Kuinka löytää vektorin projektio vektorin suuntaan. Vektorin projektio akselille

Johdanto…………………………………………………………………………………3

1. Vektorin ja skalaarin arvo………………………………………….4

2. Pisteen projektion, akselin ja koordinaatin määrittely………………………5

3. Vektorin projektio akselille………………………………………………………………6

4. Vektorialgebran peruskaava………………………………..8

5. Vektorin moduulin laskeminen sen projektioista………………………9

Johtopäätös……………………………………………………………………………………11

Kirjallisuus……………………………………………………………………………………12

Esittely:

Fysiikka liittyy erottamattomasti matematiikkaan. Matematiikka antaa fysiikalle välineet ja tekniikat välisen suhteen yleiseen ja täsmälliseen ilmaisuun fyysisiä määriä, jotka löydetään kokeen tai teoreettisen tutkimuksen tuloksena.. Fysiikan pääasiallinen tutkimusmenetelmä on kuitenkin kokeellinen. Tämä tarkoittaa, että tiedemies paljastaa laskelmat mittausten avulla. Tarkoittaa suhdetta eri fyysisten suureiden välillä. Sitten kaikki käännetään matematiikan kielelle. Muodostettu matemaattinen malli. Fysiikka on tiede, joka tutkii yksinkertaisimpia ja samalla yleisimpiä lakeja. Fysiikan tehtävänä on luoda sellainen kuva mieleemme fyysistä maailmaa, joka heijastaa täydellisesti sen ominaisuuksia ja tarjoaa sellaisia ​​mallin elementtien välisiä suhteita, jotka ovat olemassa elementtien välillä.

Joten fysiikka luo mallin ympäröivästä maailmasta ja tutkii sen ominaisuuksia. Mutta mikä tahansa malli on rajoitettu. Tietystä ilmiöstä malleja luotaessa huomioidaan vain ne ominaisuudet ja yhteydet, jotka ovat olennaisia ​​tietylle ilmiöalueelle. Tämä on tiedemiehen taidetta - valita tärkein asia kaikesta monimuotoisuudesta.

Fyysiset mallit ovat matemaattisia, mutta matematiikka ei ole niiden perusta. Fysikaalisten suureiden väliset kvantitatiiviset suhteet määritetään mittausten, havaintojen ja kokeellisten tutkimusten tuloksena ja ne ilmaistaan ​​vain matematiikan kielellä. Fysikaalisten teorioiden rakentamiseen ei kuitenkaan ole muuta kieltä.

1. Vektorin ja skalaarin merkitys.

Fysiikassa ja matematiikassa vektori on suure, jolle on tunnusomaista sen numeerinen arvo ja suunta. Fysiikassa on monia tärkeitä suureita, jotka ovat vektoreita, esimerkiksi voima, sijainti, nopeus, kiihtyvyys, vääntömomentti, liikemäärä, sähkö- ja magneettikentän voimakkuus. Ne voidaan verrata muihin määriin, kuten massa, tilavuus, paine, lämpötila ja tiheys, joita voidaan kuvata tavallinen numero ja niitä kutsutaan " skalaarit" .

Ne kirjoitetaan joko tavallisilla kirjaimilla tai numeroilla (a, b, t, G, 5, −7...). Skalaarisuureet voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Samaan aikaan joillakin tutkimuskohteilla voi olla sellaisia ​​ominaisuuksia, että täysi kuvaus Joille vain numeerisen suuren tieto osoittautuu riittämättömäksi, on myös tarpeen karakterisoida nämä ominaisuudet suunnan mukaan avaruudessa. Tällaisia ​​ominaisuuksia kuvaavat vektorisuureet (vektorit). Vektorit, toisin kuin skalaarit, on merkitty lihavoituilla kirjaimilla: a, b, g, F, C....
Usein vektoria merkitään kirjaimella tavallisella (ei lihavoidulla) fontilla, mutta sen yläpuolella on nuoli:

Vektorin moduuli eli suunnatun suoran janan pituus on merkitty samoilla kirjaimilla kuin itse vektori, mutta normaalilla (ei lihavoidulla) kirjoituksella ja ilman nuolta niiden yläpuolella tai täsmälleen samalla tavalla vektorina (eli lihavoituna tai säännölli- sesti, mutta nuolella), mutta tällöin vektorin nimitys on suljettu pystysuoralla katkoviivalla.
Vektori on monimutkainen objekti, jolle on tunnusomaista samanaikaisesti sekä suuruus että suunta.

