Cinq propriétés essentielles de la notion de rectangle. Qu'est-ce qu'un rectangle ? Cas particuliers d'un rectangle

Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits (égaux à 90 degrés). L'aire d'un rectangle est égale au produit de ses côtés adjacents. Les diagonales d'un rectangle sont égales. La deuxième formule pour trouver l'aire d'un rectangle vient de la formule de l'aire d'un quadrilatère utilisant les diagonales.

Rectangle est un quadrilatère dont chaque angle est droit.

Un carré est un cas particulier de rectangle.

Un rectangle possède deux paires de côtés égaux. La longueur des paires de côtés les plus longues est appelée longueur du rectangle, et la longueur des plus courtes est largeur du rectangle.

Propriétés du rectangle

1. Un rectangle est un parallélogramme.

La propriété est expliquée par l'action de la caractéristique du parallélogramme 3 (c'est-à-dire \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) )

2. Les côtés opposés sont égaux.

\(AB = CD,\enspace BC = AD\)

3. Les côtés opposés sont parallèles.

\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD\)

4. Les côtés adjacents sont perpendiculaires les uns aux autres.

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

5. Les diagonales du rectangle sont égales.

\(AC = BD\)

Selon propriété 1 le rectangle est un parallélogramme, ce qui signifie \(AB = CD\) .

Ainsi, \(\triangle ABD = \triangle DCA\) sur deux pattes (\(AB = CD\) et \(AD\) - articulation).

Si les deux chiffres - \(ABC \) et \(DCA \) sont identiques, alors leurs hypoténuses \(BD \) et \(AC \) sont également identiques.

Donc, \(AC = BD\) .

De toutes les figures (uniquement des parallélogrammes !), seul le rectangle a des diagonales égales.

Prouvons-le aussi.

\(\Rightarrow AB = CD \) , \(AC = BD \) par condition. \(\Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) déjà sur trois côtés.

Il s'avère que \(\angle A = \angle D\) (comme les angles d'un parallélogramme). Et \(\angle A = \angle C\) , \(\angle B = \angle D\) .

Nous concluons que \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D\). Tous sont \(90^(\circ) \) . Au total - \(360^(\circ) \) .

7. La diagonale divise le rectangle en deux triangles rectangles identiques.

\(\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

8. Le point d'intersection des diagonales les divise en deux.

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Le point d'intersection des diagonales est le centre du rectangle et du cercle circonscrit.

Définition.

Rectangle est un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés sont égaux et les quatre angles sont égaux.

Les rectangles ne diffèrent les uns des autres que par le rapport entre le côté long et le côté court, mais les quatre coins sont droits, c'est-à-dire à 90 degrés.

Le côté long d'un rectangle s'appelle longueur du rectangle, et le court - largeur du rectangle.

Les côtés d'un rectangle sont aussi ses hauteurs.

Propriétés de base d'un rectangle

Un rectangle peut être un parallélogramme, un carré ou un losange.

1. Les côtés opposés du rectangle ont la même longueur, c'est-à-dire qu'ils sont égaux :

AB = CD, BC = AD

2. Les côtés opposés du rectangle sont parallèles :

3. Les côtés adjacents d'un rectangle sont toujours perpendiculaires :

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Les quatre coins du rectangle sont droits :

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. La somme des angles d'un rectangle est de 360 degrés :

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur :

7. La somme des carrés de la diagonale d'un rectangle est égale à la somme des carrés des côtés :

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Chaque diagonale d'un rectangle divise le rectangle en deux figures identiques, soit des triangles rectangles.

9. Les diagonales du rectangle se coupent et sont divisées en deux au point d'intersection :

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Le point d'intersection des diagonales est appelé centre du rectangle et est également le centre du cercle circonscrit

11. La diagonale d'un rectangle est le diamètre du cercle circonscrit

12. Vous pouvez toujours décrire un cercle autour d'un rectangle, puisque la somme des angles opposés est de 180 degrés :

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cercle ne peut pas être inscrit dans un rectangle dont la longueur n'est pas égale à sa largeur, puisque les sommes des côtés opposés ne sont pas égales entre elles (un cercle ne peut être inscrit que dans un cas particulier d'un rectangle - un carré) .

Côtés d'un rectangle

Définition.

Longueur du rectangle est la longueur de la paire de côtés la plus longue. Largeur du rectangle est la longueur de la paire de côtés la plus courte.

