Etsi funktioesimerkkien ehdollinen ääripää. Paikalliset ääripäät

Tarvittavat ja riittävät ehdot kahden muuttujan funktioiden ääripäälle. Pistettä kutsutaan funktion minimi- (maksimi)pisteeksi, jos pisteen tietyssä ympäristössä funktio on määritelty ja täyttää epäyhtälön (vastaavasti maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi).

Ekstreemin välttämätön edellytys. Jos funktiolla on ääripisteessä ensimmäiset osittaiset derivaatat, ne katoavat tässä pisteessä. Tästä seuraa, että tällaisen funktion ääripisteiden löytämiseksi täytyy ratkaista yhtälöjärjestelmä, jota kutsutaan funktion kriittisiksi pisteiksi pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät tämän järjestelmän. Niiden joukossa voi olla maksimipisteitä, minimipisteitä ja myös pisteitä, jotka eivät ole ääripisteitä.

Riittäviä ääriolosuhteita käytetään tunnistamaan ääripisteet joukosta kriittisiä pisteitä, ja ne on lueteltu alla.

Olkoon funktiolla jatkuvat toiset osittaiset derivaatat kriittisessä pisteessä. Jos se tässä vaiheessa on totta

ehto, niin se on minimipiste ja maksimipiste Jos kriittisessä pisteessä, se ei ole ääripiste. Tässä tapauksessa tarvitaan hienovaraisempaa tutkimusta kriittisen pisteen luonteesta, joka tässä tapauksessa voi olla tai ei ole ääripiste.

Kolmen muuttujan funktioiden ääriarvo. Kolmen muuttujan funktion tapauksessa ääripisteiden määritelmät toistavat sanatarkasti kahden muuttujan funktion vastaavat määritelmät. Rajoitamme esittelemään menettelyn funktion tutkimiseksi ääripäälle. Yhtälöjärjestelmää ratkaistaessa tulee löytää funktion kriittiset pisteet ja sitten kussakin kriittisessä pisteessä laskea arvot

Jos kaikki kolme suuretta ovat positiivisia, niin kyseessä oleva kriittinen piste on minimipiste; jos tämä kriittinen piste on maksimipiste.

Kahden muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo. Pistettä kutsutaan funktion ehdolliseksi minimipisteeksi (maksimipisteeksi) edellyttäen, että sen pisteen lähistöllä, jossa funktio määritellään ja jossa (vastaavasti) kaikki pisteet, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön

Käytä Lagrange-funktiota löytääksesi ehdolliset ääripisteet

jossa lukua kutsutaan Lagrangen kertoimeksi. Kolmen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen

Etsi Lagrange-funktion kriittiset pisteet (sekä aputekijän A arvo). Näissä kriittisissä kohdissa voi olla ehdollinen ääripää. Yllä oleva järjestelmä antaa vain tarvittavat ehdotääriarvo, mutta ei riittävä: se voidaan täyttää sellaisten pisteiden koordinaatilla, jotka eivät ole ehdollisen ääripään pisteitä. Ongelman olemuksen perusteella on kuitenkin usein mahdollista määrittää kriittisen pisteen luonne.

Usean muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo. Tarkastellaan muuttujien funktiota, jos ne liittyvät yhtälöihin

Ehdollinen ääripää.

Useiden muuttujien funktion ääriarvo

Pienimmän neliön menetelmä.

FNP:n paikallinen ääripää

Olkoon funktio annettu Ja= f(P), РÎDÌR n ja anna pisteen P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –sisäinen joukon piste D.

Määritelmä 9.4.

1) Piste P 0 kutsutaan maksimipiste toimintoja Ja= f(P), jos tämän pisteen U(P 0) М D lähiympäristö on sellainen, että minkä tahansa pisteen P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0, ehto täyttyy f(P)£ f(P 0). Merkitys f(P 0) -funktiota kutsutaan maksimipisteessä toiminnon maksimi ja on nimetty f(P0) = max f(P) .

2) Piste P 0 kutsutaan minimipiste toimintoja Ja= f(P), jos tämän pisteen U(P 0)Ì D lähialue on sellainen, että missä tahansa pisteessä P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0, ehto täyttyy f(P)³ f(P 0). Merkitys f(P 0) -funktiota kutsutaan minimipisteessä minimitoiminto ja on nimetty f(P 0) = min f(P).

Kutsutaan funktion minimi- ja maksimipisteitä äärimmäisiä pisteitä, kutsutaan funktion arvoja ääripisteissä funktion ääripää.

Kuten määritelmästä seuraa, epätasa-arvo f(P)£ f(P 0), f(P)³ f(P 0) tulee täyttyä vain tietyssä pisteen P 0 ympäristössä, ei koko funktion määritelmäalueella, mikä tarkoittaa, että funktiolla voi olla useita samantyyppisiä ääripäitä (useita minimejä, useita maksimia) . Siksi yllä määriteltyjä ääripäitä kutsutaan paikallinen(paikalliset) äärimmäisyydet.

Lause 9.1. (FNP:n ääripään välttämätön ehto)

Jos toiminto Ja= f(X 1 , X 2 , ..., x n) on ääripää pisteessä P 0 , niin sen ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat tässä pisteessä ovat joko nolla tai niitä ei ole olemassa.

Todiste. Olkoon pisteessä P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) toiminto Ja= f(P) on ääripää, esimerkiksi maksimi. Korjataan argumentit X 2 , ..., x n, laittaa X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Sitten Ja= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) on yhden muuttujan funktio X 1 . Koska tällä toiminnolla on X 1 = A 1 ääripää (maksimi), sitten f 1 ¢=0 tai ei ole olemassa, kun X 1 =A 1 (välttämätön ehto yhden muuttujan funktion ääripään olemassaololle). Mutta se tarkoittaa tai ei ole olemassa pisteessä P 0 - ääripisteessä. Samoin voimme tarkastella osittaisia ​​derivaattoja suhteessa muihin muuttujiin. CTD.

Funktioalueen pisteet, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä suuret kuin nolla tai niitä ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat tämä toiminto.

