Formule du module d'accélération centripète. Accélération centripète (accélération normale)

Nous permet d'exister sur cette planète. Comment comprendre ce qu’est l’accélération centripète ? Définition de ceci quantité physique présenté ci-dessous.

Observations

L'exemple le plus simple de l'accélération d'un corps se déplaçant en cercle peut être observé en faisant tourner une pierre sur une corde. Vous tirez sur la corde, et la corde tire la pierre vers le centre. A chaque instant, la corde donne un certain mouvement à la pierre, et à chaque fois dans une nouvelle direction. Vous pouvez imaginer le mouvement de la corde comme une série de faibles secousses. Une secousse - et la corde change de direction, une autre secousse - un autre changement, et ainsi de suite en cercle. Si vous relâchez brusquement la corde, les secousses s'arrêteront et avec elles le changement de direction de la vitesse s'arrêtera. La pierre se déplacera dans la direction tangente au cercle. La question se pose : « Avec quelle accélération le corps va-t-il se déplacer à cet instant ? »

Formule pour l'accélération centripète

Tout d’abord, il convient de noter que le mouvement d’un corps en cercle est complexe. La pierre participe simultanément à deux types de mouvement : sous l'influence de la force elle se déplace vers le centre de rotation, et en même temps le long d'une tangente au cercle, s'éloignant de ce centre. Selon la deuxième loi de Newton, la force qui retient une pierre sur une corde est dirigée vers le centre de rotation le long de la corde. Le vecteur accélération y sera également dirigé.

Supposons qu'après un certain temps t notre pierre, se déplaçant uniformément avec une vitesse V, passe du point A au point B. Supposons qu'au moment où le corps a franchi le point B, la force centripète a cessé d'agir sur lui. Puis, au bout d’un certain temps, il atteindrait le point K. Il se trouve sur la tangente. Si au même instant seules des forces centripètes agissaient sur le corps, alors pendant le temps t, se déplaçant avec la même accélération, il aboutirait au point O, qui est situé sur une droite représentant le diamètre d'un cercle. Les deux segments sont des vecteurs et obéissent à la règle de l’addition vectorielle. En additionnant ces deux mouvements sur une période de temps t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc AB.

Si l’intervalle de temps t est considéré comme négligeable, alors l’arc AB différera peu de la corde AB. Ainsi, il est possible de remplacer le mouvement le long d'un arc par un mouvement le long d'une corde. Dans ce cas, le mouvement de la pierre le long de la corde obéira aux lois du mouvement rectiligne, c'est-à-dire que la distance parcourue AB sera égale au produit de la vitesse de la pierre et du temps de son mouvement. AB = V x t.

Notons l'accélération centripète souhaitée par la lettre a. Ensuite, le chemin parcouru uniquement sous l'influence de l'accélération centripète peut être calculé à l'aide de la formule mouvement uniformément accéléré:

La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, c'est-à-dire AB = V x t,

AO - calculé précédemment en utilisant la formule du mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2 / 2.

En substituant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :

En mots, cela peut être exprimé comme suit : l'accélération centripète d'un corps se déplaçant dans un cercle est égale au quotient de la vitesse linéaire au carré par le rayon du cercle le long duquel le corps tourne. Dans ce cas, la force centripète ressemblera à l’image ci-dessous.

Vitesse angulaire

La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. L’affirmation inverse est également vraie : V = ωR, où ω est la vitesse angulaire

Si nous substituons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir une expression de l'accélération centrifuge pour vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:

Accélération sans changement de vitesse

Et pourtant, pourquoi un corps dont l'accélération est dirigée vers le centre ne se déplace-t-il pas plus vite et ne se rapproche-t-il pas du centre de rotation ? La réponse réside dans la formulation même de l’accélération. Les faits montrent que le mouvement circulaire est réel, mais pour le maintenir, il faut une accélération dirigée vers le centre. Sous l'influence de la force provoquée par cette accélération, un changement dans l'ampleur du mouvement se produit, à la suite de quoi la trajectoire du mouvement est constamment courbée, changeant tout le temps la direction du vecteur vitesse, mais sans changer sa valeur absolue. . En se déplaçant en cercle, notre pierre qui souffre depuis longtemps se précipite vers l'intérieur, sinon elle continuerait à se déplacer tangentiellement. À chaque instant, en allant tangentiellement, la pierre est attirée vers le centre, mais n'y tombe pas. Un autre exemple d’accélération centripète serait un skieur nautique effectuant de petits cercles sur l’eau. La silhouette de l'athlète est inclinée ; il semble tomber, continuant d'avancer et se penchant en avant.

