Lukujen vertailu modulo. Vertailu modulo luonnollinen luku

Määritelmä 1. Jos kaksi numeroa 1) a ja b kun jaetaan s anna sama loppuosa r, niin tällaisia ​​lukuja kutsutaan tasaetäisyyksiksi tai vertailukelpoinen modulossa s.

lausunto 1. Päästää s joku positiivinen luku. Sitten mikä tahansa numero a aina ja lisäksi ainutlaatuisella tavalla voidaan esittää muodossa

Mutta nämä numerot saa kysymällä r yhtä kuin 0, 1, 2,..., s-1. Näin ollen sp+r=a ottaa kaikki mahdolliset kokonaisluvut.

Osoittakaamme, että tämä esitys on ainutlaatuinen. Teeskennetäänpä sitä s voidaan esittää kahdella tavalla a=sp+r ja a=s 1 s+r yksi . Sitten

(2)

Koska r 1 ottaa yhden luvuista 0,1, ..., s−1, sitten itseisarvo r 1 −r Vähemmän s. Mutta kohdasta (2) seuraa se r 1 −r useita s. Näin ollen r 1 =r ja s 1 =s.

Määrä r nimeltään miinus numeroita a modulo s(toisin sanoen numero r kutsutaan luvun jaon jäännökseksi a päällä s).

lausunto 2. Jos kaksi numeroa a ja b vertailukelpoinen modulo s, sitten a-b jaettuna s.

Todella. Jos kaksi numeroa a ja b vertailukelpoinen modulo s, sitten jaettuna s on sama loppu s. Sitten

jaettuna s, koska yhtälön (3) oikea puoli on jaettu s.

lausunto 3. Jos kahden luvun ero on jaollinen s, niin nämä luvut ovat vertailukelpoisia modulo s.

Todiste. Merkitse r ja r 1 loput divisioonasta a ja b päällä s. Sitten

Esimerkit 25≡39 (mod 7), -18≡14 (mod 4).

Ensimmäisestä esimerkistä seuraa, että 25 jaettuna 7:llä antaa saman jäännöksen kuin 39. Todellakin, 25=3 7+4 (loput 4). 39=3 7+4 (loput 4). Kun harkitset toista esimerkkiä, muista, että jäännöksen on oltava ei-negatiivinen luku, joka on pienempi kuin moduuli (eli 4). Sitten voidaan kirjoittaa: −18=−5 4+2 (jäännös 2), 14=3 4+2 (loput 2). Siksi −18 jaettuna 4:llä jättää jäännöksen 2 ja 14, kun se jaetaan 4:llä, jää jäännökseksi 2.

Modulo-vertailujen ominaisuudet

Omaisuus 1. Kenelle tahansa a ja s aina

vertailu ei aina ole välttämätöntä

missä λ on lukujen suurin yhteinen jakaja m ja s.

Todiste. Päästää λ suurin yhteinen jakaja numeroita m ja s. Sitten

Koska m(a-b) jaettuna k, sitten

Näin ollen

ja m on yksi luvun jakajista s, sitten

missä h = pqs.

Huomaa, että voimme sallia vertailut negatiivisissa moduuleissa, ts. vertailu a≡b mod( s) tarkoittaa tässä tapauksessa eroa a-b jaettuna s. Kaikki vertailujen ominaisuudet pysyvät voimassa negatiivisille moduuleille.

Määritelmät

Kaksi kokonaislukua a ja b vertailukelpoinen modulo luonnollinen luku n (tai yhtä kaukana jaettuna n:llä), jos ne antavat saman jäännöksen jaettuna n:llä.

Vastaavat formulaatiot: a ja b vertailukelpoinen modulo n jos niiden ero a - b on jaollinen n:llä tai jos a voidaan esittää muodossa a = b + kn , missä k on jokin kokonaisluku. Esimerkiksi: 32 ja −10 ovat yhteneväisiä modulo 7, koska

Lause "a ja b ovat yhtäpitäviä modulo n" kirjoitetaan seuraavasti:

Modulo Equality Properties

Modulovertailurelaatiolla on ominaisuuksia

Mikä tahansa kaksi kokonaislukua a ja b ovat verrattavissa modulo 1:een.

