Integraali rationaalisen funktion esimerkkien murto-osasta. Rationaalisten toimintojen integrointi

Yksi tärkeimmistä funktioluokista, joiden integraalit ilmaistaan ​​alkeisfunktioiden kautta, on luokka rationaalisia toimintoja.

Määritelmä 1. Funktio muotoon missä
- asteiden polynomitnJamkutsutaan rationaaliseksi. Kokonainen rationaalinen funktio, ts. polynomi, integroi suoraan. Integraali murto-osainen rationaalinen funktio voidaan löytää jakamalla termeiksi, jotka muunnetaan tavanomaisella tavalla perustaulukkointegraaleiksi.

Määritelmä 2. Murtoluku
kutsutaan oikeaksi, jos osoittajan astenvähemmän kuin nimittäjän tehom. Murtolukua, jossa osoittajan aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän aste, kutsutaan virheelliseksi.

Mikä tahansa väärä murtoluku voidaan esittää polynomin ja oikean murtoluvun summana. Tämä tehdään jakamalla polynomi polynomilla, kuten lukujen jakaminen.

Esimerkki.

Kuvitellaanpa murto-osa
polynomin ja oikean murtoluvun summana:

x - 1

3

3

3

Ensimmäinen termi
osamäärässä se saadaan päätermin jakamisen tuloksena
, jaettuna päätermillä X jakaja Sitten kerrotaan
jakajaa kohti x-1 ja tuloksena saatu tulos vähennetään osingosta; Epätäydellisen osamäärän loput termit löytyvät samalla tavalla.

Kun polynomit on jaettu, saamme:

Tätä toimintoa kutsutaan kokonaisen osan valitsemiseksi.

Määritelmä 3. Yksinkertaisimmat murtoluvut ovat seuraavan tyyppisiä oikeita rationaalisia murtolukuja:

minä

II.
(K = 2, 3, …).

III.
missä on neliötrinomi

IV.
jossa K = 2, 3, …; neliöllinen trinomi
ei ole oikeita juuria.

a) Laajenna nimittäjä
yksinkertaisimpiin reaalitekijöihin (algebran peruslauseen mukaan tämä laajennus voi sisältää muodon lineaarisia binomeja
ja neliölliset trinomit
, jolla ei ole juuria);

b) kirjoita kaavio tietyn murtoluvun hajoamisesta yksinkertaisten murtolukujen summaksi. Lisäksi jokainen muodon tekijä
vastaa k tyypin I ja II komponentit:

jokaiseen muodon tekijään
vastaa tyypin III ja IV termejä:

Esimerkki.

Kirjoita muistiin murto-osan laajennuskaavio
yksinkertaisimpien summaan.

c) Suorita saatujen yksinkertaisimpien jakeiden yhteenlasku. Kirjoita tuloksena olevien ja alkuperäisten murtolukujen osoittajien yhtäläisyys;

d) etsi vastaavan laajennuksen kertoimet:
(ratkaisumenetelmiä käsitellään jäljempänä);

e) korvaa kerrointen löydetyt arvot hajoamiskaavioon.

Minkä tahansa oikeanlaisen rationaalisen murtoluvun integrointi hajotuksen jälkeen sen yksinkertaisimpiin termeihin pelkistyy yhden seuraavista integraaleista:

(k Ja e =2, 3, …).

Integraalin laskeminen pelkistyy kaavaan III:

kiinteä - kaavaan II:

kiinteä voidaan löytää neliöllisen trinomin sisältävien funktioiden integrointiteoriassa määritellyllä säännöllä; - alla esimerkissä 4 esitettyjen muunnosten kautta.

Esimerkki 1.

a) kerro nimittäjä:

b) kirjoita kaavio integrandin hajottamiseksi termeiksi:

c) Suorita yksinkertaisten murtolukujen lisääminen:

Kirjataan murtolukujen osoittajien yhtäläisyys:

d) tuntemattomien kertoimien A, B, C löytämiseen on kaksi tapaa.

Kaksi polynomia ovat yhtä suuria silloin ja vain, jos niiden kertoimet ovat samat samoilla potenssilla X, joten voit luoda vastaavan yhtälöjärjestelmän. Tämä on yksi ratkaisumenetelmistä.

Kertoimet klo

vapaajäsenet (kerroin at ):4A=8.

Kun järjestelmä on ratkaistu, saamme A=2, B = 1, C = -10.

Toista menetelmää - yksityisiä arvoja - käsitellään seuraavassa esimerkissä;

e) korvaa löydetyt arvot hajoamiskaavioon:

Korvaamalla saadun summan integraalimerkin alle ja integroimalla jokainen termi erikseen, löydämme:

Esimerkki 2.

