Neliömuotoisen matriisin määritelmä. Neliön muodot

Neliön muodot.
Merkitse muotojen tarkkuus. Sylvesterin kriteeri

Adjektiivi "neliö" viittaa heti siihen, että jokin tässä on yhteydessä neliöön (toinen aste), ja pian saamme selville tämän "jotain" ja sen muodon. Siitä tuli kielenväännin :)

Tervetuloa uudelle tunnilleni ja välittömänä lämmittelynä katsotaan raidallista muotoa lineaarinen. Lineaarinen muoto muuttujia nimeltään homogeeninen 1. asteen polynomi:

- jonkin verran tiettyjä numeroita* (oletamme, että ainakin yksi niistä on nollasta poikkeava), a ovat muuttujia, jotka voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja.

* Tämän aiheen puitteissa tarkastelemme vain todellisia lukuja .

Olemme jo kohdanneet termin "homogeeninen" oppitunnilla aiheesta homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, ja tässä tapauksessa se tarkoittaa, että polynomilla ei ole plusvakiota.

Esimerkiksi: – kahden muuttujan lineaarinen muoto

Nyt muoto on neliömäinen. Neliöllinen muoto muuttujia nimeltään homogeeninen 2. asteen polynomi, jonka jokainen termi sisältää joko muuttujan neliön tai tuplaa muuttujien tulo. Joten esimerkiksi kahden muuttujan neliömuodolla on seuraava muoto:

Huomio! Tämä on vakiomerkintä, eikä sitä tarvitse muuttaa! Huolimatta "pelottavasta" ulkonäöstä, kaikki on täällä yksinkertaista - vakioiden kaksoisalaindeksit osoittavat, mitkä muuttujat sisältyvät mihinkin termiin:
– tämä termi sisältää tuotteen ja (neliö);
- tässä on työ;
- ja tässä on työ.

– Odotan välittömästi törkeän virheen, kun he menettävät kertoimen "miinuksen" ymmärtämättä, että se viittaa termiin:

Joskus hengessä on "koulu" -suunnitteluvaihtoehto, mutta vain joskus. Huomaa muuten, että vakiot eivät kerro meille täällä yhtään mitään, ja siksi on vaikeampaa muistaa "helppo merkintä". Varsinkin kun muuttujia on enemmän.

Ja neliöllinen kolmen muodossa muuttujat sisältävät jo kuusi jäsentä:

...miksi "kaksi" tekijää asetetaan "sekatermeillä"? Tämä on kätevää, ja pian selviää miksi.

kuitenkin yleinen kaava Kirjoitetaan se muistiin, se on kätevää järjestää "arkina":

- tutkimme huolellisesti jokaista riviä - siinä ei ole mitään vikaa!

Neliömuoto sisältää termit muuttujien neliöillä ja termit niiden parituloineen (cm. kombinatorinen yhdistelmäkaava) . Ei mitään muuta - ei "yksinäistä X" eikä lisättyä vakiota (silloin et saa neliömuotoa, vaan heterogeeninen 2. asteen polynomi).

Toisen muodon matriisimerkintä

Arvoista riippuen kyseinen muoto voi olla sekä positiivinen että negatiiviset arvot, ja sama koskee mitä tahansa lineaarista muotoa - jos ainakin yksi sen kertoimista on eri kuin nolla, se voi olla joko positiivinen tai negatiivinen (arvoista riippuen).

Tätä muotoa kutsutaan vaihtuva merkki. Ja jos kaikki on läpinäkyvää lineaarisella muodolla, niin neliömuodossa asiat ovat paljon mielenkiintoisempia:

On täysin selvää, että tämä muoto voi saada minkä tahansa merkin merkityksen neliömuoto voi olla myös vaihtuva.

Se ei ehkä ole:

– aina, ellei samanaikaisesti ole nolla.

- kenelle tahansa vektori paitsi nolla.

Ja yleisesti ottaen, jos jollekin nollasta poikkeava vektori , , niin neliömuotoa kutsutaan positiivinen selvä; jos niin sitten negatiivinen selvä.

Ja kaikki olisi hyvin, mutta neliömuodon määrällisyys näkyy vain sisällä yksinkertaisia ​​esimerkkejä, ja tämä näkyvyys menetetään jopa pienellä komplikaatiolla:
– ?

Voidaan olettaa, että muoto on positiivisesti määritelty, mutta onko näin todella? Yhtäkkiä tulee arvot, joissa se alle nolla?