Numeroiden järjestyksessä a ja b olivat vertailukelpoisia modulo n, on välttämätöntä ja riittävää, että niiden erotus on jaollinen n.

Jos numerot ja ovat pareittain vertailukelpoisia modulo n, sitten niiden summat ja , sekä tuotteet ja ovat myös vertailukelpoisia modulo n.

Jos numeroita a ja b vertailukelpoinen modulo n, sitten heidän tutkintonsa a k ja b k ovat myös vertailukelpoisia modulo n mille tahansa luonnolliselle k.

Jos numeroita a ja b vertailukelpoinen modulo n, ja n jaettuna m, sitten a ja b vertailukelpoinen modulo m.

Numeroiden järjestyksessä a ja b olivat vertailukelpoisia modulo n, joka esitetään sen kanonisena hajotuksena alkutekijöihin s i

tarpeellista ja riittävää

Vertailurelaatio on ekvivalenssirelaatio, ja sillä on monia tavallisten yhtäläisyyksien ominaisuuksia. Ne voidaan esimerkiksi lisätä ja kertoa: jos

Vertailuja ei kuitenkaan voida yleisesti ottaen jakaa keskenään tai muilla luvuilla. Esimerkki: , kuitenkin vähentämällä 2:lla, saadaan virheellinen vertailu: . Vertailujen vähennyssäännöt ovat seuraavat.

Et myöskään voi suorittaa vertailuja, jos niiden moduulit eivät täsmää.

Muut ominaisuudet:

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Vähennysluokat

Kaikkien numeroiden joukko, jotka ovat vertailukelpoisia a modulo n nimeltään vähennysluokka a modulo n , ja sitä merkitään yleensä [ a] n tai . Siten vertailu vastaa jäämäluokkien yhtäläisyyttä [a] n = [b] n .

Koska modulo vertailu n on ekvivalenssirelaatio kokonaislukujen joukossa, sitten jäännösluokat modulo n ovat ekvivalenssiluokkia; niiden numero on n. Kaikkien jäännösluokkien joukko modulo n merkitty tai .

Summa- ja kertolaskuoperaatiot indusoivat vastaavat operaatiot joukossa:

Näiden operaatioiden osalta joukko on äärellinen rengas, ja jos n yksinkertainen lopullinen kenttä.

Vähennysjärjestelmät

Jäännösjärjestelmän avulla voit suorittaa aritmeettisia operaatioita rajalliselle lukujoukolle ylittämättä sitä. Täydellinen vähennysjärjestelmä modulo n on mikä tahansa joukko n kokonaislukua, jotka ovat vertaansa vailla modulo n. Yleensä kokonaisena modulo n -jäämien järjestelmänä otetaan pienimmät ei-negatiiviset tähteet

tai absoluuttisesti pienimmät luvuista koostuvat jäännökset

pariton tapauksessa n ja numerot

parillisen tapauksessa n .

Vertailupäätös

Ensimmäisen asteen vertailut

Numeroteoriassa, kryptografiassa ja muilla tieteenaloilla ongelmana on usein löytää ratkaisuja muodon ensimmäisen asteen vertailuun:

Tällaisen vertailun ratkaisu alkaa gcd:n laskemisesta (a, m) = d. Tässä tapauksessa 2 tapausta on mahdollista:

• Jos b ei monikerta d, niin vertailulla ei ole ratkaisuja.
• Jos b useita d, niin vertailulla on ainutlaatuinen ratkaisu modulo m / d, tai mikä on sama, d modulo ratkaisuja m. Tässä tapauksessa alkuperäisen vertailun pienentämisen seurauksena d vertailutulokset:

missä a 1 = a / d , b 1 = b / d ja m 1 = m / d ovat kokonaislukuja ja a 1 ja m 1 ovat koprime. Siksi numero a 1 voidaan kääntää modulo m 1, eli etsi tällainen luku c että (toisin sanoen ). Nyt ratkaisu löytyy kertomalla tuloksena saatu vertailu luvulla c:

Käytännön arvolaskenta c voidaan tehdä eri tavoilla: käyttäen Eulerin lausetta, Euklidin algoritmia, jatkuvien murtolukujen teoriaa (katso algoritmi) jne. Erityisesti Eulerin lause sallii arvon kirjoittamisen c kuten:

Esimerkki

Vertailun vuoksi meillä on d= 2 , joten modulo 22 vertailussa on kaksi ratkaisua. Korvataan 26 luvulla 4, joka on vertailukelpoinen modulo 22, ja peruutetaan sitten kaikki 3 numeroa kahdella:

Koska 2 on suhteellisen alkuluku modulo 11:een nähden, voimme pienentää vasenta ja oikeaa puolta kahdella. Tuloksena saadaan yksi ratkaisu modulo 11: , joka vastaa kahta ratkaisua modulo 22: .

Toisen asteen vertailut

Toisen asteen vertailujen ratkaiseminen rajoittuu siihen, että selvitetään, onko tietty luku neliöjäännös (käyttäen vastavuoroisuuden toisen asteen lakia) ja lasketaan sitten neliöjuuren modulo.

Tarina

Kiinalainen jäännöslause, joka tunnettiin vuosisatojen ajan, sanoo (nykyaikaisella matemaattisella kielellä), että jäännösrengas moduloi useiden keskenään. alkuluvut on tekijöitä vastaavien jäännösrenkaiden suora tulo.

Euler loi suurelta osin jako- ja jäännösteorian. Modulo-vertailuja käytti ensimmäisenä Gauss Aritmeettisissa tutkimuksissaan, 1801. Hän ehdotti myös matematiikan symboliikkaa vertailuksi.

Kahdelle kokonaisluvulle X ja klo otamme käyttöön pariteetin vertailukelpoisuuden suhteen, jos niiden ero on parillinen luku. On helppo tarkistaa, että tässä tapauksessa kaikki kolme aiemmin esitettyä vastaavuusehtoa täyttyvät. Tällä tavalla esitelty ekvivalenssirelaatio jakaa koko kokonaislukujoukon kahteen epäyhtenäiseen osajoukkoon: parillisten lukujen osajoukkoon ja parittomien lukujen osajoukkoon.

Yleistämällä tämä tapaus, sanomme, että kaksi kokonaislukua, jotka eroavat jonkin kiinteän luonnollisen luvun kerrannaisuudella, ovat ekvivalentteja. Tämä on Gaussin käyttöön ottaman modulo-vertailukonseptin perusta.

Määrä a, verrattavissa b modulo m jos niiden ero on jaollinen kiinteällä luonnollinen luku m, tuo on a - b jaettuna m. Symbolisesti tämä kirjoitetaan seuraavasti:

a ≡ b(mod m),

ja se kuuluu näin: a verrattavissa b modulo m.

Tällä tavalla esitelty relaatio vertailujen ja yhtäläisyyksien välisen syvän analogian ansiosta yksinkertaistaa laskelmia, joissa luvut eroavat moninkertaisesti m, eivät todellisuudessa eroa (koska vertailu on yhtäläisyys johonkin m:n kerrannaiseen).

Esimerkiksi luvut 7 ja 19 ovat yhteneviä modulo 4, mutta eivät yhteneviä modulo 5, koska 19-7=12 on jaollinen 4:llä eikä jaollinen 5:llä.

Voidaan myös sanoa, että numero X modulo m yhtä suuri kuin kokonaislukujaon loppuosa X päällä m, koska

x = km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

On helppo tarkistaa, että lukujen vertailukelpoisuudella modulo tietyllä ominaisuudella on kaikki ekvivalenssiominaisuudet. Siksi kokonaislukujen joukko on jaettu toisiinsa verrattavissa oleviin lukuluokkiin modulo m. Tällaisten luokkien määrä on m, ja kaikki saman luokan luvut jaettuna m anna sama loppuosa. Esimerkiksi jos m= 3, niin saadaan kolme luokkaa: lukuluokka, joka on 3:n kerrannainen (joka antaa jäännöksen 0:lla jaettuna 3:lla), lukuluokka, joka antaa jäännöksen 1:llä jaettuna 3:lla, ja lukuluokka jotka antavat jäännöksen 2 jaettuna 3:lla.

