Rationaalisten murtolukujen integrointi epämääräiseen integraaliin. Esimerkkejä rationaalisten funktioiden integroinnista (murtoluvut)

Yksi tärkeimmistä funktioluokista, joiden integraalit ilmaistaan alkeisfunktioiden kautta, on luokka rationaalisia toimintoja.

Määritelmä 1. Funktio muotoon missä
- asteiden polynomitnJamkutsutaan rationaaliseksi. Kokonainen rationaalinen funktio, ts. polynomi, integroi suoraan. Integraali murto-osainen rationaalinen funktio voidaan löytää jakamalla termeiksi, jotka muunnetaan tavanomaisella tavalla perustaulukkointegraaleiksi.

Määritelmä 2. Murtoluku
kutsutaan oikeaksi, jos osoittajan astenvähemmän kuin nimittäjän tehom. Murtolukua, jossa osoittajan aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän aste, kutsutaan virheelliseksi.

Mikä tahansa väärä murtoluku voidaan esittää polynomin ja oikean murtoluvun summana. Tämä tehdään jakamalla polynomi polynomilla, kuten lukujen jakaminen.

Esimerkki.

Kuvitellaanpa murto-osa
polynomin ja oikean murtoluvun summana:

x - 1

Ensimmäinen termi
osamäärässä se saadaan päätermin jakamisen tuloksena
, jaettuna päätermillä X jakaja Sitten kerrotaan
jakajaa kohti x-1 ja tuloksena saatu tulos vähennetään osingosta; Epätäydellisen osamäärän loput termit löytyvät samalla tavalla.

Kun polynomit on jaettu, saamme:

Tätä toimintoa kutsutaan kokonaisen osan valitsemiseksi.

Määritelmä 3. Yksinkertaisimmat murtoluvut ovat seuraavan tyyppisiä oikeita rationaalisia murtolukuja:

minä

II.
(K = 2, 3, …).

III.
missä on neliötrinomi

IV.
jossa K = 2, 3, …; neliöllinen trinomi
sillä ei ole oikeita juuria.

a) Laajenna nimittäjä
yksinkertaisimpiin reaalitekijöihin (algebran peruslauseen mukaan tämä laajennus voi sisältää muodon lineaarisia binomeja
ja neliölliset trinomit
, jolla ei ole juuria);

b) kirjoita kaavio tietyn murtoluvun hajoamisesta yksinkertaisten murtolukujen summaksi. Lisäksi jokainen muodon tekijä
vastaa k tyypin I ja II komponentit:

jokaiseen muodon tekijään
vastaa tyyppien III ja IV termejä:

Esimerkki.

Kirjoita muistiin murto-osan laajennuskaavio
yksinkertaisimpien summaan.

c) Suorita saatujen yksinkertaisimpien jakeiden yhteenlasku. Kirjoita tuloksena olevien ja alkuperäisten murtolukujen osoittajien yhtäläisyys;

d) etsi vastaavan laajennuksen kertoimet:
(ratkaisumenetelmiä käsitellään jäljempänä);

e) korvaa kerrointen löydetyt arvot hajoamiskaavioon.

Minkä tahansa oikeanlaisen rationaalisen murtoluvun integrointi hajotuksen jälkeen sen yksinkertaisimpiin termeihin pelkistyy yhden seuraavista integraaleista:

(k Ja e =2, 3, …).

Integraalin laskeminen pelkistyy kaavaan III:

kiinteä - kaavaan II:

kiinteä voidaan löytää neliöllisen trinomin sisältävien funktioiden integrointiteoriassa määritellyllä säännöllä; - alla esimerkissä 4 esitettyjen muunnosten kautta.

Esimerkki 1.

a) kerro nimittäjä:

b) kirjoita kaavio integrandin hajottamiseksi termeiksi:

c) Suorita yksinkertaisten murtolukujen lisääminen:

Kirjataan murtolukujen osoittajien yhtäläisyys:

d) tuntemattomien kertoimien A, B, C löytämiseen on kaksi tapaa.

