Intersection de deux avions en ligne. Construire une ligne d'intersection de plans définis de diverses manières

La ligne droite obtenue par l'intersection mutuelle de deux plans est entièrement déterminée par deux points dont chacun appartient aux deux plans. Ainsi, la droite K 1 K 2 (Fig. 163), le long de laquelle le plan défini par le triangle ABC et pl. β, donné par les droites DE et DF, passe par les points K 1 et K 2 ; mais en ces points les lignes AB et AC du premier plan coupent le carré. β c'est-à-dire que les points K 1 et K 2 appartiennent aux deux plans.

Ainsi, dans le cas général, pour construire une ligne d'intersection de deux plans, il faut trouver deux points quelconques, dont chacun appartient aux deux plans ; ces points définissent la ligne d'intersection des plans.

Pour retrouver chacun de ces deux points, il est généralement nécessaire de réaliser des constructions particulières. Mais si au moins un des plans d'intersection est perpendiculaire au plan de projection, alors la construction des projections de la ligne d'intersection est simplifiée. Commençons par ce cas.

En figue. 164 montre l'intersection de deux plans dont l'un (défini par le triangle DEF) est situé perpendiculairement au carré. π2. Puisque le triangle DEF est projeté sur le carré π 2 sous la forme d'une droite (D "F"), la projection frontale du segment de droite le long duquel les deux triangles se coupent est un segment K " 1 K " 2 sur la projection D "F". Une autre construction ressort clairement du dessin.

Un autre exemple est donné sur la Fig. 165. Le plan α se projetant horizontalement coupe le plan du triangle ABC. La projection horizontale de la ligne d'intersection de ces plans - le segment M"N" - est déterminée sur la trace α".

Considérons maintenant cas général de construction de la ligne d'intersection de deux plans. Supposons que l'un des plans, β, soit défini par deux droites sécantes, et l'autre, γ, par deux droites parallèles. La construction est représentée sur la Fig. 166. À la suite de l'intersection mutuelle des plans β et γ, la droite K 1 K 2 est obtenue. Exprimons cela en écrivant : β × γ = K 1 K 2.

Pour déterminer la position des points K 1 et K 2, on prend deux plans auxiliaires se projetant frontalement (α 1 et α 2) coupant chacun des plans β et γ. Lorsque les plans β et γ coupent le plan α 1. on obtient des droites avec des projections 1"2", 1"2" et 3"4", 3"4". Ces lignes droites, situées sur la place. α 1, à leur intersection déterminer le premier point, K 1, la ligne d'intersection des plans β et γ.

Ayant obtenu les projections K" 1 et K" 2, on retrouve sur les traces à la fois α" 1 et α" 2 les projections K" 1 et K" 2. Ceci détermine les projections K" 1 K" 2 et K" 1 K" 2 de la droite souhaitée d'intersection des plans β et γ (les projections sont tracées par une ligne en tirets).

Lors de la construction, vous pouvez garder à l'esprit ce qui suit : puisque les plans de coupe auxiliaires α 1 et α 2 sont parallèles entre eux, alors, après avoir construit les projections 1"2" et 3"4", il faut prendre un point chacun pour les projections 5" 6" et 7"8" , au moins 5 et 8, puisque 5"6"||1"2" et 7"8"||3"4".

Dans la construction considérée, deux plans en saillie frontale ont été pris comme auxiliaires. Bien entendu, il était possible de prendre d'autres plans, par exemple deux horizontaux ou un horizontal, l'autre frontal, etc. L'essence des constructions n'en change pas. Cependant, un tel cas peut se produire. Supposons que deux plans horizontaux soient pris comme auxiliaires et que ceux obtenus lors de leur intersection

les plans horizontaux β et γ se sont révélés parallèles entre eux. Mais du riz. 167 montre que β et γ se coupent, bien que leurs lignes horizontales soient parallèles. Par conséquent, après avoir reçu des projections horizontales parallèles entre elles des horizontales AB et CD et sachant que les plans ne sont pas nécessairement parallèles, mais peuvent se croiser (selon une horizontale commune pour eux), il faut tester les plans β et γ en utilisant au moins un plan en saillie horizontale (voir . fig. 167); si les droites le long desquelles ce plan auxiliaire σ coupe β et γ s'avéraient également parallèles entre elles, alors les plans β et γ ne se coupent pas, mais sont parallèles entre eux. En figue. 167 ces droites se coupent au point K, par lequel passe la ligne d'intersection des plans β et γ parallèlement aux droites BA et CD.