Tuolla on lause: Jos kaikki ominaisarvot neliömuodon matriisit ovat positiivisia * , silloin se on positiivinen. Jos kaikki ovat negatiivisia, niin negatiivisia.

* Teoriassa on todistettu, että kaikki todellisen symmetrisen matriisin ominaisarvot pätevä

Kirjoitetaan yllä olevan muodon matriisi:
ja yhtälöstä. etsitään hänet ominaisarvot:

Ratkaistaan ​​vanhaa hyvää toisen asteen yhtälö:

, mikä tarkoittaa muotoa määritellään positiivisesti, ts. kaikille nollasta poikkeaville arvoille se on suurempi kuin nolla.

Harkittu menetelmä näyttää toimivan, mutta siinä on yksi iso MUTTA. Oikeiden lukujen etsiminen on jo kolme kertaa kolme matriisissa pitkä ja epämiellyttävä tehtävä; suurella todennäköisyydellä saat 3. asteen polynomin, jolla on irrationaaliset juuret.

Mitä minun pitäisi tehdä? On helpompikin tapa!

Sylvesterin kriteeri

Ei, ei Sylvester Stallone :) Aluksi haluan muistuttaa, mitä se on nurkan alaikäiset matriiseja. Tämä karsintoja joka "kasvaa" vasemmasta yläkulmastaan:

ja viimeinen on täsmälleen yhtä suuri kuin matriisin determinantti.

Nyt itse asiassa kriteeri:

1) Kvadraattinen muoto on määritelty positiivisesti jos ja vain jos KAIKKI sen kulma-alat ovat suurempia kuin nolla: .

2) Kvadraattinen muoto on määritelty negatiivinen jos ja vain, jos sen kulmikkaat alamerkit vuorottelevat merkkijonossa, jolloin 1. molli on pienempi kuin nolla: , , jos – parillinen tai , jos – pariton.

Jos ainakin yksi kulmamolli on päinvastainen, niin muoto vaihtuva merkki. Jos kulmikkaat alaikäiset ovat "sitä" merkkiä, mutta heidän joukossaan on nollia, niin tämä on erikoistapaus, josta keskustelen hieman myöhemmin, kun napsautamme yleisempiä esimerkkejä.

Analysoidaan matriisin angular minorit :

Ja tämä kertoo meille heti, että muotoa ei ole määritelty negatiivisesti.

Johtopäätös: kaikki kulman alamerkit ovat suurempia kuin nolla, mikä tarkoittaa muotoa määritellään positiivisesti.

Onko ero ominaisarvomenetelmän kanssa? ;)

Kirjoitetaan muotomatriisi mistä Esimerkki 1:

ensimmäinen on sen kulmikas molli ja toinen , josta seuraa, että muoto on vuorotteleva merkissä, ts. arvoista riippuen se voi ottaa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Tämä on kuitenkin jo selvää.

Otetaan muoto ja sen matriisi Esimerkki 2:

Tätä ei voi selvittää ilman näkemystä. Mutta Sylvesterin kriteerillä emme välitä:
, joten muoto ei todellakaan ole negatiivinen.

, eikä todellakaan positiivista (koska kaikkien kulmikas alaikäisten on oltava positiivisia).

Johtopäätös: muoto on vuorotteleva.

Esimerkkejä lämmittelystä itsenäinen päätös:

Esimerkki 4

Tutki neliömuotoja merkin tarkkuuden saamiseksi

A)

Näissä esimerkeissä kaikki on sujuvaa (katso oppitunnin loppu), mutta itse asiassa tällaisen tehtävän suorittaminen Sylvesterin kriteeri ei ehkä ole riittävä.

Asia on siinä, että on olemassa "reuna"-tapauksia, nimittäin: jos jokin nollasta poikkeava vektori, sitten muoto määritetään ei-negatiivinen, jos sitten negatiivinen. Näillä lomakkeilla on nollasta poikkeava vektorit, joille .

Tässä voit lainata seuraavaa "harmonikkaa":

Korostaminen täydellinen neliö, näemme heti ei-negatiivisuus muoto: , ja se on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa vektorille, jolla on samat koordinaatit, esimerkiksi: .

"Peili" esimerkki negatiivinen tietty muoto:

ja vielä triviaalimpi esimerkki:
– tässä muoto on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa vektorille , jossa on mielivaltainen luku.

Kuinka tunnistaa ei-negatiiviset tai ei-positiiviset muodot?

