Etsi ehdollinen ääriarvo ja ääriarvot. Ehdollinen ääripää
Esimerkki
Etsi funktion ääriarvo edellyttäen, että se X Ja klo liittyvät suhteeseen: . Geometrisesti ongelma tarkoittaa seuraavaa: ellipsillä 
kone 
.
Tämä ongelma voidaan ratkaista näin: yhtälöstä 
löydämme 
X:
edellyttäen että 
, pelkistettynä ongelmaan löytää intervallin yhden muuttujan funktion ääriarvo 
.
Geometrisesti ongelma tarkoittaa seuraavaa: ellipsillä 
, joka saadaan ylittämällä sylinteri 
kone 
, sinun on löydettävä sovelluksen enimmäis- tai vähimmäisarvo 
(Kuva 9). Tämä ongelma voidaan ratkaista näin: yhtälöstä 
löydämme 
. Korvaamalla löydetyn y:n arvon tason yhtälöön saadaan yhden muuttujan funktio X:
Siten funktion ääripään löytämisen ongelma 
edellyttäen että 
, pelkistettynä ongelmaan löytää intervallin yhden muuttujan funktion ääriarvo.
Niin, ehdollisen ääripään löytämisen ongelma– Tämä on tavoitefunktion ääripään löytämisen ongelma 
, edellyttäen, että muuttujat X Ja klo rajoituksen alaisena 
, nimeltään yhteysyhtälö.
Sanotaanpa niin piste
, joka täyttää kytkentäyhtälön, on paikallisen ehdollisen maksimin piste (minimi), jos siellä on lähiö 
niin että mihin tahansa pisteeseen 
, jonka koordinaatit täyttävät yhteysyhtälön, epäyhtälö täyttyy.
Jos kytkentäyhtälöstä löytyy lauseke klo, sitten korvaamalla tämä lauseke alkuperäisellä funktiolla, muutamme jälkimmäisen yhden muuttujan kompleksiseksi funktioksi X.
Yleinen menetelmä ehdollisen ääripääongelman ratkaisemiseksi on Lagrangen kerroinmenetelmä. Luodaan apufunktio, missä 
─ joku numero. Tätä toimintoa kutsutaan Lagrange-toiminto, A 
─ Lagrange-kerroin. Siten ehdollisen ääripään löytämisen tehtävä on rajoittunut paikallisten ääripisteiden etsimiseen Lagrange-funktiolle. Löytääksesi mahdolliset ääripisteet, sinun on ratkaistava 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta x, y Ja.
Sitten sinun tulee käyttää seuraavaa riittävää ehtoa ääripäälle.
LAUSE.
Olkoon piste mahdollinen Lagrange-funktion ääripiste. Oletetaan, että pisteen läheisyydessä 
on olemassa jatkuvia osittaisia derivaattoja toisen kertaluokan funktioista 
Ja 
. Merkitään
Sitten jos 
, Tuo 
─ funktion ehdollinen ääripiste 
kytkentäyhtälön kanssa 
tässä tapauksessa jos 
, Tuo 
─ ehdollinen vähimmäispiste, jos 
, Tuo 
─ ehdollinen maksimipiste.
§8. Gradientti ja suuntaderivaata
Anna toiminnon 
määritelty jollain (avoimella) alueella. Harkitse mitä tahansa kohtaa 
tämä alue ja mikä tahansa suunnattu suora (akseli) 
, joka kulkee tämän pisteen läpi (kuva 1). Antaa 
- jokin muu piste tällä akselilla, 
– välisen segmentin pituus 
Ja 
, otettu plusmerkillä, jos suunta 
osuu yhteen akselin suunnan kanssa 
, ja miinusmerkillä, jos niiden suunnat ovat vastakkaiset.
Antaa 
lähestyy loputtomasti 
. Raja
nimeltään funktion derivaatta 
kohti
(tai akselia pitkin 
) ja se on merkitty seuraavasti:
.
Tämä derivaatta luonnehtii funktion "muutosnopeutta" pisteessä 
kohti 
. Erityisesti tavalliset osittaiset johdannaiset 
,
voidaan myös ajatella johdannaisina "suunnan suhteen".
Oletetaan nyt, että funktio 
on jatkuvia osittaisia johdannaisia tarkasteltavalla alueella. Anna akselin 
muodostaa kulmia koordinaattiakseleiden kanssa 
Ja 
. Tehtyjen oletusten mukaan suuntajohdannainen 
on olemassa ja ilmaistaan kaavalla
.
Jos vektori 
sen koordinaattien perusteella 
, sitten funktion derivaatta 
vektorin suuntaan 
voidaan laskea kaavalla:
.
Vektori koordinaatteineen 
nimeltään gradienttivektori toimintoja 
pisteessä 
. Gradienttivektori osoittaa funktion nopeimman kasvun suunnan tietyssä pisteessä.
Esimerkki
Annettu funktio, piste A(1, 1) ja vektori 
. Etsi: 1)grad z pisteestä A; 2) derivaatta pisteessä A vektorin suunnassa 
.
Tietyn funktion osittaiset derivaatat pisteessä 
:
;
.
Sitten funktion gradienttivektori tässä vaiheessa on: 
. Gradienttivektori voidaan kirjoittaa myös käyttämällä vektorin hajottamista 
Ja 
:
. Johdannainen funktiosta 
vektorin suuntaan 
:
Niin, 
,
.◄
Ehdollinen ääripää.
Useiden muuttujien funktion ääriarvo
Pienimmän neliön menetelmä.
FNP:n paikallinen ääripää
Olkoon funktio annettu Ja= f(P), РÎDÌR n ja anna pisteen P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –sisäinen joukon piste D.
Määritelmä 9.4.
