Kuinka ratkaista ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöt. Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen verkossa

Luentomuistiinpanot aiheesta

differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt

Johdanto

Joitakin ilmiöitä tutkittaessa syntyy usein tilanne, jossa prosessia ei voida kuvata yhtälöllä y=f(x) tai F(x;y)=0. Muuttujan x ja tuntemattoman funktion lisäksi yhtälö sisältää tämän funktion derivaatan.

Määritelmä: Kutsutaan yhtälöä, joka koskee muuttujaa x, tuntematonta funktiota y(x) ja sen derivaattoja differentiaaliyhtälö. Yleensä differentiaaliyhtälö näyttää tältä:

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Määritelmä: Differentiaaliyhtälön järjestys on sen korkeimman derivaatan järjestys.

-ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö

–kolmannen asteen differentiaaliyhtälö

Määritelmä: Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio, joka substituoituna yhtälöön muuttaa sen identiteetiksi.

Differentiaaliyhtälöt 1 tilaus

Määritelmä: Tyyppiyhtälö =f(x;y) tai F(x;y; )=0kutsutaan 1. asteen differentiaaliyhtälöksi.

Määritelmä: Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on funktio y=γ(x;c), jossa (ja –const), joka yhtälöön substituoituna muuttaa sen identiteetiksi. Geometrisesti tasossa yleinen ratkaisu vastaa integraalikäyrien perhettä parametrista c riippuen.

Määritelmä: Integraalikäyrä, joka kulkee tason pisteen läpi, jonka koordinaatit (x 0; y 0), vastaa differentiaaliyhtälön tiettyä ratkaisua, joka täyttää alkuehdon:

Lause 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun ainutlaatuisuuden olemassaolosta

Annettu 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö
ja funktio f(x; y) on jatkuva yhdessä osittaisten derivaattojen kanssa jossain XOY-tason D-alueella, sitten pisteen M 0 (x 0; y 0) läpi D ohittaa ainoan käyrän, joka vastaa alkuehtoa y(x 0)=y 0 vastaavan differentiaaliyhtälön tiettyä ratkaisua

Annettujen koordinaattien pisteen läpi kulkee 1 integraalikäyrä.

Jos 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön yleistä ratkaisua ei ole mahdollista saada eksplisiittisessä muodossa, ts.
, niin se voidaan saada implisiittisesti:

F(x; y; c) =0 – implisiittinen muoto

Yleinen ratkaisu tässä muodossa on ns yhteinen integraali differentiaaliyhtälö.

Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön suhteen asetetaan 2 tehtävää:

1) Etsi yleinen ratkaisu (yleinen integraali)

2) Etsi tietty ratkaisu (osittaisintegraali), joka täyttää annetun alkuehdon. Tätä ongelmaa kutsutaan differentiaaliyhtälön Cauchyn ongelmaksi.

Differentiaaliyhtälöt erotettavilla muuttujilla

Muodon yhtälöt:
kutsutaan differentiaaliyhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

Korvaava

kerrotaan dx:llä

erottelemme muuttujat

jaettuna

Huomautus: On tarpeen harkita erityistapausta, kun

muuttujat erotetaan toisistaan

integroimme yhtälön molemmat osat

- yhteinen päätös

Erotettavia muuttujia sisältävä differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

yksittäistapaus
!

Integroimme yhtälön molemmat osat:

1)

2)
aikaisin ehdot:

Homogeeniset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Määritelmä: Toiminto
kutsutaan homogeeniseksi kertaluvun n, jos

Esimerkki: - homogeeninen funktio kertalukua n=2

Määritelmä: Kutsutaan homogeenista funktiota, jonka kertaluku on 0 homogeeninen.

Määritelmä: Differentiaaliyhtälö
kutsutaan homogeeniseksi jos
- homogeeninen funktio, ts.

Siten homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Vaihtamalla , jossa t on muuttujan x funktio, homogeeninen differentiaaliyhtälö pelkistetään yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

- korvaa yhtälö

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroimme yhtälön molemmat osat

Tehdään käänteinen substituutio korvaamalla , saamme yleisen ratkaisun implisiittisessä muodossa.

Homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa differentiaalimuotoon.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, missä M(x;y) ja N(x;y) ovat samaa luokkaa olevia homogeenisia funktioita.

Jaa dx:llä ja express

1)

Tämän online-laskimen avulla voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä verkossa. Riittää, kun syötät yhtälösi sopivaan kenttään, joka merkitsee heittomerkillä "funktion johdannaista" ja napsautat "ratkaise yhtälö" -painiketta. Ja suositun WolframAlpha-sivuston perusteella toteutettu järjestelmä antaa yksityiskohtaisen differentiaaliyhtälön ratkaisu täysin ilmainen. Voit myös asettaa Cauchyn ongelman niin, että koko sarjasta mahdolliset ratkaisut valitse osamäärä, joka vastaa annettuja alkuehtoja. Cauchyn ongelma syötetään erilliseen kenttään.

Differentiaaliyhtälö

Oletuksena yhtälössä funktio y on muuttujan funktio x. Voit kuitenkin asettaa oman muuttujan merkinnän, jos kirjoitat yhtälöön esimerkiksi y(t), laskin tunnistaa sen automaattisesti y on muuttujan funktio t. Laskurilla voit ratkaista differentiaaliyhtälöitä minkä tahansa monimutkaisuuden ja tyypin: homogeeniset ja epähomogeeniset, lineaariset tai epälineaariset, ensimmäisen tai toisen ja korkeamman kertaluvun yhtälöt, joissa on erotettavia tai ei-erotettavia muuttujia jne. Ratkaisu ero. yhtälö on analyyttisessä muodossa, siinä on yksityiskohtainen kuvaus. Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin yleisiä fysiikassa ja matematiikassa. Ilman niiden laskentaa on mahdotonta ratkaista monia ongelmia (etenkin matemaattisessa fysiikassa).

Yksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisun vaiheista on funktioiden integrointi. On olemassa standardimenetelmiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. On tarpeen saattaa yhtälöt muotoon erotettavilla muuttujilla y ja x ja integroida erotetut funktiot erikseen. Tätä varten sinun on joskus tehtävä tietty vaihto.

Ohje

Jos yhtälö esitetään muodossa: dy/dx = q(x)/n(y), katso erotettavissa olevien muuttujien differentiaaliyhtälöiden luokkaa. Ne voidaan ratkaista kirjoittamalla ehto differentiaaleihin seuraavasti: n(y)dy = q(x)dx. Yhdistä sitten molemmat osat. Joissakin tapauksissa ratkaisu kirjoitetaan integraaleiksi, jotka on otettu kohteesta tunnetut toiminnot. Esimerkiksi tapauksessa dy/dx = x/y, saamme q(x) = x, n(y) = y. Kirjoita se muodossa ydy = xdx ja integroi. Sinun pitäisi saada y^2 = x^2 + c.

lineaariseksi yhtälöt määritä yhtälöt "ensimmäinen". Tuntematon funktio derivaattoineen sisältyy tällaiseen yhtälöön vain ensimmäisessä asteessa. Lineaarinen muoto on dy/dx + f(x) = j(x), missä f(x) ja g(x) ovat x:stä riippuvia funktioita. Ratkaisu kirjoitetaan tunnetuista funktioista otettuja integraaleja käyttäen.

Muista, että monet differentiaaliyhtälöt ovat toisen kertaluvun yhtälöitä (sisältävät toisia derivaattoja). Tämä on esimerkiksi yksinkertaisen harmonisen liikkeen yhtälö, joka on kirjoitettu yleiseksi: md 2x / dt 2 \u003d -kx. Tällaisilla yhtälöillä on osittaisratkaisuja. Yksinkertaisen harmonisen liikkeen yhtälö on esimerkki jostain varsin tärkeästä: lineaarisista differentiaaliyhtälöistä, joilla on vakiokerroin.

Jos ongelman ehdoissa on vain yksi lineaarinen yhtälö, sinulle annetaan lisäehtoja, joiden ansiosta voit löytää ratkaisun. Lue ongelma huolellisesti löytääksesi nämä ehdot. Jos muuttujia x ja y ovat etäisyys, nopeus, paino - voit asettaa rajat x≥0 ja y≥0. On täysin mahdollista, että x tai y piilottaa numeron , omenat jne. – silloin arvot voivat olla vain . Jos x on pojan ikä, on selvää, ettei hän voi olla vanhempi kuin isä, joten määritä se tehtävän ehdoissa.

Lähteet:

• kuinka ratkaista yhtälö yhdellä muuttujalla

Differentiaali- ja integraalilaskennan ongelmat ovat tärkeitä elementtejä teorian vahvistaminen matemaattinen analyysi, osa korkeakouluissa opiskeltua korkeampaa matematiikkaa. ero yhtälö ratkaistaan ​​integrointimenetelmällä.

Ohje

Differentiaalilasku tutkii ominaisuuksia. Käänteisesti funktion integrointi mahdollistaa annettujen ominaisuuksien mukaan, ts. funktion derivaatat tai differentiaalit löytääkseen sen itsensä. Tämä on differentiaaliyhtälön ratkaisu.

Mikä tahansa on tuntemattoman arvon ja tunnetun datan välinen suhde. Differentiaaliyhtälön tapauksessa tuntemattoman roolia esittää funktio ja tunnettujen suureiden roolia sen derivaatat. Lisäksi suhde voi sisältää riippumattoman muuttujan: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, missä x on tuntematon muuttuja, y (x) on määritettävä funktio, yhtälön järjestys on derivaatan (n) maksimijärjestys.