Ei myöskään ole positiivisia ja negatiivisia vektoreita. Mutta vektorit voivat olla samanarvoisia keskenään. Tällöin esimerkiksi a:lla ja b:llä on samat moduulit ja ne on suunnattu samaan suuntaan. Tässä tapauksessa merkintä on totta a= b. On myös syytä muistaa, että vektorisymbolia voi edeltää miinusmerkki, esimerkiksi - c, mutta tämä merkki osoittaa symbolisesti, että vektorilla -c on sama moduuli kuin vektorilla c, mutta se on suunnattu päinvastoin. suunta.

Vektoria -c kutsutaan vektorin c vastakohtaksi (tai käänteiseksi).
Fysiikassa jokainen vektori on täytetty tietyllä sisällöllä, ja vertailtaessa samantyyppisiä vektoreita (esimerkiksi voimia), myös niiden sovelluskohteet voivat olla merkittäviä.

2. Pisteen projektion, akselin ja koordinaatin määrittäminen.

Akseli- Tämä on suora, jolle on annettu suunta.
Akselia merkitään jollain kirjaimella: X, Y, Z, s, t... Yleensä akselilta valitaan (mielivaltaisesti) piste, jota kutsutaan origoksi ja jota yleensä merkitään kirjaimella O. Tästä pisteestä mitataan etäisyydet muihin meille kiinnostaviin kohteisiin.

Pisteen projektio akselilla on tästä pisteestä tietylle akselille vedetyn kohtisuoran kanta. Eli pisteen projektio akselille on piste.

Pistekoordinaatti tietyllä akselilla on luku, jonka itseisarvo on yhtä suuri kuin akselisegmentin pituus (valitulla asteikolla), joka on akselin origon ja pisteen tälle akselille projektion välissä. Tämä luku otetaan plusmerkillä, jos pisteen projektio sijaitsee akselin suunnassa sen origosta ja miinusmerkillä, jos pisteen projektio on vastakkaisessa suunnassa.

3. Vektorin projektio akselille.

Vektorin projektio akselille on vektori, joka saadaan kertomalla vektorin skalaariprojektio tälle akselille ja tämän akselin yksikkövektorille. Esimerkiksi, jos x on vektorin a skalaariprojektio X-akselille, niin a x ·i on sen vektoriprojektio tälle akselille.

Merkitään vektoriprojektiota samalla tavalla kuin itse vektoria, mutta sen akselin indeksillä, jolle vektori projisoidaan. Merkitään siis vektorin a vektoriprojektio X-akselille x:ksi (lihavoitu kirjain, joka ilmaisee vektoria ja akselin nimen alaindeksiä) tai

Skalaariprojektio vektoria akselia kohti kutsutaan määrä, jonka itseisarvo on yhtä suuri kuin vektorin aloituspisteen ja loppupisteen projektioiden välissä olevan akselisegmentin pituus (valitussa mittakaavassa). Yleensä ilmaisun sijaan skalaariprojektio he vain sanovat - projektio. Projektio on merkitty samalla kirjaimella kuin projisoitu vektori (normaalilla, ei-lihavoidulla kirjoituksella), ja sen akselin nimen indeksillä, jolle tämä vektori projisoidaan, on (yleensä) pienempi indeksi. Esimerkiksi jos vektori projisoidaan X-akselille A, sitten sen projektiota merkitään x:llä. Projisoitaessa samaa vektoria toiselle akselille, jos akseli on Y, sen projektiota merkitään a y.

Projektion laskemiseen vektori akselilla (esimerkiksi X-akselilla) on tarpeen vähentää alkupisteen koordinaatti sen loppupisteen koordinaatista, eli

a x = x k − x n.

Vektorin projektio akselille on luku. Lisäksi projektio voi olla positiivinen, jos arvo x k on suurempi kuin arvo x n,

negatiivinen, jos arvo x k on pienempi kuin arvo x n

ja yhtä suuri kuin nolla, jos x k on x n.

Vektorin projektio akselille voidaan löytää myös tietämällä vektorin moduuli ja kulma, jonka se muodostaa tämän akselin kanssa.

