Comment réduire des fractions avec des dénominateurs différents. Comment réduire une fraction ? Des règles pour toutes les situations

La réduction de fractions est nécessaire pour réduire la fraction à une forme plus simple, par exemple dans la réponse obtenue à la suite de la résolution d'une expression.

Fractions réductrices, définition et formule.

Qu’est-ce que la réduction des fractions ? Que signifie réduire une fraction ?

Définition:
Réduire les fractions- c'est la division du numérateur et du dénominateur d'une fraction par le même nombre positif différent de zéro et un. À la suite de la réduction, on obtient une fraction avec un numérateur et un dénominateur plus petits, égale à la fraction précédente selon.

Formule pour réduire les fractions propriété principale nombres rationnels.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Regardons un exemple :
Réduire la fraction \(\frac(9)(15)\)

Solution:
Nous pouvons factoriser une fraction en facteurs premiers et annuler les facteurs communs.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Réponse : après réduction, nous avons obtenu la fraction \(\frac(3)(5)\). Selon la propriété fondamentale des nombres rationnels, les fractions originales et résultantes sont égales.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Comment réduire des fractions ? Réduire une fraction à sa forme irréductible.

Pour obtenir une fraction irréductible, il faut trouver le plus grand diviseur commun(HOCHER LA TÊTE) pour le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Il existe plusieurs façons de trouver GCD ; dans l'exemple, nous utiliserons la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Obtenez la fraction irréductible \(\frac(48)(136)\).

Solution:
Trouvons GCD(48, 136). Écrivons les nombres 48 et 136 en facteurs premiers.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
PGCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

La règle pour réduire une fraction à une forme irréductible.

Vous devez trouver le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur.
Vous devez diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun pour obtenir une fraction irréductible suite à la division.

Exemple:
Réduisez la fraction \(\frac(152)(168)\).

Solution:
Trouvons GCD(152, 168). Écrivons les nombres 152 et 168 en facteurs premiers.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
PGCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Réponse : \(\frac(19)(21)\) est une fraction irréductible.

Réduire les fractions impropres.

Comment couper fraction impropre?
Les règles de réduction des fractions sont les mêmes pour les fractions propres et impropres.

Regardons un exemple :
Réduisez la fraction impropre \(\frac(44)(32)\).

Solution:
Écrivons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples. Et puis nous réduirons les facteurs communs.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Réduire les fractions mixtes.

Les fractions mixtes suivent les mêmes règles que les fractions ordinaires. La seule différence est que nous pouvons ne touchez pas la partie entière, mais réduisez la partie fractionnaire ou Convertissez une fraction mixte en fraction impropre, réduisez-la et reconvertissez-la en fraction propre.

Regardons un exemple :
Annulez la fraction mixte \(2\frac(30)(45)\).

Solution:
Résolvons-le de deux manières :
Première façon :
Écrivons la partie fractionnaire en facteurs simples, mais nous n'aborderons pas la partie entière.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Deuxième manière :
Convertissons-le d'abord en fraction impropre, puis écrivons-le en facteurs premiers et réduisons-le. Convertissons la fraction impropre résultante en une fraction propre.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Questions connexes:
Pouvez-vous réduire des fractions lors de l’addition ou de la soustraction ?
Réponse : non, vous devez d'abord ajouter ou soustraire des fractions selon les règles, puis les réduire seulement. Regardons un exemple :

Évaluez l’expression \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Solution:
Ils font souvent l’erreur de réduire les mêmes nombres au numérateur et au dénominateur, dans notre cas le nombre 20, mais ils ne peuvent être réduits que lorsque vous avez terminé l’addition et la soustraction.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

De quels nombres pouvez-vous réduire une fraction ?
Réponse : Vous pouvez réduire une fraction du plus grand commun diviseur ou du commun diviseur du numérateur et du dénominateur. Par exemple, la fraction \(\frac(100)(150)\).

Écrivons les nombres 100 et 150 en facteurs premiers.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Le plus grand diviseur commun sera le nombre pgcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Nous avons la fraction irréductible \(\frac(2)(3)\).

Mais il n'est pas toujours nécessaire de diviser par pgcd ; une fraction irréductible n'est pas toujours nécessaire ; vous pouvez réduire la fraction par un simple diviseur du numérateur et du dénominateur. Par exemple, les nombres 100 et 150 ont un diviseur commun de 2. Réduisons la fraction \(\frac(100)(150)\) de 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Nous avons la fraction réductible \(\frac(50)(75)\).

