Quelle formule est utilisée pour calculer l’accélération centripète ? Mouvement circulaire

Accélération centripète- composante de l'accélération d'un point, caractérisant la vitesse d'évolution dans la direction du vecteur vitesse pour une trajectoire avec courbure (la deuxième composante, l'accélération tangentielle, caractérise l'évolution du module vitesse). Dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, d'où vient le terme. La valeur est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure. Le terme " accélération centripète" équivaut au terme " accélération normale" La composante de la somme des forces qui provoque cette accélération est appelée force centripète.

La plupart exemple simple L'accélération centripète est le vecteur d'accélération lors d'un mouvement circulaire uniforme (dirigé vers le centre du cercle).

Accélération rapide en projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, il apparaît comme centripète.

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A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) une n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Où une n (\displaystyle a_(n)\ )- accélération normale (centripète), v (\style d'affichage v\ )- vitesse de déplacement linéaire (instantanée) le long de la trajectoire, ω (\ displaystyle \ omega \ )- vitesse angulaire (instantanée) de ce mouvement par rapport au centre de courbure de la trajectoire, R (\style d'affichage R\ )- rayon de courbure de la trajectoire en un point donné. (Le lien entre la première formule et la seconde est évident, étant donné v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Les expressions ci-dessus incluent des valeurs absolues. Ils peuvent être facilement écrits sous forme vectorielle en les multipliant par e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vecteur unitaire du centre de courbure de la trajectoire jusqu'à son point donné :
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) une n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)
Ces formules sont également applicables au cas d'un mouvement à vitesse constante (en valeur absolue) et à un cas arbitraire. Cependant, dans le second cas, il faut garder à l’esprit que l’accélération centripète n’est pas vecteur complet l'accélération, mais seulement sa composante perpendiculaire à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, perpendiculaire au vecteur vitesse instantanée) ; le vecteur d'accélération complète comprend alors également une composante tangentielle ( accélération tangentielle) une τ = ré v / ré t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), dans une direction coïncidant avec la tangente à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, avec la vitesse instantanée).

Motivation et conclusion

Le fait que la décomposition du vecteur d'accélération en composantes - l'une le long de la tangente à la trajectoire du vecteur (accélération tangentielle) et l'autre orthogonale à celle-ci (accélération normale) - puisse être pratique et utile est en soi assez évident. Lors d'un déplacement avec une vitesse de module constante, la composante tangentielle devient égale à zéro, c'est-à-dire que dans ce cas particulier important elle reste seulement composant normal. De plus, comme on peut le voir ci-dessous, chacun de ces composants a des propriétés et une structure clairement définies, et l'accélération normale contient un contenu géométrique assez important et non trivial dans la structure de sa formule. Sans parler du cas particulier important du mouvement circulaire.

Conclusion formelle

La décomposition de l'accélération en composantes tangentielles et normales (dont la seconde est l'accélération centripète ou normale) peut être trouvée en différenciant par rapport au temps le vecteur vitesse, présenté sous la forme v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))à travers le vecteur tangent unitaire e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)
Ici, nous utilisons la notation du vecteur unitaire normal à la trajectoire et l (\displaystyle l\ )- pour la longueur actuelle de la trajectoire ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); la dernière transition utilise également l'évidence ré l / ré t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).
v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )
Accélération normale (centripète). De plus, sa signification, la signification des objets qui y sont inclus, ainsi que la preuve du fait qu'il est bien orthogonal au vecteur tangent (c'est-à-dire que e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- vraiment un vecteur normal) - découlera de considérations géométriques (cependant, le fait que la dérivée de tout vecteur de longueur constante par rapport au temps soit perpendiculaire à ce vecteur lui-même est un fait assez simple ; dans ce cas nous appliquons cette affirmation à ré e τ ré t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

Remarques

Il est facile de remarquer que la valeur absolue de l'accélération tangentielle dépend uniquement de l'accélération du sol, coïncidant avec sa valeur absolue, contrairement à la valeur absolue de l'accélération normale, qui ne dépend pas de l'accélération du sol, mais de la vitesse au sol.
Les méthodes présentées ici, ou des variantes de celles-ci, peuvent être utilisées pour introduire des concepts tels que la courbure d'une courbe et le rayon de courbure d'une courbe (puisque dans le cas où la courbe est un cercle, R. coïncide avec le rayon d'un tel cercle ; il n'est pas non plus trop difficile de montrer que le cercle est dans le plan e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) avec le centre en direction e n (\displaystyle e_(n)\ ) d'un point donné à une distance R.à partir de là - coïncidera avec la courbe donnée - trajectoire - jusqu'au deuxième ordre de petitesse dans la distance jusqu'au point donné).