Lauseen 9.1 mukaisesti FNP:n ääripisteet tulee etsiä funktion kriittisten pisteiden joukosta. Mutta mitä tulee yhden muuttujan funktioon, jokainen kriittinen piste ei ole ääripiste.

Lause 9.2. (riittävä ehto FNP:n ääripäälle)

Olkoon P 0 funktion kriittinen piste Ja= f(P) ja on tämän funktion toisen asteen differentiaali. Sitten

ja jos d 2 u(P 0) > 0 kohdassa , niin P 0 on piste minimi toimintoja Ja= f(P);

b) jos d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка enimmäismäärä toimintoja Ja= f(P);

c) jos d 2 u(P 0) ei ole etumerkillä määritelty, silloin P 0 ei ole ääripiste;

Käsittelemme tätä lausetta ilman todisteita.

Huomaa, että lause ei ota huomioon tapausta, jolloin d 2 u(P 0) = 0 tai sitä ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että kysymys ääripään läsnäolosta pisteessä P 0 tällaisissa olosuhteissa jää avoimeksi - tarvitaan lisätutkimusta, esimerkiksi tutkimus funktion kasvusta tässä kohdassa.

Tarkemmilla matematiikan kursseilla on todistettu, että erityisesti funktion osalta z = f(x,y) kahdesta muuttujasta, joiden toisen asteen differentiaali on muodon summa

ääripään olemassaolon tutkimusta kriittisessä pisteessä P 0 voidaan yksinkertaistaa.

Merkitään , , . Tehdään determinantti

.

Osoittautuu:

d 2 z> 0 pisteessä P 0, ts. P 0 – minimipiste, jos A(P 0) > 0 ja D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

jos D(P 0)< 0, то d 2 z pisteen P 0 läheisyydessä se vaihtaa etumerkkiä ja pisteessä P 0 ei ole ääriarvoa;

jos D(Р 0) = 0, tarvitaan myös lisätutkimuksia funktiosta kriittisen pisteen Р 0 läheisyydessä.

Toiminnon osalta siis z = f(x,y) kahdesta muuttujasta meillä on seuraava algoritmi (kutsutaanko sitä "algoritmiksi D") ääripään löytämiseksi:

1) Etsi määritelmän D( f) toiminnot.

2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteitä D( f), joille ja ovat nolla tai niitä ei ole olemassa.

3) Tarkista jokaisessa kriittisessä pisteessä P 0 ääripään riittävät olosuhteet. Voit tehdä tämän etsimällä , jossa , , ja laske D(P 0) ja A(P 0). Sitten:

jos D(P 0) >0, niin pisteessä P 0 on ääriarvo, ja jos A(P 0) > 0 – silloin tämä on minimi, ja jos A(P 0)< 0 – максимум;

jos D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Jos D(P 0) = 0, tarvitaan lisätutkimusta.

4) Laske löydetyistä ääripisteistä funktion arvo.

Esimerkki 1.

Etsi funktion ääripää z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Ratkaisu. Tämän funktion määrittelyalue on koko koordinaattitaso. Etsitään kriittisiä kohtia.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Tarkastetaan, täyttyvätkö ääripään riittävät ehdot. Me löydämme

6X, = -3, = 48klo Ja = 288xy – 9.

Sitten D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – pisteessä Р 1 on ääripää, ja koska A(P 1) = 3 >0, niin tämä ääriarvo on minimi. Joten min z=z(P 1) = .

Esimerkki 2.

Etsi funktion ääripää .

Ratkaisu: D( f) =R2. Kriittiset kohdat: ; ei ole olemassa milloin klo= 0, mikä tarkoittaa, että P 0 (0,0) on tämän funktion kriittinen piste.

2, = 0, = , = , mutta D(P 0) ei ole määritelty, joten sen etumerkin tutkiminen on mahdotonta.

Samasta syystä on mahdotonta soveltaa lausetta 9.2 suoraan - d 2 z ei ole olemassa tässä vaiheessa.

Tarkastellaan funktion lisäystä f(x, y) pisteessä P 0 . Jos D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, silloin P 0 on minimipiste, mutta jos D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Meidän tapauksessamme on

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

paikassa D x= 0,1 ja D y= -0,008 saamme D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 ja D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, so. pisteen P 0 läheisyydessä kumpikaan ehto D ei täyty f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) ja siksi P 0 ei ole maksimipiste), eikä ehto D f>0 (ts. f(x, y) > f(0, 0) ja sitten P 0 ei ole minimipiste). Tämä tarkoittaa ääripään määritelmän mukaan, että tällä funktiolla ei ole ääriarvoa.

Ehdollinen ääripää.

Funktion tarkasteltua ääripäätä kutsutaan ehdoton, koska funktion argumenteille ei aseteta rajoituksia (ehtoja).

Määritelmä 9.2. Toiminnon ääriarvo Ja = f(X 1 , X 2 , ... , x n), todettiin sillä ehdolla, että sen väitteet X 1 , X 2 , ... , x n täyttää yhtälöt j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, missä P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), nimeltään ehdollinen ääripää .

Yhtälöt j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, kutsutaan yhteysyhtälöt.

Katsotaanpa toimintoja z = f(x,y) kaksi muuttujaa. Jos kytkentäyhtälö on yksi, ts. , niin ehdollisen ääripään löytäminen tarkoittaa, että ääripäätä ei etsitä funktion koko määritelmäalueelta, vaan jollakin käyrältä, joka sijaitsee D( f) (eli se ei ole korkein tai korkein matalat pisteet pinnat z = f(x,y) ja korkeimmat tai alimmat kohdat tämän pinnan ja sylinterin leikkauspisteiden joukossa, kuva 5).

Funktion ehdollinen ääriarvo z = f(x,y) kahdesta muuttujasta löytyy seuraavalla tavalla( eliminointimenetelmä). Ilmaise yhtälöstä yksi muuttujista toisen funktiona (esimerkiksi kirjoitus ) ja korvaa tämä muuttujan arvo funktioon, kirjoita jälkimmäinen yhden muuttujan funktiona (tarkastetussa tapauksessa ). Etsi yhden muuttujan tuloksena olevan funktion ääriarvo.