Kaksi polynomia ovat yhtä suuria silloin ja vain, jos niiden kertoimet ovat samat samoilla potenssilla X, joten voit luoda vastaavan yhtälöjärjestelmän. Tämä on yksi ratkaisumenetelmistä.

Kertoimet klo

vapaajäsenet (kerroin at ):4A=8.

Kun järjestelmä on ratkaistu, saamme A=2, B = 1, C = -10.

Toista menetelmää - yksityisiä arvoja - käsitellään seuraavassa esimerkissä;

e) korvaa löydetyt arvot hajoamiskaavioon:

Korvaamalla saadun summan integraalimerkin alle ja integroimalla jokainen termi erikseen, löydämme:

Esimerkki 2.

Identiteetti on yhtäläisyys, joka pätee mihin tahansa siihen sisältyvien tuntemattomien arvoihin. Tämän perusteella yksityinen arvomenetelmä. Voidaan antaa X mitään arvoja. Laskelmissa on helpompi ottaa ne arvot, jotka saavat kaikki yhtäläisyyden oikealla puolella olevat termit katoamaan.

Antaa x = 0. Sitten 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Samoin varten x = -2 meillä on 1= -2V*(-3), klo x = 1 meillä on 1 = 3A.

Siten,

Esimerkki 3.

d) käytämme ensin osittaisarvomenetelmää.

Antaa x = 0, Sitten 1 = A 1, A = 1.

klo x = -1 meillä on - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) tai 6 = -3V, B = -2.

Löytääksesi kertoimet C ja D, sinun on luotava vielä kaksi yhtälöä. Tätä varten voit ottaa mitä tahansa muita arvoja X, Esimerkiksi x = 1 Ja x = 2. Voit käyttää ensimmäistä menetelmää, ts. yhtälä kertoimet millä tahansa identtisellä potenssilla X esimerkiksi milloin Ja . Saamme

1 = A+B+C ja 4 = C+D- SISÄÄN.

Tietäen A = 1, B = -2, löydämme C = 2, D = 0 .

Siten molemmat menetelmät voidaan yhdistää kertoimia laskettaessa.

Viimeinen integraali löydämme erikseen uuden muuttujan määritysmenetelmässä määritellyn säännön mukaan. Valitaan täydellinen neliö nimittäjästä:

sanokaamme
Sitten
Saamme:

Korvaamalla edellisen tasa-arvon, löydämme

Esimerkki 4.

löytö

Integroimalla meillä on:

Muunnetaan ensimmäinen integraali kaavaksi III:

Muunnetaan toinen integraali kaavaksi II:

Kolmannessa integraalissa korvaamme muuttujan:

(Muunnosta tehdessämme käytimme trigonometriakaavaa

Etsi integraalit:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Itsetestauskysymykset.

Mikä tiedoista rationaaliset murtoluvut ovat oikein:

2. Onko kaavio murtoluvun hajottamisesta yksinkertaisten murtolukujen summaksi kirjoitettu oikein?

Rationaalinen funktio on muodon murto-osa, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja tai polynomien tuloja.

Esimerkki 1. Vaihe 2.

Kerromme määrittelemättömät kertoimet polynomeilla, jotka eivät ole tässä yksittäisessä murtoluvussa, mutta jotka ovat muissa tuloksena olevissa murtoluvuissa:

Avaamme sulut ja rinnastamme alkuperäisen integrandin osoittajan tuloksena olevaan lausekkeeseen:

Yhtälön molemmilta puolilta etsimme termejä, joilla on samat x:n potenssit, ja muodostamme niistä yhtälöjärjestelmän:

Perutaan kaikki x:t ja saadaan vastaava yhtälöjärjestelmä:

Siten integrandin lopullinen laajennus summaksi yksinkertaisia murtolukuja:

Esimerkki 2. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Nyt aletaan etsiä epävarmoja kertoimia. Tätä varten vertaamme funktiolausekkeen alkuperäisen murtoluvun osoittajaa sen lausekkeen osoittajaan, joka saadaan, kun murto-osien summa on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi:

