Formule pour trouver la somme des premiers nombres d'une progression arithmétique. Progression arithmétique

Par exemple, la séquence \(2\); \(5\); \(8\); \(onze\); \(14\)... est une progression arithmétique, car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant trois) :

Dans cette progression, la différence \(d\) est positive (égale à \(3\)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées en augmentant.

Cependant, \(d\) peut aussi être nombre négatif. Par exemple, V progression arithmétique\(16\); \(dix\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la différence de progression \(d\) est égale à moins six.

Et dans ce cas, chaque élément suivant sera plus petit que le précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.

Notation de progression arithmétique

La progression est indiquée par une petite lettre latine.

Les nombres qui forment une progression sont appelés membres(ou éléments).

Ils sont désignés par la même lettre qu'une progression arithmétique, mais avec un index numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.

Par exemple, la progression arithmétique \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) se compose des éléments \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) et ainsi de suite.

Autrement dit, pour la progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Résoudre des problèmes de progression arithmétique

En principe, les informations présentées ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(b_1=7; d=4\). Recherchez \(b_5\).
Solution:

Répondre: \(b_5=23\)

Exemple (OGE). Les trois premiers termes d'une progression arithmétique sont donnés : \(62; 49; 36…\) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression..
Solution:

Répondre: \(-3\)

Exemple (OGE). Étant donné plusieurs éléments consécutifs d'une progression arithmétique : \(…5; x; 10; 12.5...\) Trouver la valeur de l'élément désigné par la lettre \(x\).
Solution:

Répondre: \(7,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est définie par les conditions suivantes : \(a_1=-11\) ; \(a_(n+1)=a_n+5\) Trouvez la somme des six premiers termes de cette progression.
Solution:

Répondre: \(S_6=9\).

Exemple (OGE). En progression arithmétique \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trouvez la différence de cette progression.
Solution:

Répondre: \(d=7\).

Formules importantes pour la progression arithmétique

Comme vous pouvez le constater, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres et que chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (le différence de progression).

Cependant, il arrive parfois que prendre une décision « frontale » soit très gênant. Par exemple, imaginez que dans le tout premier exemple, nous devions trouver non pas le cinquième élément \(b_5\), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \(b_(386)\). Devons-nous ajouter quatre \(385\) fois ? Ou imaginez que dans l’avant-dernier exemple, vous deviez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Vous en aurez marre de compter...

Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas les problèmes de manière frontale, mais utilisent des formules spéciales dérivées de la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme des \(n\) premiers termes.

Formule du \(n\)ième terme : \(a_n=a_1+(n-1)d\), où \(a_1\) est le premier terme de la progression ;
\(n\) – numéro de l'élément requis ;
\(a_n\) – terme de la progression de numéro \(n\).

Cette formule nous permet de trouver rapidement même le trois centième ou le millionième élément, en ne connaissant que le premier et la différence de progression.

Exemple. La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Recherchez \(b_(246)\).
Solution:

Répondre: \(b_(246)=1850\).

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), où

\(a_n\) – le dernier terme additionné ;

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(a_n=3.4n-0.6\). Trouver la somme des premiers \(25\) termes de cette progression.
Solution:

Répondre: \(S_(25)=1090\).

Pour la somme \(n\) des premiers termes, vous pouvez obtenir une autre formule : il suffit de \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) au lieu de \(a_n\) remplacez-le par la formule \(a_n=a_1+(n-1)d\). On a:

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), où

\(S_n\) – la somme requise des premiers éléments \(n\) ;
\(a_1\) – le premier terme additionné ;
\(d\) – différence de progression ;
\(n\) – nombre d’éléments au total.

Exemple. Trouver la somme des premiers termes \(33\)-ex de la progression arithmétique : \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solution:

Répondre: \(S_(33)=-231\).

Problèmes de progression arithmétique plus complexes

Maintenant tu as tout information nécessaire pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Terminons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels il faut non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques cela peut être utile ☺)

Exemple (OGE). Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \(-19.3\) ; \(-19\); \(-18,7\)…
Solution:

Répondre: \(S_(65)=-630,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trouvez la somme du \(26\)ème à l'élément \(42\) inclus.
Solution:

Répondre: \(S=1683\).