Tarkastellaan ensin kahden muuttujan funktion tapausta. Funktion $z=f(x,y)$ ehdollinen ääriarvo pisteessä $M_0(x_0;y_0)$ on tämän funktion ääriarvo, joka saavutetaan sillä ehdolla, että muuttujat $x$ ja $y$ tämän pisteen läheisyys täyttää yhteysyhtälön $\ varphi (x,y)=0$.

Nimi "ehdollinen" ääripää johtuu siitä, että muuttujille asetetaan lisäehto $\varphi(x,y)=0$. Jos yksi muuttuja voidaan ilmaista yhteysyhtälöstä toisen kautta, niin ehdollisen ääripään määritysongelma rajoittuu ongelmaksi yhden muuttujan funktion tavanomaisen ääripään määrittämisessä. Jos yhteysyhtälö esimerkiksi edellyttää $y=\psi(x)$, korvaamalla $y=\psi(x)$ arvolla $z=f(x,y)$, saadaan yhden muuttujan $z funktio. =f\left (x,\psi(x)\oikea)$. Yleensä tästä menetelmästä on kuitenkin vähän hyötyä, joten uuden algoritmin käyttöönotto on tarpeen.

Lagrange-kerroinmenetelmä kahden muuttujan funktioille.

Lagrangen kerroinmenetelmä koostuu Lagrange-funktion muodostamisesta ehdollisen äärisumman löytämiseksi: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametri $\lambda$ on ns. Lagrange-kerroin). Ekstreemin tarvittavat ehdot määritellään yhtälöjärjestelmällä, josta kiinteät pisteet määritetään:

$$ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Riittävä ehto, jonka perusteella ääripään luonne voidaan määrittää, on merkki $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jos kiinteässä pisteessä $d^2F > 0$, niin funktiolla $z=f(x,y)$ on ehdollinen minimi tässä pisteessä, mutta jos $d^2F< 0$, то условный максимум.

On toinenkin tapa määrittää ääripään luonne. Kytkentäyhtälöstä saadaan: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, joten missä tahansa kiinteässä pisteessä meillä on:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\oikea)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\oikea)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \oikea)$$

Toinen tekijä (sijaitsee suluissa) voidaan esittää tässä muodossa:

Determinantin $\left| elementit on korostettu punaisella. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (taulukko)\right|$, joka on Lagrange-funktion Hessian. Jos $H > 0 $, niin $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, ts. meillä on funktion $z=f(x,y)$ ehdollinen minimi.

Huomautus koskien determinantin $H$ merkintää. näytä piilota

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Tässä tilanteessa yllä muotoiltu sääntö muuttuu seuraavasti: jos $H > 0$, niin funktiolla on ehdollinen minimi, ja jos $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmi ehdollisen ääripään kahden muuttujan funktion tutkimiseksi

1. Muodosta Lagrange-funktio $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Ratkaise järjestelmä $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(tasattu) \oikea.$
3. Määritä ääripään luonne kussakin edellisessä kappaleessa löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Voit tehdä tämän käyttämällä jotakin seuraavista tavoista:
   • Laadi $H$:n determinantti ja selvitä sen merkki
   • Ottaen huomioon kytkentäyhtälön, laske $d^2F$:n etumerkki

Lagrange-kerroinmenetelmä n muuttujan funktioille

Oletetaan, että meillä on funktio $n$ muuttujista $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ja $m$ kytkentäyhtälöistä ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Merkitään Lagrange-kertoimia muodossa $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, muodostamme Lagrange-funktion:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Tarvittavat ehdot ehdollisen ääripään olemassaololle annetaan yhtälöjärjestelmällä, josta löydetään stationääristen pisteiden koordinaatit ja Lagrangen kertoimien arvot:

$$\left\(\begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(tasattu) \right.$$

Voit selvittää, onko funktiolla ehdollinen minimi vai ehdollinen maksimi löydetyssä pisteessä, kuten ennenkin, käyttämällä etumerkkiä $d^2F$. Jos löydetyssä pisteessä $d^2F > 0$, niin funktiolla on ehdollinen minimi, mutta jos $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matriisin $\left| determinantti \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\lpisteet & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet &\lpisteet & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( matriisi) \right|$, punaisella korostettuna matriisissa $L$, on Lagrange-funktion Hessin. Käytämme seuraavaa sääntöä:

• Jos kulma-alaikäisten merkit $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriisit $L$ osuvat yhteen $(-1)^m$ merkin kanssa, jolloin tutkittava stationäärinen piste on funktion $ ehdollinen minimipiste z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jos kulma-alaikäisten merkit $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ vuorottelevat ja mollin $H_(2m+1)$ etumerkki on sama kuin luvun $(-1)^(m+1) )$, silloin paikallaan oleva piste on funktion $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ehdollinen maksimipiste.

Esimerkki nro 1

Etsi funktion $z(x,y)=x+3y$ ehdollinen äärisumma ehdolla $x^2+y^2=10$.

Tämän ongelman geometrinen tulkinta on seuraava: sinun on löydettävä suurin ja pienin arvo soveltaa tasoa $z=x+3y$ sen leikkauksen pisteisiin sylinterin $x^2+y^2=10$ kanssa.

On hieman vaikeaa ilmaista muuttujaa toisella kytkentäyhtälöstä ja korvata se funktiolla $z(x,y)=x+3y$, joten käytämme Lagrangen menetelmää.