1) Piste P 0 kutsutaan maksimipiste toimintoja Ja= f(P), jos tämän pisteen U(P 0) М D ympäristö on sellainen, että missä tahansa pisteessä P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0, ehto täyttyy f(P)£ f(P 0). Merkitys f(P 0) -funktiota kutsutaan maksimipisteessä toiminnon maksimi ja on nimetty f(P0) = max f(P) .
2) Piste P 0 kutsutaan minimipiste toimintoja Ja= f(P), jos tämän pisteen U(P 0)Ì D lähialue on sellainen, että missä tahansa pisteessä P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0, ehto täyttyy f(P)³ f(P 0). Merkitys f(P 0) -funktiota kutsutaan minimipisteessä minimitoiminto ja on nimetty f(P 0) = min f(P).
Kutsutaan funktion minimi- ja maksimipisteitä äärimmäisiä pisteitä, kutsutaan funktion arvoja ääripisteissä funktion ääripää.
Kuten määritelmästä seuraa, epätasa-arvo f(P)£ f(P 0), f(P)³ f(P 0) tulee täyttyä vain tietyssä pisteen P 0 ympäristössä, ei koko funktion määritelmäalueella, mikä tarkoittaa, että funktiolla voi olla useita samantyyppisiä ääripäitä (useita minimejä, useita maksimia) . Siksi yllä määriteltyjä ääripäitä kutsutaan paikallinen(paikalliset) äärimmäisyydet.
Lause 9.1. (FNP:n ääripään välttämätön ehto)
Jos toiminto Ja= f(X 1 , X 2 , ..., x n) on ääripää pisteessä P 0 , niin sen ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat tässä pisteessä ovat joko nolla tai niitä ei ole olemassa.
Todiste. Olkoon pisteessä P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) toiminto Ja= f(P) on ääripää, esimerkiksi maksimi. Korjataan argumentit X 2 , ..., x n, laittaa X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Sitten Ja= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) on yhden muuttujan funktio X 1 . Koska tällä toiminnolla on X 1 = A 1 ääripää (maksimi), sitten f 1 ¢=0 tai ei ole olemassa, kun X 1 =A 1 (välttämätön ehto yhden muuttujan funktion ääripään olemassaololle). Mutta se tarkoittaa tai ei ole olemassa pisteessä P 0 - ääripisteessä. Samoin voimme tarkastella osittaisia derivaattoja suhteessa muihin muuttujiin. CTD.
Funktioalueen pisteet, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä suuret kuin nolla tai niitä ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat tämä toiminto.
Lauseen 9.1 mukaisesti FNP:n ääripisteet tulee etsiä funktion kriittisten pisteiden joukosta. Mutta mitä tulee yhden muuttujan funktioon, jokainen kriittinen piste ei ole ääripiste.
Lause 9.2. (riittävä ehto FNP:n ääripäälle)
Olkoon P 0 funktion kriittinen piste Ja= f(P) ja 
on tämän funktion toisen asteen differentiaali. Sitten
ja jos d 2 u(P 0) > 0 kohdassa , niin P 0 on piste minimi toimintoja Ja= f(P);
b) jos d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка enimmäismäärä toimintoja Ja= f(P);
c) jos d 2 u(P 0) ei ole etumerkillä määritelty, silloin P 0 ei ole ääripiste;
Käsittelemme tätä lausetta ilman todisteita.
Huomaa, että lause ei ota huomioon tapausta, jolloin d 2 u(P 0) = 0 tai sitä ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että kysymys ääripään olemassaolosta pisteessä P 0 tällaisissa olosuhteissa jää avoimeksi - tarvitaan lisätutkimusta, esimerkiksi tutkimus funktion kasvusta tässä kohdassa.
Tarkemmilla matematiikan kursseilla on todistettu, että erityisesti funktion osalta z = f(x,y) kahdesta muuttujasta, joiden toisen asteen differentiaali on muodon summa
ääripään olemassaolon tutkimusta kriittisessä pisteessä P 0 voidaan yksinkertaistaa.
Merkitään , , . Tehdään determinantti
.
Osoittautuu:
d 2 z> 0 pisteessä P 0, ts. P 0 – minimipiste, jos A(P 0) > 0 ja D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
jos D(P 0)< 0, то d 2 z pisteen P 0 läheisyydessä se vaihtaa etumerkkiä ja pisteessä P 0 ei ole ääripäätä;
jos D(Р 0) = 0, tarvitaan myös lisätutkimuksia funktiosta kriittisen pisteen Р 0 läheisyydessä.
Toiminnon osalta siis z = f(x,y) kahdesta muuttujasta meillä on seuraava algoritmi (kutsutaanko sitä "algoritmiksi D") ääripään löytämiseksi:
1) Etsi määritelmän D( f) toimintoja.
2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteitä D( f), joille ja ovat nolla tai niitä ei ole olemassa.
3) Tarkista jokaisessa kriittisessä pisteessä P 0 ääripään riittävät olosuhteet. Voit tehdä tämän etsimällä , jossa , , ja laske D(P 0) ja A(P 0). Sitten:
jos D(P 0) >0, niin pisteessä P 0 on ääriarvo, ja jos A(P 0) > 0 – silloin tämä on minimi, ja jos A(P 0)< 0 – максимум;
jos D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Jos D(P 0) = 0, tarvitaan lisätutkimusta.
4) Laske löydetyistä ääripisteistä funktion arvo.
Esimerkki 1.
Etsi funktion ääripää z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Ratkaisu. Tämän funktion määrittelyalue on koko koordinaattitaso. Etsitään kriittisiä kohtia.
, 
, 
Þ P 0 (0,0) , .
Tarkastetaan, täyttyvätkö ääripään riittävät ehdot. Me löydämme
6X, = -3, = 48klo Ja 
= 288xy – 9.
