Ratkaiseminen ilman L'Hopital-sääntöä. Ratkaiseminen verkossa

L'Hopitalin sääntö (s. L.) helpottaa funktioiden rajojen laskemista. Esimerkiksi sinun on löydettävä funktion raja, joka on nollaan pyrkivien funktioiden suhde. Nuo. funktioiden suhde on epävarmuus 0/0. Se auttaa avaamaan sen. Rajassa funktioiden suhde voidaan korvata näiden funktioiden derivaattojen suhteella. Nuo. Sinun on jaettava osoittajan derivaatta nimittäjän derivaatalla ja otettava raja tästä murtoluvusta.

1. Epävarmuus 0/0. Ensimmäinen p.L.

Jos = 0, niin , jos jälkimmäinen on olemassa.

2. Muodon ∞/∞ epävarmuus Toinen kappale L.

Tällaisten rajojen löytämistä kutsutaan epävarmuuden löytämiseksi.

Jos = ∞, niin jos jälkimmäinen on olemassa.

3. Epävarmuudet 0⋅∞, ∞-∞, 1 ∞ ja 0 0 vähennetään muunnoksilla epävarmuuksiksi 0/0 ja ∞/∞. Tämä merkintä on tarkoitettu osoittamaan lyhyesti tapausta rajaa löydettäessä. Jokainen epävarmuus kehittyy omalla tavallaan. L'Hopitalin sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja, kunnes pääsemme eroon epävarmuudesta. L'Hopitalin säännön soveltaminen on hyödyllistä, kun derivaattojen suhde voidaan muuntaa helpommin sopivampaan muotoon kuin funktioiden suhde.

• 0⋅∞ on kahden funktion tulo, joista ensimmäinen pyrkii nollaan, toinen äärettömyyteen;
• ∞- ∞ äärettömyyteen pyrkivien funktioiden ero;
• 1 ∞ astetta, sen kanta pyrkii yksikköön ja sen eksponentti äärettömyyteen;
• ∞ 0 astetta, sen kanta pyrkii äärettömyyteen ja sen aste pyrkii nollaan;
• 0 0 astetta, sen kanta pyrkii 0:aan ja eksponentti myös nollaan.

Esimerkki 1: Tässä esimerkissä epävarmuus on 0/0

Esimerkki 2. Tässä ∞/∞

Näissä esimerkeissä jaetaan osoittajan derivaatat nimittäjän derivaatalla ja korvataan x:n raja-arvo.

Esimerkki 3. Epävarmuuden tyyppi 0⋅∞ .

Muunnetaan epävarmuus 0⋅∞ arvoksi ∞/∞, tätä varten siirretään x nimittäjään murtoluvun 1/x muodossa, osoittajaan kirjoitetaan osoittajan derivaatta ja nimittäjään nimittäjän derivaatta. .

Esimerkki 4 Laske funktion raja

Tässä epävarmuus on muotoa ∞ 0 Ensin logaritoidaan funktio ja sitten etsitään sen raja

Saadaksesi vastauksen, sinun on nostettava e potenssiin -1, saamme e -1.

Esimerkki 5. Laske raja, jos x → 0

Ratkaisu. Epävarmuuden tyyppi ∞ -∞ Kun murtoluku on saatettu yhteiseen nimittäjään, siirrytään arvosta ∞-∞ arvoon 0/0. Sovelletaan L'Hopitalin sääntöä, mutta taas saadaan epävarmuus 0/0, joten p. L. on sovellettava toisen kerran. Ratkaisu näyttää tältä:

= = = =
= =

Esimerkki 6 Ratkaise

Ratkaisu. Epävarmuuden tyyppi ∞/∞, sitä laajentamalla saamme

Tapauksissa 3), 4), 5), funktio ensin logaritmisoidaan ja löydetään logaritmin raja, jonka jälkeen haluttu raja e nostetaan tuloksena olevaan potenssiin.

Esimerkki 7: Laske raja

Ratkaisu. Tässä epävarmuuden tyyppi on 1 ∞. Merkitään A =

Sitten lnA = = = = 2.

Logaritmin kanta on e, joten vastauksen saamiseksi sinun on neliö e, saamme e 2.

Joskus on tapauksia, joissa funktioiden suhteella on raja, toisin kuin johdannaisten suhteella, jolla ei ole.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Koska sinx on rajoitettu ja x kasvaa ilman rajoitusta, toinen termi on yhtä suuri kuin 0.

Tällä toiminnolla ei ole rajoituksia, koska... se vaihtelee jatkuvasti välillä 0 ja 2; P.L. ei päde tähän esimerkkiin.

