Matriisin rivien korvaamista vastaavilla sarakkeilla kutsutaan. matriiseja

Määritelmä 1. Matrix A kokom n on suorakaiteen muotoinen taulukko, jossa on m riviä ja n saraketta ja joka koostuu luvuista tai muista matemaattisista lausekkeista (kutsutaan matriisielementeiksi), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, tai

Määritelmä 2. Kaksi matriisia
ja
samaa kokoa kutsutaan yhtä suuri, jos ne vastaavat elementti kerrallaan, ts. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matriisien avulla on helppo kirjoittaa ylös joitain taloudellisia riippuvuuksia, esimerkiksi taulukoita resurssien jakautumisesta tietyille talouden sektoreille.

Määritelmä 3. Jos matriisirivien lukumäärä vastaa sen sarakkeiden määrää, ts. m = n, niin matriisia kutsutaan neliön järjestysn, muuten suorakulmainen.

Määritelmä 4. Siirtymä matriisista A matriisiin A m, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan järjestyksen säilyttämisen kanssa, on ns. osaksi kansallista lainsäädäntöä matriiseja.

Matriisityypit: neliö (koko 33) -
,

suorakaiteen muotoinen (koko 25) -
,

diagonaali -
, yksittäinen -
, nolla -
,

matriisirivi -
, matriisi-sarake -.

Määritelmä 5. N:n kertaluvun neliömatriisin alkioita, joilla on samat indeksit, kutsutaan päädiagonaalin elementeiksi, ts. nämä ovat elementit:
.

Määritelmä 6. N-kertaisen neliömatriisin alkioita kutsutaan toissijaisiksi diagonaalielementeiksi, jos niiden indeksien summa on n + 1, ts. nämä ovat elementit: .

1.2. Operaatiot matriiseilla.

1 0 . summa kaksi matriisia
ja
samankokoista matriisia kutsutaan matriisiksi С = (с ij), jonka alkiot määräytyvät yhtäläisyydellä ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Matriisilisäyksen toiminnan ominaisuudet.

Mille tahansa matriisit A,B,C samankokoisia, seuraavat yhtäläisyydet täyttyvät:

1) A + B = B + A (kommutatiivisuus),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assosiatiivisuus).

2 0 . työ matriiseja
numeroa kohti  kutsutaan matriisiksi
samankokoinen kuin matriisi A, ja b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matriisin luvulla kertomisen ominaisuudet.

(А) = ()А (kertoimen assosiatiivisuus);

(А+В) = А+В (kertolaskujakauma suhteessa matriisisummaan);

(+)A = A+A (kertolaskujakauma suhteessa lukujen yhteenlaskemiseen).

Määritelmä 7. Matriisien lineaarinen yhdistelmä
ja
Samankokoista lauseketta kutsutaan muotoa A + B, missä  ja  ovat mielivaltaisia ​​lukuja.

3 0 . Tuote A  Matriiseissa A:ta ja B:tä, joiden koko on mn ja nk, kutsutaan matriisiksi C, jonka koko on mk, jolloin alkio, jossa ij on yhtä suuri kuin i:nnen rivin alkioiden tulojen summa. matriisin A ja matriisin B j:nnen sarakkeen, ts. jossa ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Tulo AB on olemassa vain, jos matriisin A sarakkeiden lukumäärä on sama kuin matriisin B rivien lukumäärä.

Matriisin kertolaskutoiminnon ominaisuudet:

(АВ)С = А(ВС) (assosiatiivisuus);

(А+В)С = АС+ВС (jakauma suhteessa matriisilisäukseen);

А(В+С) = АВ+АС (jakauma suhteessa matriisilisäukseen);

АВ  ВА (ei kommutatiivisuus).

Määritelmä 8. Matriiseja A ja B, joille AB = BA, kutsutaan commutingiksi tai permutaatioksi.

Minkä tahansa järjestyksen neliömatriisin kertominen vastaavalla identiteettimatriisilla ei muuta matriisia.

Määritelmä 9. Elementaariset muunnokset matriiseja kutsutaan seuraaviksi operaatioiksi:

Vaihda kaksi riviä (saraketta).