Sitten D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 – pisteessä Р 1 on ääripää, ja koska A(P 1) = 3 >0, niin tämä ääriarvo on minimi. Joten min z=z(P 1) = 
.
Esimerkki 2.
Etsi funktion ääripää 
.
Ratkaisu: D( f) =R2. Kriittiset kohdat: 
; ei ole olemassa milloin klo= 0, mikä tarkoittaa, että P 0 (0,0) on tämän funktion kriittinen piste.
2, = 0, = , = , mutta D(P 0) ei ole määritelty, joten sen etumerkin tutkiminen on mahdotonta.
Samasta syystä on mahdotonta soveltaa lausetta 9.2 suoraan - d 2 z ei ole olemassa tässä vaiheessa.
Tarkastellaan funktion lisäystä f(x, y) pisteessä P 0 . Jos D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, silloin P 0 on minimipiste, mutta jos D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Meidän tapauksessamme on
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
paikassa D x= 0,1 ja D y= -0,008 saamme D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 ja D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, so. pisteen P 0 läheisyydessä kumpikaan ehto D ei täyty f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) ja siksi P 0 ei ole maksimipiste), eikä ehto D f>0 (ts. f(x, y) > f(0, 0) ja sitten P 0 ei ole minimipiste). Tämä tarkoittaa ääripään määritelmän mukaan, että tällä funktiolla ei ole ääriarvoa.
Ehdollinen ääripää.
Funktion tarkasteltua ääripäätä kutsutaan ehdoton, koska funktion argumenteille ei aseteta rajoituksia (ehtoja).
Määritelmä 9.2. Toiminnon ääriarvo Ja = f(X 1 , X 2 , ... , x n), todettiin sillä ehdolla, että sen väitteet X 1 , X 2 , ... , x n täyttää yhtälöt j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, missä P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), nimeltään ehdollinen ääripää .
Yhtälöt j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, kutsutaan yhteysyhtälöt.
Katsotaanpa toimintoja z = f(x,y) kaksi muuttujaa. Jos kytkentäyhtälö on yksi, ts. , niin ehdollisen ääripään löytäminen tarkoittaa, että ääripäätä ei etsitä funktion koko määritelmäalueelta, vaan jollakin käyrältä, joka sijaitsee D( f) (eli se ei ole korkein tai korkein matalat pisteet pinnat z = f(x,y) ja korkeimmat tai alimmat kohdat tämän pinnan ja sylinterin leikkauspisteiden joukossa, kuva 5).
Funktion ehdollinen ääriarvo z = f(x,y) kahdesta muuttujasta löytyy seuraavalla tavalla( eliminointimenetelmä). Ilmaise yhtälöstä yksi muuttujista toisen funktiona (esimerkiksi kirjoitus ) ja korvaa tämä muuttujan arvo funktioon, kirjoita jälkimmäinen yhden muuttujan funktiona (tarkastetussa tapauksessa 
). Etsi yhden muuttujan tuloksena olevan funktion ääriarvo.
Tarkastellaan ensin kahden muuttujan funktion tapausta. Funktion $z=f(x,y)$ ehdollinen ääriarvo pisteessä $M_0(x_0;y_0)$ on tämän funktion ääriarvo, joka saavutetaan sillä ehdolla, että muuttujat $x$ ja $y$ tämän pisteen läheisyys täyttävät yhteysyhtälön $\ varphi (x,y)=0$.
Nimi "ehdollinen" ääripää johtuu siitä, että muuttujille asetetaan lisäehto $\varphi(x,y)=0$. Jos yksi muuttuja voidaan ilmaista yhteysyhtälöstä toisen kautta, niin ehdollisen ääripään määritysongelma rajoittuu ongelmaksi yhden muuttujan funktion tavanomaisen ääripään määrittämisessä. Jos yhteysyhtälö esimerkiksi edellyttää $y=\psi(x)$, korvaamalla $y=\psi(x)$ arvolla $z=f(x,y)$, saadaan yhden muuttujan $z funktio. =f\left (x,\psi(x)\oikea)$. Yleensä tästä menetelmästä on kuitenkin vähän hyötyä, joten uuden algoritmin käyttöönotto on tarpeen.
Lagrange-kerroinmenetelmä kahden muuttujan funktioille.
Lagrangen kerroinmenetelmä koostuu Lagrange-funktion muodostamisesta ehdollisen äärisumman löytämiseksi: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametri $\lambda$ on ns. Lagrange-kerroin). Ekstreemin tarvittavat ehdot määritellään yhtälöjärjestelmällä, josta kiinteät pisteet määritetään:
$$ \left \( \begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(tasattu) \oikea. $$
Riittävä ehto, jonka perusteella ääripään luonne voidaan määrittää, on merkki $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jos kiinteässä pisteessä $d^2F > 0$, niin funktiolla $z=f(x,y)$ on ehdollinen minimi tässä pisteessä, mutta jos $d^2F< 0$, то условный максимум.
On toinenkin tapa määrittää ääripään luonne. Kytkentäyhtälöstä saadaan: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, joten missä tahansa kiinteässä pisteessä meillä on:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\oikea)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\oikea)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \oikea)$$
Toinen tekijä (sijaitsee suluissa) voidaan esittää tässä muodossa:
Determinantin $\left| elementit on korostettu punaisella. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (taulukko)\right|$, joka on Lagrange-funktion Hessian. Jos $H > 0 $, niin $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, ts. meillä on funktion $z=f(x,y)$ ehdollinen minimi.
