalla (7) ja saamme . Siitä lähtien.

Vastaus:.

Tässä annetut ongelmanratkaisuesimerkit ovat hyödyllisiä hakijoille valmistautuessaan pääsykokeet. Ongelmanratkaisumenetelmien syvempään tutkimiseen, liittyvät geometriseen etenemiseen, voidaan käyttää opetusvälineet suositellun kirjallisuuden listalta.

1. Matematiikan tehtäväkokoelma korkeakouluihin hakijoille / Toim. MI. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematiikka lukiolaisille: lisäosat koulun opetussuunnitelma. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Täysi kurssi perusmatematiikka tehtävissä ja harjoituksissa. Kirja 2: Numerosarjat ja edistyminen. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Onko sinulla vielä kysyttävää?

Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Geometrinen progressio on aritmeettisen ohella tärkeä lukusarja, jota tutkitaan koulun kurssi algebra 9. luokalla. Tässä artikkelissa tarkastellaan geometrisen progression nimittäjä ja kuinka sen arvo vaikuttaa sen ominaisuuksiin.

Geometrisen progression määritelmä

Ensin annetaan tämän numerosarjan määritelmä. Tällaista sarjaa kutsutaan geometriseksi progressioksi rationaalisia lukuja, joka muodostetaan kertomalla sen ensimmäinen elementti peräkkäin vakio numero, jota kutsutaan nimittäjäksi.

Esimerkiksi sarjojen 3, 6, 12, 24, ... luvut ovat geometrista progressiota, koska jos kerrot 3:n (ensimmäinen alkio) kahdella, saat 6. Jos kerrot 6:lla 2, saat 12 ja niin edelleen.

Tarkasteltavan sekvenssin jäseniä merkitään yleensä symbolilla ai, jossa i on sarjan alkion numeroa osoittava kokonaisluku.

Yllä oleva progression määritelmä voidaan kirjoittaa matemaattisella kielellä seuraavasti: an = bn-1 * a1, missä b on nimittäjä. Tämä kaava on helppo tarkistaa: jos n = 1, niin b1-1 = 1, ja saamme a1 = a1. Jos n = 2, niin an = b * a1, ja taas päästään kyseessä olevan lukusarjan määritelmään. Samanlaista päättelyä voidaan jatkaa suurille n:n arvoille.

Geometrisen progression nimittäjä

Numero b määrittää täysin, mikä merkki koko numerosarjassa on. Nimittäjä b voi olla positiivinen, negatiivinen tai suurempi tai pienempi kuin yksi. Kaikki yllä olevat vaihtoehdot johtavat erilaisiin sarjoihin:

• b > 1. Rationaalisten lukujen sarja kasvaa. Esimerkiksi 1, 2, 4, 8, ... Jos elementti a1 on negatiivinen, niin koko sarja kasvaa vain absoluuttisesti, mutta pienenee numeroiden etumerkistä riippuen.
• b = 1. Usein tätä tapausta ei kutsuta progressioksi, koska on olemassa tavallinen sarja identtisiä rationaalilukuja. Esimerkiksi -4, -4, -4.

Kaava summalle

Ennen kuin siirrytään tiettyjen ongelmien tarkasteluun tarkasteltavana olevan etenemistyypin nimittäjällä, on annettava tärkeä kaava sen ensimmäisen n elementin summalle. Kaava näyttää tältä: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Voit saada tämän lausekkeen itse, jos otat huomioon etenemisen rekursiivisen termijonon. Huomaa myös, että yllä olevassa kaavassa riittää, kun tietää vain ensimmäinen alkio ja nimittäjä mielivaltaisen määrän termien summan löytämiseksi.

Rajattomasti laskeva sarja

Yllä selitettiin, mikä se on. Nyt, kun tiedämme Sn:n kaavan, sovelletaan sitä tähän numerosarjaan. Koska mikä tahansa luku, jonka moduuli ei ylitä 1, pyrkii nollaan, kun se nostetaan suuriin potenssiin, eli b∞ => 0, jos -1

Koska erotus (1 - b) on aina positiivinen, riippumatta nimittäjän arvosta, niin äärettömästi pienenevän geometrisen progression S∞ summan etumerkki määräytyy yksiselitteisesti sen ensimmäisen alkion a1 etumerkillä.

Katsotaanpa nyt useita ongelmia, joissa näytämme, kuinka hankittua tietoa voidaan soveltaa tiettyihin lukuihin.

Tehtävä nro 1. Tuntemattomien etenemisen ja summan laskenta

Jos geometrinen progressio on annettu, etenemisen nimittäjä on 2 ja sen ensimmäinen alkio on 3. Mikä on sen 7. ja 10. termi ja mikä on sen seitsemän alkuelementin summa?

Ongelman ehto on melko yksinkertainen ja edellyttää yllä olevien kaavojen suoraa käyttöä. Joten elementin numeron n laskemiseksi käytämme lauseketta an = bn-1 * a1. 7. elementille on: a7 = b6 * a1, korvaamalla tunnetut tiedot, saadaan: a7 = 26 * 3 = 192. Teemme samoin 10. termille: a10 = 29 * 3 = 1536.

Käytetään summalle tuttua kaavaa ja määritetään tämä arvo sarjan 7 ensimmäiselle elementille. Meillä on: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Tehtävä nro 2. Progression mielivaltaisten alkioiden summan määrittäminen

Olkoon -2 yhtä suuri kuin geometrisen progression bn-1 * 4 nimittäjä, missä n on kokonaisluku. On tarpeen määrittää summa tämän sarjan 5.–10. elementistä, mukaan lukien.

Esitettyä ongelmaa ei voida ratkaista suoraan tunnetuilla kaavoilla. Se voidaan ratkaista kahdella tavalla erilaisia ​​menetelmiä. Aiheen esittelyn täydentämiseksi esittelemme molemmat.

Menetelmä 1. Idea on yksinkertainen: sinun on laskettava ensimmäisten termien kaksi vastaavaa summaa ja vähennettävä sitten toinen yhdestä. Laskemme pienemmän summan: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nyt lasketaan suuri määrä: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Huomaa, että viimeisessä lausekkeessa vain 4 termiä summattiin, koska viides sisältyy jo summaan, joka on laskettava tehtävän ehtojen mukaan. Lopuksi otamme eron: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Menetelmä 2. Ennen lukujen korvaamista ja laskemista saadaan kaava kyseessä olevan sarjan m:n ja n:n termien väliselle summalle. Teemme täsmälleen samoin kuin menetelmässä 1, mutta ensin työskentelemme summan symbolisen esityksen kanssa. Meillä on: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Voit korvata tunnetut luvut tuloksena olevaan lausekkeeseen ja laskea lopputuloksen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Tehtävä nro 3. Mikä on nimittäjä?