Nyt sinun on luotava ja ratkaistava yhtälöjärjestelmä. Tätä varten vertaamme muuttujan kertoimet vastaavaan asteeseen funktion alkuperäisen lausekkeen osoittajassa ja vastaavat kertoimet edellisessä vaiheessa saadussa lausekkeessa:

Ratkaisemme tuloksena olevan järjestelmän:

Joten täältä

Esimerkki 3. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Alamme etsiä epävarmoja kertoimia. Tätä varten vertaamme funktiolausekkeen alkuperäisen murtoluvun osoittajaa sen lausekkeen osoittajaan, joka saadaan, kun murto-osien summa on vähennetty yhteiseksi nimittäjäksi:

Kuten aiemmissa esimerkeissä, muodostamme yhtälöjärjestelmän:

Vähennämme x:t ja saamme vastaavan yhtälöjärjestelmän:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmojen kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen hajotuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 4. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Tiedämme jo aikaisemmista esimerkeistä, kuinka alkuperäisen murtoluvun osoittaja rinnastetaan osoittajassa olevaan lausekkeeseen, joka saadaan, kun murto-osa on jaettu yksinkertaisten murtolukujen summaksi ja tuotu tämä summa yhteiseen nimittäjään. Siksi vain ohjaustarkoituksiin esitämme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmojen kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen hajotuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 5. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Vähennämme tämän summan itsenäisesti yhteiseksi nimittäjäksi ja rinnastamme tämän lausekkeen osoittajan alkuperäisen murtoluvun osoittajaan. Tuloksena pitäisi olla seuraava yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmojen kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen hajotuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 6. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Suoritamme samat toiminnot tällä määrällä kuin edellisissä esimerkeissä. Tuloksena pitäisi olla seuraava yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmojen kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen hajotuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 7. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Tiettyjen toimien jälkeen tuloksena olevalla määrällä tulisi saada seuraava yhtälöjärjestelmä:

Ratkaisemalla järjestelmän saamme seuraavat epävarmojen kertoimien arvot:

Saamme integrandin lopullisen hajotuksen yksinkertaisten murtolukujen summaksi:

Esimerkki 8. Vaihe 2. Vaiheessa 1 saimme seuraavan alkuperäisen murto-osan jaottelun yksinkertaisten murtolukujen summaksi, joiden kertoimia osoittajissa ei ole määritetty:

Tehdään joitakin muutoksia toimiin, jotka on jo saatettu automaattisiksi yhtälöjärjestelmän saamiseksi. On olemassa keinotekoinen tekniikka, joka auttaa joissakin tapauksissa välttämään tarpeettomia laskelmia. Tuomalla murto-osien summan yhteiseen nimittäjään, saamme ja rinnastamalla tämän lausekkeen osoittajan alkuperäisen murtoluvun osoittajaan, saamme.

Aiheessa esitetty aineisto perustuu aiheessa "Rationaaliset murtoluvut. Rationaalisten murtolukujen hajottaminen alkeis(yksinkertaisiksi) murtoiksi" esitettyihin tietoihin. Suosittelen, että luet ainakin tämän aiheen läpi ennen kuin jatkat tämän materiaalin lukemista. Lisäksi tarvitsemme määrittelemättömien integraalien taulukon.

Muistutan parista termistä. Niitä käsiteltiin vastaavassa aiheessa, joten rajoitan tässä lyhyeen muotoiluun.

Kahden polynomin suhdetta $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kutsutaan rationaalifunktioksi tai rationaaliseksi murtoluvuksi. Rationaalista murtolukua kutsutaan oikea, jos $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется väärä.