Merkitsemällä $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, muodostamme Lagrange-funktion:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\osittais x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä Lagrange-funktion stationääripisteiden määrittämiseksi:

$$ \left \( \begin(tasattu) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (tasattu)\oikea.$$

Jos oletetaan $\lambda=0$, niin ensimmäinen yhtälö on: $1=0$. Tuloksena oleva ristiriita osoittaa, että $\lambda\neq 0$. Ehdolla $\lambda\neq 0$, ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä saamme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Korvaamalla saadut arvot kolmanteen yhtälöön, saamme:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(tasattu) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(tasattu) \oikea.\\ \begin(tasattu) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(tasattu) $$

Joten järjestelmässä on kaksi ratkaisua: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ja $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Selvitetään ääripään luonne kussakin kiinteässä pisteessä: $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$. Tätä varten lasketaan määräävä tekijä$H$ jokaisessa pisteessä.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\vasen| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Pisteessä $M_1(1;3)$ saamme: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, joten piste Funktiolla $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ on ehdollinen maksimi $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Vastaavasti pisteestä $M_2(-1,-3)$ löydämme: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40 $. Koska $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Huomaan, että sen sijaan, että laskettaisiin determinantin $H$ arvo jokaisessa pisteessä, on paljon kätevämpää laajentaa sitä yleisnäkymä. Jotta teksti ei sotkeutuisi yksityiskohdilla, piilotan tämän menetelmän huomautuksen alle.

Determinantin $H$ kirjoittaminen yleisessä muodossa. näytä piilota

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\oikea) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\oikea). $$

Periaatteessa on jo selvää, mikä merkki $H$:lla on. Koska mikään pisteistä $M_1$ tai $M_2$ ei ole sama kuin origo, niin $y^2+x^2>0$. Siksi merkki $H$ on vastapäätä merkkiä $\lambda$. Voit suorittaa laskelmat:

$$ \begin(tasattu) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\oikea)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\oikea)=-40. \end(tasattu) $$

Kysymys ääripään luonteesta stationaarisissa pisteissä $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$ voidaan ratkaista ilman determinanttia $H$. Etsitään $d^2F$:n merkki kustakin kiinteästä pisteestä:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\oikea) $$

Huomautan, että merkintä $dx^2$ tarkoittaa täsmälleen $dx$ korotettuna toiseen potenssiin, ts. $\left(dx \right)^2$. Tästä syystä meillä on: $dx^2+dy^2>0$, joten $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ saamme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Vastaus: kohdassa $(-1;-3)$ funktiolla on ehdollinen minimi, $z_(\min)=-10$. Pisteessä $(1;3)$ funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=10$

Esimerkki nro 2

Etsi funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ehdollinen äärisumma ehdolla $x+y=0$.

Ensimmäinen menetelmä (Lagrangen kerroinmenetelmä)

Merkitsemällä $\varphi(x,y)=x+y$, muodostamme Lagrange-funktion: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(tasattu) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(tasattu) \oikea. $$

Kun järjestelmä on ratkaistu, saamme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ja $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Meillä on kaksi kiinteää pistettä: $M_1(0;0)$ ja $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Selvitetään ääripään luonne kussakin kiinteässä pisteessä käyttämällä määräävä tekijä$H$.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pisteessä $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, joten tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Tutkimme ääripään luonnetta kussakin pisteessä eri menetelmällä, joka perustuu $d^2F$ -merkkiin:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Yhteysyhtälöstä $x+y=0$ saadaan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Koska $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, niin $M_1(0;0)$ on funktion $z(x,y)=3y^3+ ehdollinen minimipiste 4x^ 2-xy$. Vastaavasti $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Toinen tapa

Yhteysyhtälöstä $x+y=0$ saadaan: $y=-x$. Korvaamalla $y=-x$ funktioon $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, saadaan jokin muuttujan $x$ funktio. Merkitään tämä funktio $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Näin ollen pelkistimme kahden muuttujan funktion ehdollisen ääripään löytämisen ongelmaksi yhden muuttujan funktion ääripään määrittämisen ongelmaksi.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Saimme pisteet $M_1(0;0)$ ja $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Lisätutkimusta tunnetaan yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskennan kurssista. Tutkimalla $u_(xx)^("")$ merkkiä kussakin paikallaan olevassa pisteessä tai tarkistamalla $u_(x)^(")$ merkin muutos löydetyissä pisteissä, saadaan samat johtopäätökset kuin silloin, kun ratkaisemalla ensimmäisellä tavalla. Tarkistamme esimerkiksi merkin $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10. $$

Koska $u_(xx)^("")(M_1)>0$, niin $M_1$ on funktion $u(x)$ minimipiste ja $u_(\min)=u(0)=0 $ . Alkaen $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Toiminnon $u(x)$ arvot tietylle yhteysehdolle osuvat yhteen funktion $z(x,y)$ arvojen kanssa, ts. funktion $u(x)$ löydetyt ääripäät ovat funktion $z(x,y)$ haettuja ehdollisia ääripäitä.

Vastaus: pisteessä $(0;0)$ funktiolla on ehdollinen minimi, $z_(\min)=0$. Pisteessä $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funktiolla on ehdollinen maksimi, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Tarkastellaan toista esimerkkiä, jossa selvennämme ääripään luonnetta määrittämällä $d^2F$ merkin.

Esimerkki nro 3

Etsi funktion $z=5xy-4$ suurin ja pienin arvo, jos muuttujat $x$ ja $y$ ovat positiivisia ja täyttävät kytkentäyhtälön $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1 = 0$.

Muodostetaan Lagrange-funktio: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Etsitään Lagrange-funktion kiinteät pisteet:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(tasattu) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(tasattu) \oikea. $$

Kaikki muut muunnokset suoritetaan ottaen huomioon $x > 0; \; y > 0$ (tämä on määritelty ongelmanlauseessa). Toisesta yhtälöstä ilmaisemme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ja korvaamme löydetyn arvon ensimmäisellä yhtälöllä: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Korvaamalla $x=2y$ kolmanteen yhtälöön saadaan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Koska $y=1$, sitten $x=2$, $\lambda=-10$. Määritämme pisteen $(2;1)$ ääripään luonteen $d^2F$ merkin perusteella.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Koska $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, niin:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Periaatteessa tässä voidaan välittömästi korvata kiinteän pisteen $x=2$, $y=1$ ja parametrin $\lambda=-10$ koordinaatit, jolloin saadaan:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \oikea)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Muissa ehdollisen ääripään ongelmissa voi kuitenkin olla useita stationaarisia pisteitä. Tällaisissa tapauksissa on parempi esittää $d^2F$ yleisessä muodossa ja korvata sitten kunkin löydetyn kiinteän pisteen koordinaatit tuloksena olevaan lausekkeeseen:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Korvaamalla $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, saadaan:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Koska $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Vastaus: kohdassa $(2;1)$ funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=6$.

