Tietyn parametrin derivaatan laskenta parametrisesti verkossa. Parametrisesti määritellyt funktiot

Älä stressaa, kaikki tässä kappaleessa on myös melko yksinkertaista. Voit kirjoittaa ylös yleinen kaava parametrisesti annettu toiminto, mutta selkeyttääkseni kirjoitan sen heti ylös konkreettinen esimerkki. Parametrisessa muodossa funktio annetaan kahdella yhtälöllä: . Usein yhtälöt kirjoitetaan ei kiharasuluissa, vaan peräkkäin: , .

Muuttujaa kutsutaan parametriksi ja se voi ottaa arvoja "miinus äärettömyydestä" "plus äärettömyyteen". Harkitse esimerkiksi arvoa ja korvaa se molemmilla yhtälöillä: . Tai inhimillisesti sanottuna: "jos x on neljä, niin y on yhtä." Voit merkitä pisteen koordinaattitasolle, ja tämä piste vastaa parametrin arvoa. Vastaavasti voit löytää pisteen mille tahansa parametrin "te" arvolle. Mitä tulee "tavalliseen" funktioon, parametrisesti määritellyn funktion Amerikan intiaanien oikeuksia kunnioitetaan myös: voit rakentaa kaavion, löytää johdannaisia ​​jne. Muuten, jos haluat piirtää parametrisesti määritellyn funktion kaavion, lataa geometrinen ohjelmani sivulta Matemaattiset kaavat ja pöydät.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa funktio on mahdollista esittää eksplisiittisesti. Ilmaistaan ​​parametri ensimmäisestä yhtälöstä: – ja korvaa se toiseen yhtälöön: . Tuloksena on tavallinen kuutiofunktio.

"Vakavammissa" tapauksissa tämä temppu ei toimi. Mutta sillä ei ole väliä, koska johdannaisen löytäminen parametrinen toiminto on kaava:

Löydämme johdannaisen "pelistä suhteessa muuttujaan te":

Kaikki differentiointisäännöt ja johdannaistaulukko pätevät luonnollisesti kirjaimelle , joten johdannaisten etsintäprosessissa ei ole mitään uutta. Korvaa vain henkisesti kaikki taulukon "X" kirjaimella "Te".

Löydämme "x:n" derivaatan muuttujan te suhteen:

Nyt ei jää muuta kuin korvata löydetyt johdannaiset kaavaamme:

Valmis. Derivaata, kuten itse funktio, riippuu myös parametrista.

Mitä tulee merkintään, sen sijaan, että kirjoittaisit sen kaavaan, se voitaisiin kirjoittaa ilman alaindeksiä, koska tämä on "säännöllinen" johdannainen "suhteessa X". Mutta kirjallisuudessa on aina vaihtoehto, joten en poikkea standardista.

Esimerkki 6

Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Täten:

Erikoispiirre parametrisen funktion derivaatan löytämisessä on se, että jokaisessa vaiheessa on hyödyllistä yksinkertaistaa tulosta niin paljon kuin mahdollista. Joten tarkasteltavassa esimerkissä, kun löysin sen, avasin sulkeet juuren alle (vaikka en ehkä tehnyt tätä). On hyvä mahdollisuus, että kun korvataan kaavaan, monet asiat vähenevät hyvin. Vaikka tietysti on esimerkkejä, joissa on kömpelöitä vastauksia.

Esimerkki 7

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös.

Artikkelissa Alkueläimet tyypillisiä tehtäviä johdannaisen kanssa tarkastelimme esimerkkejä, joissa meidän piti löytää funktion toinen derivaatta. Parametrisesti määritellylle funktiolle voit löytää myös toisen derivaatan, ja se löytyy seuraavalla kaavalla: . On aivan selvää, että toisen derivaatan löytämiseksi sinun on ensin löydettävä ensimmäinen derivaatta.

Esimerkki 8

Etsi parametrisesti annetun funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta

Etsitään ensin ensimmäinen johdannainen.
Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Korvaa löydetyt johdannaiset kaavaan. Yksinkertaistamiseksi käytämme trigonometristä kaavaa:

Huomasin, että parametrisen funktion derivaatan löytämisongelmassa on melko usein yksinkertaistamisen vuoksi tarpeen käyttää trigonometriset kaavat . Muista ne tai pidä ne käsillä, äläkä missaa mahdollisuutta yksinkertaistaa jokaista välitulosta ja vastauksia. Minkä vuoksi? Nyt meidän on otettava johdannainen , ja tämä on selvästi parempi kuin derivaatan löytäminen .