Elementaariset (yksinkertaisimmat) rationaaliset murtoluvut ovat rationaalisia murtolukuja neljää tyyppiä:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Huomautus (toivottava tekstin täydellisemmän ymmärtämiseksi): näytä\piilota

Miksi ehtoa $p^2-4q tarvitaan?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Esimerkiksi lausekkeelle $x^2+5x+10$ saamme: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Koska $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Muuten, tätä tarkistusta varten ei ole ollenkaan välttämätöntä, että kerroin ennen $x^2$ on yhtä suuri kuin 1. Esimerkiksi arvolle $5x^2+7x-3=0$ saamme: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 dollaria. Koska $D > 0$, lauseke $5x^2+7x-3$ voidaan kertoilla.

Esimerkkejä rationaalisista jakeista (oikeasta ja väärästä) sekä esimerkkejä rationaalisen jakeen hajoamisesta alkeisosiksi löytyy. Täällä olemme kiinnostuneita vain niiden integrointiin liittyvistä kysymyksistä. Aloitetaan alkeismurtolukujen integroinnista. Joten jokainen neljästä edellä mainitusta alkeismurtotyypistä on helppo integroida alla olevien kaavojen avulla. Muistutan, että integroitaessa tyyppien (2) ja (4) murtolukuja oletetaan $n=2,3,4,\ldots$. Kaavat (3) ja (4) edellyttävät ehdon $p^2-4q täyttymistä< 0$.

\begin(yhtälö) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \loppu(yhtälö) \alku(yhtälö) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(yhtälö)

Kohdalle $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ tehdään korvaus $t=x+\frac(p)(2)$, jonka jälkeen tuloksena oleva väli on jaettu kahteen. Ensimmäinen lasketaan syöttämällä erotusmerkin alle, ja toinen on muotoa $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tämä integraali otetaan käyttämällä toistuvuusrelaatiota

\begin(yhtälö) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(yhtälö)

Tällaisen integraalin laskentaa käsitellään esimerkissä nro 7 (katso kolmas osa).

Kaavio rationaalisten funktioiden integraalien (rationaaliset murtoluvut) laskemiseksi:

Jos integrandi on alkeisosa, käytä kaavoja (1)-(4).
Jos integrandi ei ole alkeisosa, esitä se alkeismurtolukujen summana ja integroi sitten kaavoilla (1)-(4).

Yllä olevalla algoritmilla rationaalisten murtolukujen integroimiseksi on kiistaton etu - se on universaali. Nuo. käyttämällä tätä algoritmia voit integroida minkä tahansa rationaalinen murto-osa. Siksi lähes kaikki muuttujien muutokset määrittelemättömässä integraalissa (Euler, Chebyshev, universaali trigonometrinen substituutio) tehdään siten, että tämän muutoksen jälkeen saadaan rationaalinen murto-osa välin alle. Ja sitten soveltaa siihen algoritmia. Analysoimme tämän algoritmin suoraa soveltamista esimerkkien avulla pienen muistiinpanon jälkeen.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Periaatteessa tämä integraali on helppo saada ilman mekaanista kaavan soveltamista. Jos otamme vakion $7$ pois integraalimerkistä ja otamme huomioon, että $dx=d(x+9)$, saamme:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Tarkempia tietoja varten suosittelen tutustumaan aiheeseen. Se selittää yksityiskohtaisesti, kuinka tällaiset integraalit ratkaistaan. Muuten, kaava todistetaan samoilla muunnoksilla, joita käytettiin tässä kappaleessa, kun se ratkaistaan "manuaalisesti".

2) Jälleen on kaksi tapaa: käytä valmista kaavaa tai olla ilman sitä. Jos käytät kaavaa, sinun tulee ottaa huomioon, että kerroin $x$ (numero 4) edessä on poistettava. Otetaan tämä neljä pois suluista:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nyt on aika soveltaa kaavaa:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasen(x+\frac(19)(4) \oikea)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Voit tehdä ilman kaavaa. Ja jopa ilman jatkuvaa 4 dollaria pois suluista. Jos otamme huomioon, että $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, saamme:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Yksityiskohtaiset selitykset tällaisten integraalien löytämisestä annetaan aiheessa "Integraatio substituutiolla (korvaus differentiaalimerkin alla)".