Tällaista yhtälöä kutsutaan tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi. Jos relaatiossa on useita riippumattomia muuttujia ja funktioiden osaderivaatat (differentiaalit) näiden muuttujien suhteen, yhtälöä kutsutaan differentiaaliyhtälöksi osittaisderivaattaineen ja se on muotoa: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, missä z(x, y) on vaadittu funktio.

Joten, jotta voit oppia ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä, sinun on kyettävä löytämään antiderivaatteja, ts. ratkaise käänteisen erilaistumisen ongelma. Esimerkiksi: Ratkaise ensimmäisen kertaluvun yhtälö y’ = -y/x.

Ratkaisu Korvaa y' arvolla dy/dx: dy/dx = -y/x.

Vie yhtälö integrointia varten sopivaan muotoon. Voit tehdä tämän kertomalla molemmat puolet dx:llä ja jakamalla y:dy/y = -dx/x.

Integroi: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Tätä ratkaisua kutsutaan yleiseksi differentiaaliyhtälöksi. C on vakio, jonka arvot määräävät yhtälön ratkaisut. Jollekin tietylle C:n arvolle ratkaisu on ainutlaatuinen. Tällainen ratkaisu on differentiaaliyhtälön erityinen ratkaisu.

Useimpien korkeampien yhtälöiden ratkaisu astetta ei ole selkeää kaavaa, kuten neliön juurten löytäminen yhtälöt. On kuitenkin olemassa useita pelkistysmenetelmiä, joiden avulla voit muuntaa korkeamman asteen yhtälön visuaalisempaan muotoon.

Ohje

Yleisin tapa ratkaista korkeamman asteen yhtälöitä on laajentaminen. Tämä lähestymistapa on yhdistelmä kokonaislukujuurien valinnasta, vapaan termin jakajista ja sitä seuraavasta yleisen polynomin jaosta muotoon (x - x0).

Ratkaise esimerkiksi yhtälö x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. Ratkaisu Tämän polynomin vapaa jäsen on -3, joten sen kokonaislukujakajat voivat olla ±1 ja ±3. Korvaa ne yksitellen yhtälössä ja selvitä, saatko identiteetin: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Toinen juuri x = -1. Jaa lausekkeella (x + 1). Kirjoita tuloksena oleva yhtälö (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Aste on pudonnut toiseksi, joten yhtälöllä voi olla kaksi lisää juuria. Löydä ne ratkaisemalla toisen asteen yhtälö: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Diskriminantti on negatiivinen arvo, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä ei ole enää todellisia juuria. Etsi yhtälön kompleksijuuret: x = (-2 + i √11)/2 ja x = (-2 – i √11)/2.

Toinen tapa ratkaista korkeamman asteen yhtälö on muuttaa muuttujat neliöiksi. Tätä lähestymistapaa käytetään, kun kaikki yhtälön potenssit ovat parillisia, esimerkiksi: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Etsi nyt alkuperäisen yhtälön juuret: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Vinkki 10: Redox-yhtälöiden määrittäminen

Kemiallinen reaktio on aineiden muutosprosessi, joka tapahtuu niiden koostumuksen muuttuessa. Aineita, jotka tulevat reaktioon, kutsutaan alkuaineiksi, ja niitä, jotka muodostuvat tämän prosessin seurauksena, kutsutaan tuotteiksi. Tapahtuu, että kemiallisen reaktion aikana lähtöaineet muodostavat alkuaineet muuttavat hapetusastettaan. Eli he voivat hyväksyä muiden elektroneja ja antaa omansa. Molemmissa tapauksissa niiden veloitus muuttuu. Tällaisia ​​reaktioita kutsutaan redox-reaktioksi.

Differentiaaliyhtälöt (DE). Nämä kaksi sanaa yleensä pelottavat keskimääräistä maallikkoa. Differentiaaliyhtälöt näyttävät olevan jotain törkeää ja vaikeaa hallita monille opiskelijoille. Uuuuuu… differentiaaliyhtälöt, miten selviäisin tästä kaikesta?!

Tällainen mielipide ja asenne on pohjimmiltaan väärä, koska itse asiassa DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT OVAT YKSINKERTAISTA JA JOPA HAUSKAA. Mitä sinun tulee tietää ja osata ratkaista differentiaaliyhtälöitä? Jotta voit opiskella diffuureja onnistuneesti, sinun on oltava hyvä integroimaan ja erottautumaan. Mitä paremmin aiheita tutkitaan Yhden muuttujan funktion derivaatta ja Epämääräinen integraali, sitä helpompi on ymmärtää differentiaaliyhtälöitä. Sanon enemmän, jos sinulla on enemmän tai vähemmän kunnolliset integraatiotaidot, niin aihe on käytännössä hallittu! Mitä enemmän integraaleja erilaisia ​​tyyppejä tiedät kuinka päättää - sen parempi. Miksi? Koska sinun on integroitava paljon. Ja erottaa. Myös suosittelen lämpimästi oppia löytämään implisiittisesti määritellyn funktion derivaatta.

95 %:ssa tapauksista testeissä on kolmen tyyppisiä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä: yhtälöt erotettavissa olevilla muuttujilla, joita tarkastelemme tällä oppitunnilla; homogeeniset yhtälöt ja lineaariset epähomogeeniset yhtälöt. Aloittelijoille, jotka opiskelevat diffuusoreita, suosittelen lukemaan oppitunnit tässä järjestyksessä. On olemassa vielä harvinaisempia differentiaaliyhtälöiden tyyppejä: yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa, Bernoullin yhtälöt ja jotkut muut. Kahdesta viimeisestä tyypistä tärkeimmät ovat kokonaisdifferentiaalien yhtälöt, koska tämän DE:n lisäksi katson uutta materiaalia on erityinen integraatio.

Katsotaanpa ensin tavallisia yhtälöitä. Ne sisältävät muuttujia ja numeroita. Yksinkertaisin esimerkki: . Mitä tarkoittaa tavallisen yhtälön ratkaiseminen? Tämä tarkoittaa löytää joukko numeroita jotka täyttävät tämän yhtälön. On helppo nähdä, että lasten yhtälöllä on yksi juuri: . Tehdään huvin vuoksi tarkistus, korvaa löydetty juuri yhtälöimme:

- saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että ratkaisu löytyy oikein.

Diffuusit on järjestetty pitkälti samalla tavalla!

Differentiaaliyhtälö ensimmäinen tilaus, sisältää:
1) riippumaton muuttuja ;
2) riippuva muuttuja (funktio);
3) funktion ensimmäinen derivaatta: .

Joissakin tapauksissa ensimmäisen kertaluvun yhtälössä ei välttämättä ole "x" tai (ja) "y" - tärkeä niin että DU:ssa oli ensimmäinen johdannainen ja ei ollut korkeamman asteen johdannaiset - jne.

Mitä tarkoittaa ? Differentiaaliyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa löytämistä monia toimintoja jotka täyttävät tämän yhtälön. Tätä funktiosarjaa kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Esimerkki 1

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Täydet ammukset. Mistä aloittaa ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen?

Ensinnäkin sinun on kirjoitettava johdannainen uudelleen hieman eri muodossa. Muistamme derivaatan hankalan merkinnän: . Tällainen johdannaisen nimeäminen luultavasti tuntui monille teistä naurettavalta ja tarpeettomalta, mutta juuri tämä hallitsee hajoamista!

Joten ensimmäisessä vaiheessa kirjoitamme johdannaisen uudelleen tarvitsemassamme muodossa:

Toisessa vaiheessa aina katsotaanko voimme jakaa muuttujat? Mitä muuttujien erottaminen tarkoittaa? Karkeasti sanottuna, vasemmalla puolella meidän täytyy lähteä vain "pelejä", a oikealla puolella järjestää vain x:t. Muuttujien erottelu suoritetaan "koulu"-manipulaatioiden avulla: sulut, termien siirto osasta osaan merkin muutoksella, tekijöiden siirto osasta osaan suhteellisuussäännön mukaisesti jne.

Erot ja ovat täydellisiä kertojia ja aktiivisia osallistujia vihollisuuksiin. Tässä esimerkissä muuttujat erotetaan helposti kääntökertoimilla suhteellisuussäännön mukaisesti:

Muuttujat erotetaan toisistaan. Vasemmalla - vain "Peli", oikealla - vain "X".

Seuraava vaihe - differentiaaliyhtälön integrointi. Se on yksinkertaista, ripustamme integraalit molempiin osiin:

Integraalit on tietysti otettava. Tässä tapauksessa ne ovat taulukkomuotoisia:

Kuten muistamme, jokaiselle antijohdannaiselle on määritetty vakio. Tässä on kaksi integraalia, mutta vakion kirjoittaminen riittää kerran. Se johtuu melkein aina oikeasta puolesta.

Tarkkaan ottaen, kun integraalit on otettu, differentiaaliyhtälön katsotaan olevan ratkaistu. Ainoa asia on, että meidän "y" ei ilmaista "x":n kautta, eli ratkaisu esitetään implisiittisessä muodossa. Differentiaaliyhtälön implisiittistä ratkaisua kutsutaan differentiaaliyhtälön yleinen integraali. Eli on yleinen integraali.

Nyt on yritettävä löytää yleinen ratkaisu, eli yritettävä esittää funktio eksplisiittisessä muodossa.

Muista ensimmäinen tekniikka, se on hyvin yleinen ja usein käytetty käytännön tehtäviä. Kun logaritmi ilmestyy oikealle puolelle integroinnin jälkeen, on lähes aina suositeltavaa kirjoittaa vakio myös logaritmin alle.

Tuo on, sijasta pöytäkirjat yleensä kirjoitetaan .