Kuvasta käy selvästi ilmi, että a x = a Cos α

Eli vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorin moduulin ja akselin ja akselin suunnan välisen kulman kosinin tulo. vektorin suunta. Jos kulma on terävä, niin
Cos α > 0 ja a x > 0, ja jos tylppä, niin tylpän kulman kosini on negatiivinen, ja myös vektorin projektio akselille on negatiivinen.

Akselista vastapäivään mitattuja kulmia pidetään positiivisina ja akselia pitkin mitattuja kulmia negatiivisina. Koska kosini on kuitenkin parillinen funktio, eli Cos α = Cos (− α), projektioita laskettaessa voidaan kulmia laskea sekä myötä- että vastapäivään.

Jotta vektorin projektio akselille voidaan löytää, tämän vektorin moduuli on kerrottava akselin suunnan ja vektorin suunnan välisen kulman kosinilla.

4. Vektorialgebran peruskaava.

Projisoidaan vektori a suorakaiteen muotoisen koordinaatiston X- ja Y-akseleille. Etsitään vektorin a vektoriprojektiot näille akseleille:

a x = a x ·i ja y = a y ·j.

Mutta vektorin lisäyssäännön mukaisesti

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Siten ilmaisimme vektorin sen projektioina ja suorakulmaisen koordinaatiston vektoreina (tai sen vektoriprojektioina).

Vektoriprojektiota a x ja a y kutsutaan vektorin a komponentteiksi tai komponenteiksi. Suorittamaamme operaatiota kutsutaan vektorin hajottamiseksi suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän akseleita pitkin.

Jos vektori on annettu avaruudessa, niin

a = a x i + a y j + a z k.

Tätä kaavaa kutsutaan vektorialgebran peruskaavaksi. Toki sen voi kirjoittaa näinkin.

Merkitään a:lla vektorin ja projektioakselin välinen kulma ja siirretään vektori

niin, että sen origo osuu yhteen akselin jonkin pisteen kanssa. Jos vektorikomponentin ja akselin suunnat ovat samat, niin kulmasta a tulee terävä ja, kuten kuvasta 12 voidaan nähdä. 24, a,

jossa a on vektorin a moduuli. Jos vektorin ja akselin suunnat ovat vastakkaiset, niin projektion etumerkki huomioon ottaen meillä on (ks. kuva 24, b)

eli edellinen lauseke (muista, että tässä tapauksessa kulma a on tylppä ja

Siten vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorin moduulin ja vektorin ja akselin välisen kulman kosinin tulo:

Tämän lisäksi on yksinomaan tärkeä kaavat, vektorin projektio akselille, voit antaa toisen hyvin yksinkertaisen kaavan. Asetetaan akselin origo ja valitaan asteikko, joka on yhteinen vektorien asteikolle. Kuten tiedetään, pisteen koordinaatti on luku, joka ilmaisee valitussa mittakaavassa etäisyyden akselin origosta tietyn pisteen projektioon akselille, ja tämä luku otetaan plusmerkillä, jos pisteen projektio poistetaan origosta akselin suunnassa ja miinusmerkillä muuten tapaus. Joten esimerkiksi pisteen A koordinaatti (kuva 23, b) on etumerkillinen luku, joka ilmaisee janan pituuden, ja pisteen B koordinaatti on etumerkillinen luku, joka määrittää janan pituuden (teemme älä mieti tätä

tarkemmin, olettaen, että lukija tuntee pisteen koordinaattien käsitteen alkeismatematiikan kurssilta).

Merkitään x-akselilla olevan vektorin alun koordinaatilla ja lopun koordinaatilla. Sitten, kuten kuvasta näkyy. 23, ah, meillä on

Vektorin projektio x-akselille on yhtä suuri kuin

tai ottaen huomioon aikaisemmat yhtäläisyydet,

On helppo nähdä, että tämä kaava on yleinen luonne eikä se riipu vektorin sijainnista suhteessa akseliin ja origoon. Todellakin, harkitse kuvassa esitettyä tapausta. 23, b. Pisteiden koordinaattien määrittelystä ja vektorin projektiosta saamme peräkkäin

(lukija voi helposti tarkistaa kaavan paikkansapitävyyden ja vektorin eri paikassa suhteessa akseliin ja origoon).

Kohdasta (6.11) seuraa, että vektorin projektio akselille on yhtä suuri kuin vektorin lopun ja alun koordinaattien välinen erotus.

Vektorin projektion laskeminen akselille tapahtuu useimmiten melko usein erilaisia ​​asioita. Siksi on tarpeen kehittää vankkaa ennusteiden laskemisen taitoa. Voit osoittaa joitain tekniikoita, jotka helpottavat projektioiden laskentaa.