Ainsi, nous pouvons conclure que l’accélération n’augmente pas la vitesse du corps, puisque les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires les uns aux autres. Ajoutée au vecteur vitesse, l’accélération ne fait que changer la direction du mouvement et maintient le corps en orbite.

Dépassement du facteur de sécurité

Dans l’expérience précédente, nous avions affaire à une corde parfaite qui ne cassait pas. Mais disons que notre corde est la plus ordinaire, et vous pouvez même calculer la force après laquelle elle se brisera tout simplement. Pour calculer cette force, il suffit de comparer la résistance de la corde avec la charge qu'elle subit lors de la rotation de la pierre. En faisant tourner la pierre à une vitesse plus élevée, vous lui communiquez une plus grande quantité de mouvement, et donc une plus grande accélération.

Avec une corde de jute d'un diamètre d'environ 20 mm, sa résistance à la traction est d'environ 26 kN. Il est à noter que la longueur de la corde n’apparaît nulle part. En faisant tourner une charge de 1 kg sur une corde d'un rayon de 1 m, on peut calculer que la vitesse linéaire nécessaire pour la rompre est de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Ainsi, la vitesse dangereuse pour le dépassement sera égal à √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

La gravité

Lors de l'examen de l'expérience, nous avons négligé l'effet de la gravité, car à des vitesses aussi élevées, son influence est négligeable. Mais on peut remarquer qu’en déroulant une longue corde, le corps décrit une trajectoire plus complexe et se rapproche progressivement du sol.

Corps célestes

Si nous transférons les lois du mouvement circulaire dans l’espace et les appliquons au mouvement des corps célestes, nous pouvons redécouvrir plusieurs formules familières. Par exemple, la force avec laquelle un corps est attiré vers la Terre est connue par la formule :

Dans notre cas, le facteur g est la même accélération centripète dérivée de la formule précédente. Seulement dans ce cas, le rôle de la pierre sera joué par un corps céleste attiré par la Terre, et le rôle de la corde sera joué par la force de gravité. Le facteur g sera exprimé en fonction du rayon de notre planète et de sa vitesse de rotation.

Résultats

L’essence de l’accélération centripète est le travail dur et ingrat consistant à maintenir un corps en mouvement en orbite. Un cas paradoxal est observé lorsque, à accélération constante, un corps ne change pas la valeur de sa vitesse. Pour un esprit non averti, une telle affirmation est tout à fait paradoxale. Néanmoins, tant lors du calcul du mouvement d'un électron autour du noyau que lors du calcul de la vitesse de rotation d'une étoile autour d'un trou noir, l'accélération centripète joue un rôle important.

Lorsqu'il se déplace dans un cercle avec une vitesse linéaire constante υ, le corps a une accélération centripète constante dirigée vers le centre du cercle

une c = υ 2 /R, (18)

où R est le rayon du cercle.

Dérivation de la formule de l'accélération centripète

Un prieuré.

Figure 6 Dérivation de la formule de l'accélération centripète

Sur la figure, les triangles formés par les vecteurs déplacement et vitesse sont similaires. Étant donné que == R et == υ, à partir de la similarité des triangles on trouve :

(20)

(21)

Plaçons l'origine des coordonnées au centre du cercle et choisissons le plan dans lequel se trouve le cercle comme plan (x, y). La position d'un point sur un cercle à tout moment est uniquement déterminée par l'angle polaire φ, mesuré en radians (rad), et

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

où φ 0 détermine la phase initiale (position initiale d'un point sur le cercle au temps zéro).

Dans le cas d'une rotation uniforme, l'angle φ, mesuré en radians, augmente linéairement avec le temps :

φ = ωt, (23)

où ω est appelé la fréquence cyclique (circulaire). Dimension de la fréquence cyclique : [ω] = c –1 = Hz.

La fréquence cyclique est égale à la quantité d'angle de rotation (mesurée en rad) par unité de temps, elle est donc également appelée vitesse angulaire.

La dépendance des coordonnées d'un point sur un cercle au temps dans le cas d'une rotation uniforme avec une fréquence donnée peut s'écrire :

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Le temps nécessaire pour effectuer un tour est appelé période T.

Fréquence ν = 1/T. (25)

Dimension fréquentielle : [ν] = s –1 = Hz.