Seuraavassa osassa tarkastellaan Lagrange-menetelmän soveltamista useiden muuttujien funktioihin.

Olkoon funktio z - /(x, y) määritelty jossain alueella D ja olkoon Mo(xo, Vo) tämän alueen sisäpiste. Määritelmä. Jos on sellainen luku, että kaikilla ehtojen täyttyessä epäyhtälö on tosi, niin pistettä Mo(xo, yo) kutsutaan funktion /(x, y) paikalliseksi maksimipisteeksi; jos kaikille Dx, Du, jotka täyttävät ehdot | silloin pistettä Mo(xo,yo) kutsutaan ohueksi paikalliseksi minimiksi. Toisin sanoen piste M0(x0, y0) on funktion f(x, y) maksimi- tai minimipiste, jos pisteen A/o(x0, y0) 6-naapuri on olemassa siten, että pisteet M(x, y) tästä naapurustossa, funktion inkrementti säilyttää etumerkkinsä. Esimerkkejä. 1. Toimintopisteelle - minimipiste (kuva 17). 2. Funktiolle piste 0(0,0) on maksimipiste (kuva 18). 3. Funktiolle piste 0(0,0) on paikallinen maksimipiste. 4 Todellakin on olemassa pisteen 0(0,0) ympäristö, esimerkiksi säde j (katso kuva 19), jonka missä tahansa pisteessä, eri kuin pisteessä 0(0,0), funktion arvo /(x,y) pienempi kuin 1 = Otamme huomioon vain funktioiden tiukan maksimi- ja minimipisteet, kun tiukka epäyhtälö tai tiukka epäyhtälö täyttyy kaikissa pisteissä M(x) y) jostakin pisteytetystä 6-naapurustosta. piste Mq. Funktion arvoa maksimipisteessä kutsutaan maksimipisteeksi ja funktion arvoa minimipisteessä tämän funktion minimiksi. Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi ja itse funktion maksimi- ja minimipisteitä sen ääriarvoiksi. Lause 11 (välttämätön ehto ääripäälle). Jos funktio on usean muuttujan funktion ääriarvo Usean muuttujan funktion ääripään käsite. Ekstreemin välttämättömät ja riittävät ehdot Ehdollinen ääriarvo Jatkuvien funktioiden suurimmalla ja pienimmällä arvolla on pisteessä ääriarvo, jolloin tässä pisteessä jokainen osaderivaata u joko katoaa tai ei ole olemassa. Olkoon pisteessä M0(x0, yо) funktiolla z = f(x) y) ääriarvo. Annetaan muuttujalle y arvo yo. Tällöin funktio z = /(x, y) on yhden muuttujan x funktio. Koska kohdassa x = xo sillä on ääriarvo (maksimi tai minimi, kuva 20), niin sen derivaatta suhteessa x = "o, | (*o,l>)" Nolla tai ei ole olemassa. Samoin olemme vakuuttuneita siitä, että) on joko yhtä suuri kuin nolla tai ei ole olemassa. Pisteitä, joissa = 0 ja χ = 0 tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittisiksi funktion pisteet z = Dx, y).Pisteitä, joissa $£ = φ = 0, kutsutaan myös funktion stationääripisteiksi Lause 11 ilmaisee vain välttämättömät ääripään ehdot, jotka eivät ole riittäviä Esimerkki: Funktio Kuva. 18 Kuva 20 immt derivaatat, jotka muuttuvat nollaan. Mutta tämä toiminto on ohut strumin imvatissa. Itse asiassa funktio on nolla pisteessä 0(0,0) ja ottaa pisteissä M(x,y), mielivaltaisen lähellä pistettä 0(0,0), positiivisen ja negatiiviset arvot. Sitä varten pisteissä pisteissä (0, y) mielivaltaisen pienelle pisteelle 0(0,0) ilmoitettua tyyppiä kutsutaan minimax-pisteeksi (kuva 21). Riittävät ehdot kahden muuttujan funktion ääripäälle ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella. Lause 12 (riittävä ehto kahden muuttujan ääripäälle). Olkoon piste Mo(xo»Yo) funktion f(x, y) stationaarinen piste, ja jossain pisteen / läheisyydessä, mukaan lukien itse piste Mo, funktiolla f(z, y) on jatkuvat osittaiset derivaatat. toiseen tilaukseen asti. Sitten". pisteessä Mo(xo, V0) funktiolla /(xo, y) ei ole ääripäätä, jos D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Funktion f(x, y) ääripää voi olla olemassa tai ei. Tässä tapauksessa tarvitaan lisätutkimuksia. m Todistetaan vain lauseen väitteet 1) ja 2). Kirjoitetaan toisen asteen Taylor-kaava funktiolle /(i, y): missä. Ehdon mukaan on selvää, että inkrementin D/ etumerkki määräytyy trinomin etumerkillä (1) oikealla puolella, eli toisen differentiaalin d2f etumerkillä. Merkitään se lyhyyden vuoksi. Tällöin yhtälö (l) voidaan kirjoittaa seuraavasti: Olkoon pisteessä MQ(niin, V0)... Koska ehdon mukaan funktion f(s, y) toisen kertaluvun osaderivaatat ovat jatkuvia, niin epäyhtälö (3) pätee myös jossain pisteen M0(s0,yo) ympäristössä. Jos ehto täyttyy (pisteessä А/0, ja jatkuvuuden vuoksi derivaatta /,z(s,y) säilyttää etumerkkinsä jossain pisteen Af0 ympäristössä. Alueella, jossa А Ф 0, meillä on Tästä on selvää, että jos ЛС - В2 > 0 jossain pisteen M0(x0) y0 ympäristössä, niin trinomin AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 etumerkki osuu yhteen A:n etumerkin kanssa pisteessä (siis , V0) (samoin kuin C:n merkillä, koska AC - B2:lla > 0 A:lla ja C:llä ei voi olla eri etumerkkejä). Koska summan AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 etumerkki pisteessä (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) määrää eron etumerkin, tulemme seuraavaan johtopäätökseen: jos funktiolle /(s,y) kiinteän pisteen (s0, V0) ehto, niin riittävän pienille || eriarvoisuus tyydytetään. Siten pisteessä (sq, V0) funktiolla /(s, y) on maksimi. Jos ehto täyttyy stationaaripisteessä (s0, y0), niin kaikille riittävän pieni |Dr| ja |Du| epäyhtälö on tosi, mikä tarkoittaa, että pisteessä (so,yo) funktiolla /(s, y) on minimi. Esimerkkejä. 