Histoire

D'abord formules correctes pour l'accélération centripète (ou force centrifuge) a apparemment été obtenue par Huygens. Presque à partir de cette époque, la prise en compte de l'accélération centripète fait partie de la technique habituelle pour résoudre les problèmes mécaniques, etc.
Un peu plus tard, ces formules ont joué un rôle important dans la découverte de la loi de la gravitation universelle (la formule de l'accélération centripète a été utilisée pour obtenir la loi de la dépendance de la force gravitationnelle sur la distance à la source de gravité, basée sur la troisième loi de Kepler dérivé d’observations).
À 19ème siècle la prise en compte de l’accélération centripète est déjà devenue une routine, tant pour la science pure que pour les applications techniques.

Nous permet d'exister sur cette planète. Comment comprendre ce qu’est l’accélération centripète ? Définition de ceci quantité physique présenté ci-dessous.
Observations
L'exemple le plus simple de l'accélération d'un corps se déplaçant en cercle peut être observé en faisant tourner une pierre sur une corde. Vous tirez sur la corde, et la corde tire la pierre vers le centre. A chaque instant, la corde donne un certain mouvement à la pierre, et à chaque fois dans une nouvelle direction. Vous pouvez imaginer le mouvement de la corde comme une série de faibles secousses. Une secousse - et la corde change de direction, une autre secousse - un autre changement, et ainsi de suite en cercle. Si vous relâchez brusquement la corde, les secousses s'arrêteront et avec elles le changement de direction de la vitesse s'arrêtera. La pierre se déplacera dans la direction tangente au cercle. La question se pose : « Avec quelle accélération le corps va-t-il se déplacer à cet instant ? »
Formule pour l'accélération centripète
Tout d’abord, il convient de noter que le mouvement d’un corps en cercle est complexe. La pierre participe simultanément à deux types de mouvements : sous l'influence de la force elle se déplace vers le centre de rotation, et en même temps le long d'une tangente au cercle, en s'éloignant de ce centre. Selon la deuxième loi de Newton, la force qui retient une pierre sur une corde est dirigée vers le centre de rotation le long de la corde. Le vecteur accélération y sera également dirigé.
Supposons qu'après un certain temps t notre pierre, se déplaçant uniformément avec une vitesse V, passe du point A au point B. Supposons qu'au moment où le corps a franchi le point B, la force centripète a cessé d'agir sur lui. Puis, au bout d’un certain temps, il atteindrait le point K. Il se trouve sur la tangente. Si au même instant seules des forces centripètes agissaient sur le corps, alors pendant le temps t, se déplaçant avec la même accélération, il aboutirait au point O, qui est situé sur une droite représentant le diamètre d'un cercle. Les deux segments sont des vecteurs et obéissent à la règle de l’addition vectorielle. En additionnant ces deux mouvements sur une période de temps t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc AB.
Si l’intervalle de temps t est considéré comme négligeable, alors l’arc AB différera peu de la corde AB. Ainsi, il est possible de remplacer le mouvement le long d'un arc par un mouvement le long d'une corde. Dans ce cas, le mouvement de la pierre le long de la corde obéira aux lois du mouvement rectiligne, c'est-à-dire que la distance parcourue AB sera égale au produit de la vitesse de la pierre et du temps de son mouvement. AB = V x t.
Notons l'accélération centripète souhaitée par la lettre a. Ensuite, le chemin parcouru uniquement sous l'influence de l'accélération centripète peut être calculé à l'aide de la formule mouvement uniformément accéléré:
La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, c'est-à-dire AB = V x t,
AO - calculé plus tôt en utilisant la formule du mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2 / 2.
En substituant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :
En mots, cela peut être exprimé comme suit : l'accélération centripète d'un corps se déplaçant dans un cercle est égale au quotient de la vitesse linéaire au carré par le rayon du cercle le long duquel le corps tourne. Dans ce cas, la force centripète ressemblera à l’image ci-dessous.
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. L’affirmation inverse est également vraie : V = ωR, où ω est la vitesse angulaire
