Matriisi neliössä. Neliömuodot ja neliömuodot

Positiiviset määrätyt neliömuodot

Määritelmä. Kvadraattinen muoto alkaen n tuntemattomia kutsutaan positiivinen selvä, jos sen arvo on yhtä suuri kuin positiivinen inertiaindeksi ja yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä.

Lause. Neliömuoto on positiivinen määrätty, jos ja vain jos se ottaa nollasta poikkeavalla muuttujaarvojoukolla positiiviset arvot.

Todiste. Olkoon neliömuoto tuntemattomien ei-degeneroitunut lineaarinen muunnos

palautettu normaaliksi

.

Jokaiselle nollasta poikkeavalle muuttujaarvojoukolle vähintään yksi numeroista eroaa nollasta, ts. . Lauseen tarpeellisuus on todistettu.

Oletetaan, että toisen asteen muoto saa positiiviset arvot mille tahansa nollasta poikkeavalle muuttujajoukolle, mutta sen positiivinen inertiaindeksi on tuntemattomien ei-degeneroitu lineaarinen muunnos

Viedään se normaaliin muotoon. Yleisyyttä menettämättä voidaan olettaa, että tässä normaalimuodossa viimeisen muuttujan neliö joko puuttuu tai sisältyy miinusmerkillä, ts. , missä tai . Oletetaan, että se on nollasta poikkeava joukko muuttujaarvoja, jotka on saatu järjestelmän ratkaisemisen tuloksena lineaariset yhtälöt

Tässä järjestelmässä yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä ja järjestelmän determinantti on nollasta poikkeava. Cramerin lauseen mukaan järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja se on nollasta poikkeava. Tälle setille. Ristiriita ehdon kanssa. Tulemme ristiriidaan oletuksen kanssa, joka todistaa lauseen riittävyyden.

Tällä kriteerillä on mahdotonta määrittää kertoimista, onko neliömuoto positiivinen määrätty. Vastauksen tähän kysymykseen antaa toinen lause, jonka muotoilua varten otamme käyttöön toisen käsitteen. Matriisin diagonaaliset alamorillit– nämä ovat alaikäisiä sen vasemmassa yläkulmassa:

, , , … , .

Lause.Kvadraattinen muoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki sen päädiagonaaliset alamerkit ovat positiivisia.

Todiste suoritamme menetelmän loppuun matemaattinen induktio numeron mukaan n neliölliset muuttujat f.

Induktiohypoteesi. Oletetaan, että kvadraattisille muodoille, joissa on vähemmän muuttujia n väite on totta.

Harkitse kvadraattista muotoa n muuttujia. Laitetaan kaikki termit, jotka sisältävät . Loput termit muodostavat muuttujien neliöllisen muodon. Induktiohypoteesin mukaan väite on totta hänelle.

Oletetaan, että neliömuoto on positiivinen määrätty. Tällöin neliömuoto on positiivinen määrätty. Jos oletetaan, että näin ei ole, muuttujien arvojen joukko ei ole nolla , mille ja vastaavasti, , ja tämä on ristiriidassa sen tosiasian kanssa, että neliömuoto on positiivinen määrätty. Induktiohypoteesin mukaan kaikki neliömäisen muodon diagonaaliset pääasialliset minorit ovat positiivisia, ts. kaikki neliömuodon ensimmäiset päämollarit f ovat positiivisia. Viimeinen neliömuotoinen päämolli – tämä on sen matriisin determinantti. Tämä determinantti on positiivinen, koska sen etumerkki on sama kuin normaalimuotonsa matriisin etumerkki, ts. identiteettimatriisin determinantin etumerkillä.

Olkoon kaikki neliömuodon päädiagonaalimollit positiivisia, jolloin kaikki neliömuodon päädiagonaalimollit ovat positiivisia yhtälöstä . Induktiohypoteesin mukaan neliömuoto on positiivinen määrätty, joten muuttujien ei-degeneroitu lineaarinen muunnos pelkistää muodon uusien muuttujien neliösumman muotoon. Tämä lineaarinen muunnos voidaan laajentaa kaikkien muuttujien ei-degeneroituneeksi lineaarimuunnokseksi asettamalla . Tämä muunnos vähentää neliöllisen muodon muotoon

Tässä kappaleessa keskitymme erityiseen, mutta tärkeä luokka positiiviset neliömuodot.