Tässä on sama täysi vakio kuin . Miksi tätä tarvitaan? Ja jotta "y" olisi helpompi ilmaista. Käytämme logaritmien kouluominaisuutta: . Tässä tapauksessa:

Nyt logaritmit ja moduulit voidaan poistaa molemmista osista puhtaalla omallatunnolla:

Toiminto esitetään selkeästi. Tämä on yleinen ratkaisu.

Paljon ominaisuuksia on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu.

Vakion antaminen erilaisia ​​merkityksiä, voit saada äärettömän monta yksityisiä päätöksiä differentiaaliyhtälö. Mikä tahansa toiminnoista , jne. täyttää differentiaaliyhtälön.

Joskus yleistä ratkaisua kutsutaan toimintoperhe. Tässä esimerkissä yleinen ratkaisu on lineaaristen funktioiden perhe, tai pikemminkin suorien suhteellisuussuhteiden perhe.

Monet differentiaaliyhtälöt on melko helppo tarkistaa. Tämä tehdään hyvin yksinkertaisesti, otamme löydetyn ratkaisun ja löydämme johdannaisen:

Korvaamme ratkaisumme ja löydetyn derivaatan alkuperäiseen yhtälöön:

- saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että ratkaisu löytyy oikein. Toisin sanoen yleinen ratkaisu täyttää yhtälön .

Ensimmäisen esimerkin yksityiskohtaisen keskustelun jälkeen on tarkoituksenmukaista vastata muutamaan naiiviin kysymykseen differentiaaliyhtälöistä.

1)Tässä esimerkissä onnistuimme erottamaan muuttujat: . Onko tämä aina mahdollista? Ei ei aina. Ja vielä useammin muuttujia ei voida erottaa. Esimerkiksi sisään homogeeniset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt on vaihdettava ensin. Muun tyyppisissä yhtälöissä, esim. ensimmäisen asteen lineaarisessa epähomogeenisessa yhtälössä, sinun on käytettävä erilaisia ​​tekniikoita ja menetelmiä löytääksesi yhteisen ratkaisun. Erottuvat muuttujayhtälöt, joita tarkastelemme ensimmäisessä oppitunnissa, ovat − yksinkertaisin tyyppi differentiaaliyhtälöt.

2) Onko aina mahdollista integroida differentiaaliyhtälö? Ei ei aina. On erittäin helppoa keksiä "upea" yhtälö, jota ei voi integroida, lisäksi on integraaleja, joita ei voida ottaa. Mutta tällaiset DE: t voidaan ratkaista suunnilleen erityisillä menetelmillä. D'Alembert ja Cauchyn takuu. ... huh, lurkmore.ru vain lukenut paljon.

3) Tässä esimerkissä olemme saaneet ratkaisun yleisen integraalin muodossa . Onko yleisestä integraalista aina mahdollista löytää yleinen ratkaisu, eli ilmaista "y" eksplisiittisessä muodossa? Ei ei aina. Esimerkiksi: . No, miten voin ilmaista "y" täällä?! Tällaisissa tapauksissa vastaus tulee kirjoittaa yleisenä integraalina. Lisäksi joskus on mahdollista löytää yleinen ratkaisu, mutta se on kirjoitettu niin hankalasti ja kömpelösti, että on parempi jättää vastaus yleisen integraalin muotoon

Älkäämme pitäkö kiirettä. Toinen yksinkertainen kaukosäädin ja toinen tyypillinen ratkaisu.

Esimerkki 2

Etsi differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon

Edellytyksenä on löytää yksityinen päätös DE, joka täyttää alkuperäisen ehdon. Tällaista kyseenalaistamista kutsutaan myös Cauchy ongelma.

Ensin löydämme yleisen ratkaisun. Yhtälössä ei ole x-muuttujaa, mutta tämän ei pitäisi olla noloa, pääasia, että sillä on ensimmäinen derivaatta.

Kirjoitamme johdannaisen uudelleen vaadittuun muotoon:

Ilmeisesti muuttujat voidaan jakaa, pojat vasemmalle, tytöt oikealle:

Integroimme yhtälön:

Yleinen integraali saadaan. Piirsin tähän vakion korostustähdellä, tosiasia on, että se muuttuu pian toiseksi vakioksi.

Nyt yritämme muuntaa yleisen integraalin yleiseksi ratkaisuksi (ilmaista "y" eksplisiittisesti). Muistamme vanhan, hyvän koulun: . Tässä tapauksessa:

Indikaattorin vakio näyttää jotenkin ei kosherilta, joten se lasketaan yleensä taivaasta maan päälle. Yksityiskohtaisesti se tapahtuu näin. Käyttämällä asteiden ominaisuutta kirjoitamme funktion uudelleen seuraavasti:

Jos on vakio, niin on myös jokin vakio, jota merkitsemme kirjaimella:

Muista vakion "drift", tämä on toinen tekniikka, jota käytetään usein differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Joten yleinen ratkaisu on: Hieno eksponentiaalisten funktioiden perhe.

Viimeisessä vaiheessa sinun on löydettävä tietty ratkaisu, joka täyttää annetun alkuehdon . Se on myös yksinkertainen.

Mikä on tehtävä? Pitää noutaa sellaisia vakion arvo niin, että annettu alkuehto täyttyy.

Voit järjestää sen eri tavoin, mutta ehkä ymmärrettävin on tällainen. Yleisessä ratkaisussa "x":n sijasta korvataan nolla ja "y":n sijaan kaksi:



Tuo on,

Vakiomuotoiluversio:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun:
– Tämä on se ratkaisu, jota tarvitsemme.

Tehdään tarkistus. Tietyn ratkaisun varmentamiseen kuuluu kaksi vaihetta.

Ensin on tarkistettava, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu todella alkuehtoa? "x":n sijasta korvaamme nollan ja katsomme mitä tapahtuu:
- kyllä, todellakin, kakkonen saatiin, mikä tarkoittaa, että alkuehto täyttyy.

Toinen vaihe on jo tuttu. Otamme tuloksena olevan tietyn ratkaisun ja löydämme johdannaisen:

Korvaa alkuperäisessä yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

Johtopäätös: tietty ratkaisu löytyy oikein.

Jatketaan merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 3

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Ratkaisu: Kirjoitamme johdannaisen uudelleen tarvitsemassamme muodossa:

Arvioidaan, voidaanko muuttujat erottaa? Voi. Siirrämme toisen termin oikealle merkin muutoksella:

Ja käännämme tekijät suhteellisuussäännön mukaan:

Muuttujat erotetaan toisistaan, integroidaan molemmat osat:

Minun täytyy varoittaa sinua, tuomiopäivä on tulossa. Jos et ole oppinut hyvin määrittelemättömät integraalit, ratkaisi muutamia esimerkkejä, niin ei ole minne mennä - sinun on hallittava ne nyt.

Vasemman puolen integraali on helppo löytää, kotangentin integraalilla käsittelemme oppitunnilla tarkasteltuamme standarditekniikkaa Liittäminen trigonometriset funktiot Viime vuonna:

Oikealla puolella saimme logaritmin, ensimmäisen teknisen suositukseni mukaan, tässä tapauksessa vakio tulee myös kirjoittaa logaritmin alle.

Nyt yritämme yksinkertaistaa yleistä integraalia. Koska meillä on vain logaritmeja, on täysin mahdollista (ja välttämätöntä) päästä eroon niistä. "Pakkaamme" logaritmit niin paljon kuin mahdollista. Pakkaaminen tapahtuu kolmella ominaisuudella:

Kirjoita nämä kolme kaavaa itsellesi uudelleen työkirja, niitä käytetään hyvin usein diffuuseiden ratkaisemisessa.

Kirjoitan ratkaisun erittäin yksityiskohtaisesti:

Pakkaus on valmis, poista logaritmit:

Onko mahdollista ilmaista "y"? Voi. Molemmat osat on oltava neliömäisiä. Mutta sinun ei tarvitse.

Kolmas tekninen neuvonta: Jos yleisen ratkaisun saamiseksi sinun on nostettava tehoon tai juurtuttava, niin Useimmissa tapauksissa sinun tulee pidättäytyä näistä toimista ja jättää vastaus yleisen integraalin muodossa. Tosiasia on, että yleinen ratkaisu näyttää vaatimattomalta ja kauhealta - suurilla juurilla, merkeillä.

Siksi kirjoitamme vastauksen yleisenä integraalina. hyvä sävy sen katsotaan edustavan yleistä integraalia muodossa , eli oikealle puolelle, jos mahdollista, jätä vain vakio. Tätä ei ole pakko tehdä, mutta aina kannattaa miellyttää professoria ;-)

Vastaus: yleinen integraali:

merkintä:minkä tahansa yhtälön yleinen integraali voidaan kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla. Jos tuloksesi ei siis osunut yhteen aiemmin tunnetun vastauksen kanssa, tämä ei tarkoita, että olet ratkaissut yhtälön väärin.

Myös yleinen integraali tarkistetaan melko helposti, pääasia, että löytyy implisiittisesti määritellyn funktion derivaatat. Erotetaan vastaus:

Kerromme molemmat termit:

Ja jaamme näin:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö saatiin tarkasti, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali löytyi oikein.

Esimerkki 4

Etsi differentiaaliyhtälön ratkaisu, joka täyttää alkuehdon. Suorita tarkistus.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Muistutan, että Cauchyn ongelma koostuu kahdesta vaiheesta:
1) Yleisen ratkaisun löytäminen.
2) Tietyn ratkaisun löytäminen.

Tarkastus suoritetaan myös kahdessa vaiheessa (katso myös esimerkki esimerkistä 2), tarvitset:
1) Varmista, että löydetty ratkaisu todella täyttää alkuperäisen ehdon.
2) Tarkista, että tietty ratkaisu yleensä täyttää differentiaaliyhtälön.

Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Esimerkki 5

Etsi differentiaaliyhtälön tietty ratkaisu , joka täyttää alkuperäisen ehdon. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Ensin löydetään yleinen ratkaisu, joka sisältää jo valmiit differentiaalit ja , mikä tarkoittaa, että ratkaisu on yksinkertaistettu. Erottelevat muuttujat:

Integroimme yhtälön:

Vasemmanpuoleinen integraali on taulukkomuotoinen, oikeanpuoleinen integraali otetaan menetelmä, jolla funktio summataan differentiaalin merkin alla:

Yleinen integraali on saatu, onko mahdollista ilmaista yleisratkaisu onnistuneesti? Voi. Riputamme logaritmit:

(Toivottavasti kaikki ymmärtävät muutoksen, sellaiset asiat pitäisi jo tietää)

Joten yleinen ratkaisu on:

Etsitään tietty ratkaisu, joka vastaa annettua alkuehtoa . Yleisessä ratkaisussa korvataan "x":n sijaan nolla ja "y":n sijaan kahden logaritmi:

Tutumpi muotoilu:

Korvaamme vakion löydetyn arvon yleiseen ratkaisuun.

Vastaus: yksityinen ratkaisu:

Tarkista: Tarkista ensin, täyttyykö alkuehto:
- kaikki on hyvin.

Tarkastetaan nyt, täyttääkö löydetty tietty ratkaisu ollenkaan differentiaaliyhtälöä. Löydämme johdannaisen:

Katsotaanpa alkuperäistä yhtälöä: – se esitetään differentiaaleissa. On kaksi tapaa tarkistaa. On mahdollista ilmaista differentiaali löydetystä johdannaisesta:

Korvaamme löydetyn tietyn ratkaisun ja tuloksena olevan differentiaalin alkuperäiseen yhtälöön :

Käytämme logaritmisen perusidentiteettiä:

Saadaan oikea yhtäläisyys, mikä tarkoittaa, että tietty ratkaisu löytyy oikein.

Toinen tapa tarkistaa on peilattu ja tutumpi: yhtälöstä ilmaise johdannainen, tätä varten jaamme kaikki palat seuraavasti:

Ja muunnetussa DE:ssä korvaamme saadun tietyn ratkaisun ja löydetyn derivaatan . Yksinkertaistusten tuloksena tulisi myös saavuttaa oikea tasa-arvo.

Esimerkki 6

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Ilmaise vastaus yleisenä integraalina.

Tämä on esimerkki itseratkaisusta, kokonaisratkaisusta ja vastauksesta oppitunnin lopussa.

Mitä vaikeuksia odottaa erotettavien muuttujien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa?

1) Ei ole aina selvää (etenkään teekannulle), että muuttujat voidaan erottaa toisistaan. Harkitse ehdollinen esimerkki: . Tässä sinun on poistettava tekijät suluista: ja erotettava juuret:. Miten tästä eteenpäin, on selvää.

2) Itse integraation vaikeudet. Integraalit eivät usein synny yksinkertaisimmin, ja jos löytämisen taidoissa on puutteita epämääräinen integraali , silloin se on vaikeaa monien diffuusorien kanssa. Lisäksi logiikka "koska differentiaaliyhtälö on yksinkertainen, olkoon integraalit monimutkaisempia" on suosittu kokoelmien ja käsikirjojen kääntäjien keskuudessa.

3) Muunnokset vakiolla. Kuten kaikki ovat huomanneet, differentiaaliyhtälöiden vakiolla voit tehdä melkein mitä tahansa. Ja tällaiset muutokset eivät aina ole selviä aloittelijalle. Harkitse toista ehdollista esimerkkiä: . Siinä on suositeltavaa kertoa kaikki ehdot kahdella: . Tuloksena oleva vakio on myös jonkinlainen vakio, jota voidaan merkitä seuraavasti: . Kyllä, ja koska oikealla puolella on logaritmi, on suositeltavaa kirjoittaa vakio toiseksi vakioksi: .

Ongelmana on, että he eivät usein välitä indeksien kanssa ja käyttävät samaa kirjainta . Tämän seurauksena päätöstietue on seuraavanlainen:

Mitä helvettiä? Tässä ovat virheet. Muodollisesti kyllä. Ja epävirallisesti - virhettä ei ole, ymmärretään, että vakiota muuttaessa saadaan silti jokin muu vakio.

Tai esimerkiksi oletetaan, että yhtälön ratkaisemisen aikana saadaan yleinen integraali. Tämä vastaus näyttää rumalta, joten on suositeltavaa muuttaa kaikkien kertoimien merkkejä: . Muodollisesti, pöytäkirjan mukaan, on jälleen virhe, se olisi pitänyt kirjoittaa. Mutta epävirallisesti vihjataan, että - se on silti jokin muu vakio (varsinkin se voi ottaa minkä tahansa arvon), joten vakion etumerkin muuttamisessa ei ole mitään järkeä ja voit käyttää samaa kirjainta .

Yritän välttää huolimatonta lähestymistapaa ja laitan silti eri indeksit vakioille niitä muunnettaessa.

Esimerkki 7

Ratkaise differentiaaliyhtälö. Suorita tarkistus.

Ratkaisu: Tämä yhtälö sallii muuttujien erottamisen. Erottelevat muuttujat:

Integroimme:

Vakiota ei tarvitse määritellä logaritmin alle, koska siitä ei seuraa mitään hyvää.

Vastaus: yleinen integraali:

Tarkista: Erota vastaus (implisiittinen funktio):

Pääsemme eroon murtoluvuista, tätä varten kerromme molemmat termit:

Alkuperäinen differentiaaliyhtälö on saatu, mikä tarkoittaa, että yleinen integraali on löydetty oikein.

Esimerkki 8

Etsi DE:n erityinen ratkaisu.
,

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Ainoa kommentti, täältä saat yleisen integraalin, ja oikeammin sinun täytyy keksiä ei tiettyä ratkaisua, vaan yksityinen integraali. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kuten jo todettiin, erotettavien muuttujien diffuroissa ei usein esiinny yksinkertaisimpia integraaleja. Ja tässä on pari tällaista esimerkkiä itsenäistä päätöstä varten. Suosittelen kaikkia ratkaisemaan esimerkit nro 9-10 koulutustasosta riippumatta, tämä päivittää integraalien löytämisen taitoja tai täyttää tiedon puutteita.

Esimerkki 9

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 10

Ratkaise differentiaaliyhtälö

Muista, että yleinen integraali voidaan kirjoittaa useammalla kuin yhdellä tavalla, ja vastausten ulkonäkö voi poiketa ulkomuoto minun vastaukseni. Lyhyt ratkaisu ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Onnistunut promootio!

Esimerkki 4:Ratkaisu: Etsitään yleinen ratkaisu. Erottelevat muuttujat:


Integroimme:



Yleinen integraali on saatu, yritämme yksinkertaistaa sitä. Pakkaamme logaritmit ja pääsemme niistä eroon:

Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan. Useimmissa käytännön ongelmissa funktiot ovat fyysisiä määriä, derivaatat vastaavat näiden suureiden muutosnopeuksia, ja yhtälö määrittää niiden välisen suhteen.

Tässä artikkelissa käsitellään menetelmiä joidenkin tyyppisten tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, joiden ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon perustoiminnot, eli polynomi-, eksponentiaali-, logaritmiset ja trigonometriset funktiot sekä niiden käänteisfunktiot. Monet näistä yhtälöistä löytyvät oikea elämä, vaikka useimpia muita differentiaaliyhtälöitä ei voida ratkaista näillä menetelmillä, ja niille vastaus kirjoitetaan erikoisfunktioina tai teho sarja, tai löydetty numeerisilla menetelmillä.

Tämän artikkelin ymmärtämiseksi sinun on tiedettävä differentiaali- ja integraalilaskenta sekä ymmärrettävä osittaisia ​​derivaattoja. On myös suositeltavaa tuntea lineaarisen algebran perusteet differentiaaliyhtälöiden, erityisesti toisen asteen differentiaaliyhtälöiden, perusteet, vaikka niiden ratkaisemiseen riittääkin differentiaali- ja integraalilaskennan tuntemus.

