Funktion gradientti ja sen ominaisuudet. Vektorianalyysi pinnan skalaarikenttä ja tasoviivat suunta derivaatta skalaarikentän gradientti gradientin invariantin perusominaisuudet gradientin gradientin laskentasäännöt

Koulun matematiikan kurssista tiedämme, että tasossa oleva vektori on suunnattu segmentti. Sen alussa ja lopussa on kaksi koordinaattia. Vektorikoordinaatit lasketaan vähentämällä alkukoordinaatit loppukoordinaateista.

Vektorin käsite voidaan laajentaa n-ulotteiseen avaruuteen (kahden koordinaatin sijasta tulee n koordinaattia).

Kaltevuus gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) on funktion osittaisten derivaattojen vektori pisteessä, ts. vektori koordinaatteineen.

Voidaan osoittaa, että funktion gradientti luonnehtii funktion tason nopeimman kasvun suuntaa pisteessä.

Esimerkiksi funktiolle z = 2x 1 + x 2 (katso kuva 5.8), gradientilla missä tahansa pisteessä on koordinaatit (2; 1). Voit rakentaa sen tasolle eri tavoilla ottamalla minkä tahansa pisteen vektorin alkuun. Voit esimerkiksi yhdistää pisteen (0; 0) pisteeseen (2; 1) tai pisteen (1; 0) pisteeseen (3; 1) tai pisteen (0; 3) pisteeseen (2; 4), tai niin edelleen..P. (Katso kuva 5.8). Kaikilla tällä tavalla konstruoiduilla vektoreilla on koordinaatit (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Kuvasta 5.8 näkyy selvästi, että funktion taso nousee gradientin suuntaan, koska rakennetut tasoviivat vastaavat tasoarvoja 4 > 3 > 2.

Kuva 5.8 - Funktion z= 2x 1 + x 2 gradientti

Tarkastellaan toista esimerkkiä - funktiota z = 1/(x 1 x 2). Tämän funktion gradientti ei ole enää aina sama eri pisteissä, koska sen koordinaatit määritetään kaavoilla (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Kuvassa 5.9 on esitetty funktion tasoviivat z = 1/(x 1 x 2) tasoille 2 ja 10 (suora 1/(x 1 x 2) = 2 on merkitty katkoviivalla ja suora 1/( x 1 x 2) = 10 on kiinteä viiva).

Kuva 5.9 - Funktion z= 1/(x 1 x 2) gradientit eri pisteissä

Otetaan esimerkiksi piste (0.5; 1) ja lasketaan gradientti tässä pisteessä: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; -2). Huomaa, että piste (0.5; 1) on tasoviivalla 1/(x 1 x 2) = 2, koska z=f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Piirrä vektori ( -4; -2) Yhdistä kuvan 5.9 piste (0,5; 1) pisteeseen (-3,5; -1), koska (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Otetaan toinen piste samalla tasoviivalla, esimerkiksi piste (1; 0.5) (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Lasketaan gradientti tässä pisteessä (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Sen kuvaamiseksi kuvassa 5.9 yhdistämme pisteen (1; 0,5) pisteeseen (-1; -3,5), koska (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).

Otetaan toinen piste samalla tasoviivalla, mutta vain nyt ei-positiivisessa koordinaattineljänneksessä. Esimerkiksi piste (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradientti tässä vaiheessa on yhtä suuri kuin (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Kuvataan se kuvassa 5.9 yhdistämällä piste (-0,5; -1) pisteeseen (3,5; 1), koska (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

On huomattava, että kaikissa kolmessa tarkastelutapauksessa gradientti näyttää funktiotason kasvusuunnan (tasoviivaa kohti 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Voidaan todistaa, että gradientti on aina kohtisuorassa tietyn pisteen kautta kulkevaa tasoviivaa (tasopintaa) vastaan.

Useiden muuttujien funktion ääriarvo

Määritellään käsite ääripää useiden muuttujien funktiolle.

Monen muuttujan funktiolla f(X) on pisteessä X (0) maksimi (minimi), jos tämän pisteen naapurusto on sellainen, että kaikki pisteet X tästä naapurustosta toteutuvat epäyhtälöt f(X)f(X (0)) ().

Jos nämä epäyhtälöt täyttyvät tiukoina, kutsutaan ääriarvoa vahva, ja jos ei, niin sitten heikko.

Huomaa, että tällä tavalla määritetty ääriarvo on paikallinen luonnetta, koska nämä epäyhtälöt täyttyvät vain tietylle ääripisteen ympäristölle.

Differentioituvan funktion z=f(x 1, . . ., x n) paikallisen ääripään välttämätön ehto pisteessä on kaikkien tämän pisteen ensimmäisen kertaluvun osittaisten derivaattojen nolla:
.

Pisteitä, joissa nämä yhtäläisyydet ovat voimassa, kutsutaan paikallaan.

Toisella tavalla ääripään välttämätön ehto voidaan muotoilla seuraavasti: ääripisteessä gradientti on nolla. Myös yleisempi väite voidaan todistaa: ääripisteessä funktion derivaatat kaikkiin suuntiin katoavat.

Kiinteät pisteet tulisi tutkia lisätutkimuksella sen selvittämiseksi, täyttyvätkö riittävät edellytykset paikallisen ääripään olemassaololle. Määritä tätä varten toisen asteen eron etumerkki. Jos jokin , joka ei ole samanaikaisesti yhtä suuri kuin nolla, on aina negatiivinen (positiivinen), niin funktiolla on maksimi (minimi). Jos se voi mennä nollaan ei vain nollan lisäyksillä, niin kysymys ääripäästä jää avoimeksi. Jos se voi ottaa sekä positiiviset että negatiiviset arvot, niin paikallaan olevassa pisteessä ei ole ääripäätä.