Määritelmä 3. Todellista neliömuotoa kutsutaan ei-negatiiviksi (ei-positiiviseksi), jos muuttujien mille tahansa todelliselle arvolle

. (35)

Tässä tapauksessa kertoimien symmetristä matriisia kutsutaan positiiviseksi semidefiniitiksi (negatiivinen puolidefiniitti).

Määritelmä 4. Todellista neliömuotoa kutsutaan positiiviseksi definiitiksi (negatiiviseksi definiitiksi), jos jollekin muuttujien reaaliarvolle, joka ei ole samanaikaisesti nolla,

. (36)

Tässä tapauksessa matriisia kutsutaan myös positiiviseksi definiitiksi (negatiiviseksi).

Positiivisten määrällisten (negatiivisten määrällisten) muotojen luokka on osa ei-negatiivisten (vastaavasti ei-positiivisten) muotojen luokkaa.

Olkoon ei-negatiivinen muoto. Kuvitellaan se itsenäisten neliöiden summana:

. (37)

Tässä esityksessä kaikkien neliöiden on oltava positiivisia:

. (38)

Todellakin, jos niitä olisi, niin olisi mahdollista valita sellaisia ​​​​arvoja

Mutta silloin näillä muuttujien arvoilla muodolla olisi negatiivinen arvo, mikä on ehtojen mukaan mahdotonta. Ilmeisesti päinvastoin (37) ja (38) seuraa, että muoto on positiivinen.

Siten ei-negatiivista neliömuotoa kuvaavat yhtäläisyydet.

Olkoon se nyt positiivista määrätty muoto. Silloin se on ei-negatiivinen muoto. Siksi se voidaan esittää muodossa (37), jossa kaikki ovat positiivisia. Muodon positiivisesta määrittelystä seuraa, että . Itse asiassa, jos on mahdollista valita arvoja, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuret kuin nolla, jolloin kaikki muuttuisivat nollaan. Mutta sitten, perusteella (37), klo , mikä on ristiriidassa ehdon (36) kanssa.

On helppo nähdä, että päinvastoin, jos (37):ssä ja ovat kaikki positiivisia, niin se on positiivinen määrätty muoto.

Toisin sanoen ei-negatiivinen muoto on positiivinen, jos ja vain jos se ei ole yksikkö.

Seuraava lause antaa kriteerin muodon positiiviselle määrittelylle epäyhtälöiden muodossa, jotka muotokertoimien on täytettävä. Tässä tapauksessa käytetään edellisissä kappaleissa jo havaittua merkintää matriisin peräkkäisille pääalaikäisille:

.

Lause 3. Jotta neliömuoto olisi positiivinen määrätty, on välttämätöntä ja riittävää, että epäyhtälöt täyttyvät

Todiste. Ehtojen (39) riittävyys seuraa suoraan Jacobin kaavasta (28). Ehtojen tarpeellisuus (39) määritellään seuraavasti. Muodon positiivisesta määritelmästä seuraa "katkaistujen" muotojen positiivinen määrittely

.

Mutta silloin kaikkien näiden muotojen on oltava ei-yksiköitä, ts.

Nyt meillä on mahdollisuus käyttää Jacobin kaavaa (28) (at ). Koska tämän kaavan oikealla puolella kaikkien neliöiden on oltava positiivisia, niin

Tämä merkitsee eriarvoisuutta (39). Lause on todistettu.

Koska mikä tahansa matriisin päämolli, muuttujien oikealla uudelleennumeraatiolla, voidaan sijoittaa vasempaan yläkulmaan, meillä on

Seuraus. Positiivisessa määrätyssä neliömuodossa kaikki kerroinmatriisin suuret alamerkit ovat positiivisia:

Kommentti. Peräkkäisten pääalaikäisten ei-negatiivisuudesta

muodon ei-negatiivisuus ei seuraa. Todellakin, muoto

,

jossa , täyttää ehdot , mutta ei ole ei-negatiivinen.

Seuraava pätee kuitenkin

Lause 4. Jotta toisen asteen muoto olisi ei-negatiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki sen kerroinmatriisin suuret alamerkit ovat ei-negatiivisia:

Todiste. Esitetään, että apumuoto oli ei-positiivinen, se on välttämätön ja riittävä epätasa-arvojen tapahtumiseen

Homogeenistä polynomia, jonka aste on 2 useissa muuttujissa, kutsutaan neliömuodoksi.

Muuttujien neliömuoto koostuu kahden tyyppisistä termeistä: muuttujien neliöistä ja niiden parituloksista tietyillä kertoimilla. Neliömuoto kirjoitetaan yleensä seuraavana neliökaaviona:

Samankaltaisten termien parit kirjoitetaan yhtäläisillä kertoimilla siten, että jokainen niistä muodostaa puolet muuttujien vastaavan tulon kertoimesta. Siten jokainen neliömuoto liittyy luonnollisesti kerroinmatriisiinsa, joka on symmetrinen.