Pour la progression arithmétique, il existe plusieurs autres formules que nous n'avons pas envisagées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.

La devise de notre leçon sera les paroles du mathématicien russe V.P. Ermakova : « En mathématiques, il ne faut pas se souvenir des formules, mais des processus de réflexion. »

Pendant les cours

Formulation du problème

Au tableau se trouve un portrait de Gauss. Un enseignant ou un élève chargé de préparer un message à l'avance raconte que lorsque Gauss était à l'école, l'enseignant a demandé aux élèves d'additionner tous les nombres naturels de 1 à 100. Le petit Gauss a résolu ce problème en une minute.

Question . Comment Gauss a-t-il obtenu la réponse ?

Trouver des solutions

Les élèves expriment leurs hypothèses, puis résument : se rendant compte que les sommes sont 1 + 100, 2 + 99, etc. sont égaux, Gauss multiplié 101 par 50, c'est-à-dire par le nombre de ces sommes. En d’autres termes, il a remarqué une tendance inhérente à la progression arithmétique.

Dérivation de la formule de somme n premiers termes d'une progression arithmétique

Notez le sujet de la leçon au tableau et dans vos cahiers. Les élèves et l'enseignant écrivent la conclusion de la formule :

Laisser un 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ; ...; un – 2 ; un – 1 ; un- progression arithmétique.

Consolidation primaire

1. En utilisant la formule (1), nous résolvons le problème de Gauss :

2. À l'aide de la formule (1), résoudre des problèmes oralement (leurs conditions sont écrites au tableau ou en code positif), ( un) - progression arithmétique:

UN) un 1 = 2, un 10 = 20. S 10 - ?

b) un 1 = –5, un 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) un 1 = –2, un 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) un 1 = –5, un 11 = 5. S 11 - ?

3. Terminez la tâche.

Donné: ( un) - progression arithmétique;

un 1 = 3, un 60 = 57.

Trouver: S 60 .

Solution. Utilisons la formule de somme n premiers termes d'une progression arithmétique

Répondre: 1800.

Question supplémentaire. Combien de types de problèmes différents peuvent être résolus à l’aide de cette formule ?

Répondre. Quatre types de tâches :

Trouver le montant S n;

Trouver le premier terme d'une progression arithmétique un 1 ;

Trouver nème terme d'une progression arithmétique un;

Trouver le nombre de termes d'une progression arithmétique.

4. Terminer la tâche : n° 369(b).

Trouver la somme des soixante premiers termes de la progression arithmétique ( un), Si un 1 = –10,5, un 60 = 51,5.

Solution.

Répondre: 1230.

Question supplémentaire. Écrivez la formule nème terme d’une progression arithmétique.

Répondre: un = un 1 + d(n – 1).

5. Calculez la formule des neuf premiers termes de la progression arithmétique ( bn),
Si b 1 = –17, d = 6.

Est-il possible de calculer immédiatement à l'aide d'une formule ?

Non, car le neuvième terme est inconnu.

Comment le trouver ?

D'après la formule nème terme d’une progression arithmétique.

Solution. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Répondre: 63.

Question. Est-il possible de trouver la somme sans calculer le neuvième terme de la progression ?

Formulation du problème

Problème : obtenir la formule de somme n premiers termes d'une progression arithmétique, connaissant son premier terme et sa différence d.

(Dérivation d'une formule au tableau par un élève.)

Résolvons le n° 371(a) en utilisant la nouvelle formule (2) :

Établissons verbalement les formules (2) ( les conditions des tâches sont inscrites au tableau).

(un

1. un 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. un 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Renseignez-vous auprès des élèves sur les questions qui ne sont pas claires.

Travail indépendant

Option 1

1. un 1 = –3, un 6 = 21. S 6 - ?

2. un 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Option 2

Donné: (un) - progression arithmétique.