Yleisessä tapauksessa differentiaalin etumerkin määrittäminen on melko monimutkainen ongelma, jota emme käsittele tässä. Kahden muuttujan funktiolle voidaan osoittaa, että jos se on paikallaan
, silloin ääripää on läsnä. Tässä tapauksessa toisen differentiaalin etumerkki on sama kuin etumerkki
, eli Jos
, tämä on maksimi, ja jos
, niin tämä on minimi. Jos
, silloin tässä vaiheessa ei ole ääripäätä, ja jos
, niin kysymys ääripäästä jää avoimeksi.

Esimerkki 1. Etsi funktion ääripää
.

Etsitään osittaiset derivaatat logaritmisella differentiaatiomenetelmällä.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Samoin
.

Etsitään kiinteät pisteet yhtälöjärjestelmästä:

Siten on löydetty neljä kiinteää pistettä (1; 1), (1; -1), (-1; 1) ja (-1; -1).

Etsitään toisen asteen osittaiset derivaatat:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2 ln (1 + x 2)

Samoin
;
.

Koska
, ilmemerkki
riippuu vain
. Huomaa, että molemmissa derivaatoissa nimittäjä on aina positiivinen, joten voit ottaa huomioon vain osoittajan etumerkin tai jopa lausekkeiden x(x 2 – 3) ja y(y 2 – 3) etumerkin. Määritetään se jokaisessa kriittisessä pisteessä ja tarkistetaan, että ääripään riittävä ehto täyttyy.

Pisteelle (1; 1) saadaan 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух negatiivisia lukuja
> 0 ja
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Pisteelle (1; -1) saadaan 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Koska näiden lukujen tulo
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Pisteelle (-1; -1) saadaan (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Koska kahden positiivisen luvun tulo
> 0 ja
> 0, pisteestä (-1; -1) löytyy minimi. Se on yhtä suuri kuin 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

löytö maailmanlaajuisesti maksimi tai minimi (funktion suurin tai pienin arvo) on jonkin verran monimutkaisempi kuin paikallinen ääripää, koska nämä arvot voidaan saavuttaa paitsi kiinteissä pisteissä, myös määritelmäalueen rajalla. Ei ole aina helppoa tutkia funktion käyttäytymistä tämän alueen rajalla.

Antaa Z= F(M) – jossain pisteen ympäristössä määritetty funktio M(y; x);L={ Cos; Cos} – yksikkövektori (kuvassa 33 1=  , 2= ); L– suunnattu suora, joka kulkee pisteen kautta M; M1(x1; y1), missä x1=x+x ja y1=y+y– piste viivalla L;  L– segmentin pituus MM1;  Z= F(x+x, y+y)-F(X, Y) – funktion lisäys F(M) pisteessä M(x; y).

Määritelmä. Suhteen rajaa, jos se on olemassa, kutsutaan Johdannainen funktiosta Z = F ( M ) kohdassa M ( X ; Y ) vektorin suuntaan L .

Nimitys.

Jos toiminto F(M) erottuva pisteessä M(x;y), sitten pisteessä M(x;y) on johdannainen mihin tahansa suuntaan L peräisin M; se lasketaan seuraavalla kaavalla:

(8)

Missä Cos JA Cos- vektorin suuntakosinit L.

Esimerkki 46. Laske funktion derivaatta Z= X2 + Y2 X pisteessä M(1; 2) vektorin suuntaan MM1, Missä M1– piste koordinaateilla (3; 0).

. Etsitään yksikkövektori L, jolla on tämä suunta:

Missä Cos= ; Cos=- .

Lasketaan funktion osittaiset derivaatat pisteessä M(1; 2):

Kaavan (8) avulla saamme

Esimerkki 47. Etsi funktion derivaatta U = Xy2 Z3 pisteessä M(3; 2; 1) Vektorin suuntaan MN, Missä N(5; 4; 2) .

. Etsitään vektori ja sen suuntakosinit:

Lasketaan osittaisten derivaattojen arvot pisteessä M:

Siten,

Määritelmä. Kaltevuus ToiminnotZ= F(M) pisteessä M(x; y) on vektori, jonka koordinaatit ovat yhtä suuret kuin vastaavat osittaiset derivaatat ja otettu pisteessä M(x; y).

Nimitys.

Esimerkki 48. Etsi funktion gradientti Z= X2 +2 Y2 -5 pisteessä M(2; -1).

Ratkaisu. Osittaisjohdannaisten löytäminen: ja niiden arvot pisteessä M(2; -1):

Esimerkki 49. Etsi funktion gradientin suuruus ja suunta pisteessä

Ratkaisu. Etsitään osittaiset derivaatat ja lasketaan niiden arvot pisteessä M:

Siten,

Kolmen muuttujan funktion suuntaderivaatta määritetään samalla tavalla U= F(X, Y, Z) , kaavat näytetään

Gradientin käsite esitellään

Korostetaan sitä Gradienttifunktion perusominaisuudet tärkeämpää taloudellisen optimoinnin analyysissä: gradientin suuntaan funktio kasvaa. Seuraavia gradienttiominaisuuksia käytetään talousongelmissa:

1) Olkoon funktio annettu Z= F(X, Y) , jolla on osittaiset derivaatat määritelmän alueella. Mietitäänpä jotain kohtaa M0(x0, y0) määritelmäalueelta. Olkoon funktion arvo tässä pisteessä yhtä suuri kuin F(X0 , Y0 ) . Katsotaanpa funktion kuvaajaa. Pisteen läpi (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) kolmiulotteisessa avaruudessa piirretään funktion kaavion pintaan tangentti taso. Sitten pisteessä lasketun funktion gradientti (x0, y0), jota pidetään geometrisesti vektorina, jota sovelletaan pisteeseen (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , on kohtisuorassa tangenttitasoon nähden. Geometrinen kuva on esitetty kuvassa. 34.