Etsitään toinen derivaatta.
Käytämme kaavaa: .

Katsotaanpa kaavaamme. Nimittäjä on jo löydetty edellisessä vaiheessa. On vielä löydettävä osoittaja - ensimmäisen derivaatan johdannainen muuttujan "te" suhteen:

Jää käyttää kaavaa:

Materiaalin vahvistamiseksi tarjoan vielä pari esimerkkiä, jotka voit ratkaista itse.

Esimerkki 9

Esimerkki 10

Etsi ja parametrisesti määritetylle funktiolle

Toivon sinulle menestystä!

Toivon, että tämä oppitunti oli hyödyllinen ja voit nyt helposti löytää johdannaisia ​​implisiittisistä funktioista ja parametrisista funktioista

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 3: Ratkaisu:






Täten:

Johdannainen implisiittisesti määritellystä funktiosta.
Johdannainen parametrisesti määritellystä funktiosta

Tässä artikkelissa tarkastellaan kahta tyypillisempää tehtävää, joita usein esiintyy testejä korkeammassa matematiikassa. Jotta materiaalin hallitsee onnistuneesti, sinun on kyettävä löytämään johdannaisia ​​vähintään keskitasolla. Voit oppia löytämään johdannaisia ​​käytännössä tyhjästä kahdella perustunnilla ja Monimutkaisen funktion johdannainen. Jos erottautumiskykysi ovat kunnossa, niin mennään.

Johdannainen implisiittisesti määritellystä funktiosta

Tai lyhyesti sanottuna implisiittisen funktion johdannainen. Mikä on implisiittinen funktio? Muistakaamme ensin yhden muuttujan funktion määritelmä:

Yksi muuttujatoiminto on sääntö, jonka mukaan jokainen riippumattoman muuttujan arvo vastaa yhtä ja vain yhtä funktion arvoa.

Muuttujaa kutsutaan itsenäinen muuttuja tai Perustelu.
Muuttujaa kutsutaan riippuva muuttuja tai toiminto .

Toistaiseksi olemme tarkastelleet kohdassa määriteltyjä toimintoja selkeää muodossa. Mitä se tarkoittaa? Tehdään selvitys tiettyjen esimerkkien avulla.

Harkitse toimintoa

Näemme, että vasemmalla meillä on yksinäinen "pelaaja" ja oikealla - vain "X". Eli toiminto nimenomaisesti ilmaistaan ​​riippumattoman muuttujan kautta.

Katsotaanpa toista toimintoa:

Tässä muuttujat sekoittuvat. Lisäksi mahdotonta millään tavalla ilmaista "Y" vain "X":n kautta. Mitä nämä menetelmät ovat? Termien siirtäminen osasta osaan etumerkin vaihdolla, siirtäminen pois suluista, kertoimien heittäminen suhteellisuussäännön mukaan jne. Kirjoita yhtälö uudelleen ja yritä ilmaista "y" selkeästi: . Voit vääntää ja kääntää yhtälöä tuntikausia, mutta et onnistu.

Esittelen teille: – esimerkki implisiittinen toiminto.

Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että implisiittinen funktio olemassa(ei kuitenkaan aina), siinä on kaavio (kuten "normaali" funktio). Implisiittifunktio on täsmälleen sama olemassa ensimmäinen derivaatta, toinen derivaatta jne. Kuten he sanovat, kaikkia seksuaalivähemmistöjen oikeuksia kunnioitetaan.

Ja tällä oppitunnilla opimme löytämään implisiittisesti määritetyn funktion derivaatan. Ei se niin vaikeaa ole! Kaikki differentiaatiosäännöt ja alkeisfunktioiden derivaattataulukko pysyvät voimassa. Ero on yhdessä erikoisessa hetkessä, jota tarkastelemme nyt.

Kyllä, kerron sinulle hyviä uutisia– alla käsitellyt tehtävät suoritetaan melko tiukan ja selkeän algoritmin mukaan ilman kiveä kolmen kappaleen edessä.

Esimerkki 1

1) Ensimmäisessä vaiheessa kiinnitämme vedot molempiin osiin:

2) Käytämme derivaatan lineaarisuuden sääntöjä (oppitunnin kaksi ensimmäistä sääntöä Kuinka löytää johdannainen? Esimerkkejä ratkaisuista):

3) Suora erottelu.
Erottaminen on täysin selvää. Mitä tehdä, jos lyöntien alla on "pelejä"?