Esimerkkejä vertailujen käytöstä tarjoavat tunnetut jakotestit. Tavallinen luvun esitys n desimaalilukujärjestelmän numeroilla on muoto:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

missä a, b, c, ovat numeron numeroita, kirjoitettuna oikealta vasemmalle, niin että a- yksiköiden lukumäärä, b- kymmenien lukumäärä jne. 10k lähtien ≡ 1(mod9) mille tahansa k≥0:lle, niin kirjoitetusta seuraa, että

n ≡ c + b + a(mod9),

josta seuraa jaollisuustesti 9:llä: n on jaollinen 9:llä jos ja vain, jos sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä. Tämä argumentti pätee myös, kun 9 korvataan 3:lla.

Saamme jaollisuuden merkin 11:llä. Vertailu tapahtuu:

10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1 (mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) ja niin edelleen. Siksi n ≡ c - b + a - ....(mod11).

Näin ollen n on jaollinen 11:llä silloin ja vain, jos sen numeroiden a - b + c -... vuorotteleva summa on jaollinen luvulla 11.

Esimerkiksi luvun 9581 numeroiden vuorotteleva summa on 1 - 8 + 5 - 9 = -11, se on jaollinen 11:llä, mikä tarkoittaa, että luku 9581 on myös jaollinen 11:llä.

Jos on vertailuja:, ne voidaan lisätä, vähentää ja kertoa termiltä samalla tavalla kuin yhtäläisyydet:

Vertailu voidaan aina kertoa kokonaisluvulla:

jos sitten

Vertailun vähentäminen millä tahansa kertoimella ei kuitenkaan aina ole mahdollista, Esimerkiksi, mutta on mahdotonta vähentää luvuille 42 ja 12 yhteisellä kertoimella 6; tällainen vähennys johtaa väärään tulokseen, koska .

Moduulin vertailukelpoisuuden määritelmästä seuraa, että vähennys kertoimella on sallittua, jos tämä kerroin on suhteellisen prime moduuliin nähden.

Edellä on jo todettu, että mikä tahansa kokonaisluku on kongruentti mod m jollakin seuraavista numeroista: 0, 1, 2,... , m-1.

Tämän sarjan lisäksi on muita numerosarjoja, joilla on sama ominaisuus; joten esimerkiksi mikä tahansa luku on verrattavissa mod 5:een jollakin seuraavista luvuista: 0, 1, 2, 3, 4, mutta se on myös verrattavissa johonkin seuraavista numeroista: 0, -4, -3, -2, -1 tai 0, 1, -1, 2, -2. Tällaista lukusarjaa kutsutaan täydelliseksi jäännösjärjestelmäksi modulo 5.

Siten täydellinen jäännösjärjestelmä mod m mitä tahansa sarjaa kutsutaan m numeroita, joista kaksi ei ole vertaansa vailla. Yleisesti käytetty täydellinen järjestelmä jäännökset, jotka koostuvat numeroista: 0, 1, 2, ..., m-yksi. luvun vähentäminen n modulo m on divisioonan loppuosa n päällä m, mikä seuraa esityksestä n = km + r, 0<r<m- 1.

Jos kaksi kokonaislukua a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) klo jako päällä m (\näyttötyyli m) anna sama jäännös, niitä kutsutaan vertailukelpoinen(tai yhtä kaukana) modulo numero m (\näyttötyyli m) . Malli:/kehys Numeroiden vertailukelpoisuus a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) kirjoitetaan kaavana ( vertailuja):

Määrä m (\näyttötyyli m) nimeltään moduuli vertailuja.

Määritelmä vertailukelpoisuus numeroita a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) modulo m (\näyttötyyli m) on sama kuin jokin seuraavista väitteistä:

Todiste

Yllä olevien ominaisuuksien lisäksi seuraavat väitteet ovat totta vertailuissa:

Todiste

Näin ollen

Koska d (\näyttötyyli d) On jakaja numeroita m (\näyttötyyli m), sitten

Näin ollen

määritelmän mukaan.