Relation entre fréquence cyclique et période et fréquence : 2π = ωT, d'où

ω = 2π/T = 2πν. (26)

La relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire résulte de l'égalité :

2πR = υT, d'où

υ = 2πR/T = ωR. (27)

L’expression de l’accélération centripète peut s’écrire différentes façons, en utilisant les relations entre vitesse, fréquence et période :

un q = υ 2 /R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R/T 2 . (28)

4.6 Relation entre les mouvements de translation et de rotation

Caractéristiques cinématiques de base du mouvement en ligne droite avec une accélération constante : déplacement s, vitesse υ et accélération un. Les caractéristiques correspondantes lors d'un déplacement dans un cercle de rayon R : déplacement angulaire φ, vitesse angulaire ω et accélération angulaire ε (dans le cas où le corps tourne à vitesse variable).

Des considérations géométriques font apparaître les liens suivants entre ces caractéristiques :

déplacement s → déplacement angulaire φ = s/R ;

vitesse υ → vitesse angulaire ω = υ /R ;

accélération un→ accélération angulaire ε = un/R.

Toutes les formules pour la cinématique du mouvement uniformément accéléré en ligne droite peuvent être converties en formules pour la cinématique de rotation en cercle si les substitutions indiquées sont effectuées. Par exemple:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + un t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

La relation entre les vitesses linéaires et angulaires d'un point lors d'une rotation dans un cercle peut être écrite sous forme vectorielle. En effet, supposons que le cercle dont le centre est à l'origine soit situé dans le plan (x, y). A tout moment le vecteur tracé depuis l’origine jusqu’au point du cercle où se trouve le corps est perpendiculaire au vecteur vitesse du corps , dirigé de manière tangente au cercle en ce point. Définissons le vecteur , qui est égale en valeur absolue à la vitesse angulaire ω et est dirigée le long de l'axe de rotation dans le sens déterminé par la règle de la vis droite : si vous vissez la vis de manière à ce que le sens de sa rotation coïncide avec le sens de rotation du point le long du cercle, alors la direction du mouvement de la vis montre la direction du vecteur . Alors la connexion entre trois vecteurs perpendiculaires entre eux ,Et peut être écrit en utilisant le produit vectoriel de vecteurs.

Définition

Accélération centripète appelé la composante de l'accélération totale point matériel, se déplaçant le long d'un chemin courbe, qui détermine la vitesse de changement dans la direction du vecteur vitesse.

Une autre composante de l’accélération totale est l’accélération tangentielle, qui est responsable du changement de vitesse. Désigne une accélération centripète, généralement $(\overline(a))_n$. L'accélération centripète est également appelée accélération normale.

L'accélération centripète est égale à :

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\droite),\]

où $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ est le vecteur unitaire, qui est dirigé du centre de courbure de la trajectoire jusqu'au point en question ; $r$ est le rayon de courbure de la trajectoire à l'emplacement du point matériel à l'instant considéré.

H. Huygens fut le premier à obtenir les formules correctes pour calculer l'accélération centripète.

L'unité de mesure de l'accélération centripète est Système international Les unités sont le mètre divisé par le deuxième au carré :

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

Formule d'accélération centripète pour le mouvement uniforme d'un point dans un cercle

Considérons le mouvement uniforme d'un point matériel le long d'un cercle. Avec un tel mouvement, la vitesse du point matériel reste inchangée ($v=const$). Mais cela ne signifie pas que l’accélération totale d’un point matériel avec ce type de mouvement est nulle. Le vecteur vitesse instantanée est dirigé tangentiellement au cercle le long duquel le point se déplace. Par conséquent, dans ce mouvement, la vitesse change constamment de direction. Il s'ensuit que le point a une accélération.

Considérons les points A et B qui se trouvent sur la trajectoire de la particule. Nous trouvons le vecteur de changement de vitesse pour les points A et B comme :

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

Si le temps passé à se déplacer du point A au point B tend vers zéro, alors l'arc AB ne diffère pas beaucoup de la corde AB. Les triangles AOB et BMN sont similaires, on obtient :

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]

L'amplitude du module d'accélération moyen est déterminée comme suit :

\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]

Passons à la limite à $\Delta t\à 0\ $ de $\left\langle a\right\rangle \ \ $dans la formule (4) :

Le vecteur accélération moyenne fait un angle égal au vecteur vitesse :

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]

À $\Delta t\to 0\ $ angle $\alpha \to 0.$ Il s'avère que le vecteur accélération instantanée fait un angle $\frac(\pi )(2)$ avec le vecteur vitesse.