L'Hopitalin lause(Myös Bernoulli-L'Hopitalin sääntö) - menetelmä funktioiden rajojen löytämiseksi, muodon epävarmuuksien paljastamiseksi ja . Menetelmää perusteleva lause sanoo, että tietyissä olosuhteissa funktioiden suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden derivaattojen suhteen raja.

Tarkka sanamuoto.

Sääntö sanoo, että jos funktiot f(x) Ja g(x) on seuraavat ehdot:

sitten on . Lisäksi lause pätee myös muille perusteille (osoitellulle annetaan todiste).

Tarina.

Menetelmä tällaisen epävarmuuden paljastamiseksi on julkaistu L'Hopital vuonna julkaistussa teoksessaan "Analysis of Infinitesimals". 1696 vuosi. Tämän työn esipuheessa L'Hopital huomauttaa, että hän käytti löytöjä epäröimättä Leibniz ja Bernoullin veljekset, eikä heillä ole mitään sitä vastaan, että he puolustavat tekijänoikeuksiaan mihin tahansa. Johann Bernoulli vaati L'Hopitalin koko työtä ja julkaisi erityisesti L'Hopitalin kuoleman jälkeen teoksen merkittävällä otsikolla "Improvement of my method, joka on julkaistu "Analysis of Infinitesimals" -julkaisussa sellaisen murtoluvun arvon määrittämiseksi, jonka osoittaja ja nimittäjä joskus kadota." 1704 .

Todiste.

Asenne loputtomasti pieni

Todistetaan lause tapaukselle, jossa funktioiden rajat ovat nolla (ns. muodon epävarmuus).

Koska tarkastelemme toimintoja f Ja g vain pisteen oikealla rei'itetyllä puolialueella a, me voimme jatkuva tapa määrittele ne tarkemmin tässä vaiheessa: anna f(a) = g(a) = 0. Otetaan vähän x tarkasteltavana olevan puoliksi naapuruston ja sovelletaan segmenttiin lause Cauchy. Tällä lauseella saamme:

,

Mutta f(a) = g(a) = 0 siis .

Viimeiselle rajalle ja

äärettömälle

joka on funktioiden suhteen rajan määritelmä.

Suhde äärettömän suuri

Todistetaan lause muodon epävarmuuksille.

Olkoon derivaattojen suhteen raja aluksi äärellinen ja yhtä suuri A. Sitten kun yritetään x Vastaanottaja a oikealla tämä suhde voidaan kirjoittaa muodossa A+ α, missä α - O(1). Kirjoitetaan tämä ehto:

Korjataan se t segmentistä ja hae lause Cauchy kaikille x segmentistä:

Joka voidaan lyhentää seuraavaan muotoon:

.

varten x, melko lähellä a, ilmaisulla on järkeä; oikean puolen ensimmäisen kertoimen raja on yhtä suuri kuin yksikkö (koska f(t) Ja g(t) - vakioita, A f(x) Ja g(x) yleensä äärettömään). Tämä tarkoittaa, että tämä kerroin on yhtä suuri kuin 1 + β, missä β on äärettömän pieni funktio kuten x Vastaanottaja a oikealla. Kirjataan muistiin tämän tosiasian määritelmä käyttäen samaa arvoa kuin α:n määritelmässä:

Huomasimme, että funktioiden relaatio voidaan esittää muodossa (1 + β)( A+ α), ja .Mille tahansa tiedolle on mahdollista löytää sellainen, että funktioiden ja suhteiden eron moduuli A oli pienempi, mikä tarkoittaa, että funktioiden suhteen raja on todella sama A.

Kuvittele varpusparvi, jolla on pullistuneet silmät. Ei, se ei ole ukkonen, ei hurrikaani tai edes pikkupoika ritsa käsissään. Se on vain, että valtava, valtava kanuunankuula lentää kananpoikien joukkoon. Tarkalleen L'Hopitalin säännöt käsitellä rajoja, joissa epävarmuus tai .

L'Hôpitalin säännöt ovat erittäin tehokas menetelmä, jonka avulla voit nopeasti ja tehokkaasti poistaa nämä epävarmuustekijät, ei ole sattumaa, että ongelmakokoelmissa, testejä, testeissä on usein jatkuva leima: "laske raja, käyttämättä L'Hopitalin sääntöä" Lihavoitua vaatimusta voidaan soveltaa puhtaalla omallatunnolla mihin tahansa oppituntirajoitukseen Rajoitukset. Esimerkkejä ratkaisuista, Ihanat rajat. Menetelmät rajojen ratkaisemiseksi, Merkittäviä vastaavuuksia, jossa esiintyy epävarmuus "nollasta nollaan" tai "äärettömästä äärettömään". Vaikka tehtävä on muotoiltu lyhyesti - "laske rajat", ymmärretään hiljaisesti, että käytät kaikkea, mutta et L'Hopitalin sääntöjä.