Quelles fractions peuvent être réduites ?
Réponse : Vous pouvez réduire les fractions dont le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. Par exemple, la fraction \(\frac(4)(8)\). Les nombres 4 et 8 ont un nombre par lequel ils sont tous deux divisibles - le nombre 2. Par conséquent, une telle fraction peut être réduite du nombre 2.

Exemple:
Comparez les deux fractions \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(8)(12)\).

Ces deux fractions sont égales. Regardons de plus près la fraction \(\frac(8)(12)\) :

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\fois 1=\frac(2)(3)\)

De là, nous obtenons, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Deux fractions sont égales si et seulement si l’une d’elles est obtenue en réduisant l’autre fraction par le facteur commun du numérateur et du dénominateur.

Exemple:
Si possible, réduisez les fractions suivantes : a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Solution:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 fois 3 fois 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fraction irréductible
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ fois 5)=\frac(2)(5)\)

En utilisant des fractions, la même partie d’un objet entier peut être écrite de différentes manières.

La moitié du cercle est ombrée sur l'image

Donc toutes ces fractions sont égales.

Pour plus de commodité, le facteur supplémentaire est inscrit sur la barre oblique à droite au-dessus de la fraction.

Revenons à nos fractions et écrivons-les dans un ordre différent.

Une fraction égale à un donné peut être obtenue si le numérateur et le dénominateur de la fraction sont simultanément divisés par le même nombre qui n'est pas égal à zéro.

Cette conversion d'une fraction s'appelle réduire une fraction.

La réduction d’une fraction s’écrit généralement comme suit.

Le numérateur et le dénominateur sont barrés et les résultats de la division (quotients) du numérateur et du dénominateur par le même nombre sont inscrits à côté d'eux.

Gardez à l’esprit le nombre par lequel le numérateur et le dénominateur sont divisés.

Dans notre exemple, nous avons réduit (c’est-à-dire divisé le numérateur et le dénominateur) une fraction par deux, ce que nous avons gardé à l’esprit.

La réduction des fractions peut être effectuée de manière séquentielle.

La propriété principale d'une fraction

Formulons la propriété principale d'une fraction.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés ou divisés par le même nombre qui n'est pas égal à zéro, vous obtenez une fraction égale à celle donnée.

Écrivons cette propriété sous forme d'expressions littérales.

, où "a", "b" et "k" sont des nombres naturels.

Fractions réductrices, règles et exemples de fractions réductrices.

Dans cet article, nous verrons en détail comment fractions réductrices. Tout d’abord, parlons de ce qu’on appelle réduire une fraction. Après cela, parlons de la réduction d'une fraction réductible à une forme irréductible. Nous obtiendrons ensuite la règle de réduction des fractions et, enfin, considérerons des exemples d'application de cette règle.

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Que signifie réduire une fraction ?

Nous savons que les fractions ordinaires sont divisées en fractions réductibles et irréductibles. Vous pouvez deviner à partir des noms que les fractions réductibles peuvent être réduites, mais pas les fractions irréductibles.

Que signifie réduire une fraction ? Réduire la fraction- cela signifie diviser son numérateur et son dénominateur par leur diviseur commun positif et non unité. Il est clair qu'en raison de la réduction d'une fraction, une nouvelle fraction avec un numérateur et un dénominateur plus petits est obtenue et, en raison de la propriété fondamentale de la fraction, la fraction résultante est égale à l'originale.

Par exemple, réduisons la fraction commune 8/24 en divisant son numérateur et son dénominateur par 2. Autrement dit, réduisons la fraction 8/24 de 2. Puisque 8:2=4 et 24:2=12, cette réduction donne la fraction 4/12, qui est égale à la fraction originale 8/24 (voir fractions égales et inégales). En conséquence, nous avons .

Réduire des fractions ordinaires à une forme irréductible

En règle générale, le but ultime de la réduction d’une fraction est d’obtenir une fraction irréductible égale à la fraction réductible d’origine. Cet objectif peut être atteint en réduisant la fraction réductible originale par le plus grand diviseur commun de son numérateur et de son dénominateur. Grâce à une telle réduction, une fraction irréductible est toujours obtenue. En effet, une fraction est irréductible, puisque d'après les propriétés de GCD on sait que Et - mutuellement nombres premiers. Nous dirons ici que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction est le plus grand nombre par lequel cette fraction peut être réduite.

Donc, réduire une fraction commune à une forme irréductible consiste à diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction réductible originale par leur pgcd.