Huomautus koskien determinantin $H$ merkintää. näytä piilota
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
Tässä tilanteessa yllä muotoiltu sääntö muuttuu seuraavasti: jos $H > 0$, niin funktiolla on ehdollinen minimi, ja jos $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritmi ehdollisen ääripään kahden muuttujan funktion tutkimiseksi
- Muodosta Lagrange-funktio $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Ratkaise järjestelmä $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(tasattu) \oikea.$
- Määritä ääripään luonne kussakin edellisessä kappaleessa löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä. Voit tehdä tämän käyttämällä jotakin seuraavista tavoista:
- Laadi $H$:n determinantti ja selvitä sen merkki
- Ottaen huomioon kytkentäyhtälön, laske $d^2F$:n etumerkki
Lagrange-kerroinmenetelmä n muuttujan funktioille
Oletetaan, että meillä on funktio $n$ muuttujista $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ja $m$ kytkentäyhtälöistä ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Merkitään Lagrange-kertoimia muodossa $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, muodostamme Lagrange-funktion:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Tarvittavat ehdot ehdollisen ääripään olemassaololle annetaan yhtälöjärjestelmällä, josta löydetään stationääristen pisteiden koordinaatit ja Lagrangen kertoimien arvot:
$$\left\(\begin(tasattu) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(tasattu) \right.$$
Voit selvittää, onko funktiolla ehdollinen minimi vai ehdollinen maksimi löydetyssä pisteessä, kuten ennenkin, käyttämällä etumerkkiä $d^2F$. Jos löydetyssä pisteessä $d^2F > 0$, niin funktiolla on ehdollinen minimi, mutta jos $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matriisin $\left| determinantti \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\lpisteet & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet &\lpisteet & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( matriisi) \right|$, punaisella korostettuna matriisissa $L$, on Lagrange-funktion Hessin. Käytämme seuraavaa sääntöä:
- Jos kulma-alaikäisten merkit $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriisit $L$ osuvat yhteen $(-1)^m$ merkin kanssa, jolloin tutkittava stationäärinen piste on funktion $ ehdollinen minimipiste z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
- Jos kulma-alaikäisten merkit $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ vuorottelevat ja mollin $H_(2m+1)$ etumerkki on sama kuin luvun $(-1)^(m+1) )$, silloin paikallaan oleva piste on funktion $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ehdollinen maksimipiste.
Esimerkki nro 1
Etsi funktion $z(x,y)=x+3y$ ehdollinen äärisumma ehdolla $x^2+y^2=10$.
Tämän ongelman geometrinen tulkinta on seuraava: on löydettävä tason $z=x+3y$ sovelluksen suurin ja pienin arvo sen pisteille, jotka leikkaavat sen sylinterin $x^2+y kanssa. ^2 = 10 dollaria.
On hieman vaikeaa ilmaista muuttujaa toisella kytkentäyhtälöstä ja korvata se funktiolla $z(x,y)=x+3y$, joten käytämme Lagrangen menetelmää.
Merkitsemällä $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, muodostamme Lagrange-funktion:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\osittais x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä Lagrange-funktion stationääripisteiden määrittämiseksi:
$$ \left \( \begin(tasattu) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (tasattu)\oikea.$$
Jos oletetaan $\lambda=0$, niin ensimmäinen yhtälö on: $1=0$. Tuloksena oleva ristiriita osoittaa, että $\lambda\neq 0$. Ehdolla $\lambda\neq 0$, ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä saamme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Korvaamalla saadut arvot kolmanteen yhtälöön, saamme:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(tasattu) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(tasattu) \oikea.\\ \begin(tasattu) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(tasattu) $$
Joten järjestelmässä on kaksi ratkaisua: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ja $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Selvitetään ääripään luonne kussakin kiinteässä pisteessä: $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$. Tätä varten laskemme $H$:n determinantin kussakin pisteessä.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\vasen| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Pisteessä $M_1(1;3)$ saamme: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, joten piste Funktiolla $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ on ehdollinen maksimi $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Vastaavasti pisteestä $M_2(-1,-3)$ löydämme: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40 $. Koska $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Huomaan, että sen sijaan, että laskettaisiin determinantin $H$ arvo jokaisessa pisteessä, on paljon kätevämpää laajentaa sitä yleisnäkymä. Jotta teksti ei sotkeutuisi yksityiskohdilla, piilotan tämän menetelmän huomautuksen alle.
Determinantin $H$ kirjoittaminen yleisessä muodossa. näytä piilota
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\oikea) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\oikea). $$
Periaatteessa on jo selvää, mikä merkki $H$:lla on. Koska mikään pisteistä $M_1$ tai $M_2$ ei ole sama kuin origo, niin $y^2+x^2>0$. Siksi merkki $H$ on vastapäätä merkkiä $\lambda$. Voit suorittaa laskelmat:
$$ \begin(tasattu) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\oikea)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\oikea)=-40. \end(tasattu) $$
Kysymys ääripään luonteesta stationaarisissa pisteissä $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$ voidaan ratkaista ilman determinanttia $H$. Etsitään $d^2F$:n merkki kustakin kiinteästä pisteestä:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\oikea) $$
Huomautan, että merkintä $dx^2$ tarkoittaa täsmälleen $dx$ korotettuna toiseen potenssiin, ts. $\left(dx \right)^2$. Tästä syystä meillä on: $dx^2+dy^2>0$, joten $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ saamme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Vastaus: kohdassa $(-1;-3)$ funktiolla on ehdollinen minimi, $z_(\min)=-10$. Pisteessä $(1;3)$ funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=10$
Esimerkki nro 2
Etsi funktion $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ehdollinen äärisumma ehdolla $x+y=0$.