Sääntöjä on yhteensä kaksi, ja ne ovat hyvin samankaltaisia ​​keskenään sekä oleelliselta että soveltamismenetelmältä. Aiheeseen liittyvien suorien esimerkkien lisäksi tutkimme myös lisämateriaalia, josta on hyötyä matemaattisen analyysin jatkotutkimuksessa.

Teen heti varauksen, että säännöt esitetään lakonisessa "käytännöllisessä" muodossa, ja jos joudut suorittamaan teoriakokeen, suosittelen kääntymään oppikirjan puoleen tarkempia laskelmia varten.

L'Hopitalin ensimmäinen sääntö

Tarkastellaanpa niitä toimintoja äärettömän pieni jossain vaiheessa. Jos heidän suhteensa on rajansa, voimme ottaa epävarmuuden poistamiseksi kaksi johdannaiset- osoittajasta ja nimittäjästä. Jossa: , tuo on .

Huomautus : Rajan on myös oltava olemassa, muuten sääntö ei päde.

Mitä yllä olevasta seuraa?

Ensinnäkin sinun täytyy pystyä löytämään funktioiden johdannaiset ja mitä parempi sen parempi =)

Toiseksi johdannaiset otetaan ERILLÄ osoittajasta ja ERILLÄ nimittäjästä. Älä sekoita osamäärän eriyttämissääntöä !!!

Ja kolmanneksi, "X" voi taipua mihin tahansa, myös äärettömyyteen - niin kauan kuin on epävarmuutta.

Palataan ensimmäisen artikkelin esimerkkiin 5 rajoista, joka tuotti seuraavan tuloksen:

Epävarmuuteen 0:0 sovelletaan L'Hôpitalin ensimmäistä sääntöä:

Kuten näette, osoittajan ja nimittäjän ero johti meidät vastaukseen puolessa kierrossa: löysimme kaksi yksinkertaista johdannaista, korvasimme niissä "kaksi" ja kävi ilmi, että epävarmuus katosi jälkiä jättämättä!

Ei ole harvinaista, että L'Hopitalin sääntöjä sovelletaan peräkkäin kaksi tai useampia kertoja (tämä koskee myös toista sääntöä). Otetaan se ulos retro-iltaan Oppituntiesimerkki 2 upeista rajoista:

Kaksi bagelia jäähtyy taas kerrossängyllä. Sovelletaan L'Hopitalin sääntöä:

Huomaa, että ensimmäisessä vaiheessa otetaan nimittäjä kompleksisen funktion derivaatta. Tämän jälkeen teemme useita välillisiä yksinkertaistuksia, erityisesti pääsemme eroon kosinista, mikä osoittaa, että sillä on taipumus yhtenäisyyteen. Epävarmuutta ei poisteta, joten sovellamme taas L'Hopitalin sääntöä (toinen rivi).

Valitsin tarkoituksella ei niin yksinkertaisen esimerkin, jotta voit tehdä pienen itsetestauksen. Jos ei ole täysin selvää, kuinka ne löydettiin johdannaiset, sinun tulee vahvistaa erilaistumistekniikkaasi. Jos kosinitemppu ei ole selvä, palaa kohtaan merkittäviä rajoja. En näe mitään järkeä vaiheittaisissa kommenteissa, koska olen jo puhunut johdannaisista ja limiiteistä riittävän yksityiskohtaisesti. Artikkelin uutuus piilee itse säännöissä ja joissakin teknisissä ratkaisuissa.

Kuten jo todettiin, useimmissa tapauksissa L'Hopitalin sääntöjä ei tarvitse käyttää, mutta niitä on usein suositeltavaa käyttää ratkaisun karkeaa tarkistamista varten. Usein, mutta ei aina. Joten esimerkiksi juuri tarkasteltu esimerkki on paljon kannattavampaa tarkistaa upeita vastaavuuksia.

L'Hopitalin toinen sääntö

Brother-2 taistelee kaksi nukkuva kahdeksan. Samoin:

Jos suhderaja on olemassa äärettömän suuri funktiopisteessä: , niin epävarmuuden poistamiseksi voimme ottaa kaksi johdannaista– ERITYISESTI osoittajasta ja EKRÄÄN nimittäjästä. Jossa: , tuo on kun osoittaja ja nimittäjä erotetaan toisistaan, rajan arvo ei muutu.

Huomautus : täytyy olla raja

Jälleen erilaisissa käytännön esimerkeissä merkitys voi olla erilainen, mukaan lukien ääretön. On tärkeää, että on epävarmuutta.