Identiteetti on yhtäläisyys, joka pätee mihin tahansa siihen sisältyvien tuntemattomien arvoihin. Tämän perusteella yksityinen arvomenetelmä. Voidaan antaa X mitään arvoja. Laskelmissa on helpompi ottaa ne arvot, jotka saavat kaikki yhtäläisyyden oikealla puolella olevat termit katoamaan.

Antaa x = 0. Sitten 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Samoin varten x = -2 meillä on 1= -2V*(-3), klo x = 1 meillä on 1 = 3A.

Siten,

Esimerkki 3.

d) käytämme ensin osittaisarvomenetelmää.

Antaa x = 0, Sitten 1 = A 1, A = 1.

klo x = -1 meillä on - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) tai 6 = -3V, B = -2.

Löytääksesi kertoimet C ja D, sinun on luotava vielä kaksi yhtälöä. Tätä varten voit ottaa mitä tahansa muita arvoja X, Esimerkiksi x = 1 Ja x = 2. Voit käyttää ensimmäistä menetelmää, ts. yhtälä kertoimet millä tahansa identtisellä potenssilla X esimerkiksi milloin Ja . Saamme

1 = A+B+C ja 4 = C+D- SISÄÄN.

Tietäen A = 1, B = -2, löydämme C = 2, D = 0 .

Siten molemmat menetelmät voidaan yhdistää kertoimia laskettaessa.

Viimeinen integraali löydämme erikseen uuden muuttujan määritysmenetelmässä määritellyn säännön mukaan. Valitaan täydellinen neliö nimittäjästä:

sanokaamme
Sitten
Saamme:

=

Korvaamalla edellisen tasa-arvon, löydämme

Esimerkki 4.

löytö

b)

d)

Integroimalla meillä on:

Muunnetaan ensimmäinen integraali kaavaksi III:

Muunnetaan toinen integraali kaavaksi II:

Kolmannessa integraalissa korvaamme muuttujan:

(Muunnosta tehdessämme käytimme trigonometriakaavaa

Etsi integraalit:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Itsetestauskysymykset.

Mikä tiedoista rationaaliset murtoluvut ovat oikein:

2. Onko kaavio murtoluvun hajottamisesta yksinkertaisten murtolukujen summaksi kirjoitettu oikein?

2., 5.
,

3.
, 6.
.

Integraaleissa 1-3 as u hyväksyä . Sen jälkeen n-Monikäyttöinen kaava (19) saamme yhteen taulukon integraaleista

,
,
.

Integraaleissa 4-6, kun erotat, yksinkertaista transsendentaalista tekijää
,
tai
, joka pitäisi ottaa sellaisena kuin u.

Laske seuraavat integraalit.

Esimerkki 7.

Esimerkki 8.

Integraalien vähentäminen itselleen

Jos integrand
on muotoa:

,
,
ja niin edelleen,

sitten kahdesti osittain integroinnin jälkeen saadaan lauseke, joka sisältää alkuperäisen integraalin :

,

Missä
- jonkin verran jatkuvaa.

Tuloksena olevan yhtälön ratkaiseminen , saamme kaavan alkuperäisen integraalin laskemiseksi:

.

Tätä tapausta, jossa sovelletaan osien integrointimenetelmää, kutsutaan " tuo integraalin itseensä».

Esimerkki 9. Laske integraali
.

Oikealla puolella on alkuperäinen integraali . Siirtämällä sitä vasemmalle, saamme:

.

Esimerkki 10. Laske integraali
.

4.5. Integroi yksinkertaisimmat oikeat rationaaliset murtoluvut

Määritelmä.Yksinkertaisimmat oikeat murtoluvut minä , II Ja III tyypit Seuraavia murtolukuja kutsutaan:

minä. ;

II.
; (
- positiivinen kokonaisluku);

III.
; (nimittäjän juuret ovat monimutkaisia, eli:
.

Tarkastellaan yksinkertaisten murtolukujen integraaleja.

minä.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Muunnamme murtoluvun osoittajan siten, että termi eristetään osoittajassa
, yhtä suuri kuin nimittäjän derivaatta.

Tarkastellaan ensimmäistä kahdesta saadusta integraalista ja tehdään siihen muutos:

Toisessa integraalissa lisäämme nimittäjän täydelliseen neliöön:

Lopuksi kolmannen tyypin murto-osan integraali on yhtä suuri:

=
+
. (22)

Siten tyypin I yksinkertaisimpien murtolukujen integraali ilmaistaan ​​logaritmeilla, tyyppi II - rationaalisilla funktioilla, tyyppi III - logaritmeilla ja arctangenteilla.