Ensimmäinen menetelmä (Lagrangen kerroinmenetelmä)
Merkitsemällä $\varphi(x,y)=x+y$, muodostamme Lagrange-funktion: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(tasattu) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(tasattu) \oikea. $$
Kun järjestelmä on ratkaistu, saamme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ja $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Meillä on kaksi kiinteää pistettä: $M_1(0;0)$ ja $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Selvitetään ääripään luonne kussakin kiinteässä pisteessä käyttämällä determinanttia $H$.
$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Pisteessä $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, joten tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Tutkimme ääripään luonnetta kussakin pisteessä eri menetelmällä, joka perustuu $d^2F$ -merkkiin:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Yhteysyhtälöstä $x+y=0$ saadaan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Koska $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, niin $M_1(0;0)$ on funktion $z(x,y)=3y^3+ ehdollinen minimipiste 4x^ 2-xy$. Vastaavasti $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Toinen tapa
Yhteysyhtälöstä $x+y=0$ saadaan: $y=-x$. Korvaamalla $y=-x$ funktioon $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, saadaan jokin muuttujan $x$ funktio. Merkitään tämä funktio $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Näin ollen pelkistimme kahden muuttujan funktion ehdollisen ääripään löytämisen ongelmaksi yhden muuttujan funktion ääripään määrittämisen ongelmaksi.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$
Saimme pisteet $M_1(0;0)$ ja $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Lisätutkimusta tunnetaan yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskennan kurssista. Tutkimalla $u_(xx)^("")$ merkkiä kussakin paikallaan olevassa pisteessä tai tarkistamalla $u_(x)^(")$ merkin muutos löydetyissä pisteissä, saadaan samat johtopäätökset kuin silloin, kun Ensimmäisen menetelmän ratkaiseminen. Tarkistamme esimerkiksi merkin $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10. $$
Koska $u_(xx)^("")(M_1)>0$, niin $M_1$ on funktion $u(x)$ minimipiste ja $u_(\min)=u(0)=0 $ . Alkaen $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Toiminnon $u(x)$ arvot tietylle yhteysehdolle osuvat yhteen funktion $z(x,y)$ arvojen kanssa, ts. funktion $u(x)$ löydetyt ääripäät ovat funktion $z(x,y)$ haettuja ehdollisia ääripäitä.
Vastaus: pisteessä $(0;0)$ funktiolla on ehdollinen minimi, $z_(\min)=0$. Pisteessä $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funktiolla on ehdollinen maksimi, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Tarkastellaan toista esimerkkiä, jossa selvennämme ääripään luonnetta määrittämällä $d^2F$ merkin.
Esimerkki nro 3
Etsi funktion $z=5xy-4$ suurin ja pienin arvo, jos muuttujat $x$ ja $y$ ovat positiivisia ja täyttävät kytkentäyhtälön $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1 = 0$.
Muodostetaan Lagrange-funktio: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Etsitään Lagrange-funktion kiinteät pisteet:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(tasattu) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(tasattu) \oikea. $$
Kaikki muut muunnokset suoritetaan ottaen huomioon $x > 0; \; y > 0$ (tämä on määritelty ongelmanlauseessa). Toisesta yhtälöstä ilmaisemme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ja korvaamme löydetyn arvon ensimmäisellä yhtälöllä: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Korvaamalla $x=2y$ kolmanteen yhtälöön saadaan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.
Koska $y=1$, sitten $x=2$, $\lambda=-10$. Määritämme pisteen $(2;1)$ ääripään luonteen $d^2F$ merkin perusteella.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Koska $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, niin:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Periaatteessa tässä voidaan välittömästi korvata kiinteän pisteen $x=2$, $y=1$ ja parametrin $\lambda=-10$ koordinaatit, jolloin saadaan:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \oikea)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Muissa ehdollisen ääripään ongelmissa voi kuitenkin olla useita stationaarisia pisteitä. Tällaisissa tapauksissa on parempi esittää $d^2F$ yleisessä muodossa ja korvata sitten kunkin löydetyn kiinteän pisteen koordinaatit tuloksena olevaan lausekkeeseen:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Korvaamalla $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, saadaan:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Koska $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Vastaus: kohdassa $(2;1)$ funktiolla on ehdollinen maksimi $z_(\max)=6$.
Seuraavassa osassa tarkastellaan Lagrange-menetelmän soveltamista useiden muuttujien funktioihin.
Useiden muuttujien funktioiden ääriarvo. Ekstreemin välttämätön edellytys. Riittävä kunto ääripäälle. Ehdollinen ääripää. Lagrangen kerroinmenetelmä. Suurimpien ja pienimpien arvojen löytäminen.
Luento 5.
Määritelmä 5.1. Piste M 0 (x 0, y 0) nimeltään maksimipiste toimintoja z = f (x, y), Jos f (x o , y o) > f(x,y) kaikille pisteille (x, y) M 0.
Määritelmä 5.2. Piste M 0 (x 0, y 0) nimeltään minimipiste toimintoja z = f (x, y), Jos f (x o , y o) < f(x,y) kaikille pisteille (x, y) jostain pisteen naapurustosta M 0.
Huomautus 1. Maksimi- ja minimipisteet kutsutaan ääripisteet useiden muuttujien funktioita.
Huomautus 2. Minkä tahansa muuttujien lukumäärän funktion ääripiste määritetään samalla tavalla.
Lause 5.1 (tarvittavat ehdotääripää). Jos M 0 (x 0, y 0)– funktion ääripiste z = f (x, y), silloin tämän funktion ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat nolla tai niitä ei ole olemassa.
Todiste.
Korjataan muuttujan arvo klo, laskenta y = y 0. Sitten toiminto f (x, y 0) on yhden muuttujan funktio X, mille x = x 0 on ääripiste. Siksi Fermatin lauseen mukaan tai ei ole olemassa. Sama väite on todistettu samalla tavalla .