Olkoon a1 = 2, etsi geometrisen progression nimittäjä, jos sen ääretön summa on 3 ja tiedetään, että tämä on pienenevä lukusarja.

Ongelman olosuhteiden perusteella ei ole vaikea arvata, millä kaavalla se tulisi ratkaista. Tietenkin etenemisen summa, joka pienenee loputtomasti. Meillä on: S∞ = a1 / (1 - b). Mistä ilmaistaan ​​nimittäjä: b = 1 - a1 / S∞. Jäljelle jää vain korvaaminen tunnetut arvot ja saada tarvittava luku: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 tai -0,333(3). Voimme tarkistaa tämän tuloksen kvalitatiivisesti, jos muistamme, että tämän tyyppiselle sekvenssille moduuli b ei saa ylittää arvoa 1. Kuten voidaan nähdä, |-1 / 3|

Tehtävä nro 4. Numerosarjan palauttaminen

Olkoon lukusarjan 2 alkiota, esimerkiksi 5. on 30 ja 10. on 60. Näistä tiedoista on rekonstruoitava koko sarja tietäen, että se täyttää geometrisen progression ominaisuudet.

Ongelman ratkaisemiseksi sinun on ensin kirjoitettava vastaava lauseke kullekin tunnetulle termille. Meillä on: a5 = b4 * a1 ja a10 = b9 * a1. Jaa nyt toinen lauseke ensimmäisellä, saamme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Tästä määritetään nimittäjä ottamalla viidennen juuren ongelmalausekkeesta tunnettujen termien suhde, b = 1,148698. Korvaamme tuloksena olevan luvun johonkin tunnetun elementin lausekkeesta, saamme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Löysimme siis progression bn nimittäjän ja geometrisen progression bn-1 * 17.2304966 = an, missä b = 1.148698.

Missä geometrisia progressioita käytetään?

Jos tälle numerosarjalle ei olisi käytännön sovellusta, sen tutkiminen pelkistyisi puhtaasti teoreettiseen kiinnostukseen. Mutta tällainen sovellus on olemassa.

Alla on kolme kuuluisinta esimerkkiä:

• Zenonin paradoksi, jossa ketterä Akhilleus ei saa kiinni hidasta kilpikonnaa, ratkaistaan ​​äärettömästi pienenevän numerosarjan käsitteellä.
• Jos asetat vehnänjyviä shakkilaudan jokaiseen ruutuun siten, että 1. ruutuun laitat 1 jyvän, 2. - 2, 3. - 3 ja niin edelleen, tarvitset kaikkien laudan ruutujen täyttämiseen. 18446744073709551615 viljaa!
• Pelissä "Tower of Hanoi" levyjen siirtämiseksi tangosta toiseen on suoritettava 2n - 1 toimintoa, eli niiden määrä kasvaa eksponentiaalisesti käytettyjen levyjen lukumäärän n kanssa.

Tarkastellaanpa tiettyä sarjaa.

7 28 112 448 1792...

On täysin selvää, että minkä tahansa sen elementin arvo on täsmälleen neljä kertaa suurempi kuin edellinen. Tämä tarkoittaa, että tämä sarja on edistystä.

Geometrinen progressio on ääretön numerosarja. pääominaisuus eli seuraava luku saadaan edellisestä kertomalla jollakin tietyllä luvulla. Tämä ilmaistaan ​​seuraavalla kaavalla.

a z +1 =a z ·q, jossa z on valitun elementin numero.

Vastaavasti z ∈ N.

Geometristä progressiota opiskellaan koulussa 9. luokalla. Esimerkit auttavat sinua ymmärtämään käsitteen:

0.25 0.125 0.0625...

Tämän kaavan perusteella etenemisen nimittäjä löytyy seuraavasti:

q tai b z eivät voi olla nolla. Myöskään etenemisen jokaisen elementin ei tulisi olla yhtä suuri kuin nolla.

Näin ollen sarjan seuraavan luvun selvittämiseksi sinun on kerrottava viimeinen q:lla.

Tämän etenemisen määrittämiseksi sinun on määritettävä sen ensimmäinen elementti ja nimittäjä. Tämän jälkeen on mahdollista löytää mikä tahansa myöhemmistä ehdoista ja niiden summa.

Lajikkeet

Riippuen q:stä ja a 1:stä, tämä eteneminen on jaettu useisiin tyyppeihin:

• Jos sekä a 1 että q ovat suurempia kuin yksi, niin tällainen sarja on geometrinen progressio, joka kasvaa jokaisella seuraavalla elementillä. Esimerkki tästä on esitetty alla.

Esimerkki: a 1 =3, q=2 - molemmat parametrit ovat suurempia kuin yksi.

Sitten numerosarja voidaan kirjoittaa näin:

3 6 12 24 48 ...

• Jos |q| on pienempi kuin yksi, eli kertominen sillä vastaa jakoa, niin samanlaisilla ehdoilla oleva progressio on laskeva geometrinen progressio. Esimerkki tästä on esitetty alla.

Esimerkki: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 on suurempi kuin yksi, q on pienempi.

Sitten numerosarja voidaan kirjoittaa seuraavasti:

6 2 2/3 ... - mikä tahansa elementti on 3 kertaa suurempi kuin sitä seuraava elementti.

• Vaihteleva merkki. Jos q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esimerkki: a 1 = -3, q = -2 - molemmat parametrit ovat pienempiä kuin nolla.

Sitten numerosarja voidaan kirjoittaa näin:

3, 6, -12, 24,...

Kaavat

Geometristen progressioiden kätevää käyttöä varten on monia kaavoja:

• Z-termi kaava. Voit laskea elementin tietyn luvun alla laskematta aiempia lukuja.

Esimerkki:q = 3, a 1 = 4. Progression neljäs alkio on laskettava.

Ratkaisu:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Niiden ensimmäisten alkioiden summa, joiden määrä on yhtä suuri z. Voit laskea sarjan kaikkien elementtien summan ainaa zmukaan lukien.

Koska (1-q) on nimittäjässä, sitten (1 - q)≠ 0, joten q ei ole yhtä suuri kuin 1.

Huomaa: jos q=1, niin eteneminen olisi sarja äärettömästi toistuvia lukuja.

Geometrisen progression summa, esimerkkejä:a 1 = 2, q= -2. Laske S5.

Ratkaisu:S 5 = 22 - laskenta kaavalla.

• Määrä, jos |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esimerkki:a 1 = 2 , q= 0,5. Etsi summa.