4.6. Murto-rationaalisten funktioiden integrointi

Yksi funktioluokista, joilla on alkeisfunktioilla ilmaistu integraali, on algebrallisten rationaalisten funktioiden luokka, eli funktiot, jotka johtuvat rajallisesta määrästä argumentin algebrallisia operaatioita.

Jokainen järkevä toiminto
voidaan esittää kahden polynomin suhteena
Ja
:

. (23)

Oletetaan, että polynomeilla ei ole yhteisiä juuria.

Muodosta (23) kutsutaan murto-osaa oikea, jos osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän aste, eli m< n. Muuten - väärä.

Jos murtoluku on virheellinen, jakamalla osoittaja nimittäjällä (polynomien jakosäännön mukaan), esitämme murto-osan polynomin ja oikean murtoluvun summana:

, (24)

Missä
- polynomi, - oikea murto-osa, ja polynomin aste
- ei korkeampi kuin tutkinto ( n-1).

Esimerkki.

Koska polynomin integrointi vähennetään taulukkointegraalien summaksi tehotoiminto, niin suurin vaikeus rationaalisten murtolukujen integroinnissa on oikeiden rationaalisten murtolukujen integrointi.

Algebrassa on todistettu, että jokainen oikea murtoluku hajoaa yllä olevien summaksi alkueläimet murto-osia, joiden muodon määrää nimittäjän juuret
.

Tarkastellaan kolmea erityistapausta. Tässä ja edelleen oletamme, että kerroin nimittäjän korkeimmassa asteessa
yhtä suuri kuin yksi =1, elipelkistetty polynomi .

Tapaus 1. Nimittäjän juuret eli juuret
yhtälöt
=0, ovat kelvollisia ja erillisiä. Sitten edustamme nimittäjä lineaaristen tekijöiden tulona:

ja oikea murto-osa hajoaa I-gotyypin yksinkertaisimpiin fraktioihin:

, (26)

Missä
- jonkin verran vakioluvut, jotka löydetään määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.

Tätä varten tarvitset:

1. Tuo laajennuksen oikea puoli (26) yhteiseen nimittäjään.

2. Yhdistä identtisten polynomien identtisten potenssien kertoimet vasemman ja oikean puolen osoittajaan. Saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä määritettäväksi
.

3. Ratkaise tuloksena oleva järjestelmä ja löydä määrittelemättömät kertoimet
.

Tällöin murto-rationaalisen funktion (26) integraali on yhtä suuri kuin I-tyypin yksinkertaisimpien murto-osien integraalien summa laskettuna kaavalla (20).

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu. Otetaan nimittäjä kertoimella Vietan lauseella:

Sitten integrandifunktio jaetaan yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

.

X:

Kirjoitetaan löydettäväksi kolmen yhtälön järjestelmä
X vasemmalla ja oikealla puolella:

.

Esitetään yksinkertaisempi tapa löytää epävarmat kertoimet, ns osittaisen arvon menetelmä.

Olettaen tasa-arvon (27)
saamme
, missä
. uskoa
saamme
. Lopulta uskominen
saamme
.

.

Tapaus 2. Nimittäjän juuri
ovat päteviä, mutta niiden joukossa on useita (samanlaisia) juuria. Sitten edustamme nimittäjä tuloon sisältyvien lineaaristen tekijöiden tulona siltä osin kuin vastaavan juuren monikerta on:

Missä
.

Oikea murto-osa tyyppien I ja II murto-osien summa hajotetaan. Olkoon esim. - kertoimen nimittäjän juuri k ja kaikki muut ( n- k) juuret ovat erilaisia.

Sitten laajennus näyttää tältä:

Samoin, jos on muita useita juuria. Ei-useita juuria varten laajennus (28) sisältää ensimmäisen tyypin yksinkertaisimmat jakeet.

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu. Kuvitellaan murto-osa ensimmäisen ja toisen tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen summana määrittämättömillä kertoimilla:

.

Tuodaan oikea puoli yhteiseen nimittäjään ja tasataan polynomit vasemman ja oikean puolen osoittajissa:

Oikealla puolella esittelemme samanlaisia ​​samoilla asteilla X:

Kirjoitetaan neljän yhtälön järjestelmä löydettäväksi
Ja . Tätä varten vertaamme kertoimet samoilla tehoilla X vasemmalla ja oikealla puolella

.

Tapaus 3. Nimittäjän juurien joukossa
on monimutkaisia ​​yksittäisiä juuria. Toisin sanoen nimittäjän laajennus sisältää toisen asteen tekijät
, eivät hajoa todellisiin lineaarisiin tekijöihin, eivätkä ne toistu.