Si les plans sont définis par leurs traces sur les plans de projection, alors il est naturel de rechercher les points qui définissent la ligne d'intersection des plans aux points d'intersection des mêmes traces des plans (Fig. 168) : la droite passant par ces points est commune aux deux plans, c'est-à-dire leurs intersections de droites.

Le schéma de construction de la ligne d'intersection de deux plans (voir Fig. 166) peut bien entendu être étendu au cas de spécification des plans par leurs traces. Ici le rôle de plans de coupe auxiliaires est joué par les plans de projection eux-mêmes :

α × π 1 =h" 0α ; β× π 1 =h" 0β ; h" 0α × h" 0β = M ;

α × π 2 =f" 0α ; β× π 2 =f" 0β ; f" 0α × f" 0β =N.

Les points d'intersection des traces des plans du même nom sont les traces de la ligne d'intersection de ces plans. Par conséquent, pour construire des projections de la ligne d'intersection des plans α et β (Fig. 168), il faut : ​​1) trouver le point M" à l'intersection des traces h" 0α et h" 0β

et le point N" à l'intersection de f" 0α et f" 0β, et le long d'eux - les projections M" et N" ; 2) tracer des lignes droites M"N" et M"N",

En figue. 169-171 montrent des cas où la direction de la ligne d'intersection est connue. Il suffit donc de n'avoir qu'un seul point à partir de l'intersection des traces puis de tracer une ligne droite passant par ce point, en fonction de la position des plans et de leurs traces.

Questions pour les §§ 22-24

1. Quelle position relative les deux avions peuvent-ils occuper ?
2. Quel est le signe que deux plans sont parallèles ?
3. Comment les traces frontales de deux plans parallèles se projetant frontalement se situent-elles mutuellement ?
4. Comment les traces horizontales de deux plans parallèles se projetant horizontalement se situent-elles mutuellement ?
5. Comment les traces du même nom de deux avions parallèles se situent-elles mutuellement ?
6. L'intersection d'au moins une paire de leurs traces du même nom est-elle le signe de l'intersection mutuelle de deux plans ?
7. Comment établir la position relative d'une droite et d'un plan ?
8. Comment est construit le point d’intersection d’une droite avec un plan perpendiculaire à un ou deux plans de projection ?
9. Quel point parmi ceux situés sur une perpendiculaire commune à a) pl. π 1 b) pl. π 2 est considéré comme visible respectivement sur π 1, sur π 2 ?
10. Comment construire la ligne d’intersection de deux plans dont au moins un est perpendiculaire au carré. π 1 ou au pl. π 2 ?
11. Qu'est-ce que méthode générale construire la ligne d'intersection de deux plans ?

Deux plans se coupent en ligne droite. Pour le construire, il faut déterminer deux points qui appartiennent simultanément à chacun des avions donnés. Voyons comment cela est réalisé à l'aide des exemples suivants.

Trouvons la ligne d'intersection des plans position généraleα et β pour le cas où pl. α est donné par les projections du triangle ABC, et pl. β – lignes parallèles d et e. La solution à ce problème est réalisée en construisant les points L 1 et L 2 appartenant à la ligne d'intersection.

Solution

1. Nous introduisons un plan horizontal auxiliaire γ 1. Il coupe α et β le long de lignes droites. Les projections frontales de ces lignes, 1""C"" et 2""3"", coïncident avec le tracé frontal du carré. y 1. Il est désigné sur la figure par f 0 γ 1 et est situé parallèlement à l'axe des x.
2. Nous déterminons les projections horizontales 1"C" et 2"3" le long des lignes de communication.
3. On retrouve la projection horizontale du point L 1 à l'intersection des lignes 1 "C" et 2 "3". La projection frontale du point L 1 se situe sur la trace frontale du plan γ.
4. Nous introduisons un plan horizontal auxiliaire γ 2. A l'aide de constructions similaires à celles décrites aux paragraphes 1, 2, 3, on retrouve les projections du point L 2.
5. À travers L 1 et L 2, nous traçons la ligne droite souhaitée l.

