Potentiaalien tasauspaikan määrittäminen ja sähkökenttälinjojen rakentaminen. Potentiaalien tasauspinnat

Kenttien visuaalisempaa graafista esitystä varten käytä jännityslinjojen lisäksi samanpotentiaalisia pintoja tai pintoja ekvipotentiaalipinnat. Kuten nimestä voi päätellä, ekvipotentiaalipinta on pinta, jonka kaikilla pisteillä on sama potentiaali. Jos potentiaali annetaan x:n, y:n, z:n funktiona, niin ekvipotentiaalipinnan yhtälö on muotoa:

Kentänvoimakkuusviivat ovat kohtisuorassa potentiaalitasapainopintoihin nähden.

Todistakaamme tämä väite.

Anna linjan ja voimalinjan muodostaa tietty kulma (kuva 1.5).

Siirretään testipanos pisteestä 1 pisteeseen 2 viivaa pitkin. Tässä tapauksessa kenttävoimat toimivat:

. (1.5)

Eli työ, joka tehdään siirtämällä testivarausta potentiaalitasapainoa pitkin, on nolla. Sama työ voidaan määritellä toisella tavalla - varauksen tulona testivaraukseen vaikuttavan kentänvoimakkuuden moduulilla, siirtymän määrällä sekä vektorin ja siirtymävektorin välisen kulman kosinilla, ts. kulman kosini (katso kuva 1.5):

.

Työn määrä ei riipu sen laskentatavasta, vaan kohdan (1.5) mukaan se on nolla. Tästä seuraa, että ja näin ollen, mikä oli todistettava.

Potentiaalitasapaino voidaan piirtää minkä tahansa kentän pisteen läpi. Näin ollen tällaisia ​​pintoja voidaan rakentaa ääretön määrä. Pinnat sovittiin kuitenkin piirtää siten, että kahden vierekkäisen pinnan potentiaaliero olisi sama kaikkialla. Sitten ekvipotentiaalipintojen tiheyden perusteella voidaan arvioida kentänvoimakkuuden suuruus. Todellakin, mitä tiheämpiä potentiaalitasapainopinnat ovat, sitä nopeammin potentiaali muuttuu liikkuessaan normaalia pitkin pintaan.

Kuvassa 1.6a on esitetty pistevarauksen kentän ekvipotentiaalipinnat (tarkemmin niiden leikkauspisteet piirustuksen tason kanssa). Muutoksen luonteen mukaisesti ekvipotentiaalipinnat tihenevät lähestyessään varausta. Kuvassa 1.6b on esitetty dipolikentän potentiaalitasauspinnat ja jännitysviivat. Kuvasta 1.6 käy selvästi ilmi, että potentiaalitasapainopintoja ja jännityslinjoja käytettäessä kenttäkuva on erityisen selkeä.

Tasaisella kentällä ekvipotentiaalipinnat edustavat ilmeisesti tasojärjestelmää, jotka ovat yhtä kaukana toisistaan, kohtisuorassa kentänvoimakkuuden suuntaan.

1.8. Kenttävoimakkuuden ja potentiaalin välinen suhde

(mahdollinen gradientti)

Olkoon mielivaltainen sähköstaattinen kenttä. Tässä kentässä piirretään kaksi potentiaalitasapainoa siten, että ne eroavat toisistaan ​​potentiaaliltaan määrällisesti dφ(Kuva 1.7)

Jännitysvektori on suunnattu normaalisti pintaan nähden. Normaali suunta on sama kuin x-akselin suunta. Akseli x pisteestä 1 piirretty leikkaa pinnan kohdassa 2.

Jana dx edustaa lyhintä etäisyyttä pisteiden 1 ja 2 välillä. Työ, joka tehdään siirrettäessä varausta pitkin tätä segmenttiä:

Toisaalta sama teos voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Yhdistämällä nämä kaksi lauseketta saamme:

jossa osittainen derivaatan symboli korostaa, että eriyttäminen suoritetaan vain suhteessa x. Samanlaisia ​​päättelyjä toistamalla akseleille y Ja z, voimme löytää vektorin:

, (1.7)

missä ovat koordinaattiakselien yksikkövektorit x, y, z.