1. Vektoriprojektion etumerkki akselille voidaan pääsääntöisesti määrittää suoraan piirustuksesta ja projektiomoduuli voidaan laskea kaavalla

missä on terävä kulma vektorin ja projektioiden akselin välillä - jos ja jos Tämä tekniikka, ilman mitään perustavanlaatuista uutta, on jonkin verran

helpottaa projektion laskemista, koska se ei vaadi trigonometrisiä muunnoksia.

2. Jos sinun on määritettävä vektorin projektiot kahdelle keskenään kohtisuoralle akselille x ja y (oletetaan, että vektori on näiden akselien tasossa) ja se on vektorin ja x-akselin välinen terävä kulma, niin

(ulokkeiden merkki määräytyy piirustuksesta).

Esimerkki. Etsi kuvan 1 mukaisen voiman projektiot x- ja y-koordinaattiakseleilta. 25. Piirustuksen perusteella on selvää, että molemmat projektiot ovat negatiivisia. Siten,

3. Joskus käytetään kaksoissuunnittelusääntöä, joka on seuraava. Olkoon annettu vektori ja tasossa oleva akseli Pudotetaan kohtisuorat vektorin päästä tasolle ja suoralle ja sitten yhdistetään kohtisuorien kantat suorasegmentillä (kuva 26). Merkitään vektorin ja tason välistä kulmaa kulmalla ja by ja vektorin ja projektioakselin välistä kulmaa a:lla. Koska kulma on oikea (rakenteesta), niin

Akseli on suunta. Tämä tarkoittaa, että projisointia akselille tai suunnatulle viivalle pidetään samana. Projektio voi olla algebrallinen tai geometrinen. Geometrisesti vektorin projektio akselille ymmärretään vektoriksi ja algebrallisesti numeroksi. Eli käytetään käsitteitä vektorin projektio akselille ja vektorin numeerinen projektio akselille.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jos meillä on L-akseli ja nollasta poikkeava vektori A B →, niin voimme rakentaa vektorin A 1 B 1 ⇀, joka merkitsee sen pisteiden A 1 ja B 1 projektioita.

A 1 B → 1 on vektorin A B → projektio L:lle.

Määritelmä 1

Vektorin projektio akselille on vektori, jonka alku ja loppu ovat alun ja lopun projektioita annettu vektori. n p L A B → → on tapana merkitä projektiota A B → kohti L. Projektion muodostamiseksi L:lle pudotetaan kohtisuorat kohtiin L.

Esimerkki 1

Esimerkki vektoriprojektiosta akselille.

Koordinaattitasolla O x y määritetään piste M 1 (x 1, y 1). On tarpeen rakentaa projektiot O x:lle ja O y:lle pisteen M 1 sädevektorin kuvaamiseksi. Saamme vektorien (x 1, 0) ja (0, y 1) koordinaatit.

Jos puhumme a → projektiosta nollasta poikkeavaan b → tai a → projektioon suuntaan b → , niin tarkoitamme a → projektiota akselille, jonka kanssa suunta b → osuu yhteen. Kohteen a → projektio b → määrittämälle suoralle on merkitty n p b → a → → . Tiedetään, että kun kulma a → ja b → välillä, n p b → a → → ja b → voidaan pitää samansuuntaisena. Siinä tapauksessa, että kulma on tylppä, n p b → a → → ja b → ovat vastakkaisiin suuntiin. Kohtisuorassa tilanteessa a → ja b → ja a → on nolla, a →:n projektio suuntaan b → on nollavektori.

Vektorin akselille projektion numeerinen ominaisuus on vektorin numeerinen projektio tietylle akselille.

Määritelmä 2

Vektorin numeerinen projektio akselille on luku, joka on yhtä suuri kuin tietyn vektorin pituuden ja annetun vektorin ja akselin suunnan määräävän vektorin välisen kulman kosinin tulo.

A B →:n numeerista projektiota L:lle merkitään n p L A B → ja a →:tä b → - n p b → a → .

Kaavan perusteella saadaan n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , josta a → on vektorin pituus a → , a ⇀ , b → ^ on vektorien välinen kulma a → ja b → .