Il convient de noter qu'en tant que pl. γ il est pratique d’utiliser à la fois des plans de niveau et des plans de projection.

Trouvons la ligne d'intersection des plans α et β, définie par les traces. Cette tâche est beaucoup plus simple que la précédente. Il ne nécessite pas l'introduction d'avions auxiliaires. Leur rôle est joué par les plans de projection P 1 et P 2.

Algorithme de construction

1. On retrouve le point L" 1, situé à l'intersection des traces horizontales h 0 α et h 0 β. Le point L"" 1 se trouve sur l'axe des x. Sa position est déterminée à l'aide d'une ligne de connexion tracée à partir de L" 1 .
2. On retrouve le point L"" 2 à l'intersection des traces frontales pl. α et β. Le point L" 2 se trouve sur l'axe des x. Sa position est déterminée le long de la ligne de connexion tracée à partir de L"" 2.
3. Nous traçons des lignes droites l" et l"" passant par les projections correspondantes des points L 1 et L 2, comme le montre la figure.

Ainsi, la droite l passant par les points d'intersection des traces des plans est celle recherchée.

Intersection des plans des triangles

Considérons construire la ligne d'intersection des plans définis par les triangles ABC et DEF, et déterminer leur visibilité à l'aide de la méthode des points concurrents.

Algorithme de construction

1. Par la droite DE on trace le plan frontalement projeté σ : sa trace f 0σ est indiquée sur le dessin. Le plan σ coupe triangle ABC le long d'une droite 35. Après avoir marqué les points 3""=A""B""∩f 0σ et 5""=A""C""∩f 0σ, on détermine la position de (∙)3" et (∙ )5" le long des lignes de communication jusqu'à ΔA"B"C".
2. On retrouve la projection horizontale N"=D"E"∩3"5" du point N de l'intersection des droites DE et 35, qui se situe dans le plan auxiliaire σ. La projection N"" est située sur la trace frontale f 0σ sur la même ligne de connexion avec N".

Par la droite BC on trace le plan frontalement projeté τ : sa trace f 0τ est indiquée sur le dessin. En utilisant des constructions similaires à celles décrites dans les paragraphes 1 et 2 de l'algorithme, on retrouve les projections du point K.

3. Par N et K, nous traçons la droite souhaitée NK - la ligne d'intersection de ΔABC et ΔDEF.

Définition de la visibilité

Les points frontalement concurrents 4 et 5, appartenant respectivement à ΔDEF et ΔABC, sont sur la même droite se projetant frontalement, mais situés à des distances différentes du plan de projection π 2 . Puisque (∙)5" est plus proche de l'observateur que (∙)4", le compartiment ΔABC avec son (∙)5 est visible dans la projection sur le carré. π2. Du côté opposé de la ligne N""K"", la visibilité des triangles change.

Les points 6 et 7 en concurrence horizontale, appartenant respectivement à ΔABC et ΔDEF, sont sur la même ligne droite se projetant horizontalement, mais situés à des distances différentes du plan de projection π 1 . Puisque (∙)6"" est situé plus haut que (∙)7"", alors le compartiment ΔABC avec son (∙)6 est visible dans la projection sur le carré. π 1. Du côté opposé de la ligne N"K", la visibilité des triangles change.

Deux plans dans l'espace peuvent être parallèles ou se croisant ; un cas particulier de plans qui se croisent sont des plans mutuellement perpendiculaires.

Construire la ligne d'intersection des plans est l'une des tâches principales de la géométrie descriptive, qui a une grande importance. importance pratique. Il appartient à ce qu'on appelle positionnel Tâches.

Positionnel sont appelés problèmes pour déterminer les éléments communs de divers conjugués formes géométriques. Il s'agit notamment de tâches pour l'appartenanceéléments géométriques et à l'intersection les objets géométriques, par exemple l'intersection d'une ligne et d'un plan avec une surface, l'intersection de deux surfaces et, en particulier, le problème de l'intersection de deux plans.