1. Tutki funktiota ääripäälle 4 Käyttäen ääripäälle tarvittavia ehtoja, etsimme funktion stationäärisiä pisteitä. Tätä varten etsimme osittaiset derivaatat u ja rinnastamme ne nollaan. Saamme yhtälöjärjestelmän, josta - stationaaripiste. Käytetään nyt lausetta 12. Meillä on Tämä tarkoittaa, että pisteessä Ml on ääriarvo. Koska tämä on minimi. Jos muunnamme funktion r muotoon, on helppo huomata, että oikea puoli (“) on minimaalinen, kun - ehdoton minimi tämä toiminto. 2. Tarkastele funktiota ääripäälle Löydämme funktion stationaariset pisteet, joille muodostamme yhtälöjärjestelmän, joten piste on stationaarinen. Koska lauseen 12 mukaan pisteessä M ei ole ääripäätä. * 3. Tutki funktion ääripäätä ja löydä funktion stationaariset pisteet. Yhtälöjärjestelmästä saamme sen, joten piste on paikallaan. Seuraavaksi saamme, että Lause 12 ei vastaa kysymykseen ääripään olemassaolosta tai puuttumisesta. Tehdään se näin. Funktiolle, joka koskee kaikkia pisteestä poikkeavia pisteitä, joten määritelmän mukaan pisteellä A/o(0,0) funktiolla r on absoluuttinen minimi. Vastaavilla laskelmilla todetaan, että funktiolla on maksimi pisteessä, mutta funktiolla ei ole pisteessä ääriarvoa. Olkoon n riippumattoman muuttujan funktio pisteessä differentioituva Pistettä Mo kutsutaan funktion stationaariksi pisteeksi, jos Lause 13 (riittäviin ehtoihin ääripäälle). Olkoon funktio määritelty ja sillä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat jossain hienon Mt(xi...) lähistöllä, joka on stationaarinen hienofunktio, jos neliömuoto (funktion f toinen differentiaali hienossa on positiivinen definiitti (negatiivinen definiitti), funktion f minimipiste (vastaavasti hienomaksimi) on ohut Jos neliömuoto (4) on vaihtuva, niin ohuessa LG0:ssa ei ole ääripäätä. neliömuoto (4) positiivinen tai negatiivinen definiitti, voit käyttää esimerkiksi Sylvesterin kriteeriä toisen asteen muodon positiiviselle (negatiiviselle) määrittelylle. 15.2. Ehdollinen ääripää Tähän asti olemme etsineet funktion paikallista ääripäätä koko sen määrittelyalueen läpi, kun funktion argumentteja ei sido mikään lisäehto. Tällaisia ​​ääripäitä kutsutaan ehdottomaksi. Niin kutsuttujen ehdollisten ääripäiden löytämisessä on kuitenkin usein ongelmia. Olkoon funktio z = /(x, y) määritelty alueella D. Oletetaan, että tällä alueella on annettu käyrä L ja meidän on löydettävä funktion f(x> y) ääriarvo vain niiden joukosta. sen arvoista, jotka vastaavat käyrän L pisteitä. Samoja ääripäitä kutsutaan funktion z = f(x) y) ehdollisiksi ääriarvoiksi käyrällä L. Määritelmä Sanotaan, että pisteessä, joka sijaitsee käyrällä L , funktiolla f(x, y) on ehdollinen maksimi (minimi), jos epäyhtälö toteutuu kaikissa pisteissä M (s, y) y) käyrä L, joka kuuluu johonkin pisteen M0(x0, V0) ympäristöön ja eri pisteestä M0 (Jos käyrä L on annettu yhtälöllä, niin ongelma funktion r - f(x,y) ehdollisen ääripään löytämisestä käyrältä! voidaan muotoilla seuraavasti: etsi funktion x ääriarvo = /(z, y) alueella D, edellyttäen, että funktion z = y ehdollista ääripäätä löydettäessä gnuun argumentteja ei voida enää pitää itsenäisinä muuttujina: ne liittyvät toisiinsa relaatio y) = 0, jota kutsutaan yhteysyhtälöksi. Selventämään eroa ehdottoman ja ehdollisen ääripään välillä, katsotaan esimerkkiä, jossa funktion ehdoton maksimi (kuva 23) on yhtä suuri kuin yksi ja saavutetaan pisteessä (0,0). Se vastaa pvvboloidin kärkeä M. Lisätään kytkentäyhtälö y = j. Silloin ehdollinen maksimi on ilmeisesti sama kuin se, joka saavutetaan pisteessä (o,|) ja se vastaa pallon kärkeä Afj, joka on pallon leikkausviiva tason y = j kanssa. Jos kyseessä on ehdoton mvximum, meillä on mvximum-sovellus kaikkien pinnan vpplicvt kesken * = 1 - l;2 ~ y1; summvv ehdollinen - vain vllikvt-pisteiden joukossa pvraboloidv, jotka vastaavat suoran y = j pistettä*, ei xOy-tasoa. Yksi menetelmistä funktion ehdollisen ääripään löytämiseksi läsnä ollessa ja yhteydessä on seuraava. Määrittele yhteysyhtälö y) - O argumentin x ainutlaatuiseksi differentioituvaksi funktioksi: Kun funktioon korvataan funktio y:n sijaan, saadaan yhden argumentin funktio, jossa yhteysehto on jo otettu huomioon. Funktion (ehdoton) ääripää