2) Gradienttitoiminto F(X, Y) pisteessä M0(x0, y0) osoittaa funktion nopeimman kasvun suunnan pisteessä M0. Lisäksi mikä tahansa suunta, joka muodostaa terävän kulman gradientin kanssa, on funktion kasvusuunta pisteessä M0. Toisin sanoen pieni liike pisteestä (x0, y0) funktion gradientin suuntaan johtaa tässä pisteessä funktion kasvuun ja suurimmassa määrin.

Tarkastellaan gradientin vastaista vektoria. Sitä kutsutaan Anti-gradientti . Tämän vektorin koordinaatit ovat:

Gradienttia estävä toiminto F(X, Y) pisteessä M0(x0, y0) osoittaa funktion nopeimman laskun suunnan pisteessä M0. Mikä tahansa suunta, joka muodostaa terävän kulman antigradientin kanssa, on suunta, johon funktio pienenee tässä pisteessä.

3) Kun funktiota tutkitaan, on usein tarve löytää sellaisia ​​pareja (x, y) funktion määritelmäalueelta, jossa funktio saa samat arvot. Harkitse joukkoa pisteitä (X, Y) funktion alueelta F(X, Y) , sellaista F(X, Y)= Const, missä on merkintä “ Const” tarkoittaa, että funktion arvo on kiinteä ja yhtä suuri kuin jokin luku funktioalueelta.

Määritelmä. Toiminnan tasoviiva U = F ( X , Y ) kutsutaan linjaksiF(X, Y)=C koneessaXOy, kohdissa, joissa funktio säilyttää vakioarvonU= C.

Tasoviivat on geometrisesti kuvattu riippumattomien muuttujien muutostasolla kaarevina viivoina. Tasoviivojen saaminen voidaan kuvitella seuraavasti. Harkitse sarjaa KANSSA, joka koostuu kolmiulotteisen avaruuden pisteistä koordinaatteineen (X, Y, F(X, Y)= Const), jotka toisaalta kuuluvat funktion kuvaajaan Z= F(X, Y), toisaalta ne sijaitsevat tasossa, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa HOU, ja erotetaan siitä määrällä, joka on yhtä suuri kuin tietty vakio. Sitten tasoviivan rakentamiseksi riittää, että funktiokuvaajan pinta leikataan tason kanssa Z= Const ja projisoi leikkausviiva tasoon HOU. Yllä oleva päättely oikeuttaa mahdollisuuden rakentaa tasoviivat suoraan tasolle HOU.

Määritelmä. Useita tasoviivoja kutsutaan Tasoviivan kartta.

Esimerkkejä tasoviivoista tunnetaan hyvin - saman korkeuden tasot topografinen kartta ja saman barometrisen paineen viivat sääkartalla.

Määritelmä. Kutsutaan suuntaa, jolla funktion kasvunopeus on suurin "ensisijainen" suunta, tai Nopeimman kasvun suunta.

"Ensisijainen" suunta saadaan funktion gradienttivektorista. Kuvassa Kuva 35 esittää maksimi-, minimi- ja satulapisteen kahden muuttujan funktion optimoinnin ongelmassa rajoitusten puuttuessa. Kuvan alaosassa näkyvät nopeimman kasvun tason ja suunnan viivat.

Esimerkki 50. Etsi toimintotason viivoja U= X2 + Y2 .

Ratkaisu. Tasoviivojen perheen yhtälöllä on muoto X2 + Y2 = C (C>0) . Antaminen KANSSA erilaisia ​​reaaliarvoja, saamme samankeskisiä ympyröitä, joiden keskus on origossa.

Tasaisten linjojen rakentaminen. Heidän analyysinsa löytää laaja sovellus mikro- ja makrotason taloudellisissa ongelmissa, tasapainoteoria ja tehokkaita ratkaisuja. Isokostit, isokvantit, välinpitämättömyyskäyrät - nämä ovat kaikki tasoviivoja, jotka on rakennettu eri taloudellisia toimintoja varten.

Esimerkki 51. Mieti seuraavaa taloudellista tilannetta. Olkoon tuotteiden tuotanto kuvattu Cobb-Douglas-toiminto F(X, Y)=10x1/3y2/3, Missä X- työn määrä, U– pääoman määrä. Resurssien hankintaan osoitettiin 30 USD. yksikköä, työn hinta on 5 USD. yksikköä, pääoma – 10 USD. yksiköitä Kysykäämme itseltämme: mikä on suurin tuotos, joka voidaan saada näissä olosuhteissa? Tässä "annetuilla ehdoilla" tarkoitetaan tiettyjä teknologioita, resurssien hintoja ja tuotantotoiminnon tyyppiä. Kuten jo todettiin, toiminto Cobb-Douglas kasvaa monotonisesti kunkin muuttujan osalta, eli kunkin resurssityypin lisäys johtaa tuotannon kasvuun. Näissä olosuhteissa on selvää, että resurssien hankintaa on mahdollista lisätä niin kauan kuin rahaa riittää. Resurssisarjat, joiden hinta on 30 USD. yksiköt, täyttävät ehdon:

5x + 10v = 30,

Eli ne määrittävät toimintotason rivin:

G(X, Y) = 5x + 10v.

Toisaalta käyttämällä tasoviivoja Cobb-Douglasin toiminnot (Kuva 36) voit näyttää funktion kasvun: missä tahansa tasoviivan pisteessä gradientin suunta on suurimman kasvun suunta, ja gradientin rakentamiseen pisteeseen riittää, että piirretään tangentti tasoviiva tässä kohdassa, muodosta kohtisuora tangenttia vastaan ​​ja osoita gradientin suunta. Kuvasta 36 voidaan nähdä, että Cobb-Douglas-funktion tasoviivaa tulee siirtää gradienttia pitkin, kunnes siitä tulee tangentti tasoviivaa kohtaan 5x + 10v = 30. Siten tasoviivan, gradientin ja gradientin ominaisuuksien käsitteitä käyttämällä on mahdollista kehittää lähestymistapoja resurssien parhaaseen käyttöön tuotannon volyymin lisäämisen kannalta.