Saadaan kaava numeerisen projektion laskemiseksi: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Sitä voidaan soveltaa tunnetuille pituuksille a → ja b → sekä niiden väliselle kulmille. Kaava soveltuu tunnetuille koordinaateille a → ja b →, mutta on olemassa yksinkertaistettu muoto.

Esimerkki 2

Selvitä a → numeerinen projektio suoralle viivalle suunnassa b →, jonka pituus a → on 8 ja joiden välinen kulma on 60 astetta. Ehdolla meillä on a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Eli vaihdetaan numeerisia arvoja kaavaan n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Vastaus: 4.

Kun tunnetut cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , meillä on a → , b → skalaarituote a → ja b → . Kaavasta n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ voidaan löytää numeerinen projektio a → suunnattu vektoria b → pitkin ja saadaan n p b → a → = a → , b → b → . Kaava vastaa kappaleen alussa annettua määritelmää.

Määritelmä 3

Vektorin a → numeerinen projektio akselille, jonka suunta on sama kuin b → on vektorien a → ja b → skalaaritulon suhde pituuteen b → . Kaavaa n p b → a → = a → , b → b → voidaan soveltaa a → numeerisen projektion etsimiseen suoralle, joka osuu suuntaan b → , tunnetuilla a → ja b → koordinaatilla.

Esimerkki 3

Annettu b → = (- 3 , 4) . Etsi numeerinen projektio a → = (1, 7) L:lle.

Ratkaisu

Koordinaattitasolla n p b → a → = a → , b → b → on muotoa n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , jossa a → = (a x , a y ) ja b → = b x , b y . Löytääksesi vektorin a → numeerisen projektion L-akselille, tarvitset: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Vastaus: 5.

Esimerkki 4

Etsi a → projektio L:lle, joka on yhtäpitävä suunnan b → kanssa, jossa on a → = - 2, 3, 1 ja b → = (3, - 2, 6). Kolmiulotteinen avaruus on määritelty.

Ratkaisu

Kun a → = a x , a y , a z ja b → = b x , b y , b z , lasketaan skalaaritulo: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Pituus b → saadaan kaavalla b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Tästä seuraa, että kaava numeerisen projektion a → määrittämiseksi on: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Korvaa numeroarvot: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Vastaus: -67.

Tarkastellaan yhteyttä a → L:llä ja projektion a → pituuden välillä L. Piirretään akseli L lisäämällä a → ja b → pisteestä L, jonka jälkeen vedetään kohtisuora viiva päästä a → kohtaan L ja piirretään projektio kohtaan L. Kuvasta on 5 muunnelmaa:

Ensimmäinen tapaus a → = n p b → a → → tarkoittaa a → = n p b → a → → , joten n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Toinen tapaus edellyttää n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → käyttöä, mikä tarkoittaa n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Kolmas tapaus selittää, että kun n p b → a → → = 0 → saadaan n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, niin n p b → a → → = 0 ja n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Neljäs tapaus näyttää n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seuraa n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Viides tapaus näyttää a → = n p b → a → → , mikä tarkoittaa a → = n p b → a → → , joten meillä on n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Määritelmä 4

Vektorin a → numeerisella projektiolla L-akselille, joka on suunnattu samalla tavalla kuin b →, on seuraava arvo:

• vektorin a → projektion pituus L:lle edellyttäen, että a → ja b → välinen kulma on pienempi kuin 90 astetta tai yhtä suuri kuin 0: n p b → a → = n p b → a → → ehdolla 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nolla edellyttäen, että a → ja b → ovat kohtisuorassa: n p b → a → = 0, kun (a → , b → ^) = 90 °;
• projektion a → pituus L:llä kerrottuna -1:llä, kun vektoreissa a → ja b → on tylppä tai suora kulma: n p b → a → = - n p b → a → → ehdolla 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Esimerkki 5

Ottaen huomioon projektion a → pituus L:lle, yhtä suuri kuin 2. Etsi numeerinen projektio a → edellyttäen, että kulma on 5 π 6 radiaania.

Ratkaisu

Ehdosta on selvää, että tämä kulma on tylppä: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Vastaus: - 2.

Esimerkki 6

Annettu taso O x y z, jonka vektorin pituus a → on 6 3, b → (- 2, 1, 2), jonka kulma on 30 astetta. Etsi projektion a → koordinaatit L-akselille.