Määritelmä 5.3. Pisteitä, jotka kuuluvat usean muuttujan funktion alueeseen, joissa funktion osittaiset derivaatat ovat nolla tai niitä ei ole olemassa, kutsutaan kiinteitä pisteitä tämä toiminto.
Kommentti. Siten ääripäähän voidaan saavuttaa vain paikallaan olevista pisteistä, mutta sitä ei välttämättä havaita jokaisessa.
Lause 5.2(riittävät olosuhteet ääripäälle). Päästä johonkin pisteen läheisyyteen M 0 (x 0, y 0), joka on funktion kiinteä piste z = f (x, y), tällä funktiolla on jatkuvia osittaisia derivaattoja 3. asteeseen asti. Merkitään sitten:
1) f(x,y) on pisteessä M 0 maksimi jos AC-B² > 0, A < 0;
2) f(x,y) on pisteessä M 0 vähintään jos AC-B² > 0, A > 0;
3) kriittisessä pisteessä ei ole ääripistettä jos AC-B² < 0;
4) jos AC-B² = 0, lisätutkimusta tarvitaan.
Todiste.
Kirjoitetaan funktiolle toisen asteen Taylor-kaava f(x,y), muistaen, että stationääripisteessä ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat nolla:
Missä 
Jos segmentin välinen kulma M 0 M, Missä M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ klo) ja O-akseli X merkitse φ, sitten Δ x =Δ ρ
cos φ,
Δ y =Δρsinφ. Tässä tapauksessa Taylorin kaava on muotoa: . Olkoon Sitten voimme jakaa ja kertoa suluissa olevan lausekkeen arvolla A. Saamme:
Tarkastellaan nyt neljää mahdollista tapausta:
1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и 
riittävän pienellä Δρ:lla. Siksi jossain naapurustossa M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), tuo on M 0– maksimipiste.
2) Anna AC-B² > 0, A > 0. Sitten 
, Ja M 0– minimipiste.
3) Anna AC-B² < 0, A> 0. Tarkastellaan argumenttien kasvua sädettä pitkin φ = 0. Sitten kohdasta (5.1) seuraa, että 
, eli tätä sädettä pitkin liikuttaessa funktio kasvaa. Jos siirrymme säteen pitkin siten, että tg φ 0 = -A/B, Että 
, joten liikuttaessa tätä sädettä pitkin funktio pienenee. Eli piste M 0 ei ole äärimmäinen kohta.
3`) Milloin AC-B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
samanlainen kuin edellinen.
3``) Jos AC-B² < 0, A= 0, sitten . Missä . Sitten riittävän pienelle φ:lle lauseke 2 B cosφ + C sinφ on lähellä 2:ta SISÄÄN, eli se säilyttää vakiomerkin, mutta sinφ muuttaa etumerkkiä pisteen läheisyydessä M 0. Tämä tarkoittaa, että funktion inkrementti muuttaa etumerkkiä stationaarisen pisteen läheisyydessä, joka ei siis ole ääripiste.
4) Jos AC-B² = 0 ja 
, 
, eli lisäyksen etumerkki määräytyy 2α 0:n etumerkillä. Samanaikaisesti tarvitaan lisätutkimusta ääripään olemassaolon selvittämiseksi.
Esimerkki. Etsitään funktion ääripisteet z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Kiinteiden pisteiden löytämiseksi ratkaisemme järjestelmän 
. Kiinteä piste on siis (-2,-1). Jossa A = 2, SISÄÄN = -2, KANSSA= 4. Sitten AC-B² = 4 > 0, joten paikallaan olevassa pisteessä saavutetaan ääriarvo, nimittäin minimi (koska A > 0).
Määritelmä 5.4. Jos funktion argumentit f (x 1 , x 2 ,…, x n) ovat lomakkeen lisäehtojen sitomia m yhtälöt ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
jossa funktioilla φ i on jatkuvat osittaiset derivaatat, niin yhtälöt (5.2) kutsutaan yhteysyhtälöt.
Määritelmä 5.5. Toiminnon ääriarvo f (x 1 , x 2 ,…, x n) kun ehdot (5.2) täyttyvät, sitä kutsutaan ehdollinen ääripää.
Kommentti. Voimme tarjota seuraavan geometrisen tulkinnan kahden muuttujan funktion ehdollisesta ääripäästä: olkoon funktion argumentit f(x,y) liittyy yhtälö φ (x,y)= 0, joka määrittää jonkin käyrän O-tasossa xy. Rekonstruoidaan kohtisuorat tasoon O tämän käyrän kustakin pisteestä xy kunnes se leikkaa pinnan z = f (x,y), saamme spatiaalisen käyrän, joka sijaitsee pinnalla käyrän φ yläpuolella (x,y)= 0. Tehtävänä on löytää tuloksena olevan käyrän ääripisteet, jotka eivät tietenkään yleensä tapahdu funktion ehdottomien ääripisteiden kanssa f(x,y).
Määritetään kahden muuttujan funktion ehdollisen ääripään ehdot ottamalla ensin käyttöön seuraava määritelmä:
Määritelmä 5.6. Toiminto L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
Missä λi – jotkut ovat vakioita, ns Lagrange-toiminto, ja numerot λi– määrittelemättömät Lagrange-kertoimet.
Lause 5.3(ehdollisen ääripään välttämättömät ehdot). Funktion ehdollinen ääriarvo z = f (x, y) kytkentäyhtälön φ ( x, y)= 0 voidaan saavuttaa vain Lagrange-funktion kiinteissä pisteissä L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Todiste. Kytkentäyhtälö määrittää implisiittisen suhteen klo alkaen X, joten oletamme niin klo on toiminto alkaen X: y = y(x). Sitten z on monimutkainen toiminto X, ja sen kriittiset pisteet määräytyvät ehdon mukaan: 
. (5.4) Kytkentäyhtälöstä seuraa, että 
. (5.5)
Kerrotaan yhtälö (5.5) jollain luvulla λ ja lisätään se arvoon (5.4). Saamme:
, tai .