Kerro jokainen rivin (sarakkeen) elementti nollasta poikkeavalla luvulla.

Lisätään yhden rivin (sarakkeen) elementteihin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit.

Määritelmä 10. Alkuainemuunnosten avulla matriisista A saatua matriisia B kutsutaan vastaava(merkitty BA).

Esimerkki 1.1. Etsi matriisien 2A–3B lineaarinen yhdistelmä, jos

,
.

,
,

.

Esimerkki 1.2. Etsi matriisien tulo
, jos

.

Ratkaisu: koska ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä, matriisitulo on olemassa. Tuloksena saamme uuden matriisin
, missä

Tuloksena saamme
.

Luento 2. Determinantit. Toisen, kolmannen kertaluvun determinanttien laskeminen. Tarkennettavat ominaisuudetn- järjestys.

Tällaisille matriiseille suoritetaan erilaisia ​​​​toimia: ne kerrotaan keskenään, determinantteja löydetään jne. Matriisi - erikoistapaus taulukko: jos taulukolla voi olla mikä tahansa määrä ulottuvuuksia, vain kaksiulotteista taulukkoa kutsutaan matriisiksi.

Ohjelmoinnissa matriisia kutsutaan myös kaksiulotteiseksi taulukoksi. Mikä tahansa ohjelman taulukko nimetään ikään kuin se olisi yksi muuttuja. Selventämiseksi, mitä taulukon soluista tarkoitetaan, kun se mainitaan ohjelmassa, muuttujan kanssa käytetään siinä olevaa solunumeroa. Sekä kaksiulotteinen matriisi että n-ulotteinen matriisi ohjelman sisällä voivat sisältää paitsi numeerista, myös symbolista, merkkijono-, Boolen- ja muuta tietoa, mutta aina saman koko taulukon sisällä.

Matriisit merkitään isoilla kirjaimilla A:MxN, missä A on matriisin nimi, M on matriisin rivien lukumäärä ja N on sarakkeiden lukumäärä. Elementit - vastaavat pienet kirjaimet indekseillä, jotka osoittavat niiden numeron rivillä ja sarakkeessa a (m, n).

Yleisimmät matriisit ovat suorakaiteen muotoisia, vaikka kaukaisessa menneisyydessä matemaatikot pitivät myös kolmiomaisia. Jos matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama, sitä kutsutaan neliöksi. Tässä tapauksessa M=N on jo matriisijärjestyksen nimi. Matriisia, jossa on vain yksi rivi, kutsutaan riviksi. Matriisia, jossa on vain yksi sarake, kutsutaan sarakkeeksi. Diagonaalimatriisi on neliömatriisi, jossa vain diagonaalia pitkin sijaitsevat elementit ovat nollia poikkeavia. Jos kaikki elementit ovat yhtä suuria kuin yksi, matriisia kutsutaan identiteetiksi, jos nolla - nolla.

Jos vaihdat rivejä ja sarakkeita matriisissa, se transponoidaan. Jos kaikki alkuaineet korvataan monimutkaisilla konjugaateilla, siitä tulee monimutkainen konjugaatti. Lisäksi on olemassa muun tyyppisiä matriiseja, jotka määräytyvät matriisielementeille asetettujen ehtojen mukaan. Mutta useimmat näistä ehdoista koskevat vain neliöehtoja.

Liittyvät videot

Ohje. varten online-ratkaisuja sinun on määritettävä matriisilauseke. Toisessa vaiheessa on tarpeen selvittää matriisien mitat.

Kelvolliset operaatiot: kertolasku (*), yhteenlasku (+), vähennyslasku (-), matriisin käänteinen A^(-1) , eksponentio (A^2 , B^3), matriisitransponointi (A^T).
Suorita toimintoluettelo käyttämällä puolipisteen (;) erotinta. Voit esimerkiksi suorittaa kolme toimintoa:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
tulee kirjoittaa näin: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matriisi on suorakaiteen muotoinen numeerinen taulukko, jossa on m riviä ja n saraketta, joten matriisi voidaan esittää kaavamaisesti suorakulmiona.
Nollamatriisi (nollamatriisi) kutsutaan matriisiksi, jonka kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla ja merkitsevät nollaa.
identiteettimatriisi kutsutaan muodon neliömatriisiksi

Määritellään perusoperaatioita matriiseilla.