Katsotaanpa ensimmäisen oppitunnin esimerkkiä 3: . Käytämme L'Hopitalin toista sääntöä:

Koska puhumme jättiläisistä, katsotaanpa kahta kanonista rajaa:

Esimerkki 1

Laske raja

Ei ole helppoa saada vastausta "tavanomaisilla" menetelmillä, joten "äärettömästä äärettömyyteen" epävarmuuden paljastamiseksi käytämme L'Hopitalin sääntöä:

Täten, lineaarinen funktio suurempi kasvukerta kuin logaritmi, jonka kanta on suurempi kuin yksi( jne.). Tietenkin "X" korkeammissa tehoissa "vetää" myös tällaisia ​​logaritmeja. Itse asiassa toiminto kasvaa melko hitaasti ja sen ajoittaa on litteämpi suhteessa samaan X:ään.

Esimerkki 2

Laske raja

Toinen tuttu kuva. Epävarmuuden poistamiseksi käytämme L'Hopitalin sääntöä, lisäksi kahdesti peräkkäin:

Eksponentiaalinen funktio, jonka kanta on suurempi kuin yksi( jne.) korkeampi kasvujärjestys kuin tehotoiminto positiivisella tutkinnolla.

Samanlaisia ​​rajoja kohdataan aikana täydellinen toimintotutkimus, nimittäin etsiessään kaavioiden asymptootteja. Ne näkyvät myös joissain tehtävissä todennäköisyysteoria. Suosittelen ottamaan huomioon nämä kaksi esimerkkiä; tämä on yksi harvoista tapauksista, joissa ei ole mitään parempaa kuin osoittajan ja nimittäjän erottaminen toisistaan.

Lisäksi tekstissä en tee eroa L'Hôpitalin ensimmäisen ja toisen säännön välillä; tämä tehtiin vain artikkelin jäsentämiseksi. Yleisesti ottaen minun näkökulmastani on jossain määrin haitallista liiallinen matemaattisten aksioomien, lauseiden, sääntöjen, ominaisuuksien lukumäärä, koska lauseet, kuten "lauseen 19 johtopäätöksen 3 mukaan..." ovat informatiivisia vain tietyn oppikirjan puitteissa. . Toisessa tietolähteessä sama asia on "Seuraus 2 ja Lause 3". Tällaiset lausunnot ovat muodollisia ja sopivia vain kirjoittajille itselleen. Ihannetapauksessa on parempi viitata matemaattisen tosiasian olemukseen. Poikkeuksena ovat historiallisesti vakiintuneet termit, esim. ensimmäinen ihana raja tai toinen ihana raja.

Jatkamme aiheen kehittämistä, jota ehdotti meille Pariisin tiedeakatemian jäsen, markiisi Guillaume Francois de L'Hopital. Artikkeli saa selkeän käytännön maun ja melko yleisessä tehtävässä vaaditaan:

Lämmittelyä varten käsitellään pari pientä varpusta:

Esimerkki 3

Rajaa voidaan ensin yksinkertaistaa luopumalla kosinista, mutta kunnioitetaan ehtoa ja erotetaan välittömästi osoittaja ja nimittäjä:

Johdannaisten etsintäprosessissa ei ole mitään epätyypillistä, esimerkiksi nimittäjä käyttää tavallista eriyttämissääntö toimii .

Tarkasteltu esimerkki on ratkaistu läpi upeita rajoja, samanlaista tapausta käsitellään artikkelin Complex Limits lopussa.

Esimerkki 4

Laske raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös. Hyvä vitsi =)

Tyypillinen tilanne on, kun erottelun jälkeen saadaan kolmi- tai nelikerroksisia murtolukuja:

Esimerkki 5

Laske raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Pyytää käytettäväksi huomattava vastaavuus, mutta polun määrää tiukasti ehto:

Erottamisen jälkeen suosittelen vahvasti eroon monikerroksisesta murto-osasta ja maksimaalisten yksinkertaistamisen suorittamista. Tietysti edistyneemmät opiskelijat voivat ohittaa viimeisen vaiheen ja kirjoittaa heti: , mutta myös erinomaiset opiskelijat hämmentyvät tietyissä rajoissa.

Esimerkki 6

Laske raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Esimerkki 7

Laske raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Nämä ovat esimerkkejä, joista voit päättää itse. Esimerkissä 7 sinun ei tarvitse yksinkertaistaa mitään, erotuksen jälkeen saatu murto-osa on liian yksinkertainen. Mutta esimerkissä 8 L'Hopitalin säännön soveltamisen jälkeen on erittäin toivottavaa päästä eroon kolmikerroksisesta rakenteesta, koska laskelmat eivät ole kätevimmät. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Jos sinulla on vaikeuksia - trigonometrinen taulukko auttaa.