Ratkaisu:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Jotkut ominaisuudet:

• Ominainen ominaisuus. Jos seuraava ehto toimii mille tahansaz, niin annettu numerosarja on geometrinen progressio:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Myös minkä tahansa luvun neliö geometrisessa progressiossa saadaan laskemalla yhteen minkä tahansa kahden muun luvun neliöt tietyssä sarjassa, jos ne ovat yhtä kaukana tästä elementistä.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Missät- näiden numeroiden välinen etäisyys.

• Elementiteroavat qkerran.
• Progression alkioiden logaritmit muodostavat myös progression, mutta aritmeettisen, eli jokainen niistä on tietyn luvun verran suurempi kuin edellinen.

Esimerkkejä klassisista ongelmista

Jotta ymmärrät paremmin, mitä geometrinen progressio on, luokan 9 ratkaisuesimerkit voivat auttaa.

• Ehdot:a 1 = 3, a 3 = 48. Etsiq.

Ratkaisu: jokainen seuraava elementti on suurempi kuin edellinenq kerran.On välttämätöntä ilmaista jotkin elementit toisilla nimittäjällä.

Siten,a 3 = q 2 · a 1

Vaihdossaq= 4

• Ehdot:a 2 = 6, a 3 = 12. Laske S 6.

Ratkaisu:Tee tämä etsimällä q, ensimmäinen alkio, ja korvaamalla se kaavassa.

a 3 = q· a 2 , siis,q= 2

a 2 = q · a 1,Siksi a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Etsi etenemisen neljäs elementti.

Ratkaisu: tätä varten riittää, että ilmaistaan ​​neljäs elementti ensimmäisen ja nimittäjän kautta.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Sovellusesimerkki:

• Pankkiasiakas teki 10 000 ruplan talletuksen, jonka ehdoilla asiakas saa joka vuosi siitä 6% lisäyksen pääomaan. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4 vuoden kuluttua?

Ratkaisu: Alkuperäinen määrä on 10 tuhatta ruplaa. Tämä tarkoittaa, että vuoden kuluttua sijoituksesta tilillä on 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Näin ollen tilillä oleva summa toisen vuoden jälkeen ilmaistaan ​​seuraavasti:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Eli joka vuosi määrä kasvaa 1,06-kertaiseksi. Tämä tarkoittaa, että tilin varojen määrän selvittämiseksi 4 vuoden kuluttua riittää, kun etsitään progression neljäs elementti, jonka antaa ensimmäinen elementti, joka on 10 tuhatta ja nimittäjä 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Esimerkkejä summalaskentaongelmista:

Geometristä progressiota käytetään erilaisissa ongelmissa. Esimerkki summan löytämisestä voidaan antaa seuraavasti:

a 1 = 4, q= 2, laskeS 5.

Ratkaisu: kaikki laskennassa tarvittavat tiedot ovat tiedossa, sinun tarvitsee vain korvata ne kaavassa.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Laske kuuden ensimmäisen alkion summa.

Ratkaisu:

Geom. progressio, jokainen seuraava alkio on q kertaa suurempi kuin edellinen, eli summan laskemiseksi sinun on tiedettävä elementtia 1 ja nimittäjäq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samoin sinun on löydettäväa 1 , tietäena 2 Jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Ohjeet

10, 30, 90, 270...

Sinun on löydettävä geometrisen progression nimittäjä.
Ratkaisu:

Vaihtoehto 1. Otetaan progression mielivaltainen termi (esim. 90) ja jaetaan se edellisellä (30): 90/30=3.

Jos geometrisen etenemisen useiden termien summa tai pienenevän geometrisen etenemisen kaikkien termien summa tunnetaan, niin etenemisen nimittäjä löytyy sopivilla kaavoilla:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), missä Sn on geometrisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa ja
S = b1/(1-q), jossa S on äärettömästi pienenevän geometrisen progression summa (kaikkien etenemisen termien summa, jonka nimittäjä on pienempi kuin yksi).
Esimerkki.

Pienevän geometrisen progression ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin yksi ja sen kaikkien termien summa on kaksi.

On määritettävä tämän etenemisen nimittäjä.
Ratkaisu:

Korvaa tehtävän tiedot kaavaan. Siitä tulee ilmi:
2=1/(1-q), mistä – q=1/2.

Progressio on numerosarja. Geometrisessä progressiossa jokainen seuraava termi saadaan kertomalla edellinen tietyllä luvulla q, jota kutsutaan etenemisen nimittäjäksi.

Ohjeet

Jos tunnetaan kaksi vierekkäistä geometristä termiä b(n+1) ja b(n), nimittäjän saamiseksi sinun tulee jakaa luku suuremmalla sitä edeltävällä: q=b(n+1)/b (n). Tämä seuraa progression määritelmästä ja sen nimittäjästä. Tärkeä ehto on, että progression ensimmäinen termi ja nimittäjä eivät ole nolla, muuten sitä pidetään määrittelemättömänä.

Näin ollen etenemisen termien välille muodostetaan seuraavat suhteet: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Kaavan b(n)=b1 q^(n-1) avulla voidaan laskea mikä tahansa geometrisen etenemisen termi, jossa nimittäjä q ja termi b1 tunnetaan. Lisäksi jokainen eteneminen on moduuliltaan yhtä suuri kuin sen naapurijäsenten keskiarvo: |b(n)|=√, josta progressio sai .

Geometrisen progression analogi on yksinkertaisin eksponentiaalinen funktio y=a^x, jossa x on eksponentti, a on tietty luku. Tässä tapauksessa etenemisen nimittäjä on sama kuin ensimmäinen termi ja on yhtä suuri kuin luku a. Funktion y arvo voidaan ymmärtää etenemisen n:nneksi termiksi, jos argumentti x on luonnollinen luku n (laskuri).

Toinen tärkeä geometrisen etenemisen ominaisuus, joka antoi geometrisen etenemisen

Tärkeät muistiinpanot!
1. Jos näet gobbledygookin kaavojen sijaan, tyhjennä välimuisti. Kuinka tehdä tämä selaimessasi, on kirjoitettu tähän:
2. Ennen kuin aloitat artikkelin lukemisen, kiinnitä huomiota navigaattoriimme, josta löydät hyödyllisimmät resurssit

Numerosarja

Istutaan siis alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme niitä on). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, kumpi toinen ja niin edelleen viimeiseen asti, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä numeroa sarjassa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten th) on aina sama.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin n:nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa jollakin kirjaimella (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero: .

Meidän tapauksessamme:

Yleisimmät progressiotyypit ovat aritmeettinen ja geometrinen. Tässä aiheessa puhumme toisesta tyypistä - geometrinen eteneminen.