La ligne d'intersection de deux plans est une ligne droite qui appartient simultanément aux deux plans sécants. Par conséquent, pour construire une ligne d'intersection de plans, il est nécessaire de déterminer deux points de cette ligne ou un point et la direction de la ligne d'intersection.

Considérons cas particulier intersection de plans lorsque l'un d'eux est en projection. En figue. 3.6 montre un plan en position générale, défini par le triangle ABC et le P projeté horizontalement. Les deux points communs appartenant aux deux plans sont les points D et E, qui déterminent la ligne d'intersection.

Pour déterminer ces points, on a trouvé les points d'intersection des côtés AB et BC avec le plan projeté. Construire les points D et E à la fois sur le dessin spatial (Fig. 3.6, a) et sur le diagramme (Fig. 3.6, b) ne pose pas de difficultés, car basé sur la propriété collective de projeter des traces d’avions discutée ci-dessus.

En reliant les mêmes projections des points D et E, on obtient les projections de la ligne d'intersection du plan du triangle ABC et du plan P. Ainsi, la projection horizontale D 1 E 1 de la ligne d'intersection des plans donnés coïncide avec la projection horizontale du plan projeté P - avec sa trace horizontale.

Considérons cas général intersection lorsque les deux plans sont en position générale. En figue. 3.7. montre deux plans génériques définis par un triangle et deux lignes parallèles. Pour déterminer deux points communs de la ligne d'intersection des plans, on trace deux plans de niveau auxiliaires (horizontaux) R et T. Le plan auxiliaire R coupe les plans donnés le long de deux horizontales h et h 1, qui à leur intersection définissent le point 1, commun aux plans P et Q, donc comment ils appartiennent simultanément au plan de coupe auxiliaire R. Le deuxième plan - le médiateur T coupe également chacun des plans donnés le long des horizontales h 2 et h 3, qui sont parallèles aux deux premières horizontales . A l'intersection des lignes horizontales on obtient le deuxième point commun des 2 plans donnés. En reliant les projections de ces points du même nom sur le schéma (Fig. 3.8,b), on obtient les projections de la ligne d'intersection des plans.

En figue. La figure 3.8 montre deux plans définis par des traces. Les points communs des plans sont les points d'intersection des traces M et N de même nom. En reliant les projections de ces points du même nom avec une droite, j'ai obtenu les projections de la ligne d'intersection des plans.

Si les points d'intersection des mêmes traces sont en dehors du champ de dessin (voir exemple 5), ainsi que dans les cas où les plans sont définis non pas par des traces, mais par d'autres éléments géométriques, alors pour déterminer la ligne d'intersection des plans vous devrait utiliser plans de niveau auxiliaires– horizontal ou frontal. Il est à noter que lors de la construction de la ligne d'intersection des plans précisés par les traces, le rôle de plans de coupe auxiliaires est joué par les plans de projection P 1 et P 2.

En figue. La figure 3.9 montre le cas d'intersection de deux plans, lorsque la direction de la ligne d'intersection est connue, car le plan P est le plan de niveau (P||P 1). Il suffit donc de n'avoir qu'un seul point d'intersection des traces puis de tracer une ligne droite passant par ce point, en fonction de la position des plans et de leurs traces. Dans notre cas, la ligne d’intersection est la NA horizontale commune des plans P et T.

Une ligne droite dans l'espace peut être définie comme la ligne d'intersection de deux plans non parallèles et, c'est-à-dire comme un ensemble de points satisfaisant le système de deux équations linéaires

(V.5)

L'affirmation inverse est également vraie : un système de deux équations linéaires indépendantes de la forme (V.5) définit une ligne droite comme la ligne d'intersection des plans (s'ils ne sont pas parallèles). Les équations du système (V.5) sont appelées équation générale ligne droite dans l'espace
.