Et pour qu'un point matériel se déplaçant uniformément autour d'un cercle ait une accélération dirigée vers le centre du cercle ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), sa valeur est égale à la vitesse carré divisé par le rayon des cercles :

où $\omega $ est la vitesse angulaire de mouvement d'un point matériel ($v=\omega \cdot R$). Sous forme vectorielle, la formule de l'accélération centripète peut s'écrire sur la base de (7) comme suit :

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

où $\overline(R)$ est le rayon vecteur, égal en longueur au rayon de l'arc de cercle, dirigé du centre de courbure vers l'emplacement du point matériel considéré.

Exemples de problèmes avec solutions

Exemple 1

Exercice.Équation vectorielle $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, où $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ décrit le mouvement d'un point matériel. Quelle trajectoire suit ce point ? Quelle est l’ampleur de son accélération centripète ? Considérez toutes les quantités du système SI.

Solution. Considérons l'équation du mouvement d'un point :

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \gauche(1.1\droite).\]

DANS Système cartésien coordonnées, cette équation est équivalente au système d'équations :

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array) \left(1.2\right).\right.\]

Afin de comprendre sur quelle trajectoire se déplace le point, nous devons exclure le temps des équations du système (1.2). Pour ce faire, on met les deux équations au carré et on les additionne :

À partir de l'équation (1.3), nous voyons que la trajectoire du point est un cercle (Fig. 2) de rayon $R=1$ m.

Afin de trouver l’accélération centripète, nous utilisons la formule :

Déterminons le module de vitesse à l'aide du système d'équations (1.2). Trouvons les composantes de vitesse qui sont égales à :

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

Le carré du module de vitesse sera égal à :

À partir du module de vitesse résultant (1.6), nous voyons que notre point se déplace uniformément autour du cercle, donc l'accélération centripète coïncidera avec l'accélération totale.

En remplaçant $v^2$ de (1.6) dans la formule (1.4), nous avons :

Calculons $a_n$ :

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(s^2)\right).$

Répondre. 1) Cercle ; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$

Exemple 2

Exercice. Quelle est l'accélération centripète des points sur le bord du disque à un temps égal à $t=2$c, si le disque tourne conformément à l'équation : $\varphi (t)=3+2t^3$ ? Le rayon du disque est $R=0,(\rm 1)$ m.

Solution. Nous chercherons l'accélération centripète des points du disque à l'aide de la formule :

Nous trouvons la vitesse angulaire en utilisant l'équation $\varphi (t)=3+2t^3$ comme :

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

À $t=2\ $c la vitesse angulaire est égale à :

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Vous pouvez calculer l'accélération centripète à l'aide de la formule (2.1) :

Répondre.$a_n=57,6\frac(m)(s^2)$

Nous permet d'exister sur cette planète. Comment comprendre ce qu’est l’accélération centripète ? La définition de cette grandeur physique est présentée ci-dessous.

Observations

Formule pour l'accélération centripète

La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, c'est-à-dire AB = V x t,

AO - calculé précédemment en utilisant la formule du mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2 / 2.

En substituant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :

Vitesse angulaire

La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. L’affirmation inverse est également vraie : V = ωR, où ω est la vitesse angulaire

Si nous substituons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir une expression de l'accélération centrifuge pour la vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:

Accélération sans changement de vitesse

Dépassement du facteur de sécurité

La gravité

Corps célestes

Résultats

Puisque la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement circulaire ne peut pas être qualifié d’uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissons un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Dans une unité de temps, le point se déplacera vers le point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.

Période et fréquence

Période de rotation T- c'est le temps pendant lequel le corps fait un tour.

La fréquence de rotation est le nombre de tours par seconde.

La fréquence et la période sont interdépendantes par la relation

Relation avec la vitesse angulaire

Vitesse linéaire

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles provenant du dessous d’une rectifieuse se déplacent, répétant la direction de la vitesse instantanée.

Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé est la période T. Le chemin parcouru par un point est la circonférence.

Accélération centripète

Lors d'un déplacement en cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.

En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes

Les points situés sur la même ligne droite partant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur les rayons d'une roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus un point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi de l'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un cadre de référence n'est pas uniforme, alors la loi s'applique à vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre est impliquée dans deux principaux mouvements de rotation: quotidien (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction allant du centre de la Terre vers un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est la force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, alors force agissante est la force élastique.

Si un corps posé sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force arrête son action, alors le corps continuera à se déplacer en ligne droite.

Considérons le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à vA Et vB respectivement. L'accélération est le changement de vitesse par unité de temps. Trouvons la différence entre les vecteurs.