Miksi geometrista progressiota ja sen historiaa tarvitaan?

Jo muinaisina aikoina italialainen matemaatikko munkki Leonardo Pisalainen (tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci) käsitteli kaupan käytännön tarpeita. Munkin tehtävänä oli määrittää, mikä on pienin painojen määrä, jolla tuote voidaan punnita? Teoksissaan Fibonacci todistaa, että tällainen painojärjestelmä on optimaalinen: Tämä on yksi ensimmäisistä tilanteista, joissa ihmiset joutuivat käsittelemään geometrista progressiota, josta olet todennäköisesti jo kuullut ja sinulla on ainakin yleinen käsitys. Kun olet ymmärtänyt aiheen täysin, mieti, miksi tällainen järjestelmä on optimaalinen?

Tällä hetkellä elämänkäytännössä geometrinen progressio ilmenee sijoitettaessa rahaa pankkiin, kun edelliseltä tilikaudelta kertyneelle summalle kertyy korkoa. Toisin sanoen, jos laitat rahaa säästöpankkiin määräaikaistalletukselle, niin talletus kasvaa vuoden kuluttua alkuperäisen summan verran, ts. uusi määrä on yhtä suuri kuin rahoitusosuus kerrottuna. Toisena vuonna tämä määrä kasvaa ts. tuolloin saatu summa kerrotaan jälleen ja niin edelleen. Samanlaista tilannetta kuvataan ns. laskentaongelmissa korkoa korolle- prosenttiosuus otetaan joka kerta tilillä olevasta summasta ottaen huomioon aikaisemmat korot. Puhumme näistä tehtävistä hieman myöhemmin.

On monia yksinkertaisempia tapauksia, joissa käytetään geometristä progressiota. Esimerkiksi influenssan leviäminen: yksi ihminen tartutti toisen ihmisen, he vuorostaan ​​tartuttivat toisen ihmisen, ja siten toinen tartuntaaalto on ihminen, ja he puolestaan ​​tartuttivat toisen... ja niin edelleen. .

Muuten, rahoituspyramidi, sama MMM, on yksinkertainen ja kuiva laskelma, joka perustuu geometrisen progression ominaisuuksiin. Mielenkiintoista? Selvitetään se.

Geometrinen eteneminen.

Oletetaan, että meillä on numerosarja:

Vastaat heti, että tämä on helppoa ja tällaisen sekvenssin nimi on sen jäsenten erolla. Entä tämä:

Jos vähennät edellisen numeron seuraavasta numerosta, näet, että joka kerta, kun saat uuden eron (ja niin edelleen), mutta sarja on ehdottomasti olemassa ja se on helppo havaita - jokainen seuraava luku on kertaa suurempi kuin edellinen!

Tämän tyyppistä numerosarjaa kutsutaan geometrinen eteneminen ja on nimetty.

Geometrinen eteneminen () on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on eri kuin nolla ja jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi.

Rajoitukset, että ensimmäinen termi ( ) ei ole yhtä suuri eivätkä ole satunnaisia. Oletetaan, että niitä ei ole, ja ensimmäinen termi on edelleen yhtä suuri, ja q on yhtä suuri kuin, hmm.. olkoon, niin käy ilmi:

Hyväksykää, että tämä ei ole enää edistystä.

Kuten ymmärrät, saamme samat tulokset, jos on jokin muu luku kuin nolla, a. Näissä tapauksissa etenemistä ei yksinkertaisesti tapahdu, koska koko numerosarja on joko kaikki nollia tai yksi luku ja kaikki loput ovat nollia.

Puhutaan nyt yksityiskohtaisemmin geometrisen progression nimittäjästä, eli o.

Toistetaan: - tämä on numero kuinka monta kertaa jokainen seuraava termi muuttuu? geometrinen eteneminen.

Mikä se voisi mielestäsi olla? Se on oikein, positiivinen ja negatiivinen, mutta ei nolla (puhuimme tästä hieman korkeammalla).

Oletetaan, että tilanne on positiivinen. Olkoon meidän tapauksessamme a. Mikä on toisen termin arvo ja? Voit vastata tähän helposti:

Oikein. Vastaavasti, jos, niin kaikilla myöhemmillä etenemisen termeillä on sama merkki - he ovat positiivisia.

Entä jos se on negatiivinen? Esimerkiksi a. Mikä on toisen termin arvo ja?

Tämä on täysin erilainen tarina

Yritä laskea tämän etenemisen ehdot. Kuinka paljon sait? Minulla on. Siten, jos, niin geometrisen etenemisen termien merkit vuorottelevat. Eli jos näet etenemisen sen jäsenten vuorottelevin merkein, sen nimittäjä on negatiivinen. Tämä tieto voi auttaa sinua testaamaan itseäsi, kun ratkaiset tämän aiheen ongelmia.

Harjoitellaan nyt hieman: yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat geometrista ja mitkä aritmeettista:

Sain sen? Verrataan vastauksiamme:

• Geometrinen eteneminen - 3, 6.
• Aritmeettinen progressio - 2, 4.
• Se ei ole aritmeettinen eikä geometrinen progressio - 1, 5, 7.

Palataan viimeiseen etenemiseen ja yritetään löytää sen jäsen, aivan kuten aritmeettisessa. Kuten ehkä arvasit, on kaksi tapaa löytää se.

Kerromme jokaisen termin peräkkäin.

Kuvatun geometrisen etenemisen th termi on siis yhtä suuri kuin.

Kuten jo arvasit, nyt johdat itse kaavan, joka auttaa sinua löytämään minkä tahansa geometrisen etenemisen jäsenen. Vai oletko jo kehittänyt sen itsellesi ja kuvailet kuinka löytää th jäsen askel askeleelta? Jos näin on, niin tarkista päättelysi oikeellisuus.

Havainnollistetaan tätä esimerkillä tämän etenemisen :nnen termin löytämisestä:

Toisin sanoen:

Etsi itse annetun geometrisen progression termin arvo.

Tapahtui? Verrataan vastauksiamme:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun kerroimme peräkkäin jokaisella geometrisen etenemisen edellisellä termillä.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava - laitetaan se yleiseen muotoon ja saadaan:

Johdettu kaava pätee kaikille arvoille - sekä positiivisille että negatiivisille. Tarkista tämä itse laskemalla geometrisen progression ehdot seuraavilla ehdoilla: , a.