Määritelmä. Pintatason toiminto U = F ( X , Y , Z ) kutsutaan pinnaksiF(X, Y, Z)=С, jonka kohdissa funktio säilyttää vakioarvonU= C.

Esimerkki 52. Etsi toimintotason pinnat U= X2 + Z2 - Y2 .

Ratkaisu. Tasaisten pintojen perheen yhtälöllä on muoto X2 + Z2 - Y2 =C. Jos С=0, sitten saamme X2 + Z2 - Y2 =0 - kartio; Jos C<0 , Tuo X2 + Z2 - Y2 =C – Kaksilevyisten hyperboloidien perhe.

Joitakin käsitteitä ja termejä käytetään puhtaasti kapeassa kehyksessä, kun taas toisia määritelmiä löytyy alueilta, jotka ovat jyrkästi vastakkaisia. Esimerkiksi "gradientin" käsitettä käyttävät fyysikko, matemaatikko ja manikyyri- tai Photoshop-asiantuntija. Mikä on gradientti käsitteenä? Selvitetään se.

Mitä sanakirjat sanovat?

Erityiset temaattiset sanakirjat tulkitsevat, mitä "gradientti" tarkoittaa suhteessa niiden erityispiirteisiin. Käännettynä latinasta tämä sana tarkoittaa "joka menee, se kasvaa". Ja Wikipedia määrittelee tämän käsitteen "vektoriksi, joka osoittaa määrän kasvun suunnan". Selittävissä sanakirjoissa näemme tämän sanan merkityksen "mikä tahansa arvon muutoksena yhdellä arvolla". Käsitteellä voi olla sekä määrällinen että laadullinen merkitys.

Lyhyesti sanottuna se on minkä tahansa arvon tasainen asteittainen siirtyminen yhdellä arvolla, progressiivinen ja jatkuva määrän tai suunnan muutos. Vektorin laskevat matemaatikot ja meteorologit. Tätä käsitettä käytetään tähtitiedessä, lääketieteessä, taiteessa ja tietokonegrafiikassa. Samanlainen termi määrittelee täysin erilaiset toiminnot.

Matemaattiset funktiot

Mikä on funktion gradientti matematiikassa? Tämä osoittaa funktion kasvusuunnan skalaarikentässä arvosta toiseen. Gradientin suuruus lasketaan osittaisten derivaattojen avulla. Funktion nopeimman kasvusuunnan määrittämiseksi kaaviosta valitaan kaksi pistettä. Ne määrittelevät vektorin alun ja lopun. Nopeus, jolla arvo kasvaa pisteestä toiseen, on gradientin suuruus. Tämän indikaattorin laskelmiin perustuvia matemaattisia funktioita käytetään vektoritietokonegrafiikassa, jonka objektit ovat matemaattisten kohteiden graafisia kuvia.

Mikä on gradientti fysiikassa?

Gradientin käsite on yleinen monilla fysiikan aloilla: optiikan gradientti, lämpötila, nopeus, paine jne. Tässä haarassa käsite tarkoittaa arvon kasvua tai pienenemistä yhdellä. Se lasketaan laskelmilla kahden indikaattorin erotuksena. Katsotaanpa joitain arvoja tarkemmin.

Mikä on potentiaalinen gradientti? Kun työskentelet sähköstaattisen kentän kanssa, määritetään kaksi ominaisuutta: jännitys (voima) ja potentiaali (energia). Nämä erilaiset määrät liittyvät ympäristöön. Ja vaikka ne määrittelevät erilaisia ​​ominaisuuksia, niillä on silti yhteys toisiinsa.

Voimakentän voimakkuuden määrittämiseen käytetään potentiaaligradienttia - arvoa, joka määrittää potentiaalin muutosnopeuden voimalinjan suunnassa. Kuinka laskea? Sähkökentän kahden pisteen välinen potentiaaliero lasketaan tunnetusta jännitteestä käyttämällä intensiteettivektoria, joka on yhtä suuri kuin potentiaaligradientti.

Meteorologien ja maantieteilijöiden ehdot

Ensimmäistä kertaa meteorologit käyttivät gradientin käsitettä määrittämään muutoksia eri meteorologisten indikaattoreiden: lämpötilan, paineen, tuulen nopeuden ja voimakkuuden suuruudessa ja suunnassa. Se on eri määrien määrällisten muutosten mitta. Maxwell esitteli termin matematiikkaan paljon myöhemmin. Sääolosuhteiden määrittämisessä käytetään käsitteitä pysty- ja vaakakaltevuuksista. Katsotaanpa niitä tarkemmin.

Mikä on pystysuora lämpötilagradientti? Tämä on arvo, joka näyttää indikaattoreiden muutoksen laskettuna 100 m korkeudella. Se voi olla joko positiivinen tai negatiivinen, toisin kuin vaaka, joka on aina positiivinen.

Gradientti näyttää kaltevuuden suuruuden tai kulman maassa. Se lasketaan tietyssä osassa polun projektion korkeuden ja pituuden suhteena. Prosentteina ilmaistuna.

Lääketieteelliset indikaattorit

"Lämpötilagradientin" määritelmä löytyy myös lääketieteellisistä termeistä. Se näyttää eron vastaavissa sisäelinten ja kehon pinnan indikaattoreissa. Biologiassa fysiologinen gradientti tallentaa muutokset minkä tahansa elimen tai organismin fysiologiassa kokonaisuudessaan missä tahansa sen kehitysvaiheessa. Lääketieteessä aineenvaihdunnan indikaattori on aineenvaihdunnan intensiteetti.