Ratkaisu

Ensin lasketaan vektorin a → numeerinen projektio: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Ehdon mukaan kulma on terävä, jolloin numeerinen projektio a → = vektorin a → projektion pituus: n p L a → = n p L a → → = 9. Tämä tapaus osoittaa, että vektorit n p L a → → ja b → ovat yhdessä suunnattuja, mikä tarkoittaa, että on luku t, jolle yhtälö on tosi: n p L a → → = t · b → . Tästä näemme, että n p L a → → = t · b → , mikä tarkoittaa, että voimme löytää parametrin t arvon: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Sitten n p L a → → = 3 · b → vektorin a → projektion koordinaatit L-akselille yhtä kuin b → = (- 2 , 1 , 2) , jossa arvot on kerrottava 3. Meillä on n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Vastaus: (-6, 3, 6).

On tarpeen toistaa aiemmin opitut tiedot vektorien kollineaarisuuden ehdosta.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Pr a b = |b|cos(a,b) tai

Missä a b on vektorien skalaaritulo, |a| - vektorin a moduuli.

Ohjeet. Löytääksesi vektorin Pr a b projektion verkossa, sinun on määritettävä vektorien a ja b koordinaatit. Tässä tapauksessa vektori voidaan määrittää tasossa (kaksi koordinaattia) ja avaruudessa (kolme koordinaattia). Saatu liuos varastoidaan Word-tiedosto. Jos vektorit määritetään pisteiden koordinaattien kautta, sinun on käytettävä tätä laskinta.

Vektoriprojektioiden luokittelu

Projektiotyypit määritelmän vektoriprojektiolla

Projektiotyypit koordinaattijärjestelmän mukaan

Vektoriprojektio-ominaisuudet

1. Vektorin geometrinen projektio on vektori (sillä on suunta).
2. Vektorin algebrallinen projektio on luku.

Vektoriprojektiolauseet

Pr a b = |b|cos(a,b)

Vektoriprojektioiden tyypit

1. projektio OX-akselille.
2. projektio OY-akselille.
3. projektio vektoriin.

Projektio OX-akselilla	Projektio OY-akselilla	Projektio vektoriin
Jos vektorin A’B’ suunta osuu yhteen OX-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A’B’ projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A’B’ suunta osuu yhteen OY-akselin suunnan kanssa, niin vektorin A’B’ projektiolla on positiivinen etumerkki.	Jos vektorin A’B’ suunta osuu yhteen vektorin NM suunnan kanssa, niin vektorin A’B’ projektiolla on positiivinen etumerkki.
Jos vektorin suunta on vastakkainen OX-akselin suuntaan, niin vektorin A’B’ projektiolla on negatiivinen merkki.	Jos vektorin A’B’ suunta on vastakkainen OY-akselin suuntaan, niin vektorin A’B’ projektiolla on negatiivinen etumerkki.	Jos vektorin A’B’ suunta on vastakkainen vektorin NM suunnan kanssa, niin vektorin A’B’ projektiolla on negatiivinen etumerkki.
Jos vektori AB on yhdensuuntainen OX-akselin kanssa, niin vektorin A’B’ projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB itseisarvo.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, niin vektorin A’B’ projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB itseisarvo.	Jos vektori AB on yhdensuuntainen vektorin NM kanssa, niin vektorin A’B’ projektio on yhtä suuri kuin vektorin AB itseisarvo.
Jos vektori AB on kohtisuorassa akseliin OX nähden, projektio A’B’ on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa OY-akselia vastaan, projektio A’B’ on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).	Jos vektori AB on kohtisuorassa vektoriin NM nähden, projektio A’B’ on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori).

1. Kysymys: Voiko vektorin projektiolla olla negatiivinen etumerkki? Vastaus: Kyllä, projektiovektori voi olla negatiivinen arvo. Tässä tapauksessa vektorilla on päinvastainen suunta (katso kuinka OX-akseli ja AB-vektori on suunnattu)
2. Kysymys: Voiko vektorin projektio osua yhteen vektorin itseisarvon kanssa? Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektorit ovat yhdensuuntaisia ​​(tai sijaitsevat samalla viivalla).
3. Kysymys: Voiko vektorin projektio olla yhtä suuri kuin nolla (nollavektori). Vastaus: Kyllä voi. Tässä tapauksessa vektori on kohtisuorassa vastaavaan akseliin (vektoriin).

Esimerkki 1. Vektori (kuva 1) muodostaa 60° kulman OX-akselin kanssa (se määritellään vektorilla a). Jos OE on skaalausyksikkö, niin |b|=4, joten .

