Expansion d'une fonction périodique en une série de Fourier trigonométrique. Développement de la série de Fourier en cosinus

Ce qui est déjà assez ennuyeux. Et je pense que le moment est venu où il est temps d’extraire de nouvelles conserves des réserves stratégiques de la théorie. Est-il possible d'étendre la fonction en série d'une autre manière ? Par exemple, exprimer un segment de droite en termes de sinus et