- häpeäksi asti, funktion derivaatta on yhtä suuri kuin sen derivaatta: .

Kuinka erottaa
Tässä meillä on monimutkainen toiminto. Miksi? Näyttää siltä, ​​​​että sinin alla on vain yksi kirjain "Y". Mutta tosiasia on, että on vain yksi kirjain "y" - ON ITSE TOIMINTO(katso määritelmä oppitunnin alussa). Sini on siis ulkoinen toiminto, – sisäinen toiminto. Käytämme erottelusääntöä monimutkainen toiminto :

Erottelemme tuotteen tavallisen säännön mukaan :

Huomaa, että - on myös monimutkainen toiminto, mikä tahansa "peli kelloilla ja pillillä" on monimutkainen toiminto:

Itse ratkaisun pitäisi näyttää tältä:


Jos suluissa on, laajenna ne:

4) Vasemmalle puolelle keräämme termit, jotka sisältävät "Y":n alkuluvulla. Siirrä kaikki muu oikealle puolelle:

5) Vasemmalla puolella otamme derivaatan pois suluista:

6) Ja suhteellisuussäännön mukaisesti pudotamme nämä sulut oikean puolen nimittäjään:

Johdannainen on löydetty. Valmis.

On mielenkiintoista huomata, että mikä tahansa funktio voidaan kirjoittaa uudelleen implisiittisesti. Esimerkiksi funktio voidaan kirjoittaa uudelleen näin: . Ja erottele se juuri käsitellyn algoritmin avulla. Itse asiassa ilmaukset "implisiittinen toiminto" ja "implisiittinen toiminto" eroavat yhdellä semanttisella vivahteella. Ilmaus "implisiittisesti määritelty toiminto" on yleisempi ja oikeampi, – tämä toiminto on määritetty implisiittisesti, mutta tässä voit ilmaista "pelin" ja esittää toiminnon eksplisiittisesti. Ilmaus "implisiittinen funktio" viittaa "klassiseen" implisiittiseen funktioon, kun "y" ei voi ilmaista.

Toinen ratkaisu

Huomio! Voit tutustua toiseen menetelmään vain, jos osaat löytää luottavaisesti osittaiset johdannaiset. Aloittelijat opiskelemaan matemaattinen analyysi ja teekannut kiitos älä lue ja ohita tämä kohta, muuten pääsi on täysin sekaisin.

Etsitään implisiittisen funktion derivaatta käyttämällä toista menetelmää.

Siirrämme kaikki ehdot vasemmalle puolelle:

Ja harkitse kahden muuttujan funktiota:

Sitten johdannaisemme voidaan löytää käyttämällä kaavaa
Etsitään osittaiset derivaatat:

Täten:

Toinen ratkaisu mahdollistaa tarkastuksen. Mutta heidän ei ole suositeltavaa kirjoittaa tehtävän lopullista versiota, koska osaderivaatat hallitaan myöhemmin, eikä aihetta ”Yhden muuttujan funktion derivaatta” opiskelevan opiskelijan pitäisi vielä tietää osaderivaatat.

Katsotaanpa vielä muutama esimerkki.

Esimerkki 2

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Lisää vedot molempiin osiin:

Käytämme lineaarisuussääntöjä:

Johdannaisten löytäminen:

Kaikkien kiinnikkeiden avaaminen:

Siirrämme kaikki termit vasemmalle puolelle, loput oikealle puolelle:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 3

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Koko ratkaisu ja mallisuunnittelu oppitunnin lopussa.

Ei ole harvinaista, että erottelun jälkeen syntyy murtolukuja. Tällaisissa tapauksissa sinun on päästävä eroon murto-osista. Katsotaanpa vielä kaksi esimerkkiä.