Viimeinen yhtäläisyys on täytettävä kiinteissä pisteissä, josta se seuraa:
(5.6)
Saadaan kolmen yhtälön järjestelmä kolmelle tuntemattomalle: x, y ja λ, ja kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat Lagrange-funktion stationaarisen pisteen ehdot. Jättämällä pois tuntemattoman aputunnisteen λ järjestelmästä (5.6), löydämme niiden pisteiden koordinaatit, joissa alkuperäisellä funktiolla voi olla ehdollinen ääriarvo.
Huomautus 1. Ehdollisen ääripään olemassaolo löydetyssä pisteessä voidaan tarkistaa tutkimalla Lagrange-funktion toisen kertaluvun osittaisia derivaattoja analogisesti Lauseen 5.2 kanssa.
Huomautus 2. Pisteet, joissa funktion ehdollinen ääriarvo voidaan saavuttaa f (x 1 , x 2 ,…, x n) kun ehdot (5.2) täyttyvät, voidaan määritellä järjestelmän ratkaisuiksi 
(5.7)
Esimerkki. Etsitään funktion ehdollinen ääripää z = xy olettaen että x + y= 1. Muodostetaan Lagrange-funktio L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Järjestelmä (5.6) näyttää tältä:
missä -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Jossa L(x,y) voidaan esittää muodossa L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, siis löydetyssä paikallaan olevassa pisteessä L(x,y) on maksimi ja z = xy – ehdollinen maksimi.
Riittävä ehto kahden muuttujan funktion ääripäälle
1. Olkoon funktio jatkuvasti differentioituva jossain pisteen ympäristössä ja sillä on jatkuvat toisen asteen osittaiset derivaatat (puhdas ja sekoitettu).
2. Merkitään toisen kertaluvun determinantilla
äärimmäisen muuttujan luentofunktio
Lause
Jos koordinaattipiste on funktion kiinteä piste, niin:
A) Se on paikallisen ääripisteen piste ja paikallisessa maksimissa se on paikallinen minimi;
C) pisteessä ei ole paikallinen ääripiste;
C) jos, ehkä molemmat.
Todiste
Kirjoitetaan Taylorin kaava funktiolle rajoittuen kahteen termiin:
Koska lauseen ehtojen mukaan piste on stationäärinen, ovat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat nolla, ts. Ja. Sitten
Merkitään
Sitten funktion lisäys saa muotoa:
Toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen (puhtaiden ja sekoitettujen) jatkuvuudesta johtuen lauseen ehtojen mukaisesti pisteessä voimme kirjoittaa:
Missä tai; ,
1. Anna ja, ts. tai.
2. Kerro funktion lisäys ja jaa sillä, saamme:
3. Lisätään suluissa oleva lauseke summan täysneliöön:
4. Aaltosulkeiden lauseke ei ole negatiivinen, koska
5. Näin ollen, jos keino ja sitten ja siten määritelmän mukaan piste on paikallinen minimipiste.
6. Jos keskiarvo ja, niin määritelmän mukaan koordinaattipiste on paikallisen maksimin piste.
2. Tarkastellaan toisen asteen trinomia, sen diskriminanttia, .
3. Jos, niin on sellaisia pisteitä, että polynomi
4. Kirjoitamme funktion kokonaislisäyksen pisteeseen I:ssä saadun lausekkeen mukaisesti seuraavasti:
5. Toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen jatkuvuudesta johtuen lauseen ehtojen mukaisesti pisteessä voidaan kirjoittaa, että
Siksi on olemassa sellainen pisteen naapuruus, että minkä tahansa pisteen neliöllinen trinomi on suurempi kuin nolla:
6. Tarkastellaan pisteen ympäristöä.
Valitaan mikä tahansa arvo, joten piste. Olettaen, että funktion lisäyksen kaavassa
Mitä saamme:
7. Siitä lähtien.
8. Väittelemällä samalla tavalla juuria, huomaamme, että missä tahansa pisteen -naapurustossa on piste, jolle pisteen läheisyydessä ei siis säilytetä merkkiä, joten pisteessä ei ole ääripäätä.
Kahden muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo
Kahden muuttujan funktion ääripään löytämisessä syntyy usein ongelmia ns. ehdollisen ääripään suhteen. Tämä käsite voidaan selittää käyttämällä esimerkkiä kahden muuttujan funktiosta.
Olkoon 0xy-tasolla funktio ja suora L. Tehtävänä on löytää suoralta L piste P (x, y), jossa funktion arvo on suurin tai pienin verrattuna tämän funktion arvoihin pisteen P lähellä sijaitsevissa suoran L pisteissä. kutsutaan ehdollisiksi ääripistefunktioiksi viivalla L. Toisin kuin tavallisessa ääripisteessä, funktion arvoa ehdollisen ääripisteen arvoissa ei verrata funktion arvoihin kaikissa sen lähipisteissä, vaan vain niissä, jotka sijaitsevat linjalla L.
On täysin selvää, että tavallisen ääripään piste (sanotaan myös ehdoton ääripää) on myös minkä tahansa tämän pisteen läpi kulkevan suoran ehdollisen ääripään piste. Päinvastoin ei tietenkään pidä paikkaansa: ehdollinen ääripiste ei välttämättä ole tavallinen ääripiste. Havainnollistakaamme tätä esimerkillä.
Esimerkki nro 1. Funktion kuvaaja on ylempi pallonpuolisko (kuva 2).