Ennakkotiedot

• Differentiaaliyhtälöillä on laaja luokitus. Tässä artikkelissa puhutaan tavallisia differentiaaliyhtälöitä, eli yhtälöistä, jotka sisältävät yhden muuttujan funktion ja sen derivaatat. Tavallisia differentiaaliyhtälöitä on paljon helpompi ymmärtää ja ratkaista kuin osittaisdifferentiaaliyhtälöt, jotka sisältävät useiden muuttujien funktioita. Tässä artikkelissa ei käsitellä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, koska näiden yhtälöiden ratkaisumenetelmät määräytyvät yleensä niiden tietyn muodon mukaan.
  • Alla on esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Alla on esimerkkejä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\osittainen y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Tilaus differentiaaliyhtälö määräytyy tähän yhtälöön sisältyvän suurimman derivaatan järjestyksessä. Ensimmäinen yllä olevista tavallisista differentiaaliyhtälöistä on ensimmäistä kertaluokkaa, kun taas toinen on toista kertaluokkaa. Tutkinto kutsutaan differentiaaliyhtälöksi korkein tutkinto, johon yksi tämän yhtälön ehdoista korotetaan.
  • Esimerkiksi alla oleva yhtälö on kolmannen asteen ja toisen potenssin.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ oikea)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differentiaaliyhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö jos funktio ja kaikki sen derivaatat ovat ensimmäisessä potenssissa. Muuten yhtälö on epälineaarinen differentiaaliyhtälö. Lineaariset differentiaaliyhtälöt ovat merkittäviä siinä mielessä, että niiden ratkaisuista voidaan tehdä lineaarisia yhdistelmiä, jotka ovat myös ratkaisuja tähän yhtälöön.
  • Alla on esimerkkejä lineaarisista differentiaaliyhtälöistä.
  • Alla on esimerkkejä epälineaarisista differentiaaliyhtälöistä. Ensimmäinen yhtälö on epälineaarinen sinitermin vuoksi.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Yhteinen päätös tavallinen differentiaaliyhtälö ei ole ainutlaatuinen, se sisältää mielivaltaiset integroinnin vakiot. Useimmissa tapauksissa mielivaltaisten vakioiden määrä on yhtä suuri kuin yhtälön järjestys. Käytännössä näiden vakioiden arvot määräytyvät annettujen mukaan alkuolosuhteet eli funktion ja sen johdannaisten arvoilla at x = 0. (\displaystyle x=0.) Löytämiseen tarvittavien alkuehtojen lukumäärä yksityinen päätös differentiaaliyhtälö, useimmissa tapauksissa on myös yhtä suuri kuin tämän yhtälön järjestys.
  • Esimerkiksi tässä artikkelissa tarkastellaan alla olevan yhtälön ratkaisemista. Tämä on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö. Sen yleinen ratkaisu sisältää kaksi mielivaltaista vakiota. Näiden vakioiden löytämiseksi on tarpeen tietää alkuehdot at x (0) (\displaystyle x(0)) ja x' (0) . (\displaystyle x"(0).) Yleensä alkuehdot annetaan pisteessä x = 0, (\displaystyle x=0,), vaikka tämä ei ole pakollista. Tässä artikkelissa pohditaan myös, kuinka löytää tiettyjä ratkaisuja tietyille alkuolosuhteille.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Askeleet

Osa 1

Tätä palvelua käytettäessä osa tiedoista saatetaan siirtää YouTubeen.

1. Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt. Tässä osiossa käsitellään menetelmiä ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi yleisesti ja erikoistapauksissa, joissa jotkut termit ovat yhtä kuin nolla. Teeskennetäänpä sitä y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) ja q (x) (\displaystyle q(x)) ovat toimintoja x . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\näyttötyyli (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Yhden matemaattisen analyysin päälauseen mukaan funktion derivaatan integraali on myös funktio. Näin ollen riittää, että yhtälö yksinkertaisesti integroidaan ratkaisun löytämiseksi. Tässä tapauksessa on otettava huomioon, että määrittämätöntä integraalia laskettaessa ilmestyy mielivaltainen vakio.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\näyttötyyli y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Käytämme menetelmää muuttujien erottelu. Tällöin eri muuttujat siirretään yhtälön eri puolille. Voit esimerkiksi siirtää kaikki jäsenet kohteesta y (\displaystyle y) yhdeksi ja kaikki jäsenet x (\displaystyle x) yhtälön toiselle puolelle. Jäseniä voidaan myös siirtää d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) ja d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), jotka sisältyvät johdannaisten ilmaisuihin, mutta on muistettava, että nämä ovat oikeudenmukaisia symboli, joka on kätevä erottaa monimutkainen toiminto. Keskustelu näistä termeistä, joita kutsutaan erottimet, ei kuulu tämän artikkelin piiriin.

   • Ensin sinun on siirrettävä muuttujat yhtäläisyysmerkin vastakkaisille puolille.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\näyttötyyli (\frac (1) (y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integroimme yhtälön molemmat puolet. Integroinnin jälkeen molemmille puolille ilmestyy mielivaltaisia ​​vakioita, jotka voidaan siirtää yhtälön oikealle puolelle.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\näyttötyyli y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.1. Viimeisessä vaiheessa käytimme sääntöä e a + b = e a e b (\näyttötyyli e^(a+b)=e^(a)e^(b)) ja vaihdettu e C (\displaystyle e^(C)) päällä C (\displaystyle C), koska se on myös mielivaltainen integroinnin vakio.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1) (2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(tasattu)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Yleisen ratkaisun löytämiseksi esittelimme integroiva tekijä funktiona x (\displaystyle x) pelkistääksesi vasemman puolen yhteiseksi derivaatiksi ja siten ratkaistaksesi yhtälön.

   • Kerro molemmat puolet μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Vasemman puolen pelkistämiseksi yhteiseksi derivaatiksi on tehtävä seuraavat muunnokset:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Viimeinen tasa-arvo tarkoittaa sitä d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Tämä on integroiva tekijä, joka riittää ratkaisemaan minkä tahansa ensimmäisen asteen lineaarisen yhtälön. Nyt voimme johtaa kaavan tämän yhtälön ratkaisemiseksi suhteessa µ , (\displaystyle \mu ,) vaikka koulutusta varten on hyödyllistä tehdä kaikki välilaskelmat.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Esimerkki 1.2. Tässä esimerkissä pohditaan, kuinka löytää tietty ratkaisu differentiaaliyhtälöön annetuilla alkuehdoilla.
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\näyttötyyli \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d t t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(tasattu)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(tasattu)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Epälineaariset ensimmäisen asteen yhtälöt. Tässä osiossa tarkastellaan menetelmiä joidenkin ensimmäisen kertaluvun epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Vaikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa yleistä menetelmää, jotkin niistä voidaan ratkaista alla olevilla menetelmillä.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Jos toiminto f (x , y) = h (x) g (y) (\näyttötyyli f(x,y)=h(x)g(y)) voidaan jakaa yhden muuttujan funktioiksi, tällaista yhtälöä kutsutaan erotettava differentiaaliyhtälö. Tässä tapauksessa voit käyttää yllä olevaa menetelmää:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Esimerkki 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\näyttötyyli (\ alkaa(tasattu)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(tasattu)))

   D y d x = g(x, y) h(x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Teeskennetäänpä sitä g (x , y) (\displaystyle g(x, y)) ja h (x , y) (\displaystyle h(x, y)) ovat toimintoja x (\displaystyle x) ja y . (\displaystyle y.) Sitten homogeeninen differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa g (\displaystyle g) ja h (\displaystyle h) ovat homogeeniset toiminnot sama tutkinto. Eli toimintojen on täytettävä ehto g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) missä k (\displaystyle k) kutsutaan homogeenisuusasteeksi. Mikä tahansa homogeeninen differentiaaliyhtälö voidaan antaa sopivalla muuttujien muutos (v = y / x (\displaystyle v=y/x) tai v = x / y (\displaystyle v=x/y)) muuntaaksesi yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

   • Esimerkki 1.4. Yllä oleva homogeenisuuden kuvaus saattaa tuntua epäselvältä. Katsotaanpa tätä konseptia esimerkin avulla.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Aluksi on huomattava, että tämä yhtälö on epälineaarinen suhteessa y . (\displaystyle y.) Näemme myös, että tässä tapauksessa on mahdotonta erottaa muuttujia. Tämä differentiaaliyhtälö on kuitenkin homogeeninen, koska sekä osoittaja että nimittäjä ovat homogeenisia potenssilla 3. Siksi voimme tehdä muuttujien muutoksen v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Tämän seurauksena meillä on yhtälö for v (\displaystyle v) jaetuilla muuttujilla.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) se Bernoullin differentiaaliyhtälö- erityinen ensimmäisen asteen epälineaarinen yhtälö, jonka ratkaisu voidaan kirjoittaa alkeisfunktioilla.

   • Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\näyttötyyli (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Käytämme vasemmalla puolella olevaa kompleksisen funktion differentiaatiosääntöä ja muunnamme yhtälön lineaariseksi yhtälöksi suhteessa y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) jotka voidaan ratkaista yllä olevilla menetelmillä.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\näyttötyyli M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) = 0.) se kokonaisdifferentiaaliyhtälö. On tarpeen löytää ns potentiaalinen toiminto φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), joka täyttää ehdon d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Tämän ehdon täyttämiseksi tarvitaan kokonaisjohdannainen. Kokonaisderivaata ottaa huomioon riippuvuuden muista muuttujista. Kokonaisjohdannaisen laskeminen φ (\displaystyle \varphi) päällä x , (\displaystyle x,) oletamme niin y (\displaystyle y) voi myös riippua x . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Ehtojen vertailu antaa meille M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) ja N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Tämä on tyypillinen tulos useammille muuttujille yhtälöille, joissa tasaisten funktioiden sekaderivaatat ovat keskenään yhtä suuret. Joskus tätä tapausta kutsutaan Clairaut'n lause. Tässä tapauksessa differentiaaliyhtälö on kokonaisdifferentiaalien yhtälö, jos seuraava ehto täyttyy:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Menetelmä kokonaisdifferentiaalien yhtälöiden ratkaisemiseksi on samanlainen kuin potentiaalisten funktioiden löytäminen useiden derivaattojen läsnä ollessa, joita käsittelemme lyhyesti. Ensin integroidaan M (\displaystyle M) päällä x . (\displaystyle x.) Koska M (\displaystyle M) on toiminto ja x (\displaystyle x), ja y , (\displaystyle y,) integroimalla saamme epätäydellisen funktion φ , (\displaystyle \varphi ,) merkitty nimellä φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Tulos sisältää myös riippuvaisen y (\displaystyle y) integraation vakio.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Sen jälkeen saada c (y) (\displaystyle c(y)) voit ottaa tuloksena olevan funktion osittaisen derivaatan suhteessa y , (\displaystyle y,) rinnastaa tulos N (x, y) (\displaystyle N(x, y)) ja integroida. Voidaan myös integroida ensin N (\displaystyle N), ja ota sitten osaderivaata suhteessa x (\displaystyle x), jonka avulla voimme löytää mielivaltaisen funktion d(x). (\displaystyle d(x).) Molemmat menetelmät ovat sopivia, ja yleensä integrointiin valitaan yksinkertaisempi funktio.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) osittainen (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Esimerkki 1.5. Voit ottaa osittaisia ​​derivaattoja ja varmistaa, että alla oleva yhtälö on kokonaisdifferentiaaliyhtälö.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\näyttötyyli 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(tasattu)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\osittinen \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(tasattu)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\näyttötyyli x^(3)+xy^(2)=C)
   • Jos differentiaaliyhtälö ei ole kokonaisdifferentiaaliyhtälö, joissakin tapauksissa voit löytää integroivan tekijän, jonka avulla voit muuntaa sen kokonaisdifferentiaaliyhtälöksi. Tällaisia ​​yhtälöitä käytetään kuitenkin harvoin käytännössä, ja vaikka integroiva tekijä olemassa, huomaa, että se tapahtuu ei helppoa, joten näitä yhtälöitä ei käsitellä tässä artikkelissa.