Laskitko? Verrataanpa tuloksia:

Samaa mieltä siitä, että etenemisen termi olisi mahdollista löytää samalla tavalla kuin termi, mutta on mahdollista, että lasketaan väärin. Ja jos olemme jo löytäneet geometrisen progression :nnen termin, niin mikä voisi olla yksinkertaisempaa kuin käyttää kaavan "katkaistua" osaa.

Portaattomasti pienenevä geometrinen eteneminen.

Äskettäin puhuimme siitä, että se voi olla joko suurempi tai pienempi kuin nolla, mutta on olemassa erityisiä arvoja, joille geometrista etenemistä kutsutaan vähenee loputtomasti.

Miksi luulet tämän nimen olevan annettu?
Ensin kirjoitetaan termeistä koostuva geometrinen progressio.
Sanotaan sitten:

Näemme, että jokainen seuraava termi on kertoimella pienempi kuin edellinen, mutta onko lukua? Vastaat heti - "ei". Siksi se vähenee loputtomasti - se pienenee ja vähenee, mutta ei koskaan tule nollaan.

Ymmärtääksemme selvästi, miltä tämä näyttää visuaalisesti, yritetään piirtää kaavio etenemisestämme. Joten meidän tapauksessamme kaava on seuraavanlainen:

Kaavioissa olemme tottuneet piirtämään riippuvuutta seuraavista:

Lausekkeen olemus ei ole muuttunut: ensimmäisessä merkinnässä osoitimme geometrisen progression jäsenen arvon riippuvuuden sen järjestysluvusta, ja toisessa merkinnässä otimme yksinkertaisesti geometrisen progression jäsenen arvon. , ja merkitsi järjestysnumeroa ei nimellä, vaan nimellä. Ainoa mitä on tehtävä, on rakentaa kaavio.
Katsotaan mitä sait. Tässä on kaavio, jonka keksin:

Näetkö? Funktio pienenee, pyrkii nollaan, mutta ei koskaan ylitä sitä, joten se pienenee loputtomasti. Merkitään pisteemme kaavioon ja samalla mitä koordinaatti ja tarkoittaa:

Yritä esittää kaavamaisesti geometrisen etenemisen kuvaaja, jos sen ensimmäinen termi on myös yhtä suuri. Analysoi mikä ero on edelliseen kaavioomme?

Onnistuitko? Tässä on kaavio, jonka keksin:

Nyt kun olet täysin ymmärtänyt geometrisen etenemisen aiheen perusteet: tiedät mitä se on, tiedät kuinka löytää sen termi ja tiedät myös, mikä on äärettömästi pienenevä geometrinen progressio, siirrytään sen pääominaisuuteen.

Geometrisen progression ominaisuus.

Muistatko aritmeettisen progression termien ominaisuuden? Kyllä, kyllä, kuinka löytää tietyn etenemisluvun arvo, kun tämän etenemisen ehdoilla on aikaisemmat ja seuraavat arvot. Muistatko? Tämä:

Nyt edessämme on täsmälleen sama kysymys geometrisen progression ehdoista. Tällaisen kaavan johtamiseksi aloitetaan piirtäminen ja päättely. Näet, se on erittäin helppoa, ja jos unohdat, voit saada sen itse.

Otetaan toinen yksinkertainen geometrinen eteneminen, jossa tiedämme ja. Kuinka löytää? Aritmeettisella progressiolla se on helppoa ja yksinkertaista, mutta entä tässä? Itse asiassa geometriassakaan ei ole mitään monimutkaista - sinun tarvitsee vain kirjoittaa jokainen meille annettu arvo kaavan mukaan.

Saatat kysyä, mitä meidän pitäisi tehdä asialle nyt? Kyllä, hyvin yksinkertaista. Kuvataan ensin nämä kaavat kuvassa ja yritetään tehdä niillä erilaisia ​​manipulaatioita arvon saavuttamiseksi.

Ottakaamme pois meille annetuista luvuista, keskitytään vain niiden ilmaisemiseen kaavan kautta. Meidän on löydettävä oranssilla korostettu arvo, tietäen sen vieressä olevat termit. Yritetään suorittaa erilaisia ​​​​toimia heidän kanssaan, minkä seurauksena voimme saada.

Lisäys.
Yritetään lisätä kaksi lauseketta ja saadaan:

Tästä lausekkeesta, kuten näet, emme voi ilmaista sitä millään tavalla, joten yritämme toista vaihtoehtoa - vähennyslaskua.

Vähennyslasku.

Kuten näette, emme myöskään voi ilmaista tätä, joten yritetään kertoa nämä ilmaukset toisillaan.

Kertominen.

Katso nyt tarkkaan, mitä meillä on kertomalla meille annetun geometrisen etenemisen ehdot verrattuna siihen, mitä on löydettävä:

Arvaa mistä puhun? Oikein löytääksemme meidän on otettava halutun viereisten geometristen etenemislukujen neliöjuuri kerrottuna toisillaan:

Ole hyvä. Olet itse johtanut geometrisen etenemisen ominaisuuden. Yritä kirjoittaa tämä kaava yleisessä muodossa. Tapahtui?

Unohditko ehdon? Mieti, miksi se on tärkeää, yritä esimerkiksi laskea se itse. Mitä tässä tapauksessa tapahtuu? Aivan oikein, täyttä hölynpölyä, koska kaava näyttää tältä:

Älä siis unohda tätä rajoitusta.

Lasketaan nyt, mikä se on

Oikea vastaus - ! Jos et unohtanut laskennan aikana toista mahdollista arvoa, niin olet loistava ja voit siirtyä heti harjoitteluun, ja jos unohdit, lue alla käsitellyt ja kiinnitä huomiota siihen, miksi on tarpeen kirjoittaa molemmat juuret vastauksessa.

Piirretään molemmat geometriset edistyksemme - toisella arvolla ja toisella arvolla ja tarkistetaan, onko molemmilla oikeus olla olemassa:

Jotta voidaan tarkistaa, onko tällainen geometrinen progressio olemassa vai ei, on tarpeen nähdä, ovatko kaikki sen annetut termit samoja? Laske q ensimmäiselle ja toiselle tapaukselle.

Katso, miksi meidän on kirjoitettava kaksi vastausta? Koska etsimäsi termin merkki riippuu siitä, onko se positiivinen vai negatiivinen! Ja koska emme tiedä, mikä se on, meidän on kirjoitettava molemmat vastaukset plus- ja miinusmerkillä.