Ja yksinkertaistukset ovat ehdottoman välttämättömiä, kun eriyttämisen jälkeen on epävarmuutta ei ratkaistu.

Esimerkki 8

Laske raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Mennä:

On mielenkiintoista, että alkuperäinen epävarmuus ensimmäisen erottelun jälkeen muuttui epävarmuudeksi ja L'Hôpitalin sääntöä sovelletaan rauhallisesti edelleen. Huomaa myös, kuinka jokaisen "lähestymisen" jälkeen nelikerroksinen murto-osa eliminoidaan ja vakiot siirretään rajamerkin yli. Enemmässä yksinkertaisia ​​esimerkkejä On kätevämpää olla sisällyttämättä vakioita, mutta kun raja on monimutkainen, yksinkertaistamme kaiken, kaiken, kaiken. Ratkaistun esimerkin salakavalaisuus piilee myös siinä, että milloin , ja siksi sinien eliminoinnin aikana ei ole yllättävää hämmentää merkkejä. Toiseksi viimeisellä rivillä sinejä ei olisi voitu tappaa, mutta esimerkki on melko raskas, anteeksiantava.

Eräänä päivänä törmäsin mielenkiintoiseen tehtävään:

Esimerkki 9

Rehellisesti sanottuna epäilin hieman, mitä tämä raja olisi yhtä suuri. Kuten yllä osoitettiin, "x" on enemmän korkea järjestys korkeus kuin logaritmi, mutta painaako se kuutiologaritmin? Yritä itse selvittää kuka voittaa.

Kyllä, L'Hopitalin säännöt eivät koske vain varpusen ampumista tykillä, vaan myös huolellista työtä...

Jotta L'Hopitalin sääntöjä voidaan soveltaa bageleihin tai väsyneisiin kahdeksoihin, muodon epävarmuus vähenee.

Epävarmuuden käsittelyä käsitellään yksityiskohtaisesti oppitunnin esimerkeissä 9-13. Menetelmät rajojen ratkaisemiseksi. Otetaan toinen muodollisuuden vuoksi:

Esimerkki 10

Laske funktion raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Ensimmäisessä vaiheessa tuomme ilmaisun yhteiselle nimittäjälle, jolloin epävarmuus muuttuu epävarmuudeksi. Ja sitten veloitamme L'Hopitalin säännön:

Tässä on muuten tilanne, kun nelikerroksiseen ilmaisuun koskettaminen on turhaa.

Epävarmuus ei myöskään vastusta muuttumista tai:

Esimerkki 11

Laske funktion raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä

Raja on tässä yksipuolinen, ja tällaisia ​​rajoja on käsitelty jo käsikirjassa Kuvaajat ja funktioiden ominaisuudet. Kuten muistat, "klassisen" logaritmin kuvaaja ei ole olemassa akselin vasemmalla puolella, joten voimme lähestyä nollaa vain oikealta.

L'Hopitalin säännöt yksipuolisista rajoista toimivat, mutta epävarmuus on ensin käsiteltävä. Ensimmäisessä vaiheessa teemme kolmikerroksisen murto-osan, jolloin saadaan epävarmuus, sitten ratkaisu seuraa mallikaavaa:

Kun osoittaja ja nimittäjä on erotettu toisistaan, pääsemme eroon nelikerroksisesta murto-osasta yksinkertaistamista varten. Seurauksena oli epävarmuus. Toistamme tempun: teemme jälleen murto-osasta kolmikerroksisen ja sovellamme taas L'Hopitalin sääntöä tuloksena olevaan epävarmuuteen:

Valmis.

Alkuperäistä rajaa voitaisiin yrittää pienentää kahteen munkkiin:

Mutta ensinnäkin nimittäjässä oleva johdannainen on vaikeampi, ja toiseksi tästä ei tule mitään hyvää.

Täten, Ennen kuin ratkaiset samanlaisia ​​esimerkkejä, sinun on analysoitava(suullisesti tai luonnoksessa), MIKÄ epävarmuus on edullisempaa pienentää - "nollasta nollaan" tai "äärettömäksi äärettömään".

Puoleen tulee puolestaan ​​juomakaverit ja eksoottisemmat toverit. Muunnosmenetelmä on yksinkertainen ja vakio.