Osa 2

1. Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimet. Näitä yhtälöitä käytetään laajasti käytännössä, joten niiden ratkaiseminen on ensiarvoisen tärkeää. Tässä tapauksessa ei puhuta homogeenisista funktioista, vaan siitä, että yhtälön oikealla puolella on 0. Seuraavassa osiossa näytämme kuinka vastaava heterogeeninen differentiaaliyhtälöt. Alla a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ovat vakioita.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Tämä differentiaaliyhtälö on merkittävä siinä mielessä, että se voidaan ratkaista erittäin helposti, jos kiinnittää huomiota siihen, mitä ominaisuuksia sen ratkaisuilla tulisi olla. Yhtälöstä voidaan nähdä, että y (\displaystyle y) ja sen johdannaiset ovat verrannollisia toisiinsa. Edellisistä esimerkeistä, joita käsiteltiin ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä käsittelevässä osassa, tiedämme, että vain eksponentiaalisella funktiolla on tämä ominaisuus. Siksi on mahdollista esittää ansatz(valtuutettu arvaus) siitä, mikä on annetun yhtälön ratkaisu.

   • Ratkaisu on eksponentiaalisen funktion muodossa e r x , (\displaystyle e^(rx),) missä r (\displaystyle r) on vakio, jonka arvo on löydettävä. Korvaa tämä funktio yhtälöön ja hanki seuraava lauseke
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Tämä yhtälö osoittaa, että eksponentiaalisen funktion ja polynomin tulon on oltava nolla. Tiedetään, että eksponentti ei voi olla yhtä suuri kuin nolla millekään asteen arvolle. Tästä päätämme, että polynomi on yhtä suuri kuin nolla. Näin ollen olemme pelkistäneet differentiaaliyhtälön ratkaisuongelman paljon yksinkertaisemmalle algebrallisen yhtälön ratkaisutehtäväksi, jota kutsutaan tietyn differentiaaliyhtälön ominaisyhtälöksi.
     • r 2 + a r + b = 0 (\näyttötyyli r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Meillä on kaksi juurta. Koska tämä differentiaaliyhtälö on lineaarinen, sen yleinen ratkaisu on osittaisten ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. Koska tämä on toisen asteen yhtälö, tiedämme, että näin on Todella yleinen ratkaisu, eikä muita ole. Ankarampi perustelu tälle on ratkaisun olemassaoloa ja ainutlaatuisuutta koskevissa teoreemoissa, jotka löytyvät oppikirjoista.
   • Hyödyllinen tapa tarkistaa, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia, on laskea Wronskian. Wronskian W (\displaystyle W)- tämä on matriisin determinantti, jonka sarakkeissa on funktioita ja niiden peräkkäisiä derivaattoja. Lineaarialgebran lauseessa sanotaan, että Wronskin funktiot ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos Wronskin on nolla. Tässä osiossa voimme testata, ovatko kaksi ratkaisua lineaarisesti riippumattomia varmistamalla, että Wronskin on nollasta poikkeava. Wronskian on tärkeä ratkaistaessa epähomogeenisiä differentiaaliyhtälöitä vakiokertoimilla parametrivariaatiomenetelmällä.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Lineaarialgebran kannalta tietyn differentiaaliyhtälön ratkaisujen joukko muodostaa vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on yhtä suuri kuin differentiaaliyhtälön kertaluku. Tässä tilassa voi valita pohjan lineaarisesti riippumaton päätöksiä toisiltaan. Tämä on mahdollista, koska toiminto y (x) (\displaystyle y(x)) pätevä lineaarinen operaattori. Johdannainen On lineaarinen operaattori, koska se muuttaa differentioituvien funktioiden avaruuden kaikkien funktioiden avaruuteen. Yhtälöitä kutsutaan homogeenisiksi tapauksissa, joissa jollekin lineaariselle operaattorille L (\displaystyle L) yhtälöön on löydettävä ratkaisu L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Katsotaanpa nyt muutamaa konkreettisia esimerkkejä. Karakteriyhtälön useiden juurien tapausta tarkastellaan hieman myöhemmin, tilauksen vähentämistä käsittelevässä osiossa.

   Jos juuret r ± (\displaystyle r_(\pm )) ovat erilaisia ​​reaalilukuja, differentiaaliyhtälöllä on seuraava ratkaisu

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\näyttötyyli y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Kaksi monimutkaista juurta. Algebran peruslauseesta seuraa, että polynomiyhtälöiden ratkaisuilla reaalikertoimilla on juuret, jotka ovat reaalisia tai muodostavat konjugaattipareja. Siksi, jos kompleksiluku r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta) on siis ominaisyhtälön juuri r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) on myös tämän yhtälön juuri. Siten ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) Tämä on kuitenkin monimutkainen luku, eikä se ole toivottavaa käytännön ongelmien ratkaisemisessa.

   • Sen sijaan voit käyttää Eulerin kaava e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), jonka avulla voit kirjoittaa ratkaisun trigonometristen funktioiden muodossa:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − ic 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Nyt voit sen sijaan, että jatkuvasti c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) Kirjoita ylös c 1 (\displaystyle c_(1)), ja ilmaisu i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) korvattu c 2. (\displaystyle c_(2).) Sen jälkeen saamme seuraavan ratkaisun:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • On olemassa toinen tapa kirjoittaa ratkaisu amplitudin ja vaiheen suhteen, mikä sopii paremmin fyysisiin ongelmiin.
   • Esimerkki 2.1. Etsitään alla olevan differentiaaliyhtälön ratkaisu annetuilla alkuehdoilla. Tätä varten on otettava saatu ratkaisu, sekä sen johdannainen, ja korvaa ne alkuehtoihin, jolloin voimme määrittää mielivaltaisia ​​vakioita.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\näyttötyyli r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\sqrt (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\ näyttötyyli x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 ( − 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(tasattu)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea)\end(tasattu)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0) = -1 =-(\frac (3) (2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\oikea))
   
   N:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen vakiokertoimilla (tallennettu Intuit - National Open University).

2. Alennettu tilaus. Järjestyspelkistys on menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi, kun tunnetaan yksi lineaarisesti riippumaton ratkaisu. Tämä menetelmä koostuu yhtälön järjestyksen alentamisesta yhdellä, mikä mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen edellisessä osiossa kuvatuilla menetelmillä. Olkoon ratkaisu tiedossa. Tilauksen alentamisen pääideana on löytää ratkaisu alla olevaan muotoon, jossa on tarpeen määritellä toiminto v (x) (\displaystyle v(x)), korvaa se differentiaaliyhtälöön ja löytää v(x). (\displaystyle v(x).) Pohditaan, kuinka järjestysvähennystä voidaan käyttää differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen vakiokertoimilla ja monijuurilla.

   
   

   Useita juuria homogeeninen differentiaaliyhtälö vakiokertoimilla. Muista, että toisen kertaluvun yhtälöllä on oltava kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Jos ominaisyhtälöllä on useita juuria, ratkaisujen joukko ei muodostaa avaruuden, koska nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tässä tapauksessa on käytettävä järjestysvähennystä toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun löytämiseksi.

   • Olkoon ominaisyhtälöllä useita juuria r (\displaystyle r). Oletetaan, että toinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), ja korvaa se differentiaaliyhtälöön. Tässä tapauksessa suurin osa termeistä, lukuun ottamatta termiä, jossa on funktion toinen derivaatta v , (\displaystyle v,) vähennetään.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Esimerkki 2.2. Annettu seuraava yhtälö, jolla on useita juuria r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Korvaamisen yhteydessä suurin osa ehdoista peruuntuu.
     • d 2 v d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(tasattu)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(tasattu)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(tasattu) )v""e^(-4x)&-(\peruuta (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(tasattu)))
   • Kuten ansatzmme differentiaaliyhtälölle, jolla on vakiokertoimet, tässä tapauksessa vain toinen derivaatta voi olla nolla. Integroimme kahdesti ja saamme halutun lausekkeen for v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Sitten vakiokertoimien differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu, jos ominaisyhtälöllä on useita juuria, voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Mukavuuden vuoksi voit muistaa, että lineaarisen riippumattomuuden saamiseksi riittää yksinkertaisesti kertoa toinen termi x (\displaystyle x). Tämä ratkaisujoukko on lineaarisesti riippumaton, joten olemme löytäneet kaikki ratkaisut tähän yhtälöön.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\näyttötyyli y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Tilauksen alennusta sovelletaan, jos ratkaisu on tiedossa y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), joka löytyy tai annetaan ongelmalausekkeessa.