Nyt kun olet oppinut pääkohdat ja johtanut geometrisen etenemisen ominaisuuden kaavan, etsi, tiedä ja

Vertaa vastauksiasi oikeisiin:

Mitä mieltä olette, mitä jos meille ei annettaisi geometrisen progression termien arvoja halutun luvun vieressä, vaan yhtä kaukana siitä. Meidän on esimerkiksi löydettävä ja annettava ja. Voimmeko tässä tapauksessa käyttää johdettuamme kaavaa? Yritä vahvistaa tai kumota tämä mahdollisuus samalla tavalla kuvailemalla, mistä kukin arvo koostuu, kuten teit silloin, kun johdit kaavan alun perin, at.
Mitä sinä sait?

Katso nyt taas tarkkaan.
ja vastaavasti:

Tästä voimme päätellä, että kaava toimii ei vain naapurin kanssa halutuilla geometrisen progression ehdoilla, mutta myös kanssa yhtä kaukana siitä, mitä jäsenet etsivät.

Näin ollen alkuperäinen kaavamme saa muodon:

Eli jos ensimmäisessä tapauksessa sanoimme niin, nyt sanomme, että se voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa pienempi luonnollinen luku. Tärkeintä on, että se on sama molemmille annetuille numeroille.

Harjoittele konkreettisilla esimerkeillä, ole vain erittäin varovainen!

1. , . Löytö.
2. , . Löytö.
3. , . Löytö.

Päätetty? Toivottavasti olit erittäin tarkkaavainen ja huomasit pienen saaliin.

Verrataanpa tuloksia.

Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa sovellamme rauhallisesti yllä olevaa kaavaa ja saamme seuraavat arvot:

Kolmannessa tapauksessa, tutkittuamme huolellisesti meille annettujen numeroiden sarjanumerot, ymmärrämme, että ne eivät ole yhtä kaukana etsimästämme numerosta: se on edellinen numero, mutta se on poistettu jossain kohdassa, joten se on kaavaa ei ole mahdollista soveltaa.

Miten se ratkaistaan? Se ei itse asiassa ole niin vaikeaa kuin miltä näyttää! Kirjataan ylös, mistä kukin meille annettu ja etsimämme numero koostuu.

Meillä on siis ja. Katsotaan mitä voimme tehdä niille? Suosittelen jakamista. Saamme:

Korvaamme tietomme kaavaan:

Seuraava askel, jonka voimme löytää, on - tätä varten meidän on otettava tuloksena olevan luvun kuutiojuuri.

Katsotaan nyt uudelleen, mitä meillä on. Meillä on se, mutta meidän on löydettävä se, ja se puolestaan ​​​​on yhtä suuri kuin:

Löysimme kaikki laskentaan tarvittavat tiedot. Korvaa kaavaan:

Vastauksemme: .

Yritä ratkaista toinen samanlainen ongelma itse:
Annettu: ,
Löytö:

Kuinka paljon sait? Minulla on - .

Kuten näet, periaatteessa tarvitset muista vain yksi kaava- . Voit nostaa loput itse ilman vaikeuksia milloin tahansa. Tätä varten kirjoita yksinkertaisin geometrinen eteneminen paperille ja kirjoita ylös, mitä kukin sen numero on yhtä suuri, yllä kuvatun kaavan mukaisesti.

Geometrisen progression ehtojen summa.

Katsotaanpa nyt kaavoja, joiden avulla voimme nopeasti laskea geometrisen etenemisen termien summan tietyllä aikavälillä:

Johdataksesi äärellisen geometrisen progression termien summan kaavan, kerro kaikki yllä olevan yhtälön osat luvulla. Saamme:

Katso tarkkaan: mitä yhteistä on kahdella viimeisellä kaavalla? Aivan oikein, esimerkiksi yhteiset jäsenet ja niin edelleen, paitsi ensimmäinen ja viimeinen jäsen. Yritetään vähentää 1. yhtälöstä 2. Mitä sinä sait?

Ilmaise nyt geometrisen etenemisen termi kaavan kautta ja korvaa tuloksena oleva lauseke viimeisellä kaavallamme:

Ryhmittele lauseke. Sinun pitäisi saada:

Ainoa mitä on vielä tehtävä, on ilmaista:

Vastaavasti tässä tapauksessa.

Mitä jos? Mikä kaava sitten toimii? Kuvittele geometrinen eteneminen. Millainen hän on? Sarja identtisiä lukuja on oikea, joten kaava näyttää tältä:

Sekä aritmeettisesta että geometrisesta etenemisestä on monia legendoja. Yksi niistä on legenda Setistä, shakin luojasta.

Monet ihmiset tietävät, että shakkipeli keksittiin Intiassa. Kun hindukuningas tapasi hänet, hän oli iloinen hänen älykkyydestään ja mahdollisista asennoista. Saatuaan tietää, että yksi hänen alamaisistaan ​​keksi sen, kuningas päätti palkita hänet henkilökohtaisesti. Hän kutsui keksijän luokseen ja käski häntä pyytämään häneltä kaikkea, mitä hän halusi, ja lupasi täyttää taidoimmankin toiveen.

Seta pyysi ajatteluaikaa, ja kun seuraavana päivänä Seta ilmestyi kuninkaan eteen, hän yllätti kuninkaan pyyntönsä ennennäkemättömällä vaatimattomuudella. Hän pyysi antamaan vehnänjyvän shakkilaudan ensimmäiselle ruudulle, vehnänjyvän toiselle, vehnänjyvän kolmannelle, neljännelle jne.

Kuningas suuttui ja ajoi Setin pois sanoen, että palvelijan pyyntö ei ollut kuninkaan anteliaisuuden arvoinen, mutta hän lupasi, että palvelija saisi jyvät kaikista laudan ruuduista.

Ja nyt kysymys: laske geometrisen progression ehtojen summan kaavalla kuinka monta jyvää Sethin pitäisi saada?

Aloitetaan perusteleminen. Koska ehdon mukaan Seth pyysi vehnänjyvää shakkilaudan ensimmäiselle ruudulle, toiselle, kolmannelle, neljännelle jne., niin näemme, että ongelma liittyy geometriseen etenemiseen. Mitä se vastaa tässä tapauksessa?
Oikein.

Shakkilaudan neliöt yhteensä. Vastaavasti,. Meillä on kaikki tiedot, jäljellä on vain liittää ne kaavaan ja laskea.

Ainakin suunnilleen tietyn luvun ”asteikon” kuvittelemiseksi muunnamme asteen ominaisuuksien avulla:

Tietysti, jos haluat, voit ottaa laskimen ja laskea, mihin numeroon päädyt, ja jos ei, sinun on uskottava sanani: lausekkeen lopullinen arvo on.
Tuo on:

kvintiljoona kvadriljoona biljoona miljardia miljoonaa tuhatta.