ExempleV.12 . Composer une équation canonique d'une droite donnée par les équations générales des plans

Solution. Pour écrire l’équation canonique d’une droite ou, ce qui revient au même, l’équation d’une droite passant par deux points donnés, vous devez trouver les coordonnées de deux points quelconques de la droite. Il peut s'agir des points d'intersection d'une ligne droite avec deux plans de coordonnées quelconques, par exemple Oyz Et Oxz.

Point d'intersection d'une droite et d'un plan Oyz a une abscisse
. Par conséquent, en supposant dans ce système d’équations
, on obtient un système à deux variables :

Sa décision
,
ensemble avec
définit un point
la ligne droite souhaitée. En supposant dans ce système d'équations
, on obtient le système

dont la solution
,
ensemble avec
définit un point
intersection d'une droite avec un plan Oxz.

Écrivons maintenant les équations de la droite passant par les points
Et
:
ou
, Où
sera le vecteur direction de cette droite.

ExempleV.13. La droite est donnée par l'équation canonique
. Composer équation générale cette ligne droite.

Solution. L'équation canonique d'une droite peut s'écrire comme un système de deux équations indépendantes :



Nous avons obtenu l'équation générale d'une droite, qui est maintenant donnée par l'intersection de deux plans dont l'un
parallèle à l'axe Oz (
), et l'autre
– axes UO (
).

Cette droite peut être représentée comme une ligne d'intersection de deux autres plans en écrivant son équation canonique sous la forme d'une autre paire d'équations indépendantes :



Commentaire . La même ligne droite peut être définie par différents systèmes de deux équations linéaires (c'est-à-dire par l'intersection de différents plans, puisqu'un nombre infini de plans peuvent être tracés à travers une ligne droite), ainsi que par différentes équations canoniques (en fonction de le choix d'un point sur la droite et de son vecteur directeur) .

Un vecteur non nul parallèle à une droite, nous l'appellerons vecteur de guidage .

Laissez entrer l'espace tridimensionnel une ligne droite est donnée je, en passant par le point
, et son vecteur directeur
.

N'importe quel vecteur
, Où
, situé sur une droite, est colinéaire au vecteur , donc leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire

. (V.6)

Cette équation est appelée équation canonique de la droite. Dans le cas particulier où ﻉ est un plan, on obtient l'équation d'une droite sur le plan

. (V.7)

ExempleV.14. Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
,
.

,

Où
,
,
.

Il est pratique d’écrire l’équation (V.6) sous forme paramétrique. Puisque les coordonnées des vecteurs directeurs des lignes parallèles sont proportionnelles, alors, en supposant

,

Où t - paramètre,
.

Distance d'un point à une ligne

Considérons un espace euclidien bidimensionnel ﻉ avec un système de coordonnées cartésiennes. Laissons le point
ﻉ et jeﻉ. Trouvons la distance entre ce point et la ligne. Mettons
, et droit je donné par l'équation
(Fig.V.8).

Distance
, vecteur
, Où
– vecteur ligne normale je,
Et – colinéaire, donc leurs coordonnées sont proportionnelles, c'est-à-dire
, ainsi,
,
.

D'ici
ou en multipliant ces équations par UN Et B respectivement, et en les additionnant, nous trouvons
, d'ici

.

(V.8)

détermine la distance à partir d'un point
à une ligne droite
.

ExempleV.15. Trouver l'équation d'une droite passant par un point
perpendiculaire à une droite je:
et trouver la distance de
à une ligne droite je.

De la fig. V.8 nous avons
, et le vecteur normal est droit je
. A partir de la condition de circularité on a

Parce que
, Que

. (V.9)

C'est l'équation d'une droite passant par un point
, perpendiculaire à une droite
.

Posons l'équation de la droite (V.9) passant par le point
, perpendiculaire à la droite je:
. Trouver la distance du point
à une ligne droite je, en utilisant la formule (V.8).

Pour trouver la distance recherchée, il suffit de trouver l'équation d'une droite passant par deux points
et période
couché sur la ligne à la base de la perpendiculaire. Laisser
, Alors

Parce que
, et le vecteur
, Que

. (V.11)

Depuis le point
se trouve sur une ligne droite je, alors nous avons une autre égalité
ou

Réduisons le système à une forme pratique pour appliquer la méthode Cramer

Sa solution a la forme

,

. (V.12)

En remplaçant (V.12) dans (V.10), nous obtenons la distance d'origine.