Formules pour déterminer les longueurs des côtés d'un rectangle

1. Formule pour le côté d'un rectangle (longueur et largeur du rectangle) passant par la diagonale et l'autre côté :

une = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - une 2

2. Formule pour le côté d'un rectangle (longueur et largeur du rectangle) passant par l'aire et l'autre côté :

b = décos	β
	2

Diagonale d'un rectangle

Définition.

Rectangle diagonal Tout segment reliant deux sommets de coins opposés d'un rectangle est appelé.

Formules pour déterminer la longueur de la diagonale d'un rectangle

1. Formule pour la diagonale d'un rectangle utilisant deux côtés du rectangle (via le théorème de Pythagore) :

d = √ une 2 + b 2

2. Formule pour la diagonale d'un rectangle en utilisant l'aire et n'importe quel côté :

4. Formule de la diagonale d'un rectangle en fonction du rayon du cercle circonscrit :

d = 2R

5. Formule pour la diagonale d'un rectangle en fonction du diamètre du cercle circonscrit :

d = D o

6. Formule de la diagonale d'un rectangle en utilisant le sinus de l'angle adjacent à la diagonale et la longueur du côté opposé à cet angle :

8. Formule pour la diagonale d'un rectangle passant par le sinus de l'angle aigu entre les diagonales et l'aire du rectangle

d = √2S : péché β

Périmètre d'un rectangle

Définition.

Périmètre d'un rectangle est la somme des longueurs de tous les côtés d'un rectangle.

Formules pour déterminer la longueur du périmètre d'un rectangle

1. Formule pour le périmètre d'un rectangle utilisant deux côtés du rectangle :

P = 2a + 2b

P = 2(une + b)

2. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant l'aire et n'importe quel côté :

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b2
	un		b

3. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant la diagonale et n'importe quel côté :

P = 2(une + √ d 2 - une 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant le rayon du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

P = 2(une + √4R 2 - un 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant le diamètre du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

P = 2(une + √D o 2 - un 2) = 2(b + √D o 2 - b2)

Aire d'un rectangle

Définition.

Aire d'un rectangle appelé l'espace limité par les côtés du rectangle, c'est-à-dire à l'intérieur du périmètre du rectangle.

Formules pour déterminer l'aire d'un rectangle

1. Formule pour l'aire d'un rectangle utilisant deux côtés :

S = un b

2. Formule pour l'aire d'un rectangle en utilisant le périmètre et n'importe quel côté :

5. Formule pour l'aire d'un rectangle en utilisant le rayon du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

S = une √4R 2 - un 2= b √4R 2 - b2

6. Formule pour l'aire d'un rectangle en utilisant le diamètre du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

S = une √D o 2 - un 2= b √D o 2 - b2

Cercle circonscrit à un rectangle

Définition.

Un cercle circonscrit à un rectangle est un cercle passant par les quatre sommets d'un rectangle dont le centre se situe à l'intersection des diagonales du rectangle.

Formules pour déterminer le rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle

1. Formule du rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle passant par deux côtés :

Objectifs de la leçon

Consolider les connaissances des étudiants sur le sujet rectangle ;
Continuer à présenter aux élèves les définitions et les propriétés d'un rectangle ;
Apprendre aux écoliers à utiliser les connaissances acquises sur ce sujet lors de la résolution de problèmes ;
Développer l'intérêt pour le sujet des mathématiques, de l'attention, pensée logique;
Développer la capacité d’auto-analyse et de discipline.

Objectifs de la leçon

Répéter et consolider les connaissances des élèves sur un concept tel que le rectangle, en s'appuyant sur les connaissances acquises dans les classes précédentes ;
Continuer à améliorer les connaissances des écoliers sur les propriétés et les caractéristiques des rectangles ;
Continuer à développer des compétences dans le processus de résolution de tâches ;
Susciter l'intérêt pour les cours de mathématiques ;
Cultiver l’intérêt pour sciences exactes et une attitude positive envers les cours de mathématiques.

Plan de cours

1. Partie théorique, informations générales, définitions.
2. Répétition du thème « Rectangles ».
3. Propriétés d'un rectangle.
4. Signes d'un rectangle.
5. Faits intéressants de la vie des triangles.
6. Rectangle d'or, concepts généraux.
7. Questions et tâches.

Qu'est-ce qu'un rectangle

Dans les cours précédents, vous avez déjà étudié des sujets sur les rectangles. Maintenant, rafraîchissons notre mémoire et rappelons-nous de quel type de figure on s'appelle un rectangle.

Un rectangle est un parallélogramme dont les quatre angles sont droits et égaux à 90 degrés.

Un rectangle est une figure géométrique composée de 4 côtés et de quatre angles droits.