Olkoon $x\to a$ funktiot $f(x)$ ja $\varphi(x)$ molemmat äärettömän pieniä tai molemmat äärettömän suuria. Tällöin niiden suhde on määrittelemätön pisteessä $x=a$, jolloin sen sanotaan edustavan tyyppiä $\left[\frac(0)(0)\right]$ tai vastaavasti epävarmuutta. Tällä suhteella voi olla äärellinen tai ääretön raja pisteessä $x=a$. Tämän rajan löytämistä kutsutaan epävarmuuden paljastamiseksi.

t_E1_p217_1
Lause(L'Hopital-Bernoulli lause.)
Olkoon $P$ jossain ympäristössä pisteet $x=a$ funktiot $f(x)$ ja $g(x)$ differentioitavissa kaikkialla paitsi ehkä itse pisteessä $x=a$, ja olkoon $g "(x )\neq0$ $P$:lla Jos funktiot $f(x)$ ja $\varphi(x)$ ovat samanaikaisesti joko äärettömän pieniä tai äärettömän suuria $x\:lle a$:lle ja suhteella on raja $\frac (f"(x))(\varphi"(x))$ niiden johdannaisista $x\to a$ , silloin on myös raja $\frac(f(x))(g (x))$ itse toimii, ja

\begin(align) \lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))( g"(x)). \end(tasaa)

Sääntöä () voidaan soveltaa myös silloin, kun $a=\infty$ .

m_KR_p156_1
Menetelmä(L'Hopitalin sääntö. Epävarmuuksien paljastaminen tyypistä $\left[\frac(0)(0)\right]$ ja $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$.)
Lauseen () nojalla on olemassa yleinen menetelmä kahden funktion välisen suhteen rajan löytäminen tasa-arvon perusteella
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x)).$$
Tätä menetelmää kutsutaan L'Hopitalin sääntö .
Jos lauseen () ehdot täyttyvät derivaateille $f"(x)$ ja $g"(x)$, niin L'Hopitalin sääntöä voidaan soveltaa uudelleen:
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f""(x))(g""(x)).$$
Samaan aikaan L'Hopitalin säännön jokaisessa soveltamisvaiheessa tulee käyttää yksinkertaistavia suhteita identtisiä muunnoksia, ja myös yhdistää tämä sääntö muihin rajojen laskentamenetelmiin.

e_E1_p218_1

Esimerkki
löytö $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x).$$
Käyttämällä kaavaa () saamme: $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x)=\left[\frac(0)(0)\right]=\lim\limits_(x\to0 )\frac(2e^(2x))(\frac(1)(1+25x^2)\cdot5)=\frac(2)(5),$$ koska $e^(2x)\to1$ ja $\frac(1)(1+25x^2)\to1$ kohdassa $x\to0$ .

e_E1_p218_1

Esimerkki
löytö $$\lim\limits_(x\to\infty)\frac(\ln2x)(x^3).$$
Käyttämällä kaavaa () kahdesti, saamme: $$\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^2x)(x^3)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]=\lim\limits_(x \to+\infty)\frac(\frac(2\ln x)(x))(3x^2)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln x)(x^3)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(3x^2)=0.$$

e_E1_p218_1

Esimerkki
löytö $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3).$$
Käytämme kaavaa (): $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\frac(1)(\cos^ 2x)-\cos x)(3x^2)=\frac(1)(3)\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos^3x)(x^2\cos^2x). $$
Vapautetaan murtoluvun nimittäjä tekijästä $\cos^2x$ , koska sen raja on $1$ kohdassa $x\to0$ . Laajennataan osoittajan kuutioiden erotusta ja vapautetaan osoittaja tekijästä $(1+\cos x+\cos^2x)$, jonka raja on $3$ kohdassa $x\to0$. Näiden yksinkertaistamisen jälkeen saamme $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 ).$$
Sovelletaan kaavaa () uudelleen: $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 )=\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin x)(2x).$$
Käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa saamme lopullisen vastauksen $\frac(1)(2)$ turvautumatta L'Hopitalin sääntöön.

m_E1_p219_1
Menetelmä(L'Hopitalin sääntö. Laajeneva tyypin $\left$ epävarmuus.)
Laskea $\lim\limits_(x\to a)f(x)g(x)$, jossa $f(x)$ on äärettömän pieni ja $g(x)$ on äärettömän suuri funktio $x\ to a$ , tulo tulee muuntaa muotoon $\frac(f(x))(1 /g( x))$ (epävarmuus tyypistä $\left[\frac(0)(0)\right]$ ) tai muotoon $\frac(g(x))(1/f(x)) $ (tyypin epävarmuus $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$) ja käytä sitten L'Hopitalin sääntöä.