on haluttu ehdollinen ääripää. Esimerkki. Etsi funktion ääriarvo ehdolla Usean muuttujan funktion ääripää Usean muuttujan funktion ääripään käsite. Ekstreemin välttämättömät ja riittävät ehdot Ehdollinen ääriarvo Jatkuvien funktioiden A suurimmat ja pienimmät arvot Yhteysyhtälöstä (2") saadaan y = 1-x. Kun tämä arvo y korvataan arvolla (V), saadaan funktio yksi argumentti x: Tarkastellaan sitä ääripäälle: mistä x = 1 on kriittinen piste; , joten se tuottaa funktion r ehdollisen minimin (kuva 24) Osoitetaan toinen tapa ratkaista ehdollisen ongelman ääriarvo, jota kutsutaan Lagrangen kerroinmenetelmäksi. Olkoon funktion ehdollisen ääripään piste yhteyden läsnäollessa. Oletetaan, että yhteysyhtälö määrittelee ainutlaatuisen jatkuvasti differentioituvan funktion pisteen xx tietyssä ympäristössä. että saadaan, että funktion /(r, ip(x)) derivaatan x:n suhteen pisteessä xq on oltava nolla tai, mikä vastaa tätä, funktion f(x, y) differentiaali pisteessä xq. piste Mo" O) Kytkentäyhtälöstä saadaan (5) Kerromalla viimeinen yhtälö vielä määrittelemättömällä numeerisella kertoimella A ja lisäämällä termi kerrallaan yhtälö (4), saadaan (oletetaan, että). Sitten dx:n mielivaltaisuudesta johtuen yhtälöt (6) ja (7) ilmaisevat ehdottoman ääripään tarvittavat ehdot funktion kohdassa, jota kutsutaan Lagrange-funktioksi. Siten funktion /(x, y), jos, ehdollinen ääripiste on välttämättä Lagrange-funktion stationäärinen piste, jossa A on tietty numeerinen kerroin. Sieltä saamme säännön ehdollisten ääriarvojen löytämiseksi: löytääksemme pisteitä, jotka voivat olla funktion tavanomaisen ääripään pisteitä yhteyden läsnä ollessa, 1) muodostamme Lagrange-funktion, 2) vertaamalla tämän derivaatat funktio nollaan ja lisäämällä yhteysyhtälön tuloksena oleviin yhtälöihin, saadaan kolmen yhtälön systeemi, josta saamme A:n arvot ja mahdollisten ääripisteiden koordinaatit x, y. Kysymys ehdollisen ääripään olemassaolosta ja luonteesta ratkaistaan ​​tutkimalla Lagrange-funktion toisen differentiaalin etumerkkiä tarkasteltavalle arvojärjestelmälle x0, V0, A, joka saadaan kohdasta (8) edellyttäen, että jos , niin pisteessä (x0, V0) funktiolla /(x, y ) on ehdollinen maksimi; jos d2F > 0 - niin ehdollinen minimi. Erityisesti, jos stationäärisessä pisteessä (xo, J/o) funktion F(x, y) determinantti D on positiivinen, niin pisteessä (®o, V0) on funktion f() ehdollinen maksimi. x, y), if ja funktion /(x, y) ehdollinen minimi, jos Esimerkki. Käännytään vielä edellisen esimerkin ehtoihin: etsi funktion ääriarvo, jos x + y = 1. Ratkaisemme ongelman Lagrangen kertoimella. Lagrange-funktio on tässä tapauksessa muotoa Stainaattisten pisteiden löytämiseksi muodostamme järjestelmän, jonka kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä saadaan, että x = y. Sitten järjestelmän kolmannesta yhtälöstä (kytkentäyhtälöstä) saadaan selville, että x - y = j ovat mahdollisen ääripisteen koordinaatit. Tässä tapauksessa (osoitetaan, että A = -1. Siten Lagrange-funktio. on funktion * = x2 + y2 ehdollinen minimipiste ehdolla Lagrange-funktiolla ei ole ehdotonta ääripäätä. P(x, y ) ei vielä tarkoita ehdollisen ääripään puuttumista funktiolle /(x, y) yhteyden läsnä ollessa Esimerkki: Etsi funktion ääripää ehdolla y 4 Muodostetaan Lagrange-funktio ja kirjoitetaan järjestelmä A:n ja mahdollisten ääripisteiden koordinaattien määrittäminen: Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x + y = 0 ja päästään järjestelmään, josta x = y = A = 0. Siten vastaava Lagrange-funktio on muotoa Pisteessä (0,0) funktiolla F(x, y; 0) ei ole ehdotonta ääripäätä, mutta funktion ehdollinen ääripää r = xy. Kun y = x, on ". Todellakin, tässä tapauksessa r = x2. Tästä on selvää, että pisteessä (0,0) on ehdollinen minimi. "Lagrangen kertoimien menetelmä siirretään minkä tahansa argumenttimäärän funktioiden tapaukseen/ Etsitään funktion ääripää yhteysyhtälöiden läsnä ollessa Muodosta Lagrange-funktio, jossa A|, Az,..., A„, ovat epämääräisiä vakiotekijöitä. Vertaamalla nollaan kaikki funktion F ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ja lisäämällä saatuihin yhtälöihin yhteysyhtälöt (9), saadaan n + m yhtälöjärjestelmä, josta määritetään Ab A3|..., At ja koordinaatit x \) x2). » xn mahdollisista ehdollisen ääripään pisteistä. Kysymys siitä, ovatko Lagrange-menetelmällä löydetyt pisteet todella ehdollisen ääripään pisteitä, voidaan usein ratkaista fysikaalisten tai geometristen näkökohtien perusteella. 