Matriisin lisäys

Esimerkki 6. .
Matriisilisäyksen toiminta ulottuu minkä tahansa määrän termeihin. Ilmeisesti A+0=A.
Korostamme vielä kerran, että vain samankokoisia matriiseja voidaan lisätä; erikokoisille matriiseille summausoperaatiota ei ole määritelty.

Matriisivähennys

Matriisin kertolasku

Esimerkki 7. Matriisitiedot ja . Etsi matriisit C = A·B ja D = B·A.
Ratkaisu. Ensinnäkin huomaa, että tulo A B on olemassa, koska sarakkeiden määrä A:ssa on yhtä suuri kuin rivien määrä B:ssä.

Esimerkki 8. Annettu matriisi . Etsi 3A 2 - 2A.
Ratkaisu.

.
; .
.
Panemme merkille seuraavan mielenkiintoisen tosiasian.
Kuten tiedät, kahden nollasta poikkeavan luvun tulo ei ole nolla. Matriiseilla tällaista olosuhdetta ei välttämättä tapahdu, eli nollasta poikkeavien matriisien tulo voi osoittautua yhtä suureksi kuin nollamatriisi.

Matriisi on merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla ( MUTTA, AT, FROM,...).

Määritelmä 1. Suorakaiteen muotoinen taulukko,

joka koostuu m linjat ja n sarakkeita kutsutaan matriisi.

Matriisielementti, i – rivin numero, j – sarakkeen numero.

Matriisityypit:

päädiagonaalin elementit:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn.

§2. 2., 3. ja n. kertaluvun determinantit

Olkoon kaksi neliömatriisia:

Määritelmä 1. Matriisin toisen kertaluvun determinantti MUTTA 1 on luku, joka on merkitty ∆:llä ja yhtä suuri kuin , missä

Esimerkki. Laske toisen asteen determinantti:

Määritelmä 2. Neliömatriisin 3. kertaluvun determinantti MUTTA 2 kutsutaan lomakkeen numeroksi:

Tämä on yksi tapa laskea determinantti.

Esimerkki. Laskea

Määritelmä 3. Jos determinantti koostuu n-rivistä ja n-sarakkeesta, sitä kutsutaan n:nnen kertaluvun determinantiksi.

Determinanttien ominaisuudet:

Determinantti ei muutu transponoinnin aikana (eli jos sen rivit ja sarakkeet vaihdetaan samalla kun järjestys säilyy).

Jos mitkä tahansa kaksi riviä tai kaksi saraketta vaihdetaan determinantissa, determinantti muuttaa vain etumerkkiä.

Minkä tahansa rivin (sarakkeen) yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin etumerkistä.

Jos determinantin minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikki alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla, niin determinantti on nolla.

Determinantti on nolla, jos minkä tahansa kahden rivin alkiot ovat yhtä suuret tai verrannolliset.

Determinantti ei muutu, jos minkä tahansa rivin (sarakkeen) elementteihin lisätään toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla.

Esimerkki.

Määritelmä 4. Kutsutaan determinanttia, joka saadaan annetusta poistamalla sarake ja rivi alaikäinen vastaava elementti. M ij elementti a ij .

Määritelmä 5. Algebrallinen lisäys elementtiä a ij , kutsutaan lausekkeeksi

§3. Matrix-toiminnot

Lineaariset operaatiot

1) Matriiseja lisättäessä lisätään niiden samannimiset elementit.

Matriiseja vähennettäessä vähennetään niiden samannimiset elementit.

Kun matriisi kerrotaan luvulla, matriisin jokainen elementti kerrotaan tällä numerolla:

3.2 Matriisikertominen.

Työ matriiseja MUTTA matriisiin AT on uusi matriisi, jonka alkiot ovat yhtä suuria kuin matriisin i:nnen rivin alkioiden tulojen summa MUTTA matriisin j:nnen sarakkeen vastaaviin elementteihin AT. Matrix tuote MUTTA matriisiin AT löytyy vain, jos matriisin sarakkeiden määrä MUTTA on yhtä suuri kuin matriisirivien lukumäärä AT. Muuten työ on mahdotonta.