Lausekkeen (1.7) määrittelemää vektoria kutsutaan skalaarin gradienttiksi φ . Sitä varten käytetään nimityksen ohella myös nimitystä. ("nabla") tarkoittaa symbolista vektoria, jota kutsutaan Hamiltonin operaattoriksi

Sähköstaattista kenttää voidaan luonnehtia joukkolla voima- ja potentiaalintasausjuovia.

voimalinja - tämä on kenttään mentaalisesti piirretty viiva, joka alkaa positiivisesti varautuneesta kappaleesta ja päättyy negatiivisesti varautuneeseen kappaleeseen, piirretty siten, että sen tangentti missä tahansa kentän kohdassa antaa jännityksen suunnan kyseisessä kohdassa .

Voimalinjat sulkeutuvat positiivisiin ja negatiivisiin varauksiin eivätkä voi sulkeutua itseensä.

Alla potentiaalintasainen pinta ymmärtää joukko kenttäpisteitä, joilla on sama potentiaali ().

Jos leikkaat sähköstaattisen kentän leikkaustasolla, tason leikkauspisteet ekvipotentiaalipintojen kanssa näkyvät leikkauksessa. Näitä jälkiä kutsutaan ekvipotentiaalilinjoiksi.

Potentiaalien tasauslinjat ovat suljettuja itsestään.

Sähköjohdot ja ekvipotentiaalilinjoja leikkaavat suorassa kulmassa.

R
Katsotaanpa ekvipotentiaalipintaa:

(koska pisteet sijaitsevat ekvipotentiaalipinnalla).

- skalaarituote

Sähköstaattiset kentänvoimakkuusviivat tunkeutuvat ekvipotentiaalipinnan kulmaan 90 0, sitten vektorien välisen kulman
on yhtä suuri kuin 90 astetta ja niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin 0.

Potentiaalien yhtälö

Harkitse voimalinjaa:

N
sähköstaattisen kentän intensiteetti suunnataan tangentiaalisesti voimalinjaan (katso voimalinjan määritelmä), ja myös polkuelementti on suunnattu , joten näiden kahden vektorin välinen kulma on nolla.

tai

Kenttäviivayhtälö

Potentiaalinen gradientti

Potentiaalinen gradientti on potentiaalin kasvunopeus lyhimmässä suunnassa kahden pisteen välillä.

Kahden pisteen välillä on potentiaaliero. Jos tämä ero jaetaan otettujen pisteiden välisellä lyhimmällä etäisyydellä, tuloksena saatu arvo kuvaa potentiaalin muutosnopeutta pisteiden välisen lyhimmän etäisyyden suunnassa.

Potentiaaligradientti osoittaa suurimman potentiaalin kasvun suunnan, on numeerisesti yhtä suuri kuin jännitemoduuli ja on negatiivisesti suunnattu suhteessa siihen.

Gradientin määrittelyssä kaksi ehtoa ovat olennaisia:

Suunta, johon kaksi lähellä olevaa pistettä otetaan, tulee olla sellainen, että muutosnopeus on suurin.

Suunta on se skalaarifunktio lisääntyy tähän suuntaan.

Suorakulmaiselle koordinaattijärjestelmälle:

Potentiaalin muutosnopeus X-, Y-, Z-akselin suunnassa:

;
;

Kaksi vektoria ovat yhtä suuria vain, jos niiden projektiot ovat yhtä suuret toistensa kanssa. Jännitysvektorin projektio akselille X yhtä suuri kuin potentiaalin muutosnopeuden projektio akselilla X, otettu päinvastaisella merkillä. Sama kirveille Y Ja Z.

;
;
.

Sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä potentiaaligradientin lausekkeella on seuraava muoto.

Suunta voimalinja(jännitysviivat) kussakin pisteessä osuu yhteen suunnan kanssa. Seuraa, että jännite on yhtä suuri kuin potentiaaliero U voimalinjan pituusyksikköä kohti .

Kenttäviivaa pitkin tapahtuu suurin potentiaalin muutos. Siksi voit aina määrittää kahden pisteen välillä mittaamalla U niiden välillä ja mitä lähempänä pisteet ovat, sitä tarkempia. Tasaisessa sähkökentässä voimalinjat ovat suoria. Siksi se on helpoin määrittää täältä:

Kenttäviivojen ja potentiaalitasapainopintojen graafinen esitys on esitetty kuvassa 3.4.

Kun liikutaan tätä pintaa pitkin d l potentiaali ei muutu:

Tästä seuraa, että vektorin projektio päivänä d l yhtä kuin nolla , tuo on Siksi se on jokaisessa pisteessä suunnattu normaalia pitkin potentiaalitasapainon pintaan.