1.un 1 = 2, un 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.un 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Les élèves échangent leurs cahiers et vérifient les solutions de chacun.

Résumer l'apprentissage de la matière sur la base des résultats d'un travail indépendant.

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec des exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.
Le nombre avec nombre est appelé le ème terme de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Cette suite de nombres est appelée progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce au VIe siècle et était compris dans un sens plus large comme une séquence numérique infinie. Le nom « arithmétique » a été transféré de la théorie des proportions continues, étudiée par les anciens Grecs.

Il s'agit d'une séquence de nombres dont chaque membre est égal au précédent ajouté au même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est désigné.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
d)

J'ai compris? Comparons nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème terme. Existe deux moyen de le trouver.

1. Méthode

On peut ajouter le numéro de progression à la valeur précédente jusqu'à atteindre le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le ème terme de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s’il fallait trouver la valeur du ème terme de la progression ? La sommation nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne ferions pas d'erreurs en additionnant des nombres.
Bien entendu, les mathématiciens ont trouvé une méthode selon laquelle il n’est pas nécessaire d’ajouter la différence d’une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez de plus près l'image dessinée... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir :

Voyons par exemple en quoi consiste la valeur du ième terme de cette progression arithmétique :


Autrement dit:

Essayez de trouver vous-même la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée.

As-tu calculé ? Comparez vos notes avec la réponse :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons ajouté séquentiellement les termes de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule- emmenons-la à Forme générale et on obtient :

Les progressions arithmétiques peuvent être croissantes ou décroissantes.

En augmentant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:

Descendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions cela en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Vérifions quel sera le ème nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour le calculer :

Depuis lors:

Ainsi, nous sommes convaincus que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver vous-même les ième et ième termes de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons le problème - nous en dériverons la propriété de progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Laissez, ah, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors cela n’a rien de compliqué, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il est possible de se tromper dans les calculs.
Demandez-vous maintenant s'il est possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr que oui, et c’est ce que nous allons essayer de faire ressortir maintenant.

Notons le terme requis de la progression arithmétique car la formule pour le trouver nous est connue - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, Alors:

• le terme précédent de la progression est :
• le terme suivant de la progression est :

Résumons les termes précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des termes précédents et suivants de la progression est valeur double membre de la progression située entre eux. En d’autres termes, pour trouver la valeur d’un terme de progression avec des valeurs précédentes et successives connues, vous devez les additionner et diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Sécurisons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, ce n’est pas du tout difficile.

Bien joué! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une formule qui, selon la légende, a été facilement déduite par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le « roi des mathématiciens » - Karl Gauss...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, un enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves d'autres classes, posa en classe le problème suivant : « Calculer la somme de tous nombres naturels du au (selon d’autres sources jusqu’au) inclus. Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné une minute plus tard la bonne réponse à la tâche, tandis que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...

Le jeune Carl Gauss a remarqué une certaine tendance que vous pouvez facilement remarquer aussi.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -èmes termes : nous devons trouver la somme de ces termes de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si la tâche nécessite de trouver la somme de ses termes, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Examinez attentivement les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.


L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Droite! Leurs sommes sont égales

Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires au total dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les chiffres.
Partant du fait que la somme de deux termes d'une progression arithmétique est égale et que les paires similaires sont égales, on obtient que la somme totale est égale à :
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de remplacer la formule du ème terme par la formule de somme.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bien joué! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Carl Gauss : calculez vous-même à quoi est égale la somme des nombres à partir du ème et la somme des nombres à partir du ème.

Combien as-tu reçu ?
Gauss a découvert que la somme des termes est égale, ainsi que la somme des termes. C'est ce que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des termes d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des gens pleins d'esprit ont pleinement utilisé les propriétés de la progression arithmétique.
Par exemple, imaginez L'Egypte ancienne et le plus grand projet de construction de l'époque - la construction d'une pyramide... La photo en montre un côté.

Où est la progression ici, dites-vous ? Regardez attentivement et trouvez une régularité dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.