Ei vain fyysikot, vaan myös lääkärit käyttävät tätä termiä työssään. Mikä on painegradientti kardiologiassa? Tämä käsite määrittelee verenpaineen eron kaikissa toisiinsa liittyvissä sydän- ja verisuonijärjestelmän osissa.

Automaattisuuden laskeva gradientti on merkki sydämen viritystaajuuden vähenemisestä sen tyvestä yläosaan, mikä tapahtuu automaattisesti. Lisäksi kardiologit tunnistavat valtimovaurion sijainnin ja sen asteen seuraamalla systolisten aaltojen amplitudien eroja. Toisin sanoen käyttämällä pulssin amplitudigradienttia.

Mikä on nopeusgradientti?

Kun he puhuvat tietyn suuren muutosnopeudesta, he tarkoittavat tällä muutoksen nopeutta ajassa ja tilassa. Toisin sanoen nopeusgradientti määrittää muutoksen tilakoordinaateissa suhteessa aikaindikaattoreihin. Tämän indikaattorin ovat laskeneet meteorologit, tähtitieteilijät ja kemistit. Nestekerrosten leikkausnopeusgradientti määritetään öljy- ja kaasuteollisuudessa nesteen nousunopeuden laskemiseksi putken läpi. Tämä tektonisten liikkeiden indikaattori on seismologien laskelmien alue.

Taloudelliset toiminnot

Taloustieteilijät käyttävät laajalti gradientin käsitettä tärkeiden teoreettisten johtopäätösten perustelemiseen. Kuluttajien ongelmia ratkaistaessa hyödyllisyysfunktiota käytetään auttamaan esittämään mieltymyksiä joukosta vaihtoehtoja. "Budjetin rajoitusfunktio" on termi, jota käytetään viittaamaan joukkoon kulutuspaketteja. Tämän alueen gradientteja käytetään optimaalisen kulutuksen laskemiseen.

Värigradientti

Termi "gradientti" on tuttu luoville ihmisille. Vaikka ne ovat kaukana täsmällisistä tieteistä. Mikä on gradientti suunnittelijalle? Koska eksaktissa tieteessä se on asteittaista arvon nousua yhdellä, joten värissä tämä indikaattori tarkoittaa saman värin sävyjen tasaista, pidennettyä siirtymistä vaaleammasta tummempaan tai päinvastoin. Taiteilijat kutsuvat tätä prosessia "venytykseksi". On myös mahdollista vaihtaa eri väriin samalla alueella.

Gradienttivärisävyt maalaushuoneissa ovat ottaneet vahvan aseman suunnittelutekniikoiden joukossa. Uusi muodikas ombre-tyyli – tasainen sävyjen kulku vaaleasta tummaan, kirkkaasta vaaleaan – muuttaa tehokkaasti minkä tahansa kodin tai toimiston huoneen.

Optikot käyttävät aurinkolaseissa erityisiä linssejä. Mikä on gradientti laseissa? Tämä on linssin valmistamista erikoisella tavalla, kun väri muuttuu ylhäältä alas tummemmasta vaaleampaan sävyyn. Tällä tekniikalla valmistetut tuotteet suojaavat silmiä auringon säteilyltä ja mahdollistavat kohteiden katselun myös erittäin kirkkaassa valossa.

Väri verkkosuunnittelussa

Verkkosuunnitteluun ja tietokonegrafiikkaan osallistuvat ovat hyvin tietoisia universaalista "gradientti"-työkalusta, jolla voidaan luoda monenlaisia ​​tehosteita. Värisiirtymät muuttuvat kohokohtiksi, oudoksi taustaksi ja kolmiulotteisuudeksi. Sävyjen manipulointi ja valon ja varjon luominen antaa vektoriobjekteille volyymia. Näihin tarkoituksiin käytetään useita kaltevuustyyppejä:

• Lineaarinen.
• Säteittäinen.
• Kartion muotoinen.
• Peili.
• Timantin muotoinen.
• Melugradientti.

Gradientti kauneus

Kauneussalonkien vierailijoille kysymys gradientin sisällöstä ei tule yllätyksenä. Totta, tässäkään tapauksessa matemaattisten lakien ja fysiikan perusteiden tuntemus ei ole välttämätöntä. Puhumme edelleen värisiirtymistä. Gradientin kohteina ovat hiukset ja kynnet. Ombre-tekniikka, joka tarkoittaa ranskaksi "sävyä", tuli muotiin surffauksen ja muiden rantatoimintojen ystäviltä. Luonnollisesti vaalennetuista ja uudelleen kasvaneista hiuksista on tullut hitti. Muotimiehet alkoivat erityisesti värjätä hiuksiaan tuskin havaittavilla sävyjen siirroilla.

Ombre-tekniikka ei ole ohittanut kynsisalongit. Gradientti kynsissä luo värin vaalenemalla levyä asteittain juuresta reunaan. Mestarit tarjoavat vaaka-, pysty-, siirtymä- ja muita lajikkeita.

Käsityö

Neulanaiset tuntevat "gradientin" käsitteen vielä yhdeltä puolelta. Samanlaista tekniikkaa käytetään käsintehtyjen esineiden luomiseen decoupage-tyyliin. Näin syntyy uusia antiikkiesineitä tai kunnostetaan vanhoja: lipastot, tuolit, lipastot jne. Decoupage tarkoittaa kuvion levittämistä stensiiliä käyttäen, jonka perustana on värigradientti taustana.