Si nous substituons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir une expression de l'accélération centrifuge pour la vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:
Accélération sans changement de vitesse
Et pourtant, pourquoi un corps dont l'accélération est dirigée vers le centre ne se déplace-t-il pas plus vite et ne se rapproche-t-il pas du centre de rotation ? La réponse réside dans la formulation même de l’accélération. Les faits montrent que le mouvement circulaire est réel, mais pour le maintenir, il faut une accélération dirigée vers le centre. Sous l'influence de la force provoquée par cette accélération, un changement dans l'ampleur du mouvement se produit, à la suite de quoi la trajectoire du mouvement est constamment courbée, changeant tout le temps la direction du vecteur vitesse, mais sans changer sa valeur absolue. . En se déplaçant en cercle, notre pierre qui souffre depuis longtemps se précipite vers l'intérieur, sinon elle continuerait à se déplacer tangentiellement. À chaque instant, en allant tangentiellement, la pierre est attirée vers le centre, mais n'y tombe pas. Un autre exemple d’accélération centripète serait un skieur nautique effectuant de petits cercles sur l’eau. La silhouette de l'athlète est inclinée ; il semble tomber, continuant d'avancer et se penchant en avant.
Ainsi, nous pouvons conclure que l’accélération n’augmente pas la vitesse du corps, puisque les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires les uns aux autres. Ajoutée au vecteur vitesse, l’accélération ne fait que changer la direction du mouvement et maintient le corps en orbite.
Dépassement du facteur de sécurité
Dans l’expérience précédente, nous avions affaire à une corde parfaite qui ne cassait pas. Mais disons que notre corde est la plus ordinaire, et vous pouvez même calculer la force après laquelle elle se brisera tout simplement. Pour calculer cette force, il suffit de comparer la résistance de la corde avec la charge qu'elle subit lors de la rotation de la pierre. En faisant tourner la pierre à une vitesse plus élevée, vous lui communiquez une plus grande quantité de mouvement, et donc une plus grande accélération.
Avec une corde de jute d'un diamètre d'environ 20 mm, sa résistance à la traction est d'environ 26 kN. Il est à noter que la longueur de la corde n’apparaît nulle part. En faisant tourner une charge de 1 kg sur une corde d'un rayon de 1 m, on peut calculer que la vitesse linéaire nécessaire pour la rompre est de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Ainsi, la vitesse dangereuse pour le dépassement sera égal à √ 26 x 10 3 = 161 m/s.
La gravité
Lors de l'examen de l'expérience, nous avons négligé l'effet de la gravité, car à des vitesses aussi élevées, son influence est négligeable. Mais on peut remarquer qu’en déroulant une longue corde, le corps décrit une trajectoire plus complexe et se rapproche progressivement du sol.
Corps célestes
Si nous transférons les lois du mouvement circulaire dans l’espace et les appliquons au mouvement des corps célestes, nous pouvons redécouvrir plusieurs formules familières. Par exemple, la force avec laquelle un corps est attiré vers la Terre est connue par la formule :
Dans notre cas, le facteur g est la même accélération centripète dérivée de la formule précédente. Seulement dans ce cas, le rôle de la pierre sera joué par un corps céleste attiré par la Terre, et le rôle de la corde sera joué par la force de gravité. Le facteur g sera exprimé en fonction du rayon de notre planète et de sa vitesse de rotation.
Résultats
L’essence de l’accélération centripète est le travail dur et ingrat consistant à maintenir un corps en mouvement en orbite. Un cas paradoxal est observé lorsque, à accélération constante, un corps ne change pas la valeur de sa vitesse. Pour un esprit non averti, une telle affirmation est tout à fait paradoxale. Néanmoins, tant lors du calcul du mouvement d'un électron autour du noyau que lors du calcul de la vitesse de rotation d'une étoile autour d'un trou noir, l'accélération centripète joue un rôle important.

Puisque la vitesse linéaire change uniformément de direction, le mouvement circulaire ne peut pas être qualifié d’uniforme, il est uniformément accéléré.

Vitesse angulaire

Choisissons un point sur le cercle 1 . Construisons un rayon. Dans une unité de temps, le point se déplacera vers le point 2 . Dans ce cas, le rayon décrit l'angle. La vitesse angulaire est numériquement égale à l'angle de rotation du rayon par unité de temps.