Esimerkki 4

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Suljemme molemmat osat viivojen alle ja käytämme lineaarisuussääntöä:

Erota monimutkaisen funktion erottamissääntöä käyttäen ja osamäärän differentiaatiosääntö :

Hakasulkeiden laajentaminen:

Nyt meidän on päästävä eroon murto-osasta. Tämä voidaan tehdä myöhemmin, mutta on järkevämpää tehdä se heti. Murtoluvun nimittäjä sisältää . Kerro päällä . Yksityiskohtaisesti se näyttää tältä:

Joskus erilaistumisen jälkeen ilmestyy 2-3 fraktiota. Jos meillä olisi esimerkiksi toinen murto-osa, toimenpide olisi toistettava - kerrotaan kunkin osan jokainen termi päällä

Laitamme sen vasemmalle puolelle suluista:

Lopullinen vastaus:

Esimerkki 5

Etsi implisiittisesti annetun funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Ainoa asia on, että ennen kuin pääset eroon murto-osasta, sinun on ensin päästävä eroon itse murto-osan kolmikerroksisesta rakenteesta. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Johdannainen parametrisesti määritellystä funktiosta

Älä stressaa, kaikki tässä kappaleessa on myös melko yksinkertaista. Voit kirjoittaa yleisen kaavan parametrisesti määritellylle funktiolle, mutta selkeyttääkseni kirjoitan heti tietyn esimerkin. Parametrisessa muodossa funktio annetaan kahdella yhtälöllä: . Usein yhtälöt kirjoitetaan ei kiharasuluissa, vaan peräkkäin: , .

Muuttujaa kutsutaan parametriksi ja voi ottaa arvot "miinus äärettömyydestä" "plus äärettömyyteen". Harkitse esimerkiksi arvoa ja korvaa se molemmilla yhtälöillä: . Tai inhimillisesti sanottuna: "jos x on neljä, niin y on yhtä." Voit merkitä pisteen koordinaattitasolle, ja tämä piste vastaa parametrin arvoa. Vastaavasti voit löytää pisteen mille tahansa parametrin "te" arvolle. Mitä tulee "tavalliseen" funktioon, parametrisesti määritellyn funktion Amerikan intiaanien oikeuksia kunnioitetaan myös: voit rakentaa kaavion, löytää johdannaisia ​​jne. Muuten, jos sinun on piirrettävä parametrisesti määritellyn funktion kaavio, voit käyttää ohjelmaani.

Yksinkertaisimmissa tapauksissa funktio on mahdollista esittää eksplisiittisesti. Ilmaistaan ​​parametri ensimmäisestä yhtälöstä: – ja korvaa se toiseen yhtälöön: . Tuloksena on tavallinen kuutiofunktio.

"Vakavammissa" tapauksissa tämä temppu ei toimi. Mutta sillä ei ole väliä, koska parametrisen funktion derivaatan löytämiseksi on kaava:

Löydämme johdannaisen "pelistä suhteessa muuttujaan te":

Kaikki differentiointisäännöt ja johdannaistaulukko pätevät luonnollisesti kirjaimelle , joten johdannaisten etsintäprosessissa ei ole mitään uutta. Korvaa vain henkisesti kaikki taulukon "X" kirjaimella "Te".

Löydämme "x:n" derivaatan muuttujan te suhteen:

Nyt ei jää muuta kuin korvata löydetyt johdannaiset kaavaamme:

Valmis. Derivaata, kuten itse funktio, riippuu myös parametrista.

Mitä tulee merkintään, sen sijaan, että kirjoittaisit sen kaavaan, se voitaisiin kirjoittaa ilman alaindeksiä, koska tämä on "säännöllinen" johdannainen "suhteessa X". Mutta kirjallisuudessa on aina vaihtoehto, joten en poikkea standardista.

Esimerkki 6

Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Täten:

Erikoispiirre parametrisen funktion derivaatan löytämisessä on se, että jokaisessa vaiheessa on hyödyllistä yksinkertaistaa tulosta niin paljon kuin mahdollista. Joten tarkasteltavassa esimerkissä, kun löysin sen, avasin sulkeet juuren alle (vaikka en ehkä tehnyt tätä). On hyvä mahdollisuus, että kun korvataan kaavaan, monet asiat vähenevät hyvin. Vaikka tietysti on esimerkkejä, joissa on kömpelöitä vastauksia.

Esimerkki 7

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse.

Artikkelissa Yksinkertaisimmat tyypilliset johdannaisten ongelmat tarkastelimme esimerkkejä, joissa meidän piti löytää funktion toinen derivaatta. Parametrisesti määritellylle funktiolle voit löytää myös toisen derivaatan, ja se löytyy seuraavalla kaavalla: . On aivan selvää, että toisen derivaatan löytämiseksi sinun on ensin löydettävä ensimmäinen derivaatta.