Voit piirtää niin monta potentiaalitasapainoa kuin haluat. Potentiaalisten pintojen tiheyden perusteella voidaan arvioida arvo , tämä edellytetään, että kahden vierekkäisen ekvipotentiaalipinnan välinen potentiaaliero on yhtä suuri kuin vakioarvo.

Kaava ilmaisee potentiaalin ja jännityksen välistä suhdetta ja sallii tunnetut arvotφ etsi kentänvoimakkuus kussakin pisteessä. On myös mahdollista ratkaista käänteinen ongelma, ts. Käytä tunnettuja arvoja kussakin kentän pisteessä, etsi kentän kahden mielivaltaisen pisteen välinen potentiaaliero. Tätä varten hyödynnämme sitä, että kentän tekemä työ pakottaa varaukseen q kun se siirretään pisteestä 1 pisteeseen 2, voidaan laskea seuraavasti:

Toisaalta teos voidaan esittää seuraavasti:

, Sitten

Integraali voidaan ottaa mitä tahansa pisteitä 1 ja 2 yhdistävää viivaa pitkin, koska kenttävoimien työ ei riipu polusta. Suljetun silmukan läpi kulkemiseksi saamme:

nuo. Pääsimme tunnettuun lauseeseen jännitysvektorin kiertämisestä: sähköstaattisen kentänvoimakkuusvektorin kierto minkä tahansa suljettua ääriviivaa pitkin on nolla.

Kenttää, jolla on tämä ominaisuus, kutsutaan potentiaaliksi.

Vektorikierron katoamisesta seuraa, että sähköstaattisen kentän viivoja ei voida sulkea: ne alkavat klo. positiivisia latauksia(lähteet) ja päättyy negatiivisiin varauksiin (nieluja) tai mene äärettömyyteen(Kuva 3.4).

Tämä suhde koskee vain sähköstaattista kenttää. Myöhemmin saamme selville, että liikkuvien varausten kenttä ei ole potentiaalinen, ja sille tämä suhde ei päde.

Potentiaalien tasauspinta potentiaalintasainen pinta

pinta, jonka kaikilla pisteillä on sama potentiaali. Ekvipotentiaalipinta on kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan. Sähköstaattisesti johtimen pinta on ekvipotentiaalipinta.

Ekvipotentiaalipinta, pinta, jonka kaikissa kohdissa on potentiaali (cm. MAHDOLLISUUS (fysiikassa)) sähkökenttä on sama arvo j= const. Tasossa nämä pinnat edustavat ekvipotentiaalikenttäviivoja. Käytetään potentiaalisen jakauman graafiseen esittämiseen.
Potentiaalien tasapinnat ovat suljettuja eivätkä leikkaa toisiaan. Potentiaalitasapainopintojen kuvantaminen suoritetaan siten, että vierekkäisten potentiaalitasapainopintojen potentiaalierot ovat samat. Tällöin kentänvoimakkuus on suurempi niillä alueilla, joilla ekvipotentiaalipintojen viivat ovat tiheämpiä.
Minkä tahansa kahden ekvipotentiaalipinnan pisteen välillä potentiaaliero on nolla. Tämä tarkoittaa, että voimavektori missä tahansa varauksen liikeradan kohdassa ekvipotentiaalipintaa pitkin on kohtisuorassa nopeusvektoriin nähden. Siksi jännityslinjat (cm. SÄHKÖKENTÄN VAHVUUS) sähköstaattiset kentät ovat kohtisuorassa ekvipotentiaalipintaan nähden. Toisin sanoen: ekvipotentiaalipinta on kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan (cm. SÄHKÖLINJAT) kentät, ja sähkökentän voimakkuusvektori E on aina kohtisuorassa ekvipotentiaalipintoja vastaan ​​ja on aina suunnattu pienenevän potentiaalin suuntaan. Sähkökenttävoimien tekemä työ varauksen liikkeelle ekvipotentiaalipintaa pitkin on nolla, koska?j = 0.
Pistevarauksen kentän ekvipotentiaalipinnat ovat palloja, joiden keskellä varaus sijaitsee. Tasaisen sähkökentän ekvipotentiaalipinnat ovat tasoja, jotka ovat kohtisuorassa jännityslinjoja vastaan. Sähköstaattisessa kentässä olevan johtimen pinta on ekvipotentiaalipinta.

tietosanakirja. 2009 .