Kangastaiteilijat ovat ottaneet tämän värjäysmenetelmän uusiin malleihin. Liukuväreillä varustetut mekot ovat valloittaneet catwalkit. Muodin ottivat neulenaiset - neuleet. Neulotut tuotteet, joissa on tasainen värisiirtymä, ovat suosittuja.

Yhteenvetona "gradientin" määritelmästä voidaan sanoa erittäin laajasta ihmisen toiminnan alueesta, jossa tällä termillä on paikka. Korvaaminen synonyymillä "vektori" ei ole aina sopivaa, koska vektori on edelleen toiminnallinen, tilakäsite. Käsitteen yleisyyden määrittelee tietyn määrän, aineen, fysikaalisen parametrin asteittainen muutos yhdellä tietyn ajanjakson aikana. Värissä se on tasainen sävyn siirtymä.

Kaltevuus toimintoja– vektorisuure, jonka määrittäminen liittyy funktion osittaisten derivaattojen määritykseen. Gradientin suunta osoittaa funktion nopeimman kasvun polun skalaarikentän pisteestä toiseen.

Ohjeet

1. Funktion gradientin ongelman ratkaisemiseksi käytetään differentiaalilaskennan menetelmiä, nimittäin ensimmäisen kertaluvun osittaisten derivaattojen löytämistä kolmen muuttujan suhteen. Oletetaan, että funktiolla itsellään ja kaikilla sen osittaisilla derivaatoilla on jatkuvuuden ominaisuus funktion määrittelyalueella.

2. Gradientti on vektori, jonka suunta osoittaa funktion F nopeimman kasvun suunnan. Tätä varten kaaviosta valitaan kaksi pistettä M0 ja M1, jotka ovat vektorin päät. Gradientin suuruus on yhtä suuri kuin funktion kasvunopeus pisteestä M0 pisteeseen M1.

3. Funktio on differentioituva tämän vektorin kaikissa pisteissä, joten vektorin projektiot koordinaattiakseleille ovat kaikki sen osittaisia ​​derivaattoja. Tällöin gradienttikaava näyttää tältä: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, missä i, j, k ovat yksikkövektorin koordinaatit . Toisin sanoen funktion gradientti on vektori, jonka koordinaatit ovat sen osittaiset derivaatat grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Esimerkki 1. Olkoon funktio F = sin(x z?)/y. Sen gradientti on tunnistettava pisteessä (?/6, 1/4, 1).

5. Ratkaisu: Määritä kunkin muuttujan osittaiset derivaatat: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Korvaa pisteen kuuluisat koordinaattiarvot: F'_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2?/?3.

7. Käytä funktion gradienttikaavaa:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Esimerkki 2. Etsi funktion F = y arсtg (z/x) gradientin koordinaatit pisteessä (1, 2, 1).

9. Ratkaisu.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/х) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/х) + y (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Skalaarikentän gradientti on vektorisuure. Siten sen löytämiseksi on tarpeen määrittää kaikki vastaavan vektorin komponentit skalaarikentän jaon tuntemisen perusteella.

Ohjeet

1. Lue korkeamman matematiikan oppikirjasta, mikä on skalaarikentän gradientti. Kuten tiedät, tällä vektorisuureella on suunta, jolle on tunnusomaista skalaarifunktion suurin vaimenemisnopeus. Tämä tämän vektorisuureen tulkinta on perusteltua sen komponenttien määrityslausekkeella.

2. Muista, että mikä tahansa vektori määräytyy sen komponenttien magnitudien mukaan. Vektorin komponentit ovat itse asiassa tämän vektorin projektioita jollekin koordinaattiakselille. Siten, jos tarkastellaan kolmiulotteista avaruutta, vektorissa on oltava kolme komponenttia.

3. Kirjoita muistiin, kuinka tietyn kentän gradientin muodostavan vektorin komponentit määritetään. Kaikki tällaisen vektorin koordinaatit ovat yhtä suuria kuin skalaaripotentiaalin derivaatta suhteessa muuttujaan, jonka koordinaattia lasketaan. Eli jos sinun on laskettava kenttägradienttivektorin "x"-komponentti, sinun on erotettava skalaarifunktio suhteessa "x"-muuttujaan. Huomaa, että johdannaisen on oltava osittainen. Tämä tarkoittaa, että differentioinnin aikana jäljellä olevia muuttujia, jotka eivät ole mukana siinä, on pidettävä vakioina.

4. Kirjoita lauseke skalaarikentälle. Kuten hyvin tiedetään, tämä termi tarkoittaa vain useiden muuttujien skalaarifunktiota, jotka ovat myös skalaarisuureita. Skalaarifunktion muuttujien määrää rajoittaa tilan ulottuvuus.

5. Erota skalaarifunktio erikseen kunkin muuttujan suhteen. Tämän seurauksena saat kolme uutta toimintoa. Kirjoita mikä tahansa funktio skalaarikentän gradienttivektorin lausekkeeseen. Jokainen saaduista funktioista on itse asiassa indikaattori tietyn koordinaatin yksikkövektorille. Siten lopullisen gradienttivektorin tulisi näyttää polynomilta, jonka eksponentit ovat funktion derivaattojen muodossa.

Kun tarkastellaan gradienttiesitystä koskevia kysymyksiä, on yleistä ajatella, että funktiot ovat skalaarikenttiä. Siksi on tarpeen ottaa käyttöön asianmukainen merkintä.

Tarvitset

• - puomi;
• - kynä.

Ohjeet

1. Määritetään funktio kolmella argumentilla u=f(x, y, z). Funktion osittaisderivaata, esimerkiksi suhteessa x:ään, määritellään tämän argumentin derivaataksi, joka saadaan kiinnittämällä loput argumentit. Sama koskee muitakin argumentteja. Osittaisen derivaatan merkintä on kirjoitettu muodossa: df/dx = u’x ...