Période et fréquence

Période de rotation T- c'est le temps pendant lequel le corps fait un tour.

La fréquence de rotation est le nombre de tours par seconde.

La fréquence et la période sont interdépendantes par la relation

Relation avec la vitesse angulaire

Vitesse linéaire

Chaque point du cercle se déplace à une certaine vitesse. Cette vitesse est dite linéaire. La direction du vecteur vitesse linéaire coïncide toujours avec la tangente au cercle. Par exemple, des étincelles provenant du dessous d’une rectifieuse se déplacent, répétant la direction de la vitesse instantanée.

Considérons un point sur un cercle qui fait un tour, le temps passé est la période T. Le chemin parcouru par un point est la circonférence.

Accélération centripète

Lors d'un déplacement en cercle, le vecteur accélération est toujours perpendiculaire au vecteur vitesse, dirigé vers le centre du cercle.

En utilisant les formules précédentes, nous pouvons déduire les relations suivantes

Les points situés sur la même ligne droite partant du centre du cercle (par exemple, il peut s'agir de points situés sur les rayons d'une roue) auront les mêmes vitesses angulaires, période et fréquence. Autrement dit, ils tourneront de la même manière, mais avec des vitesses linéaires différentes. Plus un point est éloigné du centre, plus il se déplacera rapidement.

La loi de l'addition des vitesses est également valable pour le mouvement de rotation. Si le mouvement d'un corps ou d'un cadre de référence n'est pas uniforme, alors la loi s'applique à vitesses instantanées. Par exemple, la vitesse d'une personne marchant le long du bord d'un carrousel en rotation est égale à la somme vectorielle de la vitesse linéaire de rotation du bord du carrousel et de la vitesse de la personne.

La Terre est impliquée dans deux principaux mouvements de rotation: quotidien (autour de son axe) et orbital (autour du Soleil). La période de rotation de la Terre autour du Soleil est de 1 an ou 365 jours. La Terre tourne autour de son axe d'ouest en est, la période de cette rotation est de 1 jour ou 24 heures. La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction allant du centre de la Terre vers un point de sa surface.

Selon la deuxième loi de Newton, la cause de toute accélération est la force. Si un corps en mouvement subit une accélération centripète, la nature des forces qui provoquent cette accélération peut être différente. Par exemple, si un corps se déplace en cercle sur une corde qui lui est attachée, alors force agissante est la force élastique.

Si un corps posé sur un disque tourne avec le disque autour de son axe, alors une telle force est la force de frottement. Si la force arrête son action, alors le corps continuera à se déplacer en ligne droite.

Considérons le mouvement d'un point sur un cercle de A à B. La vitesse linéaire est égale à vA Et vB respectivement. L'accélération est le changement de vitesse par unité de temps. Trouvons la différence entre les vecteurs.