Katso, mitä "ekvipotentiaalipinta" on muissa sanakirjoissa:

Pinta, jonka kaikilla pisteillä on sama potentiaali. Ekvipotentiaalipinta on kohtisuora kenttäviivaan nähden. Sähköstaatissa johtimen pinta on ekvipotentiaalipinta... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

Pinnalla ja kaikilla parven pisteillä on sama potentiaali. Esimerkiksi johtimen pinta sähköstatiikassa E. p. Fysikaalinen tietosanakirja. M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. Päätoimittaja A. M. Prokhorov. 1983... Fyysinen tietosanakirja

potentiaalintasainen pinta- - [Ja.N.Luginski, M.S.Fezi Žilinskaja, Yu.S.Kabirov. Englanti-venäläinen sähkötekniikan ja voimatekniikan sanakirja, Moskova, 1999] Sähkötekniikan aiheet, peruskäsitteet EN yhtäläisen potentiaalin pintaenergian pintaekvipotentiaali... ... Teknisen kääntäjän opas

Sähködipolin ekvipotentiaalipinnat (niiden poikkileikkaukset on kuvattu tummina piirustuksen tasossa; väri ilmaisee perinteisesti potentiaalin arvon eri pisteet suurimmat arvot ovat violetti ja punainen, n ... Wikipedia

potentiaalintasainen pinta- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotentiaalipinta vok. Potentiaalin tasaus, f rus. ekvipotentiaalipinta, f pranc. pinta de potentiaalivakio, f; pinta d'égal potentiel, f; pinta… … Fizikos terminų žodynas

Samapotentiaalinen pinta on pinta, jonka kaikilla pisteillä on sama potentiaali. Esimerkiksi sähköstatiikassa johtimen pinta on sähkökenttä. Voimakentässä voimalinjat ovat normaaleja (suorassa) sähköenergiaan nähden... Iso Neuvostoliiton tietosanakirja

- (latinasta aequus yhtäläinen ja potentiaalinen) geom. pisteiden paikka kentällä, Krimille vastaa samaa potentiaalista arvoa. E.-viivat ovat kohtisuorassa voimalinjoihin nähden. Potentiaalitasapaino on esimerkiksi johtimen pinta, joka sijaitsee sähköstaattisessa... ... Suuri tietosanakirja polytekninen sanakirja

Vektorikenttien visuaaliseen esittämiseen käytetään kenttäviivojen kuvaa. Voimalinja on kuvitteellinen matemaattinen käyrä avaruudessa, jonka tangentin suunta kussakin piste, jonka läpi se kulkee, on sama kuin vektorin suunta kentät samassa kohdassa(Kuva 1.17).
Riisi. 1.17:
Vektorin E → ja tangentin rinnakkaisuuden ehto voidaan kirjoittaa yhtäläiseksi nollaksi vektorituote E → ja kaarielementti d r → voimaviiva:

Tasapotentiaali on pinta, jolla jonka sähköpotentiaali on vakioϕ. Pistevarauksen alalla, kuten kuvassa näkyy. , pallomaiset pinnat, joiden keskipisteet ovat varauksen kohdalla, ovat ekvipotentiaalisia; tämä voidaan nähdä yhtälöstä ϕ = q ∕ r = const.

Analysoimalla sähkökenttälinjojen ja potentiaalitasapainopintojen geometriaa voidaan osoittaa luku yleiset ominaisuudet sähköstaattisen kentän geometria.

Ensinnäkin voimalinjat alkavat maksuista. Ne joko menevät äärettömyyteen tai päättyvät muihin varauksiin, kuten kuvassa. .

Toiseksi potentiaalikentässä kenttälinjoja ei voida sulkea. Muuten olisi mahdollista määrittää sellainen suljettu piiri, että sähkökentän työ siirrettäessä varausta tätä piiriä pitkin ei ole nolla.

Kolmanneksi voimalinjat leikkaavat minkä tahansa siihen nähden normaalin ekvipotentiaalin. Todella, sähkökenttä kaikkialla on suunnattu potentiaalin nopeaan laskuun, ja potentiaalintasaisella pinnalla potentiaali on määritelmän mukaan vakio (kuva ).
Riisi. 1.20:
Ja lopuksi, kenttäviivat eivät leikkaa missään muualla kuin pisteissä, joissa E → = 0. Kenttäviivojen leikkaus tarkoittaa, että leikkauspisteen kenttä on koordinaattien moniselitteinen funktio, eikä vektorilla E → ole tiettyä suuntaa. Ainoa vektori, jolla on tämä ominaisuus, on nollavektori. Nollapisteen lähellä olevan sähkökentän rakennetta analysoidaan tehtävissä ?? .