Regardons un exemple, pour lequel on revient à la fraction 8/24 et on la réduit du plus grand diviseur commun des nombres 8 et 24, qui est égal à 8. Puisque 8:8=1 et 24:8=3, on arrive à la fraction irréductible 1/3. Donc, .

Notez que l’expression « réduire une fraction » signifie souvent réduire la fraction originale à sa forme irréductible. En d’autres termes, réduire une fraction consiste très souvent à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (plutôt que par un quelconque diviseur commun).

Comment réduire une fraction ? Règles et exemples de fractions réductrices

Il ne reste plus qu'à regarder la règle de réduction des fractions, qui explique comment réduire une fraction donnée.

Règle de réduction des fractions se compose de deux étapes :

tout d'abord, le pgcd du numérateur et du dénominateur de la fraction est trouvé ;
deuxièmement, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par leur pgcd, ce qui donne une fraction irréductible égale à celle d'origine.

Faisons le tri exemple de réduction d'une fraction selon la règle énoncée.

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Réduire les fractions. Que signifie réduire une fraction ?

La réduction de fractions est nécessaire pour réduire la fraction à une forme plus simple, par exemple dans la réponse obtenue à la suite de la résolution d'une expression.

Fractions réductrices, définition et formule.

Qu’est-ce que la réduction des fractions ? Que signifie réduire une fraction ?

Formule pour réduire les fractions propriétés fondamentales des nombres rationnels.

Regardons un exemple :
Réduire la fraction \(\frac \)

Solution:
Nous pouvons factoriser une fraction en facteurs premiers et annuler les facteurs communs.

Réponse : après réduction, nous obtenons la fraction \(\frac\). Selon la propriété fondamentale des nombres rationnels, les fractions originales et résultantes sont égales.

Comment réduire des fractions ? Réduire une fraction à sa forme irréductible.

Pour obtenir une fraction irréductible, il faut trouver le plus grand diviseur commun (PGCD) pour le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Il existe plusieurs façons de trouver GCD ; dans l'exemple, nous utiliserons la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Obtenez la fraction irréductible \(\frac\).

Solution:
Trouvons GCD(48, 136). Écrivons les nombres 48 et 136 en facteurs premiers.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
PGCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

La règle pour réduire une fraction à une forme irréductible.

Vous devez trouver le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur.
Vous devez diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun pour obtenir une fraction irréductible suite à la division.

Exemple:
Réduisez la fraction \(\frac\).

Solution:
Trouvons GCD(152, 168). Écrivons les nombres 152 et 168 en facteurs premiers.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
PGCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

Réponse : \(\frac \) est une fraction irréductible.

Réduire les fractions impropres.

Comment réduire une fraction impropre ?
Les règles de réduction des fractions sont les mêmes pour les fractions propres et impropres.

Regardons un exemple :
Réduisez la fraction impropre \(\frac\).

Solution:
Écrivons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples. Et puis nous réduirons les facteurs communs.

Réduire les fractions mixtes.

Regardons un exemple :
Annulez la fraction mixte \(2\frac\).

Solution:
Résolvons-le de deux manières :
Première façon :
Écrivons la partie fractionnaire en facteurs simples, mais nous n'aborderons pas la partie entière.

Deuxième manière :
Convertissons-le d'abord en fraction impropre, puis écrivons-le en facteurs premiers et réduisons-le. Convertissons la fraction impropre résultante en une fraction propre.

Écrivons les nombres 100 et 150 en facteurs premiers.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Le plus grand diviseur commun sera le nombre pgcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

Nous avons la fraction irréductible \(\frac \).

Nous avons la fraction réductible \(\frac\).

Quelles fractions peuvent être réduites ?
Réponse : Vous pouvez réduire les fractions dont le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. Par exemple, la fraction \(\frac \). Les nombres 4 et 8 ont un nombre par lequel ils sont tous deux divisibles - le nombre 2. Par conséquent, une telle fraction peut être réduite du nombre 2.

Exemple:
Comparez les deux fractions \(\frac \) et \(\frac \).

Ces deux fractions sont égales. Regardons de plus près la fraction \(\frac \) :

Deux fractions sont égales si et seulement si l’une d’elles est obtenue en réduisant l’autre fraction par le facteur commun du numérateur et du dénominateur.

Exemple:
Réduisez si possible les fractions suivantes : a) \(\frac \) b) \(\frac \) c) \(\frac \) d) \(\frac \)

Opérations avec des fractions ordinaires

Expansion des fractions. Réduire une fraction. Comparer des fractions.