Nous permet d'exister sur cette planète. Comment comprendre ce qu’est l’accélération centripète ? La définition de cette grandeur physique est présentée ci-dessous.
Observations
L'exemple le plus simple de l'accélération d'un corps se déplaçant en cercle peut être observé en faisant tourner une pierre sur une corde. Vous tirez sur la corde, et la corde tire la pierre vers le centre. A chaque instant, la corde donne un certain mouvement à la pierre, et à chaque fois dans une nouvelle direction. Vous pouvez imaginer le mouvement de la corde comme une série de faibles secousses. Une secousse - et la corde change de direction, une autre secousse - un autre changement, et ainsi de suite en cercle. Si vous relâchez brusquement la corde, les secousses s'arrêteront et avec elles le changement de direction de la vitesse s'arrêtera. La pierre se déplacera dans la direction tangente au cercle. La question se pose : « Avec quelle accélération le corps va-t-il se déplacer à cet instant ? »
Formule pour l'accélération centripète
Tout d’abord, il convient de noter que le mouvement d’un corps en cercle est complexe. La pierre participe simultanément à deux types de mouvements : sous l'influence de la force elle se déplace vers le centre de rotation, et en même temps le long d'une tangente au cercle, en s'éloignant de ce centre. Selon la deuxième loi de Newton, la force qui retient une pierre sur une corde est dirigée vers le centre de rotation le long de la corde. Le vecteur accélération y sera également dirigé.
Supposons qu'après un certain temps t notre pierre, se déplaçant uniformément avec une vitesse V, passe du point A au point B. Supposons qu'au moment où le corps a franchi le point B, la force centripète a cessé d'agir sur lui. Puis, au bout d’un certain temps, il atteindrait le point K. Il se trouve sur la tangente. Si au même instant seules des forces centripètes agissaient sur le corps, alors pendant le temps t, se déplaçant avec la même accélération, il aboutirait au point O, qui est situé sur une droite représentant le diamètre d'un cercle. Les deux segments sont des vecteurs et obéissent à la règle de l’addition vectorielle. En additionnant ces deux mouvements sur une période de temps t, on obtient le mouvement résultant le long de l'arc AB.
Si l’intervalle de temps t est considéré comme négligeable, alors l’arc AB différera peu de la corde AB. Ainsi, il est possible de remplacer le mouvement le long d'un arc par un mouvement le long d'une corde. Dans ce cas, le mouvement de la pierre le long de la corde obéira aux lois du mouvement rectiligne, c'est-à-dire que la distance parcourue AB sera égale au produit de la vitesse de la pierre et du temps de son mouvement. AB = V x t.
Notons l'accélération centripète souhaitée par la lettre a. Ensuite, le chemin parcouru uniquement sous l'influence de l'accélération centripète peut être calculé à l'aide de la formule du mouvement uniformément accéléré :
La distance AB est égale au produit de la vitesse et du temps, c'est-à-dire AB = V x t,
AO - calculé plus tôt en utilisant la formule du mouvement uniformément accéléré pour se déplacer en ligne droite : AO = à 2 / 2.
En substituant ces données dans la formule et en les transformant, nous obtenons une formule simple et élégante pour l'accélération centripète :
En mots, cela peut être exprimé comme suit : l'accélération centripète d'un corps se déplaçant dans un cercle est égale au quotient de la vitesse linéaire au carré par le rayon du cercle le long duquel le corps tourne. Dans ce cas, la force centripète ressemblera à l’image ci-dessous.
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire est égale à la vitesse linéaire divisée par le rayon du cercle. L’affirmation inverse est également vraie : V = ωR, où ω est la vitesse angulaire
Si nous substituons cette valeur dans la formule, nous pouvons obtenir une expression de l'accélération centrifuge pour la vitesse angulaire. Il ressemblera à ceci:
Accélération sans changement de vitesse
Et pourtant, pourquoi un corps dont l'accélération est dirigée vers le centre ne se déplace-t-il pas plus vite et ne se rapproche-t-il pas du centre de rotation ? La réponse réside dans la formulation même de l’accélération. Les faits montrent que le mouvement circulaire est réel, mais pour le maintenir, il faut une accélération dirigée vers le centre. Sous l'influence de la force provoquée par cette accélération, un changement dans l'ampleur du mouvement se produit, à la suite de quoi la trajectoire du mouvement est constamment courbée, changeant tout le temps la direction du vecteur vitesse, mais sans changer sa valeur absolue. . En se déplaçant en cercle, notre pierre qui souffre depuis longtemps se précipite vers l'intérieur, sinon elle continuerait à se déplacer tangentiellement. À chaque instant, en allant tangentiellement, la pierre est attirée vers le centre, mais n'y tombe pas. Un autre exemple d’accélération centripète serait un skieur nautique effectuant de petits cercles sur l’eau. La silhouette de l'athlète est inclinée ; il semble tomber, continuant d'avancer et se penchant en avant.
Ainsi, nous pouvons conclure que l’accélération n’augmente pas la vitesse du corps, puisque les vecteurs vitesse et accélération sont perpendiculaires les uns aux autres. Ajoutée au vecteur vitesse, l’accélération ne fait que changer la direction du mouvement et maintient le corps en orbite.
Dépassement du facteur de sécurité
Dans l’expérience précédente, nous avions affaire à une corde parfaite qui ne cassait pas. Mais disons que notre corde est la plus ordinaire, et vous pouvez même calculer la force après laquelle elle se brisera tout simplement. Pour calculer cette force, il suffit de comparer la résistance de la corde avec la charge qu'elle subit lors de la rotation de la pierre. En faisant tourner la pierre à une vitesse plus élevée, vous lui communiquez une plus grande quantité de mouvement, et donc une plus grande accélération.
Avec une corde de jute d'un diamètre d'environ 20 mm, sa résistance à la traction est d'environ 26 kN. Il est à noter que la longueur de la corde n’apparaît nulle part. En faisant tourner une charge de 1 kg sur une corde d'un rayon de 1 m, on peut calculer que la vitesse linéaire nécessaire pour la rompre est de 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Ainsi, la vitesse dangereuse pour le dépassement sera égal à √ 26 x 10 3 = 161 m/s.
La gravité
Lors de l'examen de l'expérience, nous avons négligé l'effet de la gravité, car à des vitesses aussi élevées, son influence est négligeable. Mais on peut remarquer qu’en déroulant une longue corde, le corps décrit une trajectoire plus complexe et se rapproche progressivement du sol.
Corps célestes
Si nous transférons les lois du mouvement circulaire dans l’espace et les appliquons au mouvement des corps célestes, nous pouvons redécouvrir plusieurs formules familières. Par exemple, la force avec laquelle un corps est attiré vers la Terre est connue par la formule :
Dans notre cas, le facteur g est la même accélération centripète dérivée de la formule précédente. Seulement dans ce cas, le rôle de la pierre sera joué par un corps céleste attiré par la Terre, et le rôle de la corde sera joué par la force de gravité. Le facteur g sera exprimé en fonction du rayon de notre planète et de sa vitesse de rotation.
Résultats
L’essence de l’accélération centripète est le travail dur et ingrat consistant à maintenir un corps en mouvement en orbite. Un cas paradoxal est observé lorsque, à accélération constante, un corps ne change pas la valeur de sa vitesse. Pour un esprit non averti, une telle affirmation est tout à fait paradoxale. Néanmoins, tant lors du calcul du mouvement d'un électron autour du noyau que lors du calcul de la vitesse de rotation d'une étoile autour d'un trou noir, l'accélération centripète joue un rôle important.