Todiste

Näin ollen

Erosta lähtien a − b (\näyttötyyli a-b) on jokaisen kerrannainen, niin se on heidän monikerta vähiten yhteinen moninkertainen

tarpeellista ja riittävää

Operaatiot vertailuilla

Vertailuilla modulo yksi ja sama on monia tavallisten yhtäläisyyksien ominaisuuksia. Niitä voidaan esimerkiksi lisätä, vähentää ja kertoa: jos numerot a 1 , a 2 , . . . , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),...,a_(n)) ja b 1 , b 2 , . . . , b n (\näyttötyyli b_(1),b_(2),...,b_(n)) pareittain vertailukelpoinen modulo m (\näyttötyyli m), sitten niiden summat a 1 + a 2 +. . . + a n (\displaystyle a_(1)+a_(2)+...+a_(n)) ja b1 + b2 + . . . + b n (\näyttötyyli b_(1)+b_(2)+...+b_(n)), sekä toimii a 1 ⋅ a 2 ⋅ . . . ⋅ a n (\displaystyle a_(1)\cdot a_(2)\cdot ...\cdot a_(n)) ja b 1 ⋅ b 2 ⋅ . . . ⋅ b n (\displaystyle b_(1)\cdot b_(2)\cdot ...\cdot b_(n)) ovat myös vertailukelpoisia modulo m (\näyttötyyli m). Et kuitenkaan voi suorittaa näitä toimintoja vertailuilla, jos niiden moduulit eivät täsmää.

Erikseen on huomioitava, että sama luku voidaan lisätä vertailun molempiin osiin, on myös mahdollista siirtää numero vertailun yhdestä osasta toiseen etumerkin muutoksella. Jos numeroita a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) vertailukelpoinen modulo m (\näyttötyyli m), sitten heidän tutkintonsa a k (\displaystyle a^(k)) ja b k (\displaystyle b^(k)) ovat myös vertailukelpoisia modulo m (\näyttötyyli m) mille tahansa luonnolliselle k (\displaystyle k) .

Voit lisätä mihin tahansa vertailun osaan moduulin kokonaislukukerrannan, eli jos numerot a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ovat vertailukelpoisia modulo joitakin lukuja m (\näyttötyyli m), sitten ja a + t 1 (\näyttötyyli a+t_(1)) verrattavissa b + t 2 (\näyttötyyli b+t_(2)) modulo m (\näyttötyyli m) (t 1 (\displaystyle t_(1)) ja t 2 (\displaystyle t_(2))- mielivaltainen koko Lisäksi molemmat vertailun osat ja moduuli voidaan kertoa samalla luvulla, eli jos luvut a (\displaystyle a) ja b (\displaystyle b) ovat verrattavissa joitakin modulo koko numeroita m (\näyttötyyli m), sitten numerot aq (\displaystyle aq) ja bq (\displaystyle bq) ovat vertailukelpoisia moduulilukuja m q (\displaystyle mq),missä q (\displaystyle q) - koko.

Vertailuja ei kuitenkaan voida yleisesti ottaen jakaa keskenään tai muilla luvuilla. Esimerkki: 14 ≡ 20 (mod 6) (\displaystyle 14\equiv 20(\pmod (6))), kuitenkin vähentämällä 2:lla, saamme virheellisen vertailun: 7 ≡ 10 (mod 6) (\displaystyle 7\equiv 10(\pmod (6))). Vertailujen vähennyssäännöt ovat seuraavat.

• Voit jakaa vertailun molemmat puolet luvulla, mutta vain koprime moduulilla: jos

Jos, numero d (\näyttötyyli d) ei keskenään yksinkertaisia moduulin kanssa, kuten yllä olevassa esimerkissä, ja lyhennä sitten d (\näyttötyyli d) se on kielletty.