Esimerkki 8

Etsi parametrisesti annetun funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta

Etsitään ensin ensimmäinen johdannainen.
Käytämme kaavaa

Tässä tapauksessa:

Korvaamme löydetyt johdannaiset kaavaan. Yksinkertaistamiseksi käytämme trigonometristä kaavaa:

Toiminto voidaan määrittää useilla tavoilla. Se riippuu säännöstä, jolla se määritellään. Funktion spesifiointimuoto on y = f (x). Joskus sen kuvaus on mahdotonta tai hankalaa. Jos on monta paria (x; y), jotka on laskettava parametrille t intervallin (a; b) aikana. Järjestelmän x = 3 ratkaisemiseksi cos t y = 3 sin t kun 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrifunktion määritelmä

Tästä seuraa, että x = φ (t), y = ψ (t) on määritelty arvolle t ∈ (a; b) ja niillä on käänteisfunktio t = Θ (x) kun x = φ (t), niin puhumme parametrisen yhtälön määrittämisestä funktiolle, jonka muoto on y = ψ (Θ (x)) .

On tapauksia, jolloin funktion tutkimiseksi on tarpeen etsiä derivaatta x:n suhteen. Tarkastellaan muotoa y x " = ψ " (t) φ " (t) olevan parametrisesti määritellyn funktion derivaatan kaavaa, puhutaan 2. ja n:nnen kertaluvun derivaatta.

Parametrisesti määritellyn funktion derivaatan kaavan derivointi

Meillä on, että x = φ (t), y = ψ (t), määritelty ja differentioituva t ∈ a; b, missä x t " = φ " (t) ≠ 0 ja x = φ (t), niin on olemassa käänteisfunktio muotoa t = Θ (x).

Aluksi sinun tulee siirtyä parametrisesta tehtävästä eksplisiittiseen tehtävään. Tätä varten sinun on hankittava kompleksifunktio muotoa y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), jossa on argumentti x.

Kompleksisen funktion derivaatan löytämissäännön perusteella saadaan, että y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Tämä osoittaa, että t = Θ (x) ja x = φ (t) ovat käänteisfunktioita käänteisfunktion kaavasta Θ " (x) = 1 φ " (t), sitten y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Jatketaan useiden esimerkkien ratkaisemista käyttämällä derivaattataulukkoa differentiaatiosäännön mukaisesti.

Esimerkki 1

Etsi derivaatta funktiolle x = t 2 + 1 y = t.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, tästä saadaan, että φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Sinun on käytettävä johdettua kaavaa ja kirjoitettava vastaus muotoon:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Vastaus: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Kun työskentelet funktion h derivaatan kanssa, parametri t määrittää argumentin x lausekkeen saman parametrin t kautta, jotta ei menetä derivaatan arvojen ja parametrisesti määritellyn funktion välistä yhteyttä argumentin kanssa. joita nämä arvot vastaavat.

Määrittääksesi parametrisesti annetun funktion toisen kertaluvun derivaatan, sinun on käytettävä tuloksena olevan funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatan kaavaa, jolloin saamme sen

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Esimerkki 2

Etsi annetun funktion x = cos (2 t) y = t 2 2. ja 2. kertaluvun derivaatat.

Ratkaisu

Ehdolla saadaan, että φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Sitten muutoksen jälkeen

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Tästä seuraa, että y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Saadaan, että 1. kertaluvun derivaatan muoto on x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Ratkaisua varten sinun on käytettävä toisen asteen johdannaiskaavaa. Saamme muodon ilmaisun

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Sitten määritetään 2. asteen derivaatta parametrifunktiolla

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Samanlainen ratkaisu voidaan ratkaista toisella menetelmällä. Sitten

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Täältä saamme sen

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Vastaus: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Korkeamman asteen derivaatat parametrisesti määritellyillä funktioilla löytyvät samalla tavalla.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Määritetään funktio parametrisesti:
(1)
jossa on jokin muuttuja, jota kutsutaan parametriksi. Ja anna funktioilla olla johdannaisia ​​tietyllä muuttujan arvolla. Lisäksi funktiolla on myös käänteisfunktio tietyssä pisteen ympäristössä. Tällöin funktiolla (1) on pisteessä derivaatta, joka parametrimuodossa määritetään kaavoilla:
(2)

Tässä ja ovat funktioiden ja muuttujan (parametrin) johdannaiset. Ne kirjoitetaan usein seuraavasti:
;
.

Sitten järjestelmä (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Todiste

Ehdon mukaan funktiolla on käänteisfunktio. Merkitään se nimellä
.
Sitten alkuperäinen funktio voidaan esittää monimutkaisena funktiona:
.
Etsitään sen derivaatta käyttämällä monimutkaisten ja käänteisten funktioiden erottamissääntöjä:
.