Un objet qui se déplace sur une orbite circulaire de rayon r avec une vitesse tangentielle uniforme toi est le vecteur vitesse v, dont la grandeur est constante, mais dont la direction change constamment. Il s'ensuit qu'un objet doit avoir une accélération, puisque (vecteur) est le taux de changement de vitesse (vecteur), et la vitesse (vecteur) est en effet différente dans le temps.

Supposons qu'un objet se déplace d'un point P. jusqu'au point Q entre le temps t Et, t + δ t comme le montre l'image ci-dessus. Supposons en outre que l'objet tourne de δθ radians pendant cette période. Le vecteur, comme le montre le diagramme, est identique au vecteur. De plus, l'angle entre les vecteurs et ce δθ . Le vecteur représente la variation du vecteur vitesse, δ v, entre le temps t Et t + δ t. Il en ressort clairement que ce vecteur est dirigé vers le centre du cercle. D'après la trigonométrie standard, la longueur d'un vecteur est :

Cependant, aux petits angles péché θ ≃ θ , à condition que θ mesuré en radians. Ainsi,

δv ≃vδθ.

Où est la vitesse angulaire de l'objet en radians par seconde. Ainsi, un objet se déplaçant sur une orbite circulaire de rayon r, à vitesse tangentielle uniforme v, et une vitesse angulaire uniforme, a une accélération dirigée vers le centre du cercle - c'est-à-dire accélération centripète- taille:

Supposons qu'un corps de masse m, attaché à l'extrémité d'un câble, longueur r, et tourne de telle manière que le corps décrit un cercle horizontal de rayon r, avec une vitesse tangentielle uniforme v. Comme nous venons de l’apprendre, un corps a une accélération de grandeur centripète. Le corps subit donc une force centripète

Qu'est-ce qui donne ce pouvoir ? Bon, dans cet exemple, la force est fournie par la tension sur le câble. Ainsi, .

Supposons que le câble soit tel qu'il se brise lorsque la tension qu'il contient dépasse une certaine valeur critique. Il s'ensuit qu'il y a vitesse maximum, avec lequel le corps peut bouger, à savoir :

Si v dépasse vmax, le câble se brisera. Une fois le câble rompu, le corps ne subira plus de force centripète, il se déplacera donc à grande vitesse vmax le long d’une ligne droite tangente à l’orbite circulaire préexistante.