3) Meidän on integroitava murto-osa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Tämän murtoluvun rakenne on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, jossa $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Varmista kuitenkin, että tämä on todella kolmannen tyypin alkeisosa, sinun on tarkistettava, että ehto $p^2-4q täyttyy< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ratkaistaan sama esimerkki, mutta ilman valmista kaavaa. Yritetään eristää osoittajan nimittäjän derivaatta. Mitä tämä tarkoittaa? Tiedämme, että $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Se on lauseke $2x+10$, joka meidän on eristettävä osoittajasta. Toistaiseksi osoittaja sisältää vain $4x+7$, mutta tämä ei kestä kauan. Sovelletaan seuraavaa muunnosa osoittajaan:

$$ 4x+7=2\cpiste 2x+7=2\cpiste (2x+10-10)+7=2\cpiste(2x+10)-2\cpiste 10+7=2\cpiste(2x+10) -13. $$

Nyt vaadittu lauseke $2x+10$ ilmestyy osoittajaan. Ja integraalimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Jaetaan integrandi kahtia. No, ja vastaavasti itse integraali on myös "kaksihaarautunut":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \oikea)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Puhutaan ensin ensimmäisestä integraalista, ts. noin $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Koska $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, niin integrandin osoittaja sisältää nimittäjän differentiaalin. Lyhyesti sanottuna, sen sijaan lausekkeen $( 2x+10)dx$ kirjoitamme $d(x^2+10x+34)$.

Sanotaan nyt muutama sana toisesta integraalista. Valitaan nimittäjästä täydellinen neliö: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisäksi otamme huomioon $dx=d(x+5)$. Nyt aiemmin saamiemme integraalien summa voidaan kirjoittaa uudelleen hieman eri muodossa:

$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Jos teemme korvauksen $u=x^2+10x+34$ ensimmäisessä integraalissa, se saa muotoa $\int\frac(du)(u)$ ja helppokäyttöinen toinen kaava alkaen . Mitä tulee toiseen integraaliin, muutos $u=x+5$ on sille mahdollinen, minkä jälkeen se saa muotoa $\int\frac(du)(u^2+9)$. Tämä puhdas vesi yhdestoista kaava epämääräisten integraalien taulukosta. Joten, kun palataan integraalien summaan, meillä on:

$2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Saimme saman vastauksen kuin kaavaa sovellettaessa, mikä ei tarkalleen ottaen ole yllättävää. Yleensä kaava todistetaan samoilla menetelmillä, joita käytimme tämän integraalin löytämiseen. Uskon, että tarkkaavaisella lukijalla voi olla tässä yksi kysymys, joten muotoilen sen:

Kysymys nro 1

Jos käytämme toista epämääräisten integraalien taulukon kaavaa integraaliin $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, niin saadaan seuraava:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miksi ratkaisussa ei ollut moduulia?

Vastaus kysymykseen #1

Kysymys on täysin luonnollinen. Moduuli puuttui vain, koska lauseke $x^2+10x+34$ mille tahansa $x\in R$:lle on suurempi kuin nolla. Tämä on melko helppo näyttää monella tapaa. Esimerkiksi koska $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, sitten $(x+5)^2+9 > 0$ . Voit ajatella eri tavalla käyttämättä kokonaisen neliön valintaa. Koska $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mille tahansa $x\in R$:lle (jos tämä looginen ketju on yllättävää, suosittelen katsomaan graafista menetelmää toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi). Joka tapauksessa, koska $x^2+10x+34 > 0$, niin $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ts. Moduulin sijasta voit käyttää tavallisia sulkumerkkejä.