   • Etsimme ratkaisua muodossa y (x) = v (x) y 1 (x) (\näyttötyyli y(x)=v(x)y_(1)(x)) ja liitä se tähän yhtälöön:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Koska y 1 (\displaystyle y_(1)) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, kaikki termit v (\displaystyle v) ovat kutistumassa. Tämän seurauksena se jää ensimmäisen asteen lineaarinen yhtälö. Jos haluat nähdä tämän selkeämmin, muutetaan muuttujia w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\oikea)(\mathrm (d) )x\oikea))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Jos integraalit voidaan laskea, saadaan yleinen ratkaisu alkeisfunktioiden yhdistelmänä. Muuten ratkaisu voidaan jättää kiinteään muotoon.

3. Cauchy-Euler yhtälö. Cauchy-Euler-yhtälö on esimerkki toisen asteen differentiaaliyhtälöstä, jossa muuttujia kertoimet, joilla on tarkat ratkaisut. Tätä yhtälöä käytetään käytännössä esimerkiksi Laplacen yhtälön ratkaisemiseen pallokoordinaateissa.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ominainen yhtälö. Kuten näette, tässä differentiaaliyhtälössä jokainen termi sisältää tehokertoimen, jonka aste on yhtä suuri kuin vastaavan derivaatan järjestys.

   • Ratkaisua voidaan siis yrittää etsiä muodosta y (x) = x n , (\näyttötyyli y(x)=x^(n),) missä määritellään n (\displaystyle n), aivan kuten etsimme ratkaisua eksponentiaalisen funktion muodossa lineaariselle differentiaaliyhtälölle, jolla on vakiokertoimet. Erilaistumisen ja korvaamisen jälkeen saamme
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\näyttötyyli x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Käyttääksemme ominaisyhtälöä meidän on oletettava, että se x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Piste x = 0 (\displaystyle x=0) nimeltään säännöllinen yksikköpiste differentiaaliyhtälö. Tällaiset pisteet ovat tärkeitä ratkaistaessa differentiaaliyhtälöitä potenssisarjoilla. Tällä yhtälöllä on kaksi juurta, jotka voivat olla eri ja reaali-, moni- tai monimutkainen konjugaatti.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Kaksi erilaista todellista juurta. Jos juuret n ± (\displaystyle n_(\pm )) ovat todellisia ja erilaisia, niin differentiaaliyhtälön ratkaisulla on seuraava muoto:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\näyttötyyli y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Kaksi monimutkaista juurta. Jos ominaisyhtälöllä on juuret n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), ratkaisu on monimutkainen funktio.

   • Muuttaaksemme ratkaisun todelliseksi funktioksi teemme muuttujien muutoksen x = e t , (\näyttötyyli x=e^(t),) tuo on t = ln ⁡ x , (\näyttötyyli t=\ln x,) ja käytä Eulerin kaavaa. Samanlaisia ​​toimintoja tehtiin aiemmin mielivaltaisia ​​vakioita määriteltäessä.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\näyttötyyli y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Sitten yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Useita juuria. Toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun saamiseksi on tarpeen pienentää järjestystä uudelleen.

   • Se vaatii melko vähän laskentaa, mutta periaate on sama: korvaamme y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) yhtälöön, jonka ensimmäinen ratkaisu on y 1 (\displaystyle y_(1)). Vähennysten jälkeen saadaan seuraava yhtälö:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Tämä on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen yhtälö suhteessa v' (x) . (\displaystyle v"(x).) Hänen ratkaisunsa on v (x) = c 1 + c 2 ln x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Siten ratkaisu voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon. Se on melko helppo muistaa - saadaksesi toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun, tarvitset vain lisätermin ln ⁡ x (\näyttötyyli \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\näyttötyyli y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla. Epähomogeenisilla yhtälöillä on muoto L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) missä f (x) (\displaystyle f(x))- niin sanottu vapaa jäsen. Differentiaaliyhtälöiden teorian mukaan tämän yhtälön yleinen ratkaisu on superpositio yksityinen päätös y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) ja lisäratkaisu y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Tässä tapauksessa tietty ratkaisu ei kuitenkaan tarkoita alkuolosuhteiden antamaa ratkaisua, vaan ratkaisua, joka johtuu epähomogeenisuuden esiintymisestä (vapaa jäsen). Täydentävä ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu, jossa f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Yleinen ratkaisu on näiden kahden ratkaisun päällekkäisyys, koska L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\näyttötyyli L=L+L=f(x)), ja siitä lähtien L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,) tällainen superpositio on todellakin yleinen ratkaisu.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Epämääräisten kertoimien menetelmä. Määrittämättömien kertoimien menetelmää käytetään tapauksissa, joissa vapaa termi on yhdistelmä eksponentiaalista, trigonometristä, hyperbolista tai tehotoiminnot. Vain näillä funktioilla taataan äärellinen määrä lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Tässä osiossa löydämme erityisen ratkaisun yhtälöön.

   • Vertaa termejä f (x) (\displaystyle f(x)) vakiotekijöiden huomioimatta jättämisellä. Kolme tapausta on mahdollista.
     • Ei ole identtisiä jäseniä. Tässä tapauksessa erityinen ratkaisu y p (\displaystyle y_(p)) on lineaarinen yhdistelmä termejä alkaen y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen vuodesta y c , (\displaystyle y_(c),) missä n (\displaystyle n) on nolla tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa ominaisyhtälön yhtä juurta. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) koostuu toimintojen yhdistelmästä x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset sekä muut termit f (x) (\displaystyle f(x)) ja niiden lineaarisesti riippumattomat derivaatat.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) sisältää jäsenen h (x) , (\displaystyle h(x),) joka on teos x n (\displaystyle x^(n)) ja jäsen vuodesta y c , (\displaystyle y_(c),) missä n (\displaystyle n) on yhtä suuri kuin 0 tai positiivinen kokonaisluku, ja tämä termi vastaa useita ominaisyhtälön juuri. Tässä tapauksessa y p (\displaystyle y_(p)) on funktion lineaarinen yhdistelmä x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(missä s (\displaystyle s)- juuren monikerta) ja sen lineaarisesti riippumattomat derivaatat sekä muut funktion jäsenet f (x) (\displaystyle f(x)) ja sen lineaarisesti riippumattomat johdannaiset.
   • Kirjoitetaanpa ylös y p (\displaystyle y_(p)) edellä olevien termien lineaarisena yhdistelmänä. Näiden lineaarisessa yhdistelmässä olevien kertoimien vuoksi tätä menetelmää kutsutaan "määrittelemättömien kertoimien menetelmäksi". Niiden ilmestyessä, jotka sisältyvät y c (\displaystyle y_(c)) niiden jäsenet voidaan hylätä mielivaltaisten vakioiden vuoksi y c . (\displaystyle y_(c).) Sen jälkeen vaihdamme y p (\displaystyle y_(p)) yhtälöksi ja rinnastaa samanlaisia ​​termejä.
   • Määritämme kertoimet. Tässä vaiheessa järjestelmä algebralliset yhtälöt, joka voidaan yleensä ratkaista ilman ongelmia. Tämän järjestelmän ratkaisu tekee mahdolliseksi saada y p (\displaystyle y_(p)) ja siten ratkaise yhtälö.
   • Esimerkki 2.3. Tarkastellaan epähomogeenistä differentiaaliyhtälöä, jonka vapaa termi sisältää äärellisen määrän lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Erityinen ratkaisu tällaiselle yhtälölle voidaan löytää määrittelemättömien kertoimien menetelmällä.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\näyttötyyli y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\näyttötyyli y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 Ae 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(tasattu)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ loppu (tapaukset)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrangen menetelmä. Lagrangen menetelmä eli mielivaltaisten vakioiden variaatiomenetelmä on yleisempi menetelmä epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, erityisesti tapauksissa, joissa vapaa termi ei sisällä äärellistä määrää lineaarisesti riippumattomia derivaattoja. Esimerkiksi ilmaisilla jäsenillä tan ⁡ x (\näyttötyyli \rusketus x) tai x − n (\displaystyle x^(-n)) tietyn ratkaisun löytämiseksi on käytettävä Lagrange-menetelmää. Lagrange-menetelmää voidaan käyttää jopa muuttuvien kertoimien differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, vaikka tässä tapauksessa Cauchy-Euler-yhtälöä lukuun ottamatta sitä käytetään harvemmin, koska lisäratkaisua ei yleensä ilmaista alkeisfunktioilla.

   • Oletetaan, että ratkaisulla on seuraava muoto. Sen johdannainen annetaan toisella rivillä.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\näyttötyyli y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ' = v 1 ' y 1 + v 1 y 1 ' + v 2 ' y 2 + v 2 y 2 ' (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Koska ehdotettu ratkaisu sisältää kaksi tuntemattomia määriä, on tarpeen määrätä lisää kunto. Valitsemme tämän lisäehdon seuraavassa muodossa:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Nyt voimme saada toisen yhtälön. Kun olet vaihtanut ja jakanut jäseniä uudelleen, voit ryhmitellä jäseniä v 1 (\displaystyle v_(1)) ja jäseniä kohteesta v 2 (\displaystyle v_(2)). Nämä ehdot peruutetaan, koska y 1 (\displaystyle y_(1)) ja y 2 (\displaystyle y_(2)) ovat vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisuja. Tuloksena saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(tasattu)))
   • Tämä järjestelmä voidaan muuntaa muodon matriisiyhtälöksi A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kenen ratkaisu on x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Matriisille 2 × 2 (\näyttötyyli 2\kertaa 2) käänteinen matriisi löydetään jakamalla determinantilla, permutoimalla diagonaaliset elementit ja muuttamalla diagonaalista poikkeavien elementtien etumerkkiä. Itse asiassa tämän matriisin determinantti on Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_() 2)"\end(pmatriisi))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Ilmaisut for v 1 (\displaystyle v_(1)) ja v 2 (\displaystyle v_(2)) on lueteltu alla. Kuten järjestysvähennysmenetelmässä, tässäkin tapauksessa integroinnin aikana ilmestyy mielivaltainen vakio, joka sisältää lisäratkaisun differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1) (x)=-\int (\frac (1) (W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2) (x)=\int (\frac (1) (W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   National Open University Intuitin luento "N:nnen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt vakiokertoimilla".