Réduction à un dénominateur commun. Addition et soustraction fractions

Multiplier des fractions. Division de fractions .

Expansion des fractions. La valeur d'une fraction ne change pas si vous multipliez son numérateur et son dénominateur par le même nombre autre que zéro. expansion d'une fraction. Par exemple,

Réduire une fraction. La valeur d'une fraction ne change pas si vous divisez son numérateur et son dénominateur par le même nombre autre que zéro.. Cette transformation est appelée réduire une fraction. Par exemple,

Comparer des fractions. De deux fractions de mêmes numérateurs, celle dont le dénominateur est le plus petit est la plus grande :

De deux fractions de même dénominateur, celle dont le numérateur est le plus grand est la plus grande :

Pour comparer des fractions ayant des numérateurs et des dénominateurs différents, vous devez les développer pour les amener à un dénominateur commun.

EXEMPLE Comparez deux fractions :

Développons la première fraction par le dénominateur de la seconde, et la seconde par le dénominateur de la première :

La transformation utilisée ici s'appelle réduire des fractions à un dénominateur commun.

Additionner et soustraire des fractions. Si les dénominateurs des fractions sont les mêmes, alors pour additionner les fractions, vous devez ajouter leurs numérateurs, et pour soustraire les fractions, vous devez soustraire leurs numérateurs (dans le même ordre). La somme ou la différence résultante sera le numérateur du résultat ; le dénominateur restera le même. Si les dénominateurs des fractions sont différents, vous devez d'abord réduire les fractions à un dénominateur commun. Lors de l'ajout de nombres fractionnaires, leurs parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément. Lors de la soustraction de nombres fractionnaires, nous vous recommandons de les convertir d'abord en fractions impropres, puis de soustraire l'une de l'autre, puis de reconvertir le résultat, si nécessaire, sous forme de nombres fractionnaires.

Multiplier des fractions. Multiplier un nombre par une fraction signifie le multiplier par le numérateur et diviser le produit par le dénominateur. Nous avons donc règle générale multiplier des fractions : pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément et diviser le premier produit par le second.

EXEMPLE

Diviser des fractions. Pour diviser un nombre par une fraction, vous devez multiplier ce nombre par la fraction réciproque. Cette règle découle de la définition de la division (voir la section « Opérations arithmétiques »).

EXEMPLE

Multiplier et diviser des fractions

La dernière fois, nous avons appris à additionner et à soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.

Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. Bonnes nouvelles est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.

Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».

De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.

À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.

Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives

Si présent en fractions partie entière, ils doivent être convertis en incorrects - et ensuite seulement multipliés selon les schémas décrits ci-dessus.

S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :

Plus par moins donne moins ;
Deux négatifs font un affirmatif.

Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :

On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On a:

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).

Notez également nombres négatifs: Lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.

Réduire les fractions à la volée

La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :

Par définition nous avons :

Dans tous les exemples, les nombres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.

Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.

Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :

Vous ne pouvez pas faire ça !

L'erreur se produit car lors de l'addition, le numérateur d'une fraction produit une somme et non un produit de nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.

Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.

Pour comprendre comment réduire des fractions, regardons d’abord un exemple.

Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par la même chose. 360 et 420 se terminent par un chiffre, nous pouvons donc réduire cette fraction de 2. Dans la nouvelle fraction, 180 et 210 sont également divisibles par 2, nous réduisons donc cette fraction de 2. Dans les nombres 90 et 105, la somme des chiffres est divisible par 3, donc ces deux nombres sont divisibles par 3, on réduit la fraction par 3. Dans la nouvelle fraction, 30 et 35 se terminent par 0 et 5, ce qui signifie que les deux nombres sont divisibles par 5, donc on réduit la fraction par 5. La fraction résultante de six septièmes est irréductible. C'est la réponse finale.

Nous pouvons arriver à la même réponse d’une manière différente.

360 et 420 se terminent par zéro, ce qui signifie qu'ils sont divisibles par 10. Nous réduisons la fraction de 10. Dans la nouvelle fraction, le numérateur 36 et le dénominateur 42 sont divisés par 2. Nous réduisons la fraction de 2. Dans la fraction suivante, le numérateur 18 et le dénominateur 21 sont divisés par 3, ce qui signifie que nous réduisons la fraction de 3. Nous sommes arrivés au résultat - six septièmes.

Et encore une solution.