Tätä varten tarvitsemme konseptin suuret alaikäiset matriiseja. Iso-molli on molli, joka koostuu elementeistä, jotka ovat rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa, joilla on samat numerot. Siten matriisissa on kaksi ensimmäisen asteen päämollista:
(elementti on 1. rivin ja 1. sarakkeen leikkauskohdassa);
(elementti on 2. rivin ja 2. sarakkeen leikkauskohdassa),

ja yksi 2. kertaluvun suuri molli:
– koostuu 1., 2. rivin ja 1., 2. sarakkeen elementeistä.

Matriisi on "kolme kolmella" Pääalaikäisiä on seitsemän, ja tässä sinun on taivutettava hauislihaksia:
– kolme 1. luokan alaikäistä,
kolme toisen asteen alaikäistä:
– koostuu 1., 2. rivin ja 1. ja 2. sarakkeen elementeistä;
– koostuu 1., 3. rivin ja 1., 3. sarakkeen elementeistä;
– koostuu 2., 3. rivin ja 2., 3. sarakkeen elementeistä,
ja yksi 3. asteen alaikäinen:
– koostuu 1., 2., 3. rivin ja 1., 2. ja 3. sarakkeen elementeistä.
Harjoittele ymmärryksen vuoksi: kirjoita ylös kaikki matriisin suuret alamerkit .
Tarkistamme oppitunnin lopussa ja jatkamme.

Schwarzeneggerin kriteeri:

1) Nollasta poikkeava* neliömuoto määritetty ei-negatiivinen jos ja vain jos KAIKKI sen suuret alaikäiset ei-negatiivinen(suurempi tai yhtä suuri kuin nolla).

* Nollan (degeneroituneen) neliömuodon kaikki kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla.

2) Nollasta poikkeava neliömuoto matriisilla on määritelty negatiivinen jos ja vain jos:
– 1. luokan alaikäiset ei-positiivinen(pienempi tai yhtä suuri kuin nolla);
– 2. luokan alaikäiset ei-negatiivinen;
– 3. luokan alaikäiset ei-positiivinen(vuorottelu alkoi);
…
– th:n molli ei-positiivinen, jos – pariton tai ei-negatiivinen, jos - jopa.

Jos ainakin yksi alaikäinen on päinvastainen, muoto on merkki-vuorotteleva.

Katsotaanpa, kuinka kriteeri toimii yllä olevissa esimerkeissä:

Luodaan muotomatriisi ja Ensinnäkin Lasketaan kulma-alaikäiset - entä jos se määritellään positiivisesti tai negatiivisesti?

Saadut arvot eivät täytä Sylvester-kriteeriä, vaan toista sivua ei negatiivinen, ja tämä tekee tarpeelliseksi tarkistaa 2. kriteerin (2. kriteerin tapauksessa ei täyty automaattisesti, eli heti tehdään johtopäätös lomakkeen merkkien vaihdosta).

Ensimmäisen asteen alaikäiset:
-positiivinen,
2. asteen molli:
- ei negatiivinen.

Siten KAIKKI suuret alaikäiset eivät ole negatiivisia, mikä tarkoittaa muotoa ei-negatiivinen.

Kirjoitetaan muotomatriisi , jolle Sylvester-kriteeri ei ilmeisesti täyty. Mutta emme myöskään saaneet päinvastaisia ​​merkkejä (koska molemmat kulmikkaat alaikäiset ovat nolla). Siksi tarkistamme ei-negatiivisuus/ei-positiivisuuskriteerin täyttymisen. Ensimmäisen asteen alaikäiset:
- ei positiivista,
2. asteen molli:
- ei negatiivinen.

Siten Schwarzeneggerin kriteerin (kohta 2) mukaan muoto ei ole positiivisesti määritelty.

Katsotaanpa nyt lähemmin mielenkiintoisempaa ongelmaa:

Esimerkki 5

Tutki neliömuotoa merkin tarkkuuden suhteen

Tämä lomake on koristeltu järjestyksessä "alfa", joka voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa reaaliluku. Mutta siitä tulee vain hauskempaa me päätämme.

Ensin kirjoitetaan lomakematriisi; monet ihmiset ovat todennäköisesti jo tottuneet tekemään tämän suullisesti: päällä päädiagonaali Laitamme kertoimet neliöille ja symmetrisiin paikkoihin laitamme puolet vastaavien "sekatuotteiden" kertoimista:

Lasketaan kulmikkaat alaikäiset:

Laajennan kolmannen determinantin 3. rivillä:

Homogeenistä polynomia, jonka aste on 2 useissa muuttujissa, kutsutaan neliömuodoksi.