Itse asiassa vektorin pituus (geometrinen projektio b) on yhtä suuri kuin 2 ja suunta on sama kuin OX-akselin suunta.

Esimerkki 2. Vektori (kuva 2) muodostaa kulman (a,b) = 120 o OX-akselin kanssa (vektorilla a). Pituus |b| vektori b on yhtä suuri kuin 4, joten pr a b=4·cos120 o = -2.

Itse asiassa vektorin pituus on 2 ja suunta on vastakkainen akselin suuntaan.

ja akselilla tai jollakin muulla vektorilla on käsitteet sen geometrisesta projektiosta ja numeerisesta (tai algebrallisesta) projektiosta. Geometrisen projektion tulos on vektori, ja algebrallisen projektion tulos on ei-negatiivinen reaaliluku. Mutta ennen kuin siirrymme näihin käsitteisiin, muistakaamme tarvittavat tiedot.

Ennakkotiedot

Pääkäsite on itse vektorin käsite. Määritelmän esittelyyn geometrinen vektori Muistetaan, mikä segmentti on. Esitetään seuraava määritelmä.

Määritelmä 1

Jana on osa suoraa, jolla on kaksi rajaa pisteiden muodossa.

Segmentillä voi olla 2 suuntaa. Suunnan osoittamiseksi kutsumme yhtä janan rajoista sen alkua ja toista rajaa sen lopuksi. Suunta ilmaistaan ​​sen alusta jakson loppuun.

Määritelmä 2

Vektori tai suunnattu segmentti on segmentti, jolle tiedetään, mikä segmentin rajoista on alku ja mikä sen loppu.

Nimitys: kahdella kirjaimella: $\overline(AB)$ – (jossa $A$ on sen alku ja $B$ on sen loppu).

Yhdellä pienellä kirjaimella: $\overline(a)$ (kuva 1).

Otetaan käyttöön vielä muutama vektorin käsitteeseen liittyvä käsite.

Määritelmä 3

Kaksi nollasta poikkeavat vektorit kutsumme niitä kollineaarisiksi, jos ne sijaitsevat samalla viivalla tai toistensa kanssa yhdensuuntaisilla viivoilla (kuva 2).

Määritelmä 4

Kutsumme kahta nollasta poikkeavaa vektoria samansuuntaisiksi, jos ne täyttävät kaksi ehtoa:

1. Nämä vektorit ovat kollineaarisia.
2. Jos ne on suunnattu yhteen suuntaan (kuva 3).

Merkintä: $\overline(a)\overline(b)$

Määritelmä 5

Kutsumme kahta nollasta poikkeavaa vektoria vastakkaiseen suuntaan, jos ne täyttävät kaksi ehtoa:

1. Nämä vektorit ovat kollineaarisia.
2. Jos ne on suunnattu eri suuntiin (kuva 4).

Merkintä: $\overline(a)↓\overline(d)$

Määritelmä 6

Vektorin $\overline(a)$ pituus on segmentin $a$ pituus.

Merkintä: $|\overline(a)|$

Siirrytään kahden vektorin yhtäläisyyden määrittämiseen

Määritelmä 7

Kutsumme kahta vektoria yhtäläisiksi, jos ne täyttävät kaksi ehtoa:

1. Ne ovat samansuuntaisia;
2. Niiden pituudet ovat yhtä suuret (kuva 5).

Geometrinen projektio

Kuten aiemmin sanoimme, geometrisen projektion tulos on vektori.

Määritelmä 8

Vektorin $\overline(AB)$ geometrinen projektio akselille on vektori, joka saadaan seuraavasti: Vektorin $A$ alkupiste heijastetaan tälle akselille. Saadaan piste $A"$ - halutun vektorin alku. Vektorin $B$ loppupiste heijastetaan tälle akselille. Saamme pisteen $B"$ - halutun vektorin loppu. Vektori $\overline(A"B")$ on haluttu vektori.

Mietitäänpä ongelmaa:

Esimerkki 1

Rakentaa geometrinen projektio$\overline(AB)$ $l$-akselille, kuten kuvassa 6.

Piirretään kohtisuora pisteestä $A$ akseliin $l$, saadaan siihen piste $A"$. Seuraavaksi piirretään kohtisuora pisteestä $B$ akseliin $l$, saadaan piste $B "$ siinä (kuva 7).