On kätevää esittää neliömuoto seuraavalla matriisimerkinnällä. Merkitään X:llä muuttujien sarake X:n kautta - rivi, eli matriisi, joka on transponoitu X:llä.

Neliön muodot löytyy monilta matematiikan aloilta ja sen sovelluksista.

Lukuteoriassa ja kristallografiassa neliömuotoja tarkastellaan olettaen, että muuttujat saavat vain kokonaislukuarvoja. Analyyttisessä geometriassa neliömuoto on osa järjestyksen käyrän (tai pinnan) yhtälöä. Mekaniikassa ja fysiikassa neliömuoto näyttää ilmaisevan kineettinen energia järjestelmiä yleistettyjen nopeuksien komponenttien kautta jne. Mutta lisäksi neliömuotojen tutkiminen on tarpeen myös analyysissä, kun tutkitaan monien muuttujien funktioita, kysymyksissä, joiden ratkaisemiseksi on tärkeää selvittää, kuinka tietty funktio tietyn pisteen läheisyys poikkeaa sen approksimaatiosta lineaarinen funktio. Esimerkki tämäntyyppisestä ongelmasta on funktion maksimi- ja minimiarvojen tutkiminen.

Tarkastellaan esimerkiksi ongelmaa tutkia maksimi- ja minimiarvo kahden muuttujan funktiolle, jolla on jatkuvat osittaiset derivaatat järjestyksessä. Tarpeellinen ehto Jotta piste antaisi funktion maksimin tai minimin, pisteen järjestyksen osittaiset derivaatat ovat yhtä kuin nolla. Oletetaan, että tämä ehto täyttyy. Annetaan muuttujille x ja y pienet lisäykset ja k ja tarkastellaan funktion vastaavaa inkrementtiä. Taylorin kaavan mukaan tämä lisäys pieniin korkeampiin kertalukuihin on yhtä suuri kuin neliömuoto, jossa ovat toisten derivaattojen arvot laskettu pisteessä Jos tämä neliömuoto on positiivinen kaikille ja k:n arvoille (paitsi ), funktiolla on pisteessä minimi, jos se on negatiivinen, niin sillä on maksimi. Lopuksi, jos muoto on sekä positiivinen että negatiiviset arvot, silloin ei ole enimmäis- eikä minimiarvoa. Toiminnot lisää muuttujia.

Neliömuotojen tutkimus koostuu pääasiassa muotojen vastaavuusongelman tutkimisesta suhteessa muuttujien lineaaristen muunnosten joukkoon. Kahden toisen asteen muodon sanotaan olevan ekvivalentti, jos toinen niistä voidaan muuntaa toiseksi jollakin tietyn joukon muunnoksella. Ekvivalenssiongelmaan liittyy läheisesti muodon pelkistysongelma, ts. muuntaa sen johonkin mahdollisesti yksinkertaisimpaan muotoon.

SISÄÄN erilaisia ​​asioita kvadraattisten muotojen yhteydessä tarkastellaan myös erilaisia ​​muuttujien sallittuja muunnoksia.

Analyysikysymyksissä käytetään muuttujien ei-erityisiä muunnoksia; analyyttisen geometrian kannalta eniten kiinnostavat ortogonaaliset muunnokset, eli ne, jotka vastaavat siirtymää yhdestä muuttujajärjestelmästä Suorakulmaiset koordinaatit toiselle. Lopuksi lukuteoriassa ja kristallografiassa tarkastellaan lineaarisia muunnoksia kokonaislukukertoimilla ja yksikköä vastaavalla determinantilla.

Tarkastellaan kahta näistä ongelmista: kysymystä neliöllisen muodon pelkistämisestä sen yksinkertaisimpaan muotoon minkä tahansa ei-singulaarisen muunnoksen avulla ja sama kysymys ortogonaalisille muunnoksille. Ensinnäkin selvitetään, kuinka neliömuotoinen matriisi muuttuu muuttujien lineaarimuunnoksen aikana.

Olkoon , missä A on muotokertoimien symmetrinen matriisi, X on muuttujien sarake.