La prochaine fois, nous examinerons des exemples de fractions réductrices.

Les enfants de l'école apprennent les règles de réduction des fractions en 6e année. Dans cet article, nous allons d’abord vous expliquer ce que signifie cette action, puis nous vous expliquerons comment convertir une fraction réductible en fraction irréductible. Le point suivant concernera les règles de réduction des fractions, puis nous passerons progressivement aux exemples.

Que signifie « réduire une fraction » ?

Donc nous le savons tous fractions ordinaires sont divisés en deux groupes : réductibles et irréductibles. Déjà par les noms on peut comprendre que ceux qui sont contractables sont contractés, et que ceux qui sont irréductibles ne sont pas contractés.

Réduire une fraction signifie diviser son dénominateur et son numérateur par leur diviseur positif (autre qu'un). Le résultat, bien sûr, est une nouvelle fraction avec un dénominateur et un numérateur plus petits. La fraction résultante sera égale à la fraction originale.

Il convient de noter que dans les livres de mathématiques avec la tâche « réduire une fraction », cela signifie que vous devez réduire la fraction originale à cette forme irréductible. Si nous parlons en mots simples, alors diviser le dénominateur et le numérateur par leur plus grand diviseur commun est une réduction.

Comment réduire une fraction. Règles de réduction des fractions (6e année)

Il n'y a donc que deux règles ici.

La première règle de réduction des fractions est de trouver d’abord le plus grand commun diviseur du dénominateur et du numérateur de votre fraction.
La deuxième règle : diviser le dénominateur et le numérateur par le plus grand diviseur commun, pour obtenir au final une fraction irréductible.

Comment réduire une fraction impropre ?

Les règles de réduction des fractions sont identiques aux règles de réduction des fractions impropres.

Afin de réduire une fraction impropre, vous devrez d’abord factoriser le dénominateur et le numérateur en facteurs premiers, puis réduire les facteurs communs.

Réduire les fractions mixtes

Les règles de réduction des fractions s'appliquent également à la réduction des fractions mixtes. Il n'y a qu'une petite différence : on ne peut pas toucher la partie entière, mais réduire la fraction ou convertir la fraction mixte en une fraction impropre, puis la réduire et la convertir à nouveau en une fraction propre.

Réduire fractions mélangées possible de deux manières.

Premièrement : écrivez la partie fractionnaire en facteurs premiers, puis laissez la partie entière tranquille.

La deuxième façon : convertissez-la d’abord en une fraction impropre, écrivez-la en facteurs ordinaires, puis réduisez la fraction. Convertissez la fraction impropre déjà obtenue en une fraction propre.

Des exemples peuvent être vus sur la photo ci-dessus.

Nous espérons vraiment avoir pu vous aider, vous et vos enfants. Après tout, ils sont souvent inattentifs en classe et doivent donc étudier seuls à la maison de manière plus intensive.

Nous sommes donc arrivés à la réduction. La propriété fondamentale d’une fraction est appliquée ici. MAIS! Pas si simple. Avec de nombreuses fractions (y compris de cours scolaire) il est tout à fait possible de s'en sortir. Et si nous prenions des fractions « plus abruptes » ? Regardons de plus près! Je recommande de regarder les matériaux avec des fractions.

Ainsi, nous savons déjà que le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés et divisés par le même nombre, la fraction ne changera pas. Considérons trois approches :

Approchez-en un.

Pour réduire, divisez le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Regardons des exemples :

Raccourcissons :

Dans les exemples donnés, on voit immédiatement quels diviseurs prendre pour la réduction. Le processus est simple : nous passons par 2,3,4,5 et ainsi de suite. Dans la plupart des exemples de cours scolaires, cela suffit amplement. Mais si c'est une fraction :

Ici, le processus de sélection des diviseurs peut prendre beaucoup de temps ;). Bien sûr, de tels exemples ne font pas partie du programme scolaire, mais il faut être capable d'y faire face. Ci-dessous, nous verrons comment cela se fait. Pour l'instant, revenons au processus de réduction des effectifs.

Comme indiqué ci-dessus, afin de réduire une fraction, nous avons divisé par le(s) diviseur(s) commun(s) que nous avons déterminé. Tout est correct! Il suffit d'ajouter des signes de divisibilité des nombres :

- si le nombre est pair, alors il est divisible par 2.

- si un nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 4, alors le nombre lui-même est divisible par 4.

— si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3. Par exemple, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Douze est divisible par 3, donc 123031 est divisible par 3.