15.3. Jatkuvien funktioiden suurimmat ja pienimmät arvot Olkoon tarpeen löytää funktion z = /(x, y) suurin (pienin) arvo, jatkuva jossain suljetussa rajoitetussa alueella D. Lauseen 3 mukaan tällä alueella on on piste (xo, V0), jossa funktio saa suurimman (pienimmän) arvon. Jos piste (xo, y0) on alueen D sisällä, niin funktiolla / on maksimi (minimi), joten tässä tapauksessa meille kiinnostava piste sisältyy funktion /(x, y). Funktio /(x, y) voi kuitenkin saavuttaa suurimman (pienimmän) arvonsa alueen rajalla. Siksi, jotta löydät funktion z = /(x, y) suurimman (pienimmän) arvon rajoitetulla suljetulla alueella 2), sinun on löydettävä kaikki tämän alueen sisällä saavutetun funktion maksimi (minimi), sekä funktion suurin (pienin) arvo tämän alueen rajalla. Suurin (pienin) kaikista näistä luvuista on funktion z = /(x,y) haluttu suurin (pienin) arvo alueella 27. Osoitetaan kuinka tämä tehdään differentioituvan funktion tapauksessa. Prmmr. Etsi alueen 4 funktion suurin ja pienin arvo. Löydämme funktion kriittiset pisteet alueen D sisältä. Tätä varten laadimme yhtälöjärjestelmän, josta saadaan x = y « 0, joten piste 0 (0,0) on funktion x kriittinen piste. Koska Etsitään nyt funktion suurin ja pienin arvo alueen D rajalta Г. Osalla rajaa on, että y = 0 on kriittinen piste, ja koska = niin tässä kohdassa funktio z = 1 + y2:n minimiarvo on yksi. Janan Г" päissä pisteissä (, meillä on. Symmetrianäkökohtia käyttämällä saadaan samat tulokset rajan muille osille. Lopuksi saadaan: funktion z = x2+y2 pienin arvo alueella "B on nolla ja se saavutetaan sisäisillä pisteen 0 (0, 0) alueilla, ja korkein arvo Tämän funktion, joka on kaksi, saavutetaan neljässä rajan pisteessä (kuva 25) Kuva 25 Harjoitukset Etsi funktioiden määrittelyalue: Muodosta funktioiden tasoviivat: 9 Etsi funktioiden tasopinnat kolmesta riippumattomasta muuttujasta: Laske funktioiden rajat: Etsi funktioiden osittaisderivaatat ja niiden summadifferentiaalit: Etsi kompleksisten funktioiden derivaatat: 3 Etsi J. Usean muuttujan funktion ääriarvo Useiden muuttujien funktion ääripään käsite muuttujia. Ekstreemin välttämättömät ja riittävät ehdot Ehdollinen ääriarvo Jatkuvien funktioiden suurimmat ja pienimmät arvot 34. Derivaatakaavan käyttö monimutkainen toiminto kaksi muuttujaa, etsi ja funktiot: 35. Etsi kahden muuttujan kompleksisen funktion derivaatan kaavalla |J ja funktiot: Etsi implisiittisesti annetut jj-funktiot: 40. Etsi tangenttikäyrän kaltevuus muuttujan leikkauspisteessä se suoralla x = 3. 41. Etsi pisteet, joissa x-käyrän tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. . Etsi ja T seuraavissa tehtävissä: Kirjoita pinnan tangenttitason ja normaalin yhtälöt: 49. Kirjoita pinnan x2 + 2y2 + 3z2 = 21 tangenttitasojen yhtälöt, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​tason x + 4y kanssa + 6z = 0. Etsi laajennuksen kolme tai neljä ensimmäistä termiä Taylorin kaavalla : 50. y pisteen (0, 0) läheisyydestä. Käyttäen funktion ääripään määritelmää, tutki seuraavat funktiot ääripäälle:). Käyttämällä riittäviä ehtoja kahden muuttujan funktion ääripäälle, tutki funktion ääripää: 84. Etsi funktion z = x2 - y2 suurin ja pienin arvo suljetussa ympyrässä 85. Etsi suurin ja pienin arvo funktion * = x2y(4-x-y) kolmiossa, jota rajoittavat suorit x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Määritä suorakaiteen muotoisen avoimen altaan mitat, jolla on pienin pinta-ala edellyttäen, että sen tilavuus on yhtä suuri kuin V. 87. Etsi suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön mitat, jonka tilavuus on suurin kokonaispinta-alalla 5. Vastaukset 1. ja | Neliö, jonka muodostavat janat x sivuineen. 3. Samakeskisten renkaiden perhe 2= 0,1,2,... .4. Koko taso suorien viivojen pisteitä lukuun ottamatta. Osa tasosta, joka sijaitsee paraabelin yläpuolella y = -x?. 8. Ympyrän x pisteet. Koko taso suoria viivoja lukuun ottamatta x Radikaalilauseke on ei-negatiivinen kahdessa tapauksessa j * ^ tai j x ^ ^, mikä vastaa loputonta epäyhtälöiden sarjaa. Määritelmäalue on varjostetut neliöt (kuva 26); l joka vastaa ääretöntä sarjaa Funktio määritellään pisteinä. a) Suorat x:n suuntaiset suorat b) samankeskiset ympyrät, joiden keskipiste on origossa. 10. a) paraabelit y) paraabelit y a) paraabelit b) hyperabelit | .Planes xc. 13. Prime - yhden ontelon hyperboloidit, jotka pyörivät Oz-akselin ympäri; kun ja ovat kaksiarkkisia hyperboloideja, jotka pyörivät Oz-akselin ympäri, molemmat pintaperheet erotetaan kartiolla; Ei ole rajaa, b) 0. 18. Olkoon y = kxt sitten z lim z = -2, joten annettu toiminto kohdassa (0,0) ei ole rajaa. 19. a) Piste (0,0); b) piste (0,0). 20. a) Katkoviiva - ympyrä x2 + y2 = 1; b) katkoviiva on suora y = x. 21. a) Katkoviivat - koordinaattiakselit Ox ja Oy; b) 0 (tyhjä joukko). 22. Kaikki pisteet (m, n), joissa ja n ovat kokonaislukuja