Kommentti:

(ei koske kommutatiivisuusominaisuutta)

§ 4. Käänteinen matriisi

Käänteimatriisi on olemassa vain neliömatriisille, ja matriisin on oltava ei-singulaarinen.

Määritelmä 1. Matriisi MUTTA nimeltään ei-degeneroitunut jos tämän matriisin determinantti ei ole nolla

Määritelmä 2. MUTTA-1 soitti käänteinen matriisi tietylle ei-singulaariselle neliömatriisille MUTTA, jos kertomalla tämä matriisi annetulla molemmilla oikealla, niin vasemmalla saadaan identiteettimatriisi.

Algoritmi käänteismatriisin laskemiseksi

1 tapa (käyttäen algebrallisia lisäyksiä)

Esimerkki 1:

Huomaa, että matriisin elementit eivät voi olla vain numeroita. Kuvittele, että kuvailet kirjahyllyssäsi olevia kirjoja. Anna hyllysi olla kunnossa ja kaikki kirjat seisovat tarkasti määritellyissä paikoissa. Taulukko, joka sisältää kuvauksen kirjastostasi (hyllyjen ja hyllyllä olevien kirjojen järjestyksen mukaan), on myös matriisi. Mutta tällainen matriisi ei ole numeerinen. Toinen esimerkki. Numeroiden sijasta on olemassa erilaisia ​​toimintoja, joita yhdistää jokin riippuvuus. Tuloksena olevaa taulukkoa kutsutaan myös matriisiksi. Toisin sanoen Matrix on mikä tahansa suorakaiteen muotoinen pöytä, joka koostuu homogeeninen elementtejä. Tässä ja alla puhumme luvuista koostuvista matriiseista.

Sulkujen sijaan matriisit kirjoitetaan hakasulkeilla tai suorilla kaksoispystyviivoilla.

(2.1*)

Määritelmä 2. Jos ilmaisussa(1) m = n , sitten he puhuvat neliömatriisi, mitä jos , jotain suorakulmainen.

Riippuen m:n ja n:n arvoista, niitä on joitain erikoistyyppejä matriisit:

Tärkein ominaisuus neliö- matriisi on sen määräävä tekijä tai määräävä tekijä, joka koostuu matriisielementeistä ja on merkitty

Ilmeisesti DE = 1; .

Määritelmä 3. Jos , sitten matriisi A nimeltään ei-degeneroitunut tai ei erityinen.

Määritelmä 4. Jos detA = 0, sitten matriisi A nimeltään rappeutunut tai erityistä.

Määritelmä 5. Kaksi matriisia A ja B nimeltään yhtä suuri ja kirjoittaa A=B jos niillä on samat mitat ja niitä vastaavat elementit ovat yhtä suuret, ts..

Esimerkiksi matriisit ja ovat yhtä suuret, koska ne ovat kooltaan yhtä suuret ja yhden matriisin jokainen elementti on yhtä suuri kuin toisen matriisin vastaava elementti. Mutta matriiseja ei voida kutsua tasa-arvoisiksi, vaikka molempien matriisien determinantit ovat yhtä suuret ja matriisien koot ovat samat, mutta kaikki samoissa paikoissa olevat alkiot eivät ole samanarvoisia. Matriisit ovat erilaisia, koska niillä on eri kokoja. Ensimmäinen matriisi on 2x3 ja toinen 3x2. Vaikka elementtien lukumäärä on sama - 6 ja itse elementit ovat samat 1, 2, 3, 4, 5, 6, mutta ne pysyvät eri paikkoja jokaisessa matriisissa. Mutta matriisit ja ovat yhtä suuret määritelmän 5 mukaan.

Määritelmä 6. Jos korjaamme tietyn määrän matriisin sarakkeita A ja sama määrä sen rivejä, sitten elementit määritettyjen sarakkeiden ja rivien leikkauspisteessä muodostavat neliömatriisi n- järjestyksessä, jonka määräävä tekijä nimeltään alaikäinen k- tilausmatriisi A.

Esimerkki. Kirjoita kolme matriisin toisen kertaluvun mollia