Huh) Jos haluat kuvitella tämän luvun valtavan määrän, niin arvioi, kuinka suuri navetta tarvittaisiin koko viljamäärän mahduttamiseksi.
Jos navetta on m korkea ja m leveä, sen pituuden tulisi ulottua km, ts. kaksi kertaa kauempana kuin maasta aurinkoon.

Jos kuningas olisi vahva matematiikassa, hän olisi voinut kutsua tiedemiehen itse laskemaan jyvät, sillä miljoonan jyvän laskemiseen hän tarvitsisi vähintään päivän väsymätöntä laskemista, ja koska on tarpeen laskea kvintiloonia, jyvät olisi laskettava koko hänen elämänsä ajan.

Ratkaistaan ​​nyt yksinkertainen ongelma, johon liittyy geometrisen progression termien summa.
5A luokan oppilas Vasya sairastui flunssaan, mutta jatkaa koulunkäyntiä. Joka päivä Vasya tartuttaa kaksi ihmistä, jotka puolestaan ​​​​tartuttavat kaksi muuta ihmistä ja niin edelleen. Luokassa on vain ihmisiä. Kuinka monessa päivässä koko luokka sairastuu flunssaan?

Joten geometrisen etenemisen ensimmäinen termi on Vasya, eli henkilö. Geometrisen progression th termi on kaksi ihmistä, jotka hän tartuttaa ensimmäisenä saapumispäivänä. Etenemisjaksojen yhteissumma on yhtä suuri kuin 5A-opiskelijoiden määrä. Näin ollen puhumme etenemisestä, jossa:

Korvataan tietomme geometrisen progression ehtojen summan kaavaan:

Koko luokka sairastuu muutaman päivän sisällä. Etkö usko kaavoihin ja numeroihin? Yritä itse kuvata opiskelijoiden "tartuntaa". Tapahtui? Katso miltä se näyttää minusta:

Laske itse, kuinka monta päivää oppilaiden kestäisi sairastua flunssaan, jos jokainen sairastuttaisi jonkun, ja luokassa oli vain yksi henkilö.

Minkä arvon sait? Kävi ilmi, että kaikki alkoivat sairastua päivän jälkeen.

Kuten näette, tällainen tehtävä ja sen piirustus muistuttavat pyramidia, jossa jokainen seuraava "tuo" uusia ihmisiä. Kuitenkin ennemmin tai myöhemmin tulee hetki, jolloin jälkimmäinen ei voi houkutella ketään. Meidän tapauksessamme, jos kuvittelemme, että luokka on eristetty, henkilö osoitteesta sulkee ketjun (). Siten, jos henkilö olisi mukana finanssipyramidissa, jossa rahaa annettiin, jos toit kaksi muuta osallistujaa, henkilö (tai yleensä) ei tuo ketään, joten menettäisi kaiken, mitä he ovat sijoittaneet tähän taloudelliseen huijaukseen.

Kaikki yllä sanottu viittaa pienenevään tai kasvavaan geometriseen etenemiseen, mutta kuten muistatte, meillä on erityinen tyyppi - äärettömästi pienenevä geometrinen progressio. Kuinka laskea sen jäsenten summa? Ja miksi tällaisella etenemisellä on tiettyjä ominaisuuksia? Selvitetään se yhdessä.

Joten, katsotaanpa ensin uudelleen tätä äärettömästi pienenevän geometrisen etenemisen piirustusta esimerkistämme:

Katsotaan nyt geometrisen progression summan kaavaa, joka on johdettu hieman aikaisemmin:
tai

Mihin pyrimme? Aivan oikein, kaavio osoittaa, että se pyrkii nollaan. Eli at, on vastaavasti lähes yhtä suuri, kun lasketaan lauseke, jonka saamme melkein. Tässä suhteessa uskomme, että laskettaessa äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaa tämä hakasulku voidaan jättää huomiotta, koska se on yhtä suuri.

- kaava on äärettömästi pienenevän geometrisen progression termien summa.

TÄRKEÄ! Käytämme äärettömästi pienenevän geometrisen progression termien summan kaavaa vain, jos ehto nimenomaisesti sanoo, että meidän on löydettävä summa ääretön jäsenten määrä.

Jos tietty luku n on määritetty, käytämme kaavaa n termien summalle, vaikka tai.

Nyt harjoitellaan.

1. Etsi geometrisen progression ensimmäisten termien summa ja.
2. Etsi äärettömästi pienenevän geometrisen progression ehtojen summa ja.

Toivottavasti olit erittäin varovainen. Verrataan vastauksiamme:

Nyt tiedät kaiken geometrisestä etenemisestä, ja on aika siirtyä teoriasta käytäntöön. Yleisimmät kokeessa kohdatut geometrisen etenemisen ongelmat ovat koronkoron laskentaongelmat. Nämä ovat niitä, joista puhumme.

Ongelmia koronlaskennassa.

Olet luultavasti kuullut niin sanotusta koronkorkokaavasta. Ymmärrätkö mitä se tarkoittaa? Jos ei, niin selvitetään se, sillä kun ymmärrät itse prosessin, ymmärrät heti mitä geometrialla progressiolla on tekemistä sen kanssa.

Menemme kaikki pankkiin ja tiedämme, että talletuksille on erilaisia ​​ehtoja: tämä sisältää ehdon, lisäpalvelut ja koron kahdella eri laskentatavalla - yksinkertaisella ja monimutkaisella.

KANSSA yksinkertainen kiinnostus kaikki on enemmän tai vähemmän selvää: korkoa kertyy kerran talletusajan lopussa. Eli jos sanomme, että talletamme 100 ruplaa vuodeksi, ne hyvitetään vasta vuoden lopussa. Vastaavasti talletuksen loppuun mennessä saamme ruplaa.

Korkoa korolle- tämä on vaihtoehto, jossa se esiintyy korkojen pääomittaminen, eli niiden lisääminen talletussummaan ja myöhempi tulojen laskeminen ei alkuperäisestä, vaan kertyneestä talletusmäärästä. Isoja kirjaimia ei tapahdu jatkuvasti, mutta tietyin väliajoin. Yleensä tällaiset ajanjaksot ovat yhtä suuret ja useimmiten pankit käyttävät kuukautta, neljännestä tai vuotta.

Oletetaan, että talletamme samat ruplat vuosittain, mutta talletuksen kuukausittaisella pääomituksella. Mitä olemme tekemässä?

Ymmärrätkö sinä kaiken täällä? Jos ei, selvitetään se askel askeleelta.

Toimme ruplaa pankkiin. Kuukauden loppuun mennessä tilillämme pitäisi olla summa, joka koostuu ruplistamme ja niiden koroista, eli:

Olla samaa mieltä?