e_E1_p219_1

Esimerkki
löytö $$\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2).$$
Meillä on: $$\begin(array)(c)\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2)=\left=\lim\limits_(x) \to1)\frac(\sin(x-1))(\cot\frac(\pi x)(2))=\left[\frac(0)(0)\right]=\\=\lim\ rajat_(x\to1)\frac(\cos(x-1))(-\frac(\pi)(2)\frac(1)(\sin^2\frac(\pi x)(2))) =-\frac(2)(\pi)\lim\limits_(x\to1)\cos(x-1)\sin^2\frac(\pi x)(2)=-\frac(2)(\ pi).\end(array)$$

m_E1_p220_1
Menetelmä(L'Hopitalin sääntö. Laajeneva tyypin $\left[\infty-\infty\oikea]$ epävarmuus.)
Laskea $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-g(x))$, jossa $f(x)$ ja $g(x)$ ovat äärettömän suuria funktioita arvolle $x\to a$ , ero tulee muuntaa muotoon $f(x)\vasen(1-\frac(g(x))(f(x))\oikea)$, paljasta sitten tyypin epävarmuus $\frac(g(x))(f(x))$ $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$. Jos $\lim\limits_(x\to a)\frac(g(x))(f(x))\neq1$, Tuo $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-\varphi(x))=\infty$. Jos $\lim\limits_(x\to a)\frac(\varphi(x))(f(x))=1$, niin saadaan aiemmin tarkastellun tyypin $[\infty\cdot0]$ epävarmuus.

e_E1_p220_1

Esimerkki
löytö $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x).$$
Meillä on: $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_(x\to+\infty)x\left(1-\frac( \ln^3x)(x)\oikea).$$
Koska $$\begin(array)(c)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^3x)(x)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]= \lim\limits_(x\to+\infty)\frac(3\ln^2x\cdot\frac(1)(x))(1)=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ ln^2x)(x)=\\=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(2\ln x\cdot\frac(1)(x))(1)=6\lim\limits_ (x\to+\infty)\frac(\ln x)(x)=6\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(1)=6\lim\ rajat_(x\to+\infty)\frac(1)(x)=0,\end(array)$$ Että $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=+\infty.$$

m_E1_p221_1
Menetelmä(L'Hopitalin sääntö. Epävarmuuksien paljastaminen tyypistä $\left$ , $\left[\infty^0\right]$ , $\left$ .)
Kaikissa kolmessa tapauksessa tarkoitamme lausekkeen $\left(f(x)\right)^(g(x))$ rajan laskemista, missä $f(x)$ on ensimmäisessä tapauksessa äärettömän pieni, äärettömän suuri toisessa tapauksessa , kolmannessa tapauksessa funktio, jonka raja on yhtä suuri kuin yksi. Funktio $g(x)$ kahdessa ensimmäisessä tapauksessa on äärettömän pieni, ja kolmannessa tapauksessa se on äärettömän suuri.
Ottamalla lausekkeen $\left(f(x)\right)^(g(x))$ logaritmi saadaan yhtälö
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Etsitään raja $\ln y$ , jonka jälkeen löydämme rajan $y$ . Kaikissa kolmessa tapauksessa $\ln y$ on tyyppiä $$ oleva epävarmuus, menetelmä sen paljastamiseksi on kuvattu aiemmin.

e_E1_p221_1

Esimerkki
löytö $$\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x).$$
Otetaan käyttöön merkintä $y=\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)$. Sitten $\ln y=2x\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)$ on epävarmuus $[\infty\cdot0]$ . Muunnetaan lauseke $\ln y$ muotoon $\ln y=2\frac(\ln\left(1+\frac(1)(x)\right))(1/x)$, löydämme käyttämällä L'Hopitalin sääntöä $$\lim\limits_(x\to+\infty)\ln y=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(1+\frac(1)(x))\ vasen(-\frac(1)(x^2)\oikea))(-\frac(1)(x^2))=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(1)(1 +\frac(1)(x))=2.$$
Siten, $$\lim\limits_(x\to+\infty)y=\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)=e^2 .$$

0/0 tai ∞/∞ muotoisten epävarmuustekijöiden ja eräiden muiden laskennan aikana ilmenevien epävarmuuksien paljastaminen raja Kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren funktion suhdetta yksinkertaistetaan huomattavasti käyttämällä L'Hopitalin sääntöä (itse asiassa kaksi sääntöä ja kommentteja niihin).

ydin L'Hopitalin säännöt on se, että jos kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren funktion suhteen rajaa laskettaessa saadaan muotoa 0/0 tai ∞/∞ olevia epävarmuuksia, kahden funktion suhteen raja voidaan korvata funktion suhteen rajalla. heidän johdannaiset ja siten saada tietty tulos.

Siirrytään L'Hopitalin sääntöjen muotoiluun.

L'Hopitalin sääntö kahden äärettömän pienen määrän rajalle. Jos toiminnot f(x) Ja g(x aa, ja tässä lähistöllä g"(x a ovat yhtä suuret keskenään ja yhtä suuret kuin nolla

().