Sääntö on todistettu.

Todistus toisella tavalla

Etsitään derivaatta toisella tavalla funktion derivaatan määritelmän perusteella pisteessä:
.
Otetaan käyttöön merkintä:
.
Sitten edellinen kaava saa muodon:
.

Hyödynnetään sitä, että funktiolla on käänteisfunktio pisteen läheisyydessä.
Otetaan käyttöön seuraava merkintä:
; ;
; .
Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä:
.
klo , . Sitten
.

Sääntö on todistettu.

Korkeamman asteen johdannaiset

Korkeamman asteen johdannaisten löytämiseksi on välttämätöntä suorittaa differentiointi useita kertoja. Oletetaan, että meidän on löydettävä parametrisesti määritellyn funktion toisen asteen derivaatta seuraavassa muodossa:
(1)

Kaavan (2) avulla löydämme ensimmäisen derivaatan, joka myös määritetään parametrisesti:
(2)

Merkitään ensimmäinen derivaatta muuttujalla:
.
Sitten, jotta voit löytää funktion toisen derivaatan muuttujan suhteen, sinun on löydettävä funktion ensimmäinen derivaatta muuttujan suhteen. Muuttujan riippuvuus muuttujasta määritellään myös parametrisesti:
(3)
Vertaamalla (3) kaavoihin (1) ja (2), löydämme:

Ilmaistaan ​​nyt tulos funktioiden ja kautta. Tehdään tämä korvaamalla ja soveltamalla johdannaisen murtolukukaavaa:
.
Sitten
.

Tästä saamme funktion toisen derivaatan muuttujan suhteen:

Se annetaan myös parametrimuodossa. Huomaa, että ensimmäinen rivi voidaan kirjoittaa myös seuraavasti:
.

Jatkamalla prosessia, voit saada funktioiden johdannaisia ​​kolmannen ja korkeamman asteen muuttujasta.

Huomaa, että meidän ei tarvitse ottaa käyttöön merkintää derivaatalle. Voit kirjoittaa sen näin:
;
.

Esimerkki 1

Etsi parametrisesti määritellyn funktion derivaatta:

Ratkaisu

Löydämme johdannaisia ​​suhteessa .
Johdannaisten taulukosta löydämme:
;
.
Haemme:

.
täällä .

.
täällä .

Vaadittu johdannainen:
.

Vastaus

Esimerkki 2

Etsi parametrin kautta ilmaistu funktion derivaatta:

Ratkaisu

Laajennetaan hakasulkeet potenssifunktioiden ja juurien kaavoilla:
.

Johdannan löytäminen:

.

Johdannan löytäminen. Tätä varten otamme käyttöön muuttujan ja soveltamme kompleksisen funktion derivaatan kaavaa.

.

Löydämme halutun johdannaisen:
.

Vastaus

Esimerkki 3

Etsi esimerkissä 1 parametrisesti määritellyn funktion toisen ja kolmannen asteen derivaatat:

Ratkaisu

Esimerkissä 1 löysimme ensimmäisen kertaluvun derivaatan:

Esittelemme nimityksen. Silloin funktio on johdannainen suhteessa . Se määritetään parametrisesti:

Löytääksemme toisen derivaatan suhteessa , meidän on löydettävä ensimmäinen derivaatta suhteessa .

Tehdään ero .
.
Löysimme esimerkissä 1 johdannaisen:
.
Toisen kertaluvun johdannainen suhteessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen kertaluvun johdannainen suhteessa:
.

Joten löysimme toisen asteen derivaatan parametrisen muodon suhteen:

Nyt löydämme kolmannen asteen derivaatan. Esittelemme nimityksen. Sitten meidän on löydettävä funktion ensimmäisen kertaluvun derivaatta, joka määritellään parametrisesti:

Etsi johdannainen suhteessa . Tätä varten kirjoitamme sen uudelleen vastaavaan muotoon:
.
From
.

Kolmannen kertaluvun johdannainen suhteessa on yhtä suuri kuin ensimmäisen kertaluvun johdannainen suhteessa:
.

Kommentti

Sinun ei tarvitse syöttää muuttujia ja , jotka ovat ja johdannaisia, vastaavasti. Sitten voit kirjoittaa sen näin:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Vastaus

Parametrisessa esityksessä toisen kertaluvun derivaatalla on seuraava muoto:

Kolmannen asteen johdannainen.