Les côtés opposés d'un rectangle sont toujours égaux.

Si l'on considère la définition d'un rectangle selon la géométrie euclidienne, alors pour qu'un quadrilatère soit considéré comme un rectangle, il faut que dans cette figure géométrique au moins trois angles soient droits. Il s'ensuit que le quatrième angle sera également de quatre-vingt-dix degrés.

Bien qu'il soit clair que lorsque la somme des angles d'un quadrilatère n'a pas 360 degrés, alors ce chiffre n'est pas un rectangle.

Si un rectangle régulier a tous ses côtés égaux, alors un tel rectangle est appelé un carré.

Dans certains cas, un carré peut agir comme un losange si un tel losange, en plus des côtés égaux, a tous les angles droits.

Pour prouver l'implication de toute figure géométrique dans un rectangle, il suffit que cette figure géométrique réponde à au moins une de ces conditions :

1. le carré de la diagonale de cette figure doit être égal à la somme des carrés de 2 côtés ayant un point commun ;
2. les diagonales de la figure géométrique doivent avoir la même longueur ;
3. Tous les angles d'une figure géométrique doivent être égaux à quatre-vingt-dix degrés.

Si ces conditions répondent à au moins une exigence, alors vous avez un rectangle.

Un rectangle en géométrie est la figure de base principale, qui comporte de nombreux sous-types, avec leurs propres propriétés et caractéristiques particulières.

Exercice: Nom figures géométriques, qui font référence à des rectangles.

Rectangle et ses propriétés

Rappelons maintenant les propriétés d'un rectangle :

Un rectangle a toutes ses diagonales égales ;
Un rectangle est un parallélogramme dont les côtés opposés sont parallèles ;
Les côtés du rectangle seront également ses hauteurs ;
Un rectangle a des côtés et des angles opposés égaux ;
Un cercle peut être circonscrit à n’importe quel rectangle, et la diagonale du rectangle sera égale au diamètre du cercle circonscrit.
Les diagonales d'un rectangle le divisent en 2 triangle égal;
D'après le théorème de Pythagore, le carré de la diagonale d'un rectangle est égal à la somme des carrés de ses 2 côtés non opposés ;

Exercice:

1. Un rectangle a deux possibilités dans lesquelles il peut être divisé en 2 rectangles égaux. Dessinez deux rectangles dans votre cahier et divisez-les pour obtenir 2 rectangles égaux.

2. Tracez un cercle autour du rectangle dont le diamètre sera égal à la diagonale du rectangle.

3. Est-il possible d'inscrire un cercle dans un rectangle de manière à ce qu'il touche tous ses côtés, mais à condition que ce rectangle ne soit pas un carré ?

Panneaux rectangulaires

Le parallélogramme sera un rectangle à condition :

1. si au moins un de ses angles est droit ;
2. si ses quatre angles sont droits ;
3. si les côtés opposés sont égaux ;
4. si au moins trois angles sont droits ;
5. si ses diagonales sont égales ;
6. si le carré de la diagonale est égal à la somme des carrés des côtés non opposés.

C'est intéressant de savoir

Saviez-vous que si vous dessinez les bissectrices des coins d'un rectangle dont les côtés adjacents sont inégaux, lorsqu'elles se croisent, vous obtiendrez un rectangle.

Mais si la bissectrice tracée d'un rectangle coupe l'un de ses côtés, alors elle coupe un triangle isocèle de ce rectangle.

Saviez-vous qu'avant même que Malevitch ne peint son remarquable « Carré Noir », en 1882, lors d'une exposition à Paris, un tableau de Paul Bilo avait été présenté, dont la toile représentait un rectangle noir portant le nom particulier « Bataille des Nègres en le tunnel".

Cette idée avec un rectangle noir a inspiré d'autres personnalités culturelles. écrivain français l'humoriste Alphonse Allais a publié toute une série de ses œuvres et au fil du temps est apparu un paysage rectangulaire de couleur rouge radical intitulé « Récolte de tomates sur les rives de la mer Rouge par des cardinaux apoplectiques », qui n'avait également aucune image.

Exercice

1. Nommer une propriété inhérente uniquement à un rectangle ?
2. Quelle est la différence entre un parallélogramme arbitraire et un rectangle ?
3. Est-il vrai que n’importe quel rectangle peut être un parallélogramme ? Si tel est le cas, prouvez pourquoi ?
4. Énumérez les quadrilatères qui sont des rectangles.
5. Énoncez les propriétés d’un rectangle.