• Voit jakaa samanaikaisesti molemmat vertailun osat ja moduulin niiden yhteisellä jakajalla:

jos a c ≡ b c (mod m c) (\displaystyle (ac)\equiv (bc)(\pmod (mc))), sitten a ≡ b (mod m) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m))) .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Vähennysluokat

Kaikkien numeroiden joukko, jotka ovat vertailukelpoisia a (\displaystyle a) modulo m (\näyttötyyli m), kutsutaan vähennysluokka a (\displaystyle a) modulo m (\näyttötyyli m) , ja on yleensä merkitty [a] m (\näyttötyyli [a]_(m)) tai a ¯ m (\displaystyle (\bar(a))_(m)). Vertailu siis a ≡ b (mod m) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m))) on yhtä suuri kuin jäämäluokkien yhtäläisyys [a] m = [b] m (\näyttötyyli [a]_(m)=[b]_(m)) .

Soitetaan mihin tahansa luokkanumeroon miinus modulo m (\näyttötyyli m). Antaa varmuuden vuoksi r (\displaystyle r)―divisioonan loppuosa joku valitun luokan edustajista m (\näyttötyyli m), sitten mikä tahansa numero q (\displaystyle q) tästä luokasta voidaan esittää muodossa q = m t + r (\näyttötyyli q=mt+r), missä t (\displaystyle t) -koko. vähennys yhtä suuri jäännös r (\displaystyle r) nimeltään pienin ei-negatiivinen jäännös, ja vähennys ρ (\displaystyle \rho ), itseisarvoltaan pienintä, kutsutaan ehdottomasti vähiten vähennyskelpoista. klo r< m 2 {\displaystyle r<{\frac {m}{2}}} saamme sen ρ = r (\näyttötyyli \rho =r), muuten ρ = r − m (\näyttötyyli \rho =r-m). Jos m (\näyttötyyli m)-jopa ja r = m 2 (\displaystyle r=(\frac (m)(2))), sitten ρ = − m 2 (\displaystyle \rho =-(\frac (m)(2))) .

Koska vertailukelpoisuus modulo m (\näyttötyyli m) On ekvivalenssisuhde kokonaislukujen joukosta , sitten jäännösluokat modulo m (\näyttötyyli m) edustaa vastaavuusluokat; niiden numero on m (\näyttötyyli m).

Kaikkien jäännösluokkien joukko modulo m (\näyttötyyli m) merkitty tai Z / m Z (\displaystyle \mathbb (Z) /m\mathbb (Z) ) tai Z / (m) (\näyttötyyli \mathbb (Z) / (m)) .

Yhteen- ja kertolaskuoperaatiot Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) käynnistää vastaavat toiminnot kuvauksessa Z m (\näyttötyyli \mathbb (Z) _(m)):

Näiden toimintojen osalta sarja Z m (\näyttötyyli \mathbb (Z) _(m)) on lopullinen rengas, ja varten yksinkertainen m (\näyttötyyli m) - viimeinen kenttä.

Vähennysjärjestelmät

Jäännösjärjestelmän avulla voit suorittaa aritmeettisia operaatioita rajalliselle lukujoukolle ylittämättä sitä. Täydellinen vähennysjärjestelmä modulo m (\näyttötyyli m) on mikä tahansa joukko m (\näyttötyyli m) pareittain vertaansa vailla oleva modulo m (\näyttötyyli m) kokonaislukuja. Yleensä täydellisenä jäännösjärjestelmänä modulo m (\näyttötyyli m) toinen kahdesta sarjasta otetaan:

• pienimmät ei-negatiiviset jäämät, eli numerot:

• tai ehdottomasti pienimmät vähennykset, joka koostuu numeroista

Suurin joukko pareittain vertaansa vailla olevia moduloja m (\näyttötyyli m) numerot, koprime Kanssa m (\näyttötyyli m), kutsutaan vähentynyt jäämäjärjestelmä modulo m (\näyttötyyli m). Mikä tahansa vähennetty jäämien järjestelmä modulo m (\näyttötyyli m) sisältää φ (m) (\näyttötyyli \varphi (m)) elementtejä, missä φ (⋅) (\displaystyle \varphi (\cdot)) - Euler-funktio.