Muuttujien neliömuoto koostuu kahden tyyppisistä termeistä: muuttujien neliöistä ja niiden parituloksista tietyillä kertoimilla. Neliömuoto kirjoitetaan yleensä seuraavana neliökaaviona:

Samankaltaisten termien parit kirjoitetaan yhtäläisillä kertoimilla siten, että jokainen niistä muodostaa puolet muuttujien vastaavan tulon kertoimesta. Siten jokainen neliömuoto liittyy luonnollisesti kerroinmatriisiinsa, joka on symmetrinen.

On kätevää esittää neliömuoto seuraavalla matriisimerkinnällä. Merkitään X:llä muuttujien sarake X:n kautta - rivi, eli matriisi, joka on transponoitu X:llä.

Neliömuotoja löytyy monilta matematiikan aloilta ja sen sovelluksista.

Lukuteoriassa ja kristallografiassa neliömuotoja tarkastellaan olettaen, että muuttujat saavat vain kokonaislukuarvoja. Analyyttisessä geometriassa neliömuoto on osa järjestyksen käyrän (tai pinnan) yhtälöä. Mekaniikassa ja fysiikassa neliömuoto näyttää ilmaisevan kineettinen energia järjestelmiä yleistettyjen nopeuksien komponenttien kautta jne. Mutta lisäksi neliömuotojen tutkiminen on tarpeen myös analyysissä, kun tutkitaan monien muuttujien funktioita, kysymyksissä, joiden ratkaisemiseksi on tärkeää selvittää, kuinka tietty funktio tietyn pisteen läheisyys poikkeaa sen approksimaatiosta lineaarinen funktio. Esimerkki tämäntyyppisestä ongelmasta on funktion maksimi- ja minimiarvojen tutkiminen.

Tarkastellaan esimerkiksi ongelmaa tutkia maksimi- ja minimiarvo kahden muuttujan funktiolle, jolla on jatkuvat osittaiset derivaatat järjestyksessä. Tarpeellinen ehto Jotta piste antaisi funktion maksimin tai minimin, pisteen järjestyksen osittaiset derivaatat ovat yhtä kuin nolla. Oletetaan, että tämä ehto täyttyy. Annetaan muuttujille x ja y pienet lisäykset ja k ja tarkastellaan funktion vastaavaa inkrementtiä. Taylorin kaavan mukaan tämä lisäys pieniin korkeampiin kertalukuihin on yhtä suuri kuin neliömuoto, jossa ovat toisten derivaattojen arvot laskettu pisteessä Jos tämä neliömuoto on positiivinen kaikille ja k:n arvoille (paitsi ), funktiolla on pisteessä minimi, jos se on negatiivinen, niin sillä on maksimi. Lopuksi, jos muoto saa sekä positiiviset että negatiiviset arvot, ei ole maksimi- tai minimiarvoa. Toiminnot lisää muuttujia.

Neliömuotojen tutkimus koostuu pääasiassa muotojen vastaavuusongelman tutkimisesta suhteessa muuttujien lineaaristen muunnosten joukkoon. Kahden toisen asteen muodon sanotaan olevan ekvivalentti, jos toinen niistä voidaan muuntaa toiseksi jollakin tietyn joukon muunnoksella. Ekvivalenssiongelmaan liittyy läheisesti muodon pelkistysongelma, ts. muuntaa sen johonkin mahdollisesti yksinkertaisimpaan muotoon.

SISÄÄN erilaisia ​​asioita kvadraattisten muotojen yhteydessä tarkastellaan myös erilaisia ​​muuttujien sallittuja muunnoksia.

Analyysikysymyksissä käytetään muuttujien ei-erityisiä muunnoksia; analyyttisen geometrian kannalta eniten kiinnostavat ortogonaaliset muunnokset, eli ne, jotka vastaavat siirtymää yhdestä muuttujajärjestelmästä Suorakulmaiset koordinaatit toiselle. Lopuksi lukuteoriassa ja kristallografiassa tarkastellaan lineaarisia muunnoksia kokonaislukukertoimilla ja yksikköä vastaavalla determinantilla.