- si le nombre se termine par 5 ou 0, alors le nombre est divisible par 5.

— si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 9, alors le nombre lui-même est divisible par 9. Par exemple, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Dix-huit est divisible par 9, ce qui signifie que 623032 est divisible par 9.

Deuxième approche.

Pour le dire brièvement, en fait, toute l'action se résume à factoriser le numérateur et le dénominateur puis à réduire des facteurs égaux au numérateur et au dénominateur (cette approche est une conséquence de la première approche) :

Visuellement, afin d'éviter toute confusion et erreur, les facteurs égaux sont simplement barrés. Question : comment factoriser un nombre ? Il est nécessaire de déterminer tous les diviseurs par recherche. C'est un sujet à part, ce n'est pas compliqué, recherchez les informations dans un manuel ou sur Internet. Vous ne rencontrerez pas de gros problèmes avec la factorisation des nombres présents dans les fractions scolaires.

Formellement, le principe de réduction peut s’écrire comme suit :

Approchez-en trois.

Voici la chose la plus intéressante pour les avancés et ceux qui veulent le devenir. Réduisons la fraction 143/273. Essayez-le vous-même ! Eh bien, comment est-ce arrivé rapidement ? Maintenant regarde !

On le retourne (on change les places du numérateur et du dénominateur). Divisez la fraction résultante avec un coin et convertissez-la en nombre mixte, c'est-à-dire que nous sélectionnons toute la partie :

C'est déjà plus facile. On voit que le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits par 13 :

Maintenant, n'oubliez pas de retourner la fraction, écrivons toute la chaîne :

Vérifié - cela prend moins de temps que de rechercher et de vérifier les diviseurs. Revenons à nos deux exemples :

D'abord. En divisant avec un coin (pas sur une calculatrice), on obtient :

Cette fraction est bien sûr plus simple, mais la réduction pose encore une fois un problème. Maintenant, nous analysons séparément la fraction 1273/1463 et la retournons :

C'est plus facile ici. On peut considérer un diviseur tel que 19. Le reste ne convient pas, c'est clair : 190 :19 = 10, 1273 :19 = 67. Hourra ! Écrivons :

Exemple suivant. Raccourcissons 88179/2717.

Divisons, on obtient :

Séparément, nous analysons la fraction 1235/2717 et la retournons :

On peut considérer un diviseur tel que 13 (jusqu'à 13 ne convient pas) :

Numérateur 247:13=19 Dénominateur 1235:13=95

*Au cours du processus, nous avons vu un autre diviseur égal à 19. Il s'avère que :

Maintenant, nous notons le numéro d'origine :

Et peu importe ce qui est le plus grand dans la fraction - le numérateur ou le dénominateur, si c'est le dénominateur, alors nous le retournons et agissons comme décrit. De cette façon, nous pouvons réduire n'importe quelle fraction ; la troisième approche peut être qualifiée d'universelle.

Bien entendu, les deux exemples évoqués ci-dessus ne sont pas des exemples simples. Essayons cette technologie sur les fractions « simples » que nous avons déjà envisagées :

Deux quarts.

Soixante-douze années soixante. Le numérateur est supérieur au dénominateur, il n'est pas nécessaire de l'inverser :

Bien entendu, la troisième approche a été appliquée à de tels exemples simples juste comme alternative. La méthode, comme déjà dit, est universelle, mais pas pratique ni correcte pour toutes les fractions, en particulier les plus simples.

La variété des fractions est grande. Il est important que vous compreniez les principes. Règles strictes il n'y a tout simplement aucun moyen de travailler avec des fractions. Nous avons regardé, compris comment il serait plus pratique d'agir et sommes allés de l'avant. Avec la pratique, l’habileté viendra et vous les casserez comme des graines.

Conclusion:

Si vous voyez un ou plusieurs diviseurs communs pour le numérateur et le dénominateur, utilisez-les pour réduire.

Si vous savez comment factoriser rapidement un nombre, factorisez le numérateur et le dénominateur, puis réduisez.

Si vous ne parvenez pas à déterminer le diviseur commun, utilisez la troisième approche.

*Pour réduire des fractions, il est important de maîtriser les principes de réduction, de comprendre la propriété de base d'une fraction, de connaître les approches de résolution et d'être extrêmement prudent lors des calculs.

Et rappelez-vous! Il est d'usage de réduire une fraction jusqu'à ce qu'elle s'arrête, c'est-à-dire de la réduire tant qu'il existe un diviseur commun.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.