Esimerkiksi numeroon m = 42 (\näyttötyyli m = 42). Täydellinen vähennysjärjestelmä voidaan esittää numeroilla: 0 , 1 , 2 , 3 , … , 21 , 22 , 23 , … , 39 , 40 , 41 (\näyttötyyli 0,1,2,3,\ldots ,21,22,23,\ldots ,39,40, 41), a vähennetty - 1 , 5 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 29 , 31 , 37 , 41 (\näyttötyyli 1,5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41).

Vertailut polynomirenkaassa kentän päällä

Vertailupäätös

Ensimmäisen asteen vertailut

AT numeroteoria , kryptografia ja muilla tieteenaloilla, ongelmana on usein löytää ratkaisuja muodon ensimmäisen asteen vertailuun:

Tällaisen vertailun ratkaisu alkaa laskennalla d = (\näyttötyyli d=) GCD (a, m) (\näyttötyyli (a,m)). Tässä tapauksessa 2 tapausta on mahdollista:

Käytännön arvolaskenta c (\displaystyle c) voidaan tehdä eri tavoilla: Eulerin lauseet , algoritmi Euklid, teorioita jatkuvat murto-osat(cm. algoritmi) ja muut. Erityisesti Eulerin lause voit kirjoittaa arvon c (\displaystyle c) kuten:

Esimerkkejä

Esimerkki 1 Vertailun vuoksi

meillä on d = 2 (\näyttötyyli d=2), joten modulo 22 vertailussa on kaksi ratkaisua. Korvataan 26 luvulla 4, joka on vertailukelpoinen modulo 22, ja kumotaan sitten kaikki kolme numeroa kahdella:

Koska 3 on koprime modulo 11, se voidaan kääntää modulo 11 ja löytää

Kerrotaan vertailu 4:llä, saadaan ratkaisu modulo 11:

vastaa kahden ratkaisun joukkoa modulo 22:

Esimerkki 2 Vertailu annettu:

Ensimmäinen ratkaisu on käyttää   Ulkosuhde. Käyttämällä algoritmi Euklid tai Bezoutin suhdetta käsittelevässä artikkelissa annettu ohjelma, huomaamme, että tämä lukujen suhde 100 (\displaystyle 100) ja 65537 (\displaystyle 65537) näyttää:

Kun tämän vertailun molemmat puolet kerrotaan 41:llä, saadaan:

Tästä seuraa, että alkuperäiseen vertailuun on ratkaisu. On kätevämpää korvata se vastaavalla 4588 (\displaystyle 4588)(jaosta loput 725495 (\displaystyle 725495) päällä 65537 (\displaystyle 65537)). Vastaus: x ≡ 4588 (mod 65537) . (\displaystyle x\equiv 4588(\pmod (65537)).)

Toinen ratkaisu, yksinkertaisempi ja nopeampi, ei vaadi Bezout-relaation rakentamista, mutta vastaa myös euklidelaista algoritmia.

Vaihe 1. Jaa moduuli x:n kertoimella jäännöksellä: 65537 = 100 ⋅ 655 + 37 (\displaystyle 65537=100\cdot 655+37). Kerro alkuperäisen vertailun molemmat puolet osamäärällä 655 (\displaystyle 655) ja lisää 37x (\displaystyle 37x); saamme: 65537 x ≡ 26855 + 37 x (mod 65537) (\displaystyle 65537x\equiv 26855+37x(\pmod (65537))), mutta vasen puoli on monikerta 65537 (\displaystyle 65537), eli verrattavissa nollaan, mistä:

Saimme klo x (\displaystyle x) kerroin 37 100 sijasta. Jokaisessa seuraavassa vaiheessa vähennetään samalla tavalla, kunnes saadaan yksi.

Vaihe 2. Samoin jaamme uudella kertoimella kohdassa x: 65537 = 37 ⋅ 1771 + 10 (\displaystyle 65537=37\cdot 1771+10). Kerro edellisessä vaiheessa saadun vertailun molemmat osat osamäärällä 1771 (\displaystyle 1771) ja lisää 10x (\displaystyle 10x); jälleen korvaamalla vasemman puolen nolla, saamme.