Voimme ottaa sen pois suluista ja sitten saamme:

Samaa mieltä, tämä kaava on jo samanlainen kuin alussa kirjoitimme. Jäljelle jää vain prosenttiosien laskeminen

Ongelmailmoituksessa meille kerrotaan vuosikoroista. Kuten tiedät, emme kerro sillä - muunnamme prosenttiosuudet desimaalimurtoiksi, eli:

Eikö? Nyt voit kysyä, mistä numero on peräisin? Erittäin yksinkertainen!
Toistan: ongelmalausunto kertoo noin VUOSI kertynyt korko KUUKAUSITTAIN. Kuten tiedät, kuukausien vuoden kuluttua pankki veloittaa meiltä osan vuosikorosta kuukaudessa:

Tajusitko sen? Yritä nyt kirjoittaa, miltä tämä kaavan osa näyttäisi, jos sanoisin, että korkoa lasketaan päivittäin.
Onnistuitko? Verrataanpa tuloksia:

Hyvin tehty! Palataan tehtäväämme: kirjoita kuinka paljon tilillemme hyvitetään toisen kuukauden aikana, ottaen huomioon, että kertyneelle talletussummalle kertyy korkoa.
Tässä mitä sain:

Tai toisin sanoen:

Luulen, että olet jo huomannut kuvion ja nähnyt geometrisen etenemisen kaikessa tässä. Kirjoita, mikä on sen jäsen, eli toisin sanoen kuinka paljon rahaa saamme kuun lopussa.
Tekikö? Tarkistetaan!

Kuten näet, jos laitat rahaa pankkiin vuodeksi yksinkertaisella korolla, saat ruplaa, ja jos korkokorolla, saat ruplaa. Hyöty on pieni, mutta tämä tapahtuu vasta vuoden aikana, mutta pidemmällä aikavälillä pääomittaminen on paljon kannattavampaa:

Katsotaanpa toisentyyppistä ongelmaa, johon liittyy korkokorko. Sen jälkeen, mitä olet keksinyt, se on sinulle alkeellista. Eli tehtävä:

Zvezda-yhtiö aloitti investoinnit alaan vuonna 2000 pääomalla dollareissa. Vuodesta 2001 lähtien se on saanut joka vuosi voittoa, joka on yhtä suuri kuin edellisen vuoden pääoma. Kuinka paljon voittoa Zvezda-yhtiö saa vuoden 2003 lopussa, jos voittoja ei poisteta liikkeestä?

Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2000.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2001.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2002.
- Zvezda-yhtiön pääoma vuonna 2003.

Tai voimme kirjoittaa lyhyesti:

Meidän tapauksessamme:

2000, 2001, 2002 ja 2003.

Vastaavasti:
ruplaa
Huomioithan, että tässä tehtävässä meillä ei ole jakoa mukaan eikä mukaan, koska prosenttiosuus annetaan VUOSI ja se lasketaan VUOSITTAIN. Toisin sanoen, kun luet koronkorkoongelmaa, kiinnitä huomiota siihen, mikä prosenttiosuus annetaan ja millä ajanjaksolla se lasketaan, ja siirry vasta sitten laskelmiin.
Nyt tiedät kaiken geometrisestä etenemisestä.

Koulutus.

1. Etsi geometrisen progression termi, jos tiedetään, että ja
2. Etsi geometrisen progression ensimmäisten termien summa, jos tiedetään, että ja
3. MDM Capital -yhtiö aloitti investoinnit alalle vuonna 2003 dollareissa. Vuodesta 2004 lähtien se on saanut joka vuosi voittoa, joka on yhtä suuri kuin edellisen vuoden pääoma. MSK Cash Flows -yhtiö aloitti investoinnit alaan vuonna 2005 10 000 dollarilla ja alkoi tuottaa voittoa vuonna 2006. Kuinka monta dollaria yhden yrityksen pääoma on suurempi kuin toisen vuoden 2007 lopussa, jos voittoja ei poisteta liikkeestä?

Vastaukset:

1. Koska tehtävälause ei sano, että eteneminen on ääretön ja vaaditaan tietyn määrän sen termien summa, laskenta suoritetaan kaavan mukaan:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - kasvaa 100%, eli 2 kertaa.
   Vastaavasti:
   ruplaa
   MSK Cash Flows -yhtiö:

   2005, 2006, 2007.
   - kasvaa kertaa, toisin sanoen.
   Vastaavasti:
   ruplaa
   ruplaa

Tehdään yhteenveto.

1) Geometrinen eteneminen ( ) on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on eri kuin nolla ja jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen kerrottuna samalla luvulla. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi.

2) Geometrisen etenemisen ehtojen yhtälö on .

3) voi ottaa mitä tahansa arvoa paitsi ja.

• jos, niin kaikilla myöhemmillä etenemisen termeillä on sama merkki - he ovat positiivisia;
• jos, niin kaikki seuraavat etenemisen ehdot vaihtoehtoiset merkit;
• kun - etenemistä kutsutaan äärettömästi laskevaksi.

4) , jossa - geometrisen progression ominaisuus (viereiset termit)

tai
, at (tasaisen etäisyyden termit)

Kun löydät sen, älä unohda sitä pitäisi olla kaksi vastausta.

Esimerkiksi,

5) Geometrisen etenemisen termien summa lasketaan kaavalla:
tai

tai

TÄRKEÄ! Käytämme äärettömästi pienenevän geometrisen progression termien summan kaavaa vain, jos ehto nimenomaisesti sanoo, että meidän on löydettävä äärettömän määrän termejä.

6) Koronkorkoongelmat lasketaan myös geometrisen progression :nnen jäsenen kaavalla, mikäli varoja ei ole poistettu liikkeestä:

GEOMETRIN EDISTYMINEN. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Geometrinen eteneminen( ) on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on eri kuin nolla, ja jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, kerrottuna samalla luvulla. Tätä numeroa kutsutaan geometrisen progression nimittäjä.

Geometrisen progression nimittäjä voi ottaa minkä tahansa arvon paitsi ja.

• Jos kaikilla seuraavilla etenemisen termeillä on sama merkki - ne ovat positiivisia;
• jos, niin kaikki seuraavat etenemisen jäsenet ovat vuorotellen merkkejä;
• kun - etenemistä kutsutaan äärettömästi laskevaksi.

Geometrisen etenemisen termien yhtälö - .

Geometrisen progression termien summa lasketaan kaavalla:
tai

Jos eteneminen vähenee loputtomasti, niin:

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Menestyksekkäästä Unified State Exam -kokeen läpäisystä, korkeakouluun pääsystä budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 RUR

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!