Sitten murto-osan hajotuksessa jokainen tällainen tekijä vastaa tyypin III yksinkertaisinta murto-osaa. Lineaariset tekijät vastaavat tyyppien I ja II yksinkertaisimpia jakeita.

Esimerkki. Laske integraali
.

Ratkaisu.
.

.

.

Tässä tarjoamme yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja kolmeen esimerkkiin seuraavista rationaalisista murtoluvuista:
, , .

Esimerkki 1

Laske integraali:
.

Ratkaisu

Tässä integraalimerkin alla on rationaalinen funktio, koska integrandi on murto-osa polynomista. Nimittäjä polynomin aste ( 3 ) on pienempi kuin osoittajapolynomin ( 4 ). Siksi ensin sinun on valittava murto-osan koko osa.

1. Valitaan murto-osan koko osa. Jaa x 4 tekijältä x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Täältä
.

2. Otetaan kertoimella murtoluvun nimittäjä. Tätä varten sinun on ratkaistava kuutioyhtälö:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Korvataan x = 1 :
.

1 . jakaa x:llä - 1 :

Täältä
.
Päätetään toisen asteen yhtälö.
.
Yhtälön juuret ovat: , .
Sitten
.

3. Jaetaan murto sen yksinkertaisimpaan muotoon.

.

Joten löysimme:
.
Integroidaan.

Vastaus

Esimerkki 2

Laske integraali:
.

Ratkaisu

Tässä murtoluvun osoittaja on nolla-asteen polynomi ( 1 = x 0). Nimittäjä on kolmannen asteen polynomi. Koska 0 < 3 , murtoluku on oikea. Jaetaan se yksinkertaisiin murtolukuihin.

1. Otetaan kertoimella murtoluvun nimittäjä. Tätä varten sinun on ratkaistava kolmannen asteen yhtälö:
.
Oletetaan, että sillä on ainakin yksi kokonainen juuri. Sitten se on luvun jakaja 3 (jäsen ilman x:ää). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 3, -1, -3 .
Korvataan x = 1 :
.

Joten, olemme löytäneet yhden juuren x = 1 . Jaa x 3 + 2 x - 3 x - 1 :

Niin,
.

Neliöyhtälön ratkaiseminen:
x 2 + x + 3 = 0.
Etsi diskriminantti: D = 1 2 - 4 3 = -11. Koska D< 0 , silloin yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Siten saimme nimittäjän tekijöiden jakamisen:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Korvataan x = 1 . Sitten x- 1 = 0 ,
.

Vaihdetaan (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Verrataanpa (2.1) kertoimet x:lle 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integroidaan.
(2.2) .
Toisen integraalin laskemiseksi valitsemme osoittajan nimittäjän derivaatan ja pienennämme nimittäjä neliöiden summaksi.

;
;
.

Laske I 2 .


.
Koska yhtälö x 2 + x + 3 = 0 sillä ei ole todellisia juuria, sitten x 2 + x + 3 > 0. Siksi moduulimerkki voidaan jättää pois.

Toimitamme osoitteeseen (2.2) :
.

Vastaus

Esimerkki 3

Laske integraali:
.

Ratkaisu

Tässä integraalimerkin alla on murto-osa polynomista. Siksi integrandi on rationaalinen funktio. Polynomin aste osoittajassa on yhtä suuri kuin 3 . Murtoluvun nimittäjän polynomin aste on yhtä suuri kuin 4 . Koska 3 < 4 , murtoluku on oikea. Siksi se voidaan hajottaa yksinkertaisiksi jakeiksi. Mutta tehdäksesi tämän sinun on kerrottava nimittäjä kertoimella.

1. Otetaan kertoimella murtoluvun nimittäjä. Tätä varten sinun on ratkaistava neljännen asteen yhtälö:
.
Oletetaan, että sillä on ainakin yksi kokonainen juuri. Sitten se on luvun jakaja 2 (jäsen ilman x:ää). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 2, -1, -2 .
Korvataan x = -1 :
.

Joten, olemme löytäneet yhden juuren x = -1 . jakaa x:llä - (-1) = x + 1:


Niin,
.

Nyt meidän on ratkaistava kolmannen asteen yhtälö:
.
Jos oletetaan, että tällä yhtälöllä on kokonaislukujuuri, niin se on luvun jakaja 2 (jäsen ilman x:ää). Eli koko juuri voi olla yksi numeroista:
1, 2, -1, -2 .
Korvataan x = -1 :
.