Kaikki esimerkin nro 1 kohdat on ratkaistu, jäljellä on vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus:

$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
$\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
$\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Esimerkki nro 2

Etsi integraali $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Ensi silmäyksellä integrandimurtoluku $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on hyvin samanlainen kuin kolmannen tyypin alkeismurto, ts. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Näyttää siltä, että ainoa ero on $3$:n kerroin $x^2$:n edessä, mutta kertoimen poistaminen ei kestä kauan (laita se pois suluista). Tämä samankaltaisuus on kuitenkin ilmeinen. Murtoluvulle $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ehto $p^2-4q on pakollinen< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Kertoimemme ennen $x^2$ ei ole yhtä suuri kuin yksi, joten tarkista ehto $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант toisen asteen yhtälö$x^2+px+q=0$. Jos syrjivä alle nolla, silloin lauseketta $x^2+px+q$ ei voida kertoilla. Lasketaan murtolukumme nimittäjässä olevan polynomin $3x^2-5x-2$ diskriminantti: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Joten $D > 0$, joten lauseke $3x^2-5x-2$ voidaan kertoa. Tämä tarkoittaa, että murto-osa $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmannen tyypin alkuluku, ja sitä käytetään $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) integraaliin 5x-2)dx$ ei ole mahdollista.

No, jos annettu rationaalinen murtoluku ei ole alkeismurtoluku, se on esitettävä alkeismurtolukujen summana ja sitten integroitava. Lyhyesti sanottuna, käytä polkua hyväksesi. Kuinka rationaalinen murto-osa hajotetaan alkeisosiksi, on kirjoitettu yksityiskohtaisesti. Aloitetaan ottamalla huomioon nimittäjä:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(tasattu)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Esitämme subinterkaalisen fraktion tässä muodossa:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Jaetaan nyt murtoluku $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ alkeisosiksi:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\oikea). $$

Kertoimien $A$ ja $B$ löytämiseksi on kaksi standarditapaa: määrittelemättömien kertoimien menetelmä ja osittaisten arvojen korvausmenetelmä. Sovelletaan osittaisen arvon korvausmenetelmää, korvaamalla $x=2$ ja sitten $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\oikea); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Koska kertoimet on löydetty, jäljellä on vain kirjoittaa valmis laajennus:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Periaatteessa voit jättää tämän merkinnän, mutta pidän tarkemmasta vaihtoehdosta:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Palataksemme alkuperäiseen integraaliin, korvaamme tuloksena olevan laajennuksen siihen. Sitten jaamme integraalin kahteen osaan ja käytämme kaavaa jokaiseen. Haluan sijoittaa vakiot välittömästi integraalimerkin ulkopuolelle:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vastaus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\oikea| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Esimerkki nro 3

Etsi integraali $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Meidän on integroitava murto-osa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Osoittaja sisältää toisen asteen polynomin ja nimittäjä kolmannen asteen polynomin. Koska polynomin aste osoittajassa on pienempi kuin polynomin aste nimittäjässä, ts. 2 dollaria< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Meidän tarvitsee vain jakaa annettu integraali kolmeen osaan ja soveltaa kaavaa jokaiseen. Haluan sijoittaa vakiot välittömästi integraalimerkin ulkopuolelle:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Vastaus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Jatkoa tämän aiheen esimerkkien analysoinnille löytyy toisesta osasta.

AIHE: Rationaalisten murtolukujen integrointi.

Huomio! Kun tutkitaan yhtä integroinnin perusmenetelmiä: rationaalisten murtolukujen integrointia, on otettava huomioon kompleksialueen polynomit tiukkojen todisteiden suorittamiseksi. Siksi se on välttämätöntä opiskella etukäteen jotkin kompleksilukujen ominaisuudet ja operaatiot niillä.

Yksinkertaisten rationaalisten murtolukujen integrointi.

Jos P(z) Ja K(z) ovat polynomeja kompleksialueella, niin ne ovat rationaalisia murtolukuja. Sitä kutsutaan oikea, jos tutkinto P(z) vähemmän tutkintoa K(z) , Ja väärä, jos tutkinto R vähintään tutkinnon K.

En rakasta oikea murto-osa voidaan esittää seuraavasti: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polynomi, jonka aste on pienempi kuin aste K(z).

Siten rationaalisten murtolukujen integrointi laskee polynomien eli potenssifunktioiden ja oikeiden murtolukujen integrointiin, koska se on oikea murtoluku.

Määritelmä 5. Yksinkertaisimmat (tai alkeis-) murtoluvut ovat seuraavan tyyppisiä murtolukuja:

1) , 2) , 3) , 4) .

Selvitetään, kuinka ne integroituvat.

3) (tutkittu aiemmin).

Lause 5. Jokainen oikea murtoluku voidaan esittää yksinkertaisten murtolukujen summana (ilman todistetta).

Johtopäätös 1. Jos on oikea rationaalinen murtoluku ja jos polynomin juurien joukossa on vain yksinkertaisia reaalijuuria, niin murto-osan hajotuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi tulee vain ensimmäisen tyypin yksinkertaisia murto-osia:

Esimerkki 1.

Johtopäätös 2. Jos on oikea rationaalinen murto ja jos polynomin juurien joukossa on vain useita reaalijuuria, niin murto-osan hajotuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi tulee vain 1. ja 2. tyypin yksinkertaisia murtolukuja :

Esimerkki 2.

Johtopäätös 3. Jos on oikea rationaalinen murtoluku ja jos polynomin juurien joukossa on vain yksinkertaisia kompleksisia konjugaattijuuria, niin murto-osan hajotuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi tulee vain 3. tyypin yksinkertaisia murto-osia:

Esimerkki 3.

Johtopäätös 4. Jos on oikea rationaalinen murto ja jos polynomin juurien joukossa on vain useita kompleksisia konjugaattijuuria, niin murto-osan hajotuksessa yksinkertaisten murtolukujen summaksi on vain 3. ja 4. tyypit:

Tuntemattomien kertoimien määrittämiseksi annetuissa laajennuksissa toimi seuraavasti. Tuntemattomia kertoimia sisältävän laajennuksen vasen ja oikea puoli kerrotaan. Saadaan kahden polynomin yhtäläisyys. Siitä saadaan yhtälöt vaadituille kertoimille käyttämällä:

1. yhtäläisyys on totta kaikille X:n arvoille (osittaisarvomenetelmä). Tässä tapauksessa saadaan mikä tahansa määrä yhtälöitä, joista mikä tahansa m mahdollistaa tuntemattomien kertoimien löytämisen.

2. kertoimet ovat yhteneväisiä samoilla X:n asteikoilla (epämääräisten kertoimien menetelmä). Tässä tapauksessa saadaan m - yhtälöjärjestelmä m - tuntemattomien kanssa, josta tuntemattomat kertoimet löydetään.

3. yhdistetty menetelmä.

Esimerkki 5. Laajenna murto-osa yksinkertaisimpaan.

Ratkaisu:

Etsitään kertoimet A ja B.

Tapa 1 – yksityisen arvon menetelmä:

Menetelmä 2 – määrittelemättömien kertoimien menetelmä:

Vastaus:

Rationaalisten murtolukujen integrointi.

Lause 6. Minkä tahansa rationaalisen murtoluvun määrittelemätön integraali millä tahansa välillä, jolla sen nimittäjä ei ole nolla, on olemassa ja se ilmaistaan alkeisfunktioilla, nimittäin rationaalisilla murtoluvuilla, logaritmeilla ja arctangenteilla.

Todiste.

Kuvitellaan rationaalinen murto-osa muodossa: . Tässä tapauksessa viimeinen termi on oikea murtoluku ja Lauseen 5 mukaan se voidaan esittää yksinkertaisten murtolukujen lineaarisena yhdistelmänä. Siten rationaalisen murtoluvun integrointi pelkistyy polynomin integraatioksi S(x) ja yksinkertaiset jakeet, joiden antiderivaatteilla, kuten on esitetty, on lauseessa osoitettu muoto.

Kommentti. Suurin vaikeus tässä tapauksessa on nimittäjän tekijöihin lisääminen, eli kaikkien sen juurien etsiminen.

Esimerkki 1. Etsi integraali