2. Kokonaisdifferentiaali on yhtä suuri kuin du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. Osittaiset derivaatat voidaan ymmärtää derivaattaina koordinaattiakselien suunnassa. Näin ollen herää kysymys derivaatan löytämisestä annetun vektorin s suunnan suhteen pisteessä M(x, y, z) (älä unohda, että suunta s määräytyy yksikkövektorin s^o avulla). Tässä tapauksessa argumenttien (dx, dy, dz) vektoridifferentiaali = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Ottaen huomioon kokonaisdifferentiaalin du muodon, voimme päätellä, että derivaatta suunnassa s pisteessä M on yhtä suuri kuin: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ (( дf/дy) |M) cos(beta) +((df/dz)|M) cos(gamma). Jos s = s(sx,sy,sz), niin suuntakosinit (cos(alpha), cos(beta) ), cos(gamma)) lasketaan (katso kuva 1a).

4. Suuntaderivaatan määritelmä, kun piste M on muuttuja, voidaan kirjoittaa uudelleen skalaaritulon muotoon: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(beta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Tämä lauseke on objektiivinen skalaarikentässä. Jos funktiota tarkastellaan helposti, niin gradf on vektori, jonka koordinaatit ovat samat osittaisten derivaattojen f(x, y, z) kanssa. gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Tässä (i, j, k) ovat suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän koordinaattiakselien yksikkövektorit.

5. Jos käytämme Hamilton Nabla -differentiaalivektorioperaattoria, niin gradf voidaan kirjoittaa tämän operaattorivektorin kertolaskuksi skalaarilla f (katso kuva 1b). Gradf:n ja suuntaderivaatan välisen yhteyden kannalta yhtäläisyys (gradf, s^o)=0 on hyväksyttävä, jos nämä vektorit ovat ortogonaalisia. Tästä syystä gradf määritellään usein skalaarikentän nopeimman metamorfoosin suunnaksi. Ja differentiaalioperaatioiden (gradf on yksi niistä) näkökulmasta gradf:n ominaisuudet toistavat täsmälleen differentiaalisten funktioiden ominaisuuksia. Erityisesti, jos f=uv, niin gradf=(vgradu+u gradv).

Video aiheesta

Kaltevuus Tämä on työkalu, joka graafisissa muokkausohjelmissa täyttää siluetin sujuvalla siirtymällä väristä toiseen. Kaltevuus voi antaa siluetille äänenvoimakkuuden tuloksen, jäljitellä valaistusta, valon häikäisyä esineen pinnalla tai tulosta auringonlasusta valokuvan taustalla. Tätä työkalua käytetään laajalti, joten valokuvien käsittelyssä tai kuvien luomisessa on erittäin tärkeää oppia käyttämään sitä.

Tarvitset

• Tietokone, grafiikkaeditori Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net tai jokin muu.

Ohjeet

1. Avaa kuva ohjelmassa tai ota uusi. Tee siluetti tai valitse haluamasi alue kuvasta.

2. Ota gradienttityökalu käyttöön grafiikkaeditorin työkalupalkissa. Aseta hiiren osoitin valitun alueen tai siluetin sisällä olevaan pisteeseen, josta liukuvärin ensimmäinen väri alkaa. Napsauta ja pidä hiiren vasenta painiketta painettuna. Siirrä kohdistin kohtaan, jossa haluat liukuvärin muuttuvan lopulliseksi väriksi. Vapauta hiiren vasen painike. Valittu siluetti täytetään liukuvärillä.

3. Kaltevuus Voit asettaa läpinäkyvyyden, värit ja niiden suhteen tietyssä täytön kohdassa. Voit tehdä tämän avaamalla liukuvärien muokkausikkunan. Avaa muokkausikkuna Photoshopissa napsauttamalla liukuväriesimerkkiä Asetukset-paneelissa.

4. Avautuva ikkuna näyttää käytettävissä olevat liukuvärien täyttövaihtoehdot esimerkkien muodossa. Jos haluat muokata jotakin vaihtoehdoista, valitse se hiiren napsautuksella.

5. Ikkunan alareunassa näkyy esimerkki gradientista leveän asteikon muodossa, jossa liukusäätimet sijaitsevat. Liukusäätimet osoittavat pisteet, joissa liukuvärillä olisi pitänyt määrittää lajittelut, ja liukusäätimien välillä väri muuttuu tasaisesti ensimmäisessä pisteessä määritetystä väristä 2. pisteen väriin.

6. Asteikon yläosassa olevat liukusäätimet asettavat gradientin läpinäkyvyyden. Voit muuttaa läpinäkyvyyttä napsauttamalla haluttua liukusäädintä. Asteikon alle ilmestyy kenttä, johon syötät vaaditun läpinäkyvyysasteen prosentteina.

7. Asteikon alareunassa olevat liukusäätimet asettavat liukuvärien värit. Napsauttamalla yhtä niistä voit valita haluamasi värin.

8. Kaltevuus voi olla useita siirtymävärejä. Jos haluat asettaa toisen värin, napsauta asteikon alareunassa olevaa vapaata tilaa. Toinen liukusäädin ilmestyy siihen. Anna sille tarvittava väri. Asteikko näyttää esimerkin gradientista, jossa on yksi lisäpiste. Voit siirtää liukusäätimiä pitämällä niitä painettuna hiiren vasemmalla painikkeella saadaksesi haluamasi yhdistelmän.

9. Kaltevuus Niitä on useita tyyppejä, jotka voivat antaa muodon litteille siluetteille. Esimerkiksi, jotta ympyrä saadaan pallon muotoon, käytetään säteittäistä gradienttia, ja kartion muodon saamiseksi käytetään kartion muotoista gradienttia. Antaaksesi pinnalle kuperuuden illuusion, voit käyttää peilikaltevuutta ja vinoneliön muotoista kaltevuutta voidaan käyttää kohokohtien luomiseen.