Joten, löysimme toisen juuren x = -1 . Olisi mahdollista, kuten edellisessä tapauksessa, jakaa polynomi arvolla, mutta ryhmittelemme termit:
.

Koska yhtälö x 2 + 2 = 0 sillä ei ole todellisia juuria, niin saamme nimittäjän tekijöiden jakamisen:
.

2. Jaetaan murto sen yksinkertaisimpaan muotoon. Haemme laajennusta muodossa:
.
Pääsemme eroon murtoluvun nimittäjästä, kerromme (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Korvataan x = -1 . Sitten x + 1 = 0 ,
.

Erotetaan (3.1) :

;

.
Korvataan x = -1 ja ota huomioon, että x + 1 = 0 :
;
; .

Vaihdetaan (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Verrataanpa (3.1) kertoimet x:lle 3 :
;
1 = B + C;
.

Joten, olemme löytäneet hajotuksen yksinkertaisiin jakeisiin:
.

3. Integroidaan.


.

1. ja 2. vuoden opiskelijoille annetaan koe funktioiden integroinnista, mukaan lukien rationaaliset murtoluvut. Esimerkit integraaleista kiinnostavat pääasiassa matemaatikoita, taloustieteilijöitä ja tilastotieteilijöitä. Näitä esimerkkejä kysyttiin koetyötä LNU:ssa nimetty. I. Frank. Seuraavien esimerkkien ehdot ovat "Etsi integraali" tai "Laske integraali", joten tilan ja ajan säästämiseksi niitä ei ole kirjoitettu.

Esimerkki 15. Pääsimme murto-rationaalisten funktioiden integrointiin. He miehittävät erityinen paikka integraalien joukossa, koska ne vaativat paljon aikaa laskemiseen ja auttavat opettajia testaamaan tietosi paitsi integroinnista. Integraalin alla olevan funktion yksinkertaistamiseksi lisäämme ja vähennämme osoittajaan lausekkeen, jonka avulla voimme jakaa integraalin alla olevan funktion kahdeksi yksinkertaiseksi

Tämän seurauksena löydämme yhden integraalin melko nopeasti, toisessa meidän on laajennettava murto-osa alkeismurtolukujen summaksi

Kun pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi, saadaan seuraavat numerot

Avaa seuraavaksi sulut ja ryhmä

Yhdistämme arvon samalle x:n potenssille oikealla ja vasemmalla. Tuloksena päädymme kolmen järjestelmään lineaariset yhtälöt(SLAU) kolmella tuntemattomalla.

Yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen on kuvattu muissa sivuston artikkeleissa. Lopullisessa versiossa saat seuraavan SLAE-ratkaisun
A = 4; B = -9/2; C = -7/2.
Korvaamme vakiot murto-osien laajentamiseen yksinkertaisiksi ja suoritamme integroinnin


Tämä päättää esimerkin.

Esimerkki 16. Taas meidän on löydettävä rationaalisen murtofunktion integraali. Aluksi hajotamme murtoluvun nimittäjässä olevan kuutiometrisen yhtälön yksinkertaisiksi tekijöiksi

Seuraavaksi jaotamme murto-osan sen yksinkertaisimpiin muotoihin

Vähennämme oikean puolen yhteiseksi nimittäjäksi ja avaamme osoittajan sulut.


Yhdistämme muuttujan samojen asteiden kertoimet. Mennään taas SLAE:hen kolmen tuntemattoman kanssa

Korvataan arvot A, B, C laajennukseen ja laske integraali

Kaksi ensimmäistä termiä antavat logaritmin, viimeinen on myös helppo löytää.

Esimerkki 17. Murto-rationaalisen funktion nimittäjässä on kuutioiden erotus. Käyttämällä lyhennettyjä kertolaskukaavoja jaamme sen kahdeksi yksinkertaiseksi tekijäksi

Seuraavaksi kirjoitamme tuloksena olevan murto-osan funktion summaan yksinkertaisia ​​murtolukuja ja tuoda ne yhteen yhteiseksi nimittäjäksi

Osoittimessa saamme seuraavan lausekkeen.

Siitä muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän 3 tuntemattoman laskemiseksi

A = 1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Korvaamme A, B, C kaavaan ja suoritamme integroinnin. Tuloksena saamme seuraavan vastauksen:


Tässä toisen integraalin osoittaja muutettiin logaritmiksi, ja integraalin alla oleva jäännös antaa arktangentin.
Internetissä on paljon samanlaisia ​​esimerkkejä rationaalisten murtolukujen integroinnista. Löydät vastaavia esimerkkejä alla olevista materiaaleista.