Tarkastellaan kahta näistä ongelmista: kysymystä neliöllisen muodon pelkistämisestä sen yksinkertaisimpaan muotoon minkä tahansa ei-singulaarisen muunnoksen avulla ja sama kysymys ortogonaalisille muunnoksille. Ensinnäkin selvitetään, kuinka neliömuotoinen matriisi muuttuu muuttujien lineaarimuunnoksen aikana.

Olkoon , missä A on muotokertoimien symmetrinen matriisi, X on muuttujien sarake.

Tehdään muuttujien lineaarinen muunnos, kirjoitetaan se lyhenteellä . Tässä C tarkoittaa tämän muunnoksen kertoimien matriisia, X on uusien muuttujien sarake. Silloin ja siksi muunnetun toisen asteen muodon matriisi on

Matriisi osoittautuu automaattisesti symmetriseksi, mikä on helppo tarkistaa. Siten ongelma neliön muodon pelkistämiseksi yksinkertaisimpaan muotoon vastaa ongelmaa symmetrisen matriisin pelkistämiseksi yksinkertaisimpaan muotoon kertomalla se vasemmalla ja oikealla keskenään transponoiduilla matriiseilla.

Säännöt funktioiden syöttämiseen:

Kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva funktio f(x) on konveksi (kovera) silloin ja vain jos Hessenin matriisi funktio f(x) suhteessa x:iin on positiivinen (negatiivinen) puolidefiniitti kaikille x:ille (katso usean muuttujan funktion paikallisääripisteet).

Toiminnan kriittiset kohdat:

• jos Hessian on positiivinen määrätty, niin x 0 on funktion f(x) paikallinen minimipiste,
• jos Hessian on negatiivinen definiitti, niin x 0 on funktion f(x) paikallinen maksimipiste,
• jos Hessian ei ole etumerkkimääräinen (ottaa sekä positiiviset että negatiiviset arvot) ja ei-degeneroitunut (det G(f) ≠ 0), niin x 0 on funktion f(x) satulapiste.

Matriisin määrittelykriteerit (Sylvesterin lause)

• matriisin kaikkien diagonaalisten elementtien on oltava positiivisia;
• Kaikkien johtavien päämäärien on oltava positiivisia.

Positiivinen puolimääräisyys:

• kaikki diagonaaliset elementit eivät ole negatiivisia;
• kaikki päätekijät eivät ole negatiivisia.

Neliömäinen n-kertainen matriisi, jonka alkiot ovat toisen kertaluvun tavoitefunktion osittaiset derivaatat, nimeltään Hessenin matriisi ja se on nimetty:

Jotta symmetrinen matriisi olisi positiivinen definiitti, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki sen diagonaaliset minorit ovat positiivisia, ts.


matriisille A = (a ij) ovat positiivisia.

Negatiivinen varmuus.
Jotta symmetrinen matriisi olisi negatiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että seuraavat epäyhtälöt tapahtuvat:
(-1) k D k > 0, k=1,..., n.
Toisin sanoen, jotta neliömuoto olisi negatiivinen selvä, on välttämätöntä ja riittävää, että neliömäisen matriisin kulmamollien merkit vuorottelevat miinusmerkistä alkaen. Esimerkiksi kahdelle muuttujalle D 1< 0, D 2 > 0.

Jos Hessen on puolimääräinen, tämä voi olla myös käännepiste. Tarvitaan lisätutkimusta, joka voidaan suorittaa jollakin seuraavista tavoista:

1. Laskeva järjestys. Muuttujien muutos tehdään. Esimerkiksi kahden muuttujan funktiolle se on y=x, jolloin saadaan yhden muuttujan x funktio. Seuraavaksi tarkastellaan funktion käyttäytymistä riveillä y=x ja y=-x. Jos ensimmäisessä tapauksessa funktiolla tutkittavassa pisteessä on minimi ja toisessa tapauksessa maksimi (tai päinvastoin), niin tutkittava piste on satulapiste.
2. Hessenin ominaisarvojen löytäminen. Jos kaikki arvot ovat positiivisia, funktiolla tutkittavassa kohdassa on minimi, jos kaikki arvot ovat negatiivisia, on maksimi.
3. F(x)-funktion tutkiminen pisteen ε läheisyydessä. Muuttujat x korvataan arvolla x 0 +ε. Seuraavaksi on tarpeen todistaa, että yhden muuttujan ε funktio f(x 0 +ε) on joko suurempi kuin nolla (siis x 0 on minimipiste) tai pienempi kuin nolla (siis x 0 on maksimipiste).