Tehdään muuttujien lineaarinen muunnos, kirjoitetaan se lyhenteellä . Tässä C tarkoittaa tämän muunnoksen kertoimien matriisia, X on uusien muuttujien sarake. Silloin ja siksi muunnetun toisen asteen muodon matriisi on

Matriisi osoittautuu automaattisesti symmetriseksi, mikä on helppo tarkistaa. Siten ongelma neliön muodon pelkistämiseksi yksinkertaisimpaan muotoon vastaa ongelmaa symmetrisen matriisin pelkistämiseksi yksinkertaisimpaan muotoon kertomalla se vasemmalla ja oikealla keskenään transponoiduilla matriiseilla.

Neliöllinen muoto n muuttujan f(x 1, x 2,...,x n) on summa, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan neliömuodon matriisiksi. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij =a ji).

Matriisimerkinnässä neliömuoto on f(X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan neliömuoto matriisimuotoon.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin neliömuuttujien kertoimet ja loput elementit ovat yhtä suuria kuin neliömuodon vastaavien kertoimien puolikkaat. Siksi

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä C on n:nnen kertaluvun ei-singulaarinen matriisi. Sitten neliömuoto f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Siten ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella C neliömuodon matriisi saa muodon: A * =C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f(y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys), jos kaikki sen kertoimet a ij = 0 arvolle i≠j, eli f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(todistetta ei ole annettu täällä). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Otetaan esimerkiksi kanoniseen muotoon neliömuoto f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin kokonaisen neliön muuttujalla x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme täydellisen neliön muuttujalla x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ja y 3 = x 3 tuo tämän neliöllisen muodon kanoniseen muotoonf(y 1,y 2, y 3) = 2 y 1 2 - 5 y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Huomaa, että neliömuodon kanoninen muoto määritetään moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoksi eri tavoilla 1). Eri menetelmillä saaduilla kanonisilla muodoilla on kuitenkin useita yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti neliömuodon positiivisilla (negatiivisilla) kertoimilla varustettujen termien määrä ei riipu menetelmästä, jolla muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin). Tätä ominaisuutta kutsutaan toisen asteen muotojen hitauslaki.

Varmistetaan tämä tuomalla sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, missä y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ja y 3 = x 1. Tässä on positiivinen kerroin 2 y 3:lle ja kaksi negatiivista kerrointa (-3) y 1:lle ja y 2:lle (ja toisella menetelmällä saimme positiivisen kertoimen 2 y 1:lle ja kaksi negatiivista kerrointa - (-5) y 2:lle ja (-1/20) y 3:lle).

On myös huomattava, että asteikolla matriisin neliömuotoinen, ns asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä eikä muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f(X). positiivisesti(negatiivinen)varma, jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole samanaikaisesti nolla, se on positiivinen, eli f(X) > 0 (negatiivinen, eli f(X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 on positiivinen, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossaf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon varman merkin määrittäminen on jonkin verran vaikeampaa, joten käytämme tätä varten jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause. Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty jos ja vain jos kaikki ominaisarvot sen matriisit ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause (Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin johtavat minorit ovat positiivisia.

Pää (kulma) alaikäinen A:nnen kertaluvun k:nnen kertaluvun matriiseja kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin A () ensimmäisistä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivisissa määritetyissä asteen muodoissa pää-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollin tulee olla negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkin määrittämistä varten.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 – 2- 3+ 2) – 4 = 2 – 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun päämolli A  1 =a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun päämolli  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Siksi Sylvesterin kriteerin mukaan neliö muoto on positiivinen määrätty.

Tarkastellaan toista toisen asteen muotoa merkin määrittämiselle, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun päämolli A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Sylvesterin kriteerin mukaan toisen asteen muoto on siis negatiivinen definitiivinen (päämollien merkit vuorottelevat, alkaen miinuksesta).

Ja toisena esimerkkinä tarkastelemme etumerkkimääräistä neliömuotoa f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Toinen näistä luvuista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Ominaisuusarvojen merkit ovat erilaisia. Näin ollen neliömuoto ei voi olla negatiivisesti eikä positiivisesti määrätty, ts. tämä neliömuoto ei ole merkkimääräinen (se voi ottaa minkä tahansa merkin arvoja).

Menetelmä 2. Matriisin A ensimmäisen kertaluvun päämolli  1 =a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun päämolli 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Katsoteltua tapaa pelkistää neliömuoto kanoniseen muotoon on kätevä käyttää, kun muuttujien neliöissä kohdataan nollasta poikkeavat kertoimet. Jos niitä ei ole, muunnos on silti mahdollista suorittaa, mutta sinun on käytettävä joitain muita tekniikoita. Olkoon esimerkiksi f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2 x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, missä y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.