Fait historique

Le rectangle d'Euclide

Saviez-vous que le rectangle d'Euclide, appelé nombre d'or, a longtemps été, pour tout édifice d'importance religieuse, une base parfaite et proportionnelle pour la construction à cette époque. Avec son aide, la plupart des bâtiments de la Renaissance et des temples classiques de la Grèce antique ont été construits.

Un rectangle « doré » est généralement appelé un tel rectangle géométrique, le rapport côté plus grand qui au moindre est égal au nombre d’or.

Ce rapport des côtés de ce rectangle était de 382 à 618, soit environ 19 à 31. Le rectangle d'Euclide, à cette époque, était le plus pratique, le plus pratique, le plus sûr et le plus pratique. rectangle régulier de toutes les formes géométriques. En raison de cette caractéristique, le rectangle euclidien, ou ses approximations, a été utilisé partout. Il était utilisé dans les maisons, les tableaux, les meubles, les fenêtres, les portes et même les livres.

Chez les Indiens Navajo, le rectangle était comparé à la forme féminine, car il était considéré comme la forme habituelle et standard de la maison, symbolisant la femme propriétaire de cette maison.

Matières > Mathématiques > Mathématiques 8e année

Rectangle est un quadrilatère dont chaque angle est droit.

Preuve

La propriété s'explique par l'action de la caractéristique 3 du parallélogramme (c'est-à-dire \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Les côtés opposés sont égaux.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Les côtés opposés sont parallèles.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Les côtés adjacents sont perpendiculaires les uns aux autres.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Les diagonales du rectangle sont égales.

CA = BD

Preuve

Selon propriété 1 le rectangle est un parallélogramme, ce qui signifie AB = CD.

Donc \triangle ABD = \triangle DCA sur deux pattes (AB = CD et AD - articulation).

Si les deux figures ABC et DCA sont identiques, alors leurs hypoténuses BD et AC sont également identiques.

Donc AC = BD.

De toutes les figures (uniquement des parallélogrammes !), seul le rectangle a des diagonales égales.

Prouvons-le aussi.

ABCD est un parallélogramme \Rightarrow AB = CD, AC = BD par condition. \Flèche droite \triangle ABD = \triangle DCA déjà sur trois côtés.

Il s’avère que \angle A = \angle D (comme les angles d’un parallélogramme). Et \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Nous concluons que \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Ils sont tous 90^(\circ) . Au total - 360^(\circ) .

Éprouvé!

6. Le carré d'une diagonale est égal à la somme des carrés de ses deux côtés adjacents.

Cette propriété est vraie grâce au théorème de Pythagore.

AC ^ 2 = AD ^ 2 + CD ^ 2

7. La diagonale divise le rectangle en deux triangles rectangles identiques.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Le point d'intersection des diagonales les divise en deux.

AO = BO = CO = DO

9. Le point d'intersection des diagonales est le centre du rectangle et du cercle circonscrit.

10. La somme de tous les angles est de 360 degrés.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Tous les angles d’un rectangle sont droits.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Le diamètre d'un cercle circonscrit à un rectangle est égal à la diagonale du rectangle.

13. Vous pouvez toujours décrire un cercle autour d'un rectangle.

Cette propriété est vraie du fait que la somme des angles opposés d'un rectangle est de 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Un rectangle peut contenir un cercle inscrit et un seul s'il a des côtés de longueur égale (c'est un carré).

Leçon sur le thème « Le rectangle et ses propriétés »

Objectifs de la leçon:

Répétez le concept de rectangle, en vous basant sur les connaissances acquises par les élèves du cours de mathématiques de la 1re à la 6e année.

Considérez les propriétés d'un rectangle comme un type spécial de parallélogramme.

Considérons une propriété particulière d'un rectangle.

Montrer l'application des propriétés à la résolution de problèmes.

Pendant les cours.

je Ômoment d'organisation.

Informez le but de la leçon, le sujet de la leçon. (diapositive 1)

IIApprendre du nouveau matériel.

· Répéter:

1. Quelle figure s'appelle un parallélogramme ?

2. Quelles propriétés possède un parallélogramme ? (diapositive 2)

● Présenter le concept de rectangle.

Quel parallélogramme peut-on appeler un rectangle ?

Définition : Un rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits.(diapositive 3)

Cela signifie que puisqu’un rectangle est un parallélogramme, il possède toutes les propriétés d’un parallélogramme. Puisque le rectangle a un nom différent, il doit avoir sa propre propriété (diapositive 4).

● Activité de l'élève (indépendant) : Explorer les côtés, les angles et les diagonales d'un parallélogramme et d'un rectangle, en notant les résultats dans un tableau.