Käytännöllinen käyttö

Differentiaaliyhtälöt muodostavat suhteen funktion ja yhden tai useamman sen derivaatan välille. Koska tällaiset suhteet ovat niin yleisiä, differentiaaliyhtälöt ovat löytäneet laajan käytön monilla eri alueilla, ja koska elämme neljässä ulottuvuudessa, nämä yhtälöt ovat usein differentiaaliyhtälöitä. yksityinen johdannaisia. Tässä osiossa käsitellään joitakin tämän tyyppisiä tärkeimpiä yhtälöitä.

• Eksponentiaalinen kasvu ja rappeutuminen. radioaktiivinen hajoaminen. Korkoa korolle. Kemiallisten reaktioiden nopeus. Lääkkeiden pitoisuus veressä. Rajoittamaton väestönkasvu. Newton-Richmannin laki. Reaalimaailmassa on monia järjestelmiä, joissa kasvu- tai heikkenemisnopeus kulloinkin on verrannollinen Tämä hetki aika tai se voidaan hyvin arvioida mallin mukaan. Tämä johtuu siitä, että tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu, eksponentiaalinen funktio, on yksi matematiikan ja muiden tieteiden tärkeimmistä funktioista. Yleisemmin hallitun väestönkasvun aikana järjestelmä voi sisältää lisätermejä, jotka rajoittavat kasvua. Alla olevassa yhtälössä vakio k (\displaystyle k) voi olla suurempi tai pienempi kuin nolla.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Harmoniset värähtelyt. Sekä klassisia että kvanttimekaniikka Harmoninen oskillaattori on yksi tärkeimmistä fyysisistä järjestelmistä johtuen yksinkertaisuudestaan ​​ja laajaa käyttöä monimutkaisempien järjestelmien, kuten yksinkertaisen heilurin, lähentämiseksi. Klassisessa mekaniikassa harmonisia värähtelyjä Kuvataan yhtälöllä, joka yhdistää aineellisen pisteen sijainnin sen kiihtyvyyteen Hooken lain mukaisesti. Tässä tapauksessa voidaan ottaa huomioon myös vaimennus- ja käyttövoimat. Alla olevassa ilmaisussa x ˙ (\displaystyle (\piste (x)))- aikajohdannainen x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta) on parametri, joka kuvaa vaimennusvoimaa, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- järjestelmän kulmataajuus, F (t) (\displaystyle F(t)) on ajasta riippuva liikkeellepaneva voima. Harmoninen oskillaattori on mukana myös sähkömagneettisissa värähtelypiireissä, joissa se voidaan toteuttaa mekaanisia järjestelmiä tarkemmin.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\piste (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Besselin yhtälö. Besselin differentiaaliyhtälöä käytetään monilla fysiikan alueilla, mukaan lukien aaltoyhtälön ratkaisu, Laplacen yhtälö ja Schrödingerin yhtälö, erityisesti sylinterimäisen tai pallomaisen symmetrian läsnä ollessa. Tämä toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö muuttuvilla kertoimilla ei ole Cauchy-Euler-yhtälö, joten sen ratkaisuja ei voida kirjoittaa alkeisfunktioina. Besselin yhtälön ratkaisut ovat Besselin funktiot, jotka ovat hyvin tutkittuja, koska niitä käytetään monilla alueilla. Alla olevassa ilmaisussa α (\displaystyle \alpha ) on vakio, joka vastaa Tilaus Besselin toiminnot.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Maxwellin yhtälöt. Lorentzin voiman ohella Maxwellin yhtälöt muodostavat klassisen sähködynamiikan perustan. Nämä ovat neljä osittaista differentiaaliyhtälöä sähkölle E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) ja magneettinen B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) kentät. Alla olevissa ilmaisuissa ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- lataustiheys, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t)) on virrantiheys ja ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) ja μ 0 (\displaystyle \mu _(0)) ovat sähköinen ja magneettinen vakio.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\dotnabla(tasattu)) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(tasattu)))
• Schrödingerin yhtälö. Kvanttimekaniikassa Schrödingerin yhtälö on liikkeen perusyhtälö, joka kuvaa hiukkasten liikettä muutoksen mukaan. aaltofunktio Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) ajan kanssa. Liikeyhtälö kuvataan käyttäytymisellä Hamiltonin H ^ (\displaystyle (\hat(H))) - operaattori, joka kuvaa järjestelmän energiaa. Yksi laajalti kuuluisia esimerkkejä Schrödingerin yhtälö fysiikassa on yhtälö yhdelle ei-relativistiselle hiukkaselle, joka on potentiaalin alainen V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Monia järjestelmiä kuvataan ajasta riippuvalla Schrödingerin yhtälöllä, jonka yhtälö on vasemmalla E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) missä E (\displaystyle E) on hiukkasen energia. Alla olevissa ilmaisuissa ℏ (\displaystyle \hbar ) on pelkistetty Planck-vakio.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\oikea)\Psi )
• aaltoyhtälö. On mahdotonta kuvitella fysiikkaa ja tekniikkaa ilman aaltoja, niitä on kaikentyyppisissä järjestelmissä. Yleensä aallot kuvataan alla olevalla yhtälöllä, jossa u = u (r , t) (\näyttötyyli u=u((\mathbf (r) ),t)) on haluttu toiminto ja c (\displaystyle c)- kokeellisesti määritetty vakio. d'Alembert havaitsi ensimmäisenä, että yksiulotteisen tapauksen ratkaisu aaltoyhtälöön on minkä tahansa funktio argumentin kanssa x − c t (\displaystyle x-ct), joka kuvaa mielivaltaista oikealle etenevää aaltoa. Yksiulotteisen tapauksen yleinen ratkaisu on tämän funktion lineaarinen yhdistelmä toisen argumentin sisältävän funktion kanssa x + c t (\displaystyle x+ct), joka kuvaa vasemmalle etenevää aaltoa. Tämä ratkaisu esitetään toisella rivillä.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\näyttötyyli u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stokes yhtälöt. Navier-Stokes-yhtälöt kuvaavat nesteiden liikettä. Koska nesteitä esiintyy lähes kaikilla tieteen ja teknologian aloilla, nämä yhtälöt ovat erittäin tärkeitä sään ennustamisessa, lentokoneiden suunnittelussa, merivirroissa ja monissa muissa sovelluksissa. Navier-Stokes-yhtälöt ovat epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, ja useimmissa tapauksissa niiden ratkaiseminen on erittäin vaikeaa, koska epälineaarisuus johtaa turbulenssiin ja vakaan ratkaisun saamiseksi numeerisilla menetelmillä on tarpeen jakaa hyvin pieniä soluja, mikä vaatii huomattavaa laskentatehoa. Hydrodynamiikan käytännön syistä turbulenttisten virtausten mallintamiseen käytetään menetelmiä, kuten aikakeskiarvon laskemista. Haasteet ovat vielä peruskysymyksiä, kuten ratkaisujen olemassaolo ja ainutlaatuisuus epälineaarisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille, ja Navier-Stokes-yhtälöiden kolmiulotteisen ratkaisun olemassaolon ja ainutlaatuisuuden todistaminen on mm. matemaattisia ongelmia vuosituhannen. Alla on kokoonpuristumattoman nesteen virtausyhtälö ja jatkuvuusyhtälö.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h, ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\näyttötyyli (\frac (\osittais (\math)b )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Monia differentiaaliyhtälöitä ei yksinkertaisesti voida ratkaista yllä olevilla menetelmillä, etenkään niillä, jotka mainittiin viimeisessä osassa. Tämä pätee, kun yhtälö sisältää muuttuvia kertoimia, eikä se ole Cauchy-Euler-yhtälö, tai kun yhtälö on epälineaarinen, lukuun ottamatta muutamia erittäin harvinaisia ​​tapauksia. Yllä olevat menetelmät antavat kuitenkin mahdollisuuden ratkaista monia tärkeitä differentiaaliyhtälöitä, joita usein kohdataan eri tieteenaloilla.
• Toisin kuin differentiaatio, jonka avulla voit löytää minkä tahansa funktion derivaatan, monien lausekkeiden integraalia ei voida ilmaista alkeisfunktioissa. Siksi älä tuhlaa aikaa integraalin laskemiseen siellä, missä se on mahdotonta. Katso integraalitaulukkoa. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisua ei voida ilmaista alkeisfunktioilla, se voidaan joskus esittää integraalimuodossa, ja tässä tapauksessa ei ole väliä, voidaanko tämä integraali laskea analyyttisesti.

Varoitukset

• Ulkomuoto differentiaaliyhtälö voi olla harhaanjohtava. Esimerkiksi alla on kaksi ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä. Ensimmäinen yhtälö on helppo ratkaista tässä artikkelissa kuvatuilla menetelmillä. Ensi silmäyksellä pieni muutos y (\displaystyle y) päällä y 2 (\displaystyle y^(2)) toisessa yhtälössä tekee siitä epälineaarisen ja siitä tulee erittäin vaikea ratkaista.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))