Riisi. 2.
Tällä funktiolla on maksimi origossa; se vastaa puolipallon kärkeä M. Jos viiva L on pisteiden A ja B kautta kulkeva suora viiva (sen yhtälö), niin on geometrisesti selvää, että tämän suoran pisteille funktion suurin arvo saavutetaan pisteiden A ja B välillä olevassa pisteessä. Tämä on ehdollisten ääriarvofunktioiden (maksimi) piste tällä viivalla; se vastaa pallonpuoliskolla olevaa pistettä M 1, ja kuvasta on selvää, että tässä ei voi puhua mistään tavallisesta ääripäästä.
Huomaa, että suljetun alueen suurimman ja pienimmän funktion arvojen löytämisen ongelman viimeisessä osassa meidän on löydettävä funktion ääriarvot tämän alueen rajalta, ts. jollakin linjalla ja siten ratkaise ehdollisen ääripääongelman.
Määritelmä 1. He sanovat, että missä on yhtälön täyttävässä pisteessä ehdollinen tai suhteellinen maksimi (minimi): jos jollakin yhtälön täyttävällä pisteellä on epäyhtälö
Määritelmä 2. Muodon yhtälöä kutsutaan rajoitusyhtälöksi.
Lause
Jos funktiot ja ovat jatkuvasti differentioituvia pisteen ja osittaisen derivaatan ja pisteen läheisyydessä, ja piste on funktion ehdollinen ääripiste rajoitusyhtälön suhteen, niin toisen kertaluvun determinantti on yhtä suuri kuin nolla:
Todiste
1. Koska lauseen ehtojen mukaan osittaisderivaata ja funktion arvo, niin tietyssä suorakulmiossa
implisiittinen funktio määritelty
Kahden muuttujan kompleksisella funktiolla pisteessä on siis paikallinen ääriarvo tai.
2. Todellakin, ensimmäisen kertaluvun differentiaalikaavan invarianssiominaisuuden mukaan
3. Kytkentäyhtälö voidaan esittää tässä muodossa, mikä tarkoittaa
4. Kerro yhtälö (2) ja (3) ja lisää ne
Siksi milloin
mielivaltainen. jne.
Seuraus
Kahden muuttujan funktion ehdollisten ääripisteiden etsiminen käytännössä suoritetaan ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä
Joten yllä olevassa esimerkissä nro 1 yhteysyhtälöstä, joka meillä on. Täältä on helppo tarkistaa, mikä saavuttaa maksimin. Mutta sitten viestintäyhtälöstä. Saamme geometrisesti löydetyn pisteen P.
Esimerkki nro 2. Etsi funktion ehdolliset ääripisteet suhteessa kytkentäyhtälöön.
Etsitään osittaiset derivaatat annettu toiminto ja kytkentäyhtälöt:
Luodaan toisen asteen determinantti:
Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä ehdollisten ääripisteiden löytämiseksi:
Tämä tarkoittaa, että koordinaatteineen funktion ehdollisen ääripään pistettä on neljä: .
Esimerkki nro 3. Etsi funktion ääripisteet.
Kun osittaiset derivaatat nollaan: , löydämme yhden stationaarisen pisteen - origon. Tässä,. Näin ollen piste (0, 0) ei ole ääripiste. Yhtälö on hyperbolisen paraboloidin yhtälö (kuva 3) kuvasta voidaan nähdä, että piste (0, 0) ei ole ääripiste.
Riisi. 3.
Suljetun alueen funktion suurin ja pienin arvo
1. Olkoon funktio määritelty ja jatkuva rajoitetussa suljetussa toimialueessa D.
2. Olkoon funktiolla äärelliset osittaiset derivaatat tällä alueella lukuun ottamatta alueen yksittäisiä pisteitä.
3. Weierstrassin lauseen mukaisesti tällä alueella on piste, jossa funktio saa suurimmat ja pienimmät arvot.
4. Jos nämä pisteet ovat alueen D sisäisiä pisteitä, niin ilmeisesti niillä on maksimi tai minimi.
5. Tässä tapauksessa meille kiinnostavat kohdat ovat epäilyttäviä kohtia ääripäässä.
6. Funktio voi kuitenkin saada suurimman tai pienimmän arvon alueen D rajalla.
7. Löytääksesi funktion suurimman (pienimmän) arvon alueella D, sinun on löydettävä kaikki sisäiset pisteet, jotka ovat epäilyttäviä ääripäälle, laskettava niissä olevan funktion arvo ja verrattava sitten funktion arvoon alueen rajapisteitä, ja suurin kaikista löydetyistä arvoista on suurin suljetulla alueella D.
8. Paikallisen maksimin tai minimin löytämismenetelmää käsiteltiin aiemmin kohdassa 1.2. ja 1.3.
9. On vielä harkittava menetelmää löytää suurin ja pienin arvo toimii alueen rajalla.
10. Kahden muuttujan funktion tapauksessa pinta-ala on yleensä rajoitettu käyrällä tai useilla käyrillä.
11. Tällaista käyrää (tai useampaa käyrää) pitkin muuttujat ja joko riippuvat toisistaan tai molemmat riippuvat yhdestä parametrista.
12. Siten rajalla funktio osoittautuu riippuvaiseksi yhdestä muuttujasta.
13. Hakumenetelmä korkein arvo yhden muuttujan toiminnoista keskusteltiin aiemmin.
14. Olkoon alueen D raja parametriyhtälöillä:
Sitten tällä käyrällä kahden muuttujan funktio on monimutkainen toiminto parametrista: . Tällaiselle funktiolle määritetään suurimmat ja pienimmät arvot menetelmällä, jolla määritetään yhden muuttujan funktion suurin ja pienin arvo.
Ladataan...