Huomautus. Löytää käänteinen Hessen riittää löytää käänteinen matriisi.

Esimerkki nro 1. Mitkä seuraavista funktioista ovat kuperia tai koveria: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Ratkaisu. 1. Etsitään osittaiset derivaatat.


2. Ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmä.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Saamme:
a) Ensimmäisestä yhtälöstä ilmaistaan ​​x 1 ja korvaamme sen toisella yhtälöllä:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Missä x 2 = 4
Korvaamme nämä arvot x 2 lausekkeeseen x 1. Saamme: x 1 = 9/2
Kriittisten pisteiden määrä on 1.
M 1 (9/2 ;4)
3. Etsitään toisen kertaluvun osittaiset derivaatat.



4. Lasketaan näiden toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen arvot kriittisissä pisteissä M(x 0 ;y 0).
Laskemme arvot pisteelle M 1 (9 / 2 ;4)



Rakennamme Hessenin matriisin:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Koska diagonaalisilla molilla on erilaiset merkit, funktion kuperuudesta tai koveruudesta ei voida sanoa mitään.

Neliön muodot

Neliöllinen muoto n muuttujan f(x 1, x 2,...,x n) on summa, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan neliömuodon matriisiksi. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij = a ji).

Matriisimerkinnässä neliömuoto on f(X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan neliömuoto matriisimuotoon.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin neliömuuttujien kertoimet ja loput elementit ovat yhtä suuria kuin neliömuodon vastaavien kertoimien puolikkaat. Siksi

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä C on n:nnen kertaluvun ei-singulaarinen matriisi. Sitten neliömuoto
f(X) = X T AX = (CY) TA(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Siten ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella C neliömuodon matriisi saa muodon: A * = C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f(y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys), jos kaikki sen kertoimet a ij = 0 kun i ≠ j, ts.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(todistetta ei ole annettu täällä). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Esimerkiksi pelkistetään neliömuoto kanoniseen muotoon
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin kokonaisen neliön muuttujalla x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme täydellisen neliön muuttujalla x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 ja y 3 = x 3 tuo tämän toisen asteen muodon kanoniseen muotoon f(y 1, y 2 , y 3) = 2 y 1 2 - 5 y 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Huomaa, että neliömuodon kanoninen muoto määritetään moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoksi eri tavoilla). Kuitenkin vastaanotettu eri tavoilla kanonisilla muodoilla on useita yleiset ominaisuudet. Erityisesti neliömuodon positiivisilla (negatiivisilla) kertoimilla varustettujen termien määrä ei riipu menetelmästä, jolla muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin). Tätä ominaisuutta kutsutaan toisen asteen muotojen hitauslaki.

Varmistetaan tämä tuomalla sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3 = -3 x 2 2 - x 2 x 3 + 4 x 1 x 2 + 2 x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, jossa y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ja y 3 = x 1. Tässä on positiivinen kerroin 2 kohdassa y 3 ja kaksi negatiivista kerrointa (-3) kohdissa y 1 ja y 2 (ja käyttämällä toista menetelmää saimme positiivisen kertoimen 2 kohdassa y 1 ja kaksi negatiivista kerrointa - (-5) y 2 ja (-1/20) kohdassa y 3).

On myös huomattava, että asteikolla matriisin neliömuotoinen, ns asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä eikä muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f(X). positiivisesti (negatiivinen) varma, jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole samanaikaisesti yhtä suuria kuin nolla, se on positiivinen, ts. f(X) > 0 (negatiivinen, ts.
f(X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 on positiivinen, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossa f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon varman merkin määrittäminen on jonkin verran vaikeampaa, joten käytämme tätä varten jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause. Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty jos ja vain jos kaikki ominaisarvot sen matriisit ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause (Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin johtavat minorit ovat positiivisia.

Pää (kulma) alaikäinen N:nnen kertaluvun k:nnen kertaluvun matriisia A kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin A () ensimmäisistä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivisissa määritetyissä asteen muodoissa pää-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollin tulee olla negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkin määrittämistä varten.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin A ensimmäisen kertaluvun päämolli D 1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun päämolli D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Siksi Sylvesterin kriteerin mukaan neliömuoto on positiivinen selvä.

Tarkastellaan toista toisen asteen muotoa merkin määrittämiselle, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka neliömuoto on A = . Ominaisuusyhtälöllä on muoto = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.