L'Hopitalin sääntö kahden äärettömän suuren määrän rajalle. Jos toiminnot f(x) Ja g(x) ovat erotettavissa jossain pisteen ympäristössä a, paitsi ehkä itse pointti a, ja tässä lähistöllä g"(x)≠0 ja jos ja jos näiden funktioiden rajat kuten x pyrkivät funktion arvoon pisteessä a yhtä suuria keskenään ja yhtä suuria kuin ääretön

(),

silloin näiden funktioiden suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden johdannaisten suhteen raja

().

Toisin sanoen muotoa 0/0 tai ∞/∞ oleville epävarmuuksille kahden funktion suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden derivaattojen suhteen raja, jos jälkimmäinen on olemassa (äärellinen tai ääretön).

Huomautuksia.

1. L'Hopitalin sääntöjä sovelletaan myös toimintoihin f(x) Ja g(x) ei ole määritelty milloin x = a.

2. Jos laskettaessa funktioiden derivaattojen suhteen rajaa f(x) Ja g(x) päästään taas epävarmuuteen muotoa 0/0 tai ∞/∞, niin L'Hôpitalin sääntöjä tulee soveltaa toistuvasti (vähintään kahdesti).

3. L'Hopitalin sääntöjä voidaan soveltaa myös silloin, kun funktioiden (x) argumentti ei pyri äärelliseen lukuun a, ja äärettömään ( x → ∞).

Myös muun tyyppiset epävarmuudet voidaan vähentää tyyppien 0/0 ja ∞/∞ epävarmuuksiksi.

"nolla jaettuna nollalla" ja "ääretön jaettuna äärettömyydellä" tyyppien epävarmuustekijöiden paljastaminen

Esimerkki 1.

x=2 johtaa muotoon 0/0 olevaan epävarmuuteen. Tästä syystä saadaan kunkin funktion derivaatta

Polynomin derivaatta laskettiin osoittajassa ja nimittäjässä - kompleksisen logaritmisen funktion derivaatta. Ennen viimeinen merkki yhtäläisyydet lasketaan tavallisesti raja, korvaa kahdella X:n sijaan.

Esimerkki 2. Laske kahden funktion suhteen raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä:

Ratkaisu. Vaihto sisään annettu toiminto arvot x

Esimerkki 3. Laske kahden funktion suhteen raja käyttämällä L'Hopitalin sääntöä:

Ratkaisu. Arvon korvaaminen tietyllä funktiolla x=0 johtaa muotoon 0/0 olevaan epävarmuuteen. Siksi laskemme osoittajan ja nimittäjän funktioiden derivaatat ja saamme:

Esimerkki 4. Laskea

Ratkaisu. Arvon x, joka on yhtä suuri kuin plus ääretön, korvaaminen tietyllä funktiolla johtaa muotoon ∞/∞ epävarmuuteen. Siksi sovellamme L'Hopitalin sääntöä:

Kommentti. Siirrytään esimerkkeihin, joissa L'Hopitalin sääntöä on sovellettava kahdesti, eli päästään toisten derivaattojen suhteen rajalle, koska ensimmäisten derivaattojen suhteen raja on muotoa 0 oleva epävarmuus. /0 tai ∞/∞.

Käytä L'Hopitalin sääntöä itse ja katso sitten ratkaisu

"nolla kertaa ääretön" muodon epävarmuustekijöiden paljastaminen

Esimerkki 12. Laskea

.

Ratkaisu. Saamme

Tässä esimerkissä käytetään trigonometristä identiteettiä.

Tyyppien "nolla nollan potenssiin", "ääretön nollan potenssiin" ja "yksi äärettömän potenssiin" olevien epävarmuustekijöiden paljastaminen

Muodon epävarmuudet tai pelkistetään yleensä muotoon 0/0 tai ∞/∞ ottamalla muodon funktion logaritmi

Lausekkeen rajan laskemiseksi sinun tulee käyttää logaritminen identiteetti, jonka erikoistapaus on logaritmin ominaisuus .

Käyttäen logaritmista identiteettiä ja funktion jatkuvuuden ominaisuutta (joka ylittää rajan etumerkin), raja tulisi laskea seuraavasti:

Sinun tulisi erikseen etsiä lausekkeen raja eksponenttia ja rakentaa e löydettyyn asteeseen.

Esimerkki 13.

Ratkaisu. Saamme

.

.

Esimerkki 14. Laske L'Hopitalin säännön avulla

Ratkaisu. Saamme

Laske eksponentin lausekkeen raja

.

.

Esimerkki 15. Laske L'Hopitalin säännön avulla