Pourquoi pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés à la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur le moniteur, vous vous souvenez de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

Dans ce cas, la progression ressemble à ceci : .
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de termes d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (calculons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. J'ai compris? Bravo, vous maîtrisez la somme des nièmes termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, on ne peut pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
Avez-vous réussi ?
La bonne réponse est les blocs :

Entraînement

Tâches:

1. Masha se met en forme pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha fera-t-elle des squats par semaine si elle faisait des squats lors de la première séance d'entraînement ?
2. Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus.
3. Lors du stockage des journaux, les enregistreurs les empilent de manière à ce que chaque couche supérieure contienne un journal de moins que la précédente. Combien y a-t-il de rondins dans une maçonnerie, si les fondations de la maçonnerie sont constituées de rondins ?

Réponses:

1. Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
   (semaines = jours).

   Répondre: Dans deux semaines, Masha devrait faire des squats une fois par jour.

2. Premier nombre impair, dernier nombre.
   Différence de progression arithmétique.
   Le nombre de nombres impairs est la moitié, cependant, vérifions ce fait à l'aide de la formule pour trouver le ème terme d'une progression arithmétique :

   Les nombres contiennent des nombres impairs.
   Remplaçons les données disponibles dans la formule :

   Répondre: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale.

3. Rappelons-nous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors au total, il y a un tas de couches, c'est-à-dire.
   Remplaçons les données dans la formule :

   Répondre: Il y a des rondins dans la maçonnerie.

Résumons-le

1. - une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale. Il peut être croissant ou décroissant.
2. Trouver une formule Le ème terme d'une progression arithmétique s'écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
3. Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres en progression.
4. La somme des termes d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :
   
   , où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n’importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d’autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel et unique. Et nous n’attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le ème terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal et la différence l'est). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le ème terme, il faut connaître le ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide de cette formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez-le. Alors:

Eh bien, est-ce que la formule est claire maintenant ?

Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Lequel? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus pratique maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Solution:

Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Voici quoi :

(C'est pourquoi on l'appelle différence car elle est égale à la différence des termes successifs de la progression).

Donc la formule :

Alors le centième terme est égal à :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

D'après la légende, grand mathématicien Karl Gauss, enfant de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du troisième à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires au total ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, bien sûr. Donc,

La formule générale de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouver la somme de tous nombres à deux chiffres, multiples.

Solution:

Le premier de ces chiffres est le suivant. Chaque numéro suivant est obtenu en ajoutant au numéro précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

Formule du ème terme pour cette progression :

Combien de termes y a-t-il dans la progression s’ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Alors la somme :

Répondre: .

Maintenant, décidez vous-même :

1. Chaque jour, l'athlète court plus de mètres que la veille. Combien de kilomètres au total parcourra-t-il en une semaine s'il courait des km m le premier jour ?
2. Un cycliste parcourt chaque jour plus de kilomètres que la veille. Le premier jour, il a parcouru des kilomètres. Combien de jours faut-il parcourir pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il lors du dernier jour de son voyage ?
3. Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il était vendu pour des roubles.

Réponses:

1. Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
   .
   Répondre:
2. Ici, il est donné : , doit être trouvé.
   Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
   .
   Remplacez les valeurs :

   La racine ne convient évidemment pas, donc la réponse est.
   Calculons le chemin parcouru au cours du dernier jour à l'aide de la formule du ème terme :
   (km).
   Répondre:

3. Donné: . Trouver: .
   Rien de plus simple :
   (frotter).
   Répondre:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Il s'agit d'une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.

La progression arithmétique peut être croissante () et décroissante ().

Par exemple:

Formule pour trouver le nième terme d'une progression arithmétique

s'écrit par la formule, où est le nombre de nombres en progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il permet de retrouver facilement un terme d'une progression si ses termes voisins sont connus - où est le nombre de nombres dans la progression.

Somme des termes d'une progression arithmétique

Il existe deux façons de connaître le montant :

Où est le nombre de valeurs.

Où est le nombre de valeurs.