ExempleV.16. Un point est donné dans un espace à deux dimensions
et droit
. Trouver la distance d'un point
à une ligne droite; écrire l'équation d'une droite passant par un point
perpendiculaire à une ligne donnée et trouver la distance du point
à la base de la perpendiculaire à la ligne d’origine.

Par formule (V.8) on a

On trouve l'équation d'une droite contenant une perpendiculaire comme une droite passant par deux points
Et
, en utilisant la formule (V.11). Parce que
, alors, en tenant compte du fait que
, UN
, nous avons

.

Pour trouver des coordonnées
nous avons un système prenant en compte le fait que le point
se trouve sur la ligne d'origine

Ainsi,
,
, d'ici.

Considérons l'espace euclidien tridimensionnel ﻉ. Laissons le point
ﻉ et avion ﻉ. Trouvons la distance à partir de ce point
au plan donné par l’équation (Fig. V.9).

De manière analogue à l'espace bidimensionnel, nous avons
et vecteur
, ah, d'ici

. (V.13)

On écrit l'équation d'une droite contenant une perpendiculaire au plan  comme l'équation d'une droite passant par deux points
Et
, allongé dans l'avion :

. (V.14)

Pour trouver les coordonnées d'un point
à deux égalités quelconques de la formule (V.14), nous ajoutons l'équation

En résolvant le système de trois équations (V.14), (V.15), on trouve ,,– coordonnées des points
. Alors l’équation de la perpendiculaire s’écrira sous la forme

.

Pour trouver la distance d'un point
au plan au lieu de la formule (V.13) nous utilisons

En utilisant les coordonnées données des points A, B, C, D, E, F (Tableau 2), construisez des projections horizontales et frontales des triangles ∆АBC et ∆DEF, trouvez la ligne de leur intersection et déterminez la visibilité des éléments du triangle.

2.2. Exemple de tâche n°2

La deuxième tâche présente un ensemble de tâches sur les sujets suivants :

1. Projection orthogonale, diagramme de Monge, point, droite, plan: par coordonnées connues de six points A B C D E F construire des projections horizontales et frontales de 2 plans donnés par ∆ abc et ∆ DEF;

2. Plans généraux et particuliers, intersection d'une droite et d'un plan, intersection de plans, points concurrents: construire une ligne d'intersection de plans donnés et déterminer la visibilité de leurs éléments.

Construire des projections horizontales et frontales de plans donnés ∆ abc et ∆ DEF(Figure 2.1).

Pour construire la ligne d'intersection souhaitée de plans donnés, vous devez :

1. Sélectionnez l'un des côtés du triangle et construisez le point d'intersection de ce côté avec le plan de l'autre triangle : un point est construit sur la figure 2.1. M intersection d'une droite FE avec plan ∆ abc; pour ce direct FE enfermé dans un plan de projection horizontal auxiliaire δ ;

2. Construire une projection frontale 1 2 2 2 lignes d'intersection du plan δ avec le plan ∆ abc;

3. Trouvez la projection frontale M 2 points de recherche Mà l'intersection projection frontale 1 2 2 2 s projection frontale E 2 F 2 droites FE;

4. Trouvez la projection horizontale M 1 point M utiliser une ligne de communication par projection ;

5. Construisez le deuxième point de la même manière N, appartenant à la ligne d'intersection souhaitée des plans donnés : entourer une ligne droite dans le plan frontalement projeté β Soleil; trouver la ligne d'intersection 34 plan avec plan ∆ DEF; à l'intersection de la ligne 34 et droit Soleil trouver un point N;

6. À l’aide de points concurrents, pour chaque plan séparément, déterminez les sections visibles des triangles.

Figure 2.1 – Construction de la ligne d'intersection de deux plans définis par des triangles

Figure 2.2 – Exemple de mission 2

Exemple vidéo de réalisation de la tâche n°2

2.3. Options de tâche 2

Tableau 2 – Valeurs des coordonnées des points