Video aiheesta

Video aiheesta

1 0 Gradientti suunnataan normaalisti tasaiseen pintaan (tai tasoviivaan, jos kenttä on tasainen).

2 0 Gradientti on suunnattu kenttäfunktion kasvattamiseen.

3 0 Gradienttimoduuli on yhtä suuri kuin suunnan suurin derivaatta tietyssä kentän pisteessä:

Nämä ominaisuudet tarjoavat gradientin muuttumattoman ominaisuuden. He sanovat, että vektori gradU osoittaa skalaarikentän suurimman muutoksen suunnan ja suuruuden tietyssä pisteessä.

Huomautus 2.1. Jos funktio U(x,y) on kahden muuttujan funktio, niin vektori

(2.3)

sijaitsee happitasolla.

Olkoot U=U(x,y,z) ja V=V(x,y,z) differentioituvia pisteen M 0 (x,y,z) funktioissa. Sitten seuraavat yhtäläisyydet pätevät:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V;

e) gradU( = gradU, missä , U=U() on derivaatta suhteessa .

Esimerkki 2.1. Funktio U=x 2 +y 2 +z 2 on annettu. Määritä funktion gradientti pisteessä M(-2;3;4).

Ratkaisu. Kaavan (2.2) mukaan meillä on

.

Tämän skalaarikentän tasopinnat ovat pallojen perhe x 2 +y 2 +z 2, vektori gradU=(-4;6;8) on tasojen normaalivektori.

Esimerkki 2.2. Etsi skalaarikentän U=x-2y+3z gradientti.

Ratkaisu. Kaavan (2.2) mukaan meillä on

Tietyn skalaarikentän tasopinnat ovat tasoja

x-2y+3z=C; vektori gradU=(1;-2;3) on tämän perheen tasojen normaalivektori.

Esimerkki 2.3. Määritä pinnan nousun suurin jyrkkyys U=x y pisteessä M(2;2;4).

Ratkaisu. Meillä on:

Esimerkki 2.4. Etsi yksikkönormaalivektori skalaarikentän tasopinnalle U=x 2 +y 2 +z 2 .

Ratkaisu. Tietyn skalaarin Field-pallon tasopinnat x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradientti on suunnattu normaalisti tasaiseen pintaan nähden, joten

Määrittää normaalivektorin tasapinnalle pisteessä M(x,y,z). Yksikkönormaalivektorille saadaan lauseke

, Missä

.

Esimerkki 2.5. Etsi kentän gradientti U= , missä ja ovat vakiovektoreita, r on pisteen sädevektori.

Ratkaisu. Antaa

Sitten:
. Determinantin differentiaatiosäännöllä saamme

Siten,

Esimerkki 2.6. Etsi etäisyyden gradientti, jossa P(x,y,z) on tutkittava kenttäpiste, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) on jokin kiinteä piste.

Ratkaisu. Meillä on - yksikkösuuntavektori .

Esimerkki 2.7. Etsi funktioiden gradienttien välinen kulma pisteessä M 0 (1,1).

Ratkaisu. Löydämme näiden funktioiden gradientit pisteestä M 0 (1,1), meillä on

; Kulma gradU:n ja gradV:n välillä pisteessä M 0 määritetään yhtälöstä

Siksi =0.

Esimerkki 2.8. Etsi suuntaderivaata, jonka sädevektori on yhtä suuri

(2.4)

Ratkaisu. Etsi tämän funktion gradientti:

Korvaamalla (2.5) arvolla (2.4) saadaan

Esimerkki 2.9. Etsi pisteestä M 0 (1;1;1) skalaarikentän U=xy+yz+xz suurimman muutoksen suunta ja tämän suurimman muutoksen suuruus tässä pisteessä.

Ratkaisu. Kentän suurimman muutoksen suunta ilmaistaan ​​vektorilla grad U(M). Löydämme sen:

Ja se tarkoittaa... Tämä vektori määrittää tämän kentän suurimman kasvun suunnan pisteessä M 0 (1;1;1). Suurimman kentän muutoksen suuruus tässä pisteessä on yhtä suuri kuin

.

Esimerkki 3.1. Etsi vektorikentän vektoriviivat missä on vakiovektori.

Ratkaisu. Meillä on niin

(3.3)

Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä x:llä, toisen y:llä, kolmannen z:llä ja lisää termi termiltä. Käyttämällä mittasuhteiden ominaisuutta saamme

Tästä syystä xdx+ydy+zdz=0, mikä tarkoittaa

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Nyt kun kerrotaan ensimmäisen murtoluvun (3.3) osoittaja ja nimittäjä c 1:llä, toisen c 2:lla, kolmannen c 3:lla ja lisätään termi kerrallaan, saadaan

Mistä 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Ja siksi 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -vakio

Vaaditut vektorisuorien yhtälöt

Nämä yhtälöt osoittavat, että vektorisuorat saadaan leikkaamalla pallot, joilla on yhteinen keskus origossa vektoriin nähden kohtisuorassa olevien tasojen kanssa. . Tästä seuraa, että vektoriviivat ovat ympyröitä, joiden keskipisteet ovat suoralla, joka kulkee origon kautta vektorin c suunnassa. Ympyröiden tasot ovat kohtisuorassa määritettyä viivaa vastaan.

Esimerkki 3.2. Etsi vektorikenttäviiva kulkee pisteen (1,0,0) läpi.

Ratkaisu. Vektoriviivojen differentiaaliyhtälöt

siksi meillä on . Ensimmäisen yhtälön ratkaiseminen. Tai jos otamme käyttöön parametrin t, niin meillä on Tässä tapauksessa yhtälö ottaa muodon tai dz=bdt, josta z=bt+c 2.