Kenttäviivamenetelmää voidaan tietysti soveltaa minkä tahansa vektorikenttien graafiseen esitykseen. Eli luvussa?? kohtaamme magneettisten voimalinjojen käsitteen. Kuitenkin geometria magneettikenttä täysin erilainen kuin sähkökentän geometria.

Riisi. 1.21:
Ajatus voimalinjoista liittyy läheisesti voimaputken käsitteeseen. Otetaan mikä tahansa mielivaltainen suljettu ääriviiva L ja piirretään sähköinen voimaviiva sen jokaisen pisteen läpi (kuva ). Nämä linjat muodostavat tehoputken. Tarkastellaan putken mielivaltaista osaa, jonka pinta on S. Piirretään positiivinen normaali samaan suuntaan, johon kenttäviivat on suunnattu. Olkoon N vektorin E → virtaus osan S läpi. Se on helppo nähdä, jos sisällä ei ole putkea sähkövaraukset, niin virtaus N pysyy samana koko putken pituudella. Sen todistamiseksi meidän on otettava toinen poikkileikkaus S ′. Gaussin lauseen mukaan putken sivupinnan ja osien S, S′ rajoittaman suljetun pinnan läpi kulkeva sähkökenttävirta on nolla, koska tehoputken sisällä ei ole sähkövarauksia. Virrata lävitse sivupinta on yhtä suuri kuin nolla, koska vektori E → koskettaa tätä pintaa. Näin ollen virtaus osan S ′ läpi on numeerisesti yhtä suuri kuin N, mutta etumerkillisesti vastakkainen. Tämän osan suljetun pinnan ulompi normaali on suunnattu n →:tä vastapäätä. Jos normaali suuntautuu samaan suuntaan, niin osien S ja S ′ läpi kulkevat virtaukset osuvat sekä suuruudeltaan että etumerkiltä. Erityisesti, jos putki on äärettömän ohut ja osat S ja S ′ ovat sille normaalit, niin

E S = E ′ S ′ .

Tuloksena on täydellinen analogia kokoonpuristumattoman nesteen virtauksen kanssa. Niissä paikoissa, joissa putki on ohuempi, kenttä E → on vahvempi. Niissä paikoissa, joissa se on leveämpi, kenttä E → on vahvempi. Näin ollen kenttäviivojen tiheyttä voidaan käyttää sähkökentän voimakkuuden arvioimiseen.

Ennen tietokoneiden keksimistä voimalinjojen kokeelliseen toistamiseen otettiin tasapohjainen lasiastia ja siihen kaadettiin johtamatonta nestettä, kuten risiiniöljyä tai glyseriiniä. Nesteeseen sekoitettiin tasaisesti jauhemaisia ​​kipsiä, asbestia tai muita pitkulaisia ​​hiukkasia. Metallielektrodit upotettiin nesteeseen. Kun elektrodit liitettiin sähkölähteisiin, ne virittivät sähkökentän. Tässä kentässä hiukkaset sähköistyvät ja vastakkaisten sähköistettyjen päiden vetämänä toisiinsa, ne on järjestetty ketjuiksi voimalinjoja pitkin. Kenttäviivojen kuvaa vääristävät siihen epätasaisessa sähkökentässä vaikuttavien voimien aiheuttamat nestevirrat.

Tehdään Vielä
Riisi. 1.22:
Parhaat tulokset saadaan Robert W. Pohlin (1884-1976) käyttämästä menetelmästä. Staniol-elektrodit liimataan lasilevylle, jonka väliin syntyy sähköjännite. Sitten levylle kaadetaan kevyesti koputtamalla pitkulaisia ​​hiukkasia, esimerkiksi kipsikiteitä. Ne sijaitsevat sitä pitkin voimalinjoja pitkin. Kuvassa ?? Kuva kenttäviivoista, jotka on saatu tällä tavalla kahden vastakkaisesti varautuneen stanioliympyrän välissä, on kuvattu.

▸ Tehtävä 9.1

Kirjoita muistiin kenttäviivojen yhtälö mielivaltaisessa ortogonaalisessa muodossa koordinaatit

▸ Tehtävä 9.2

Kirjoita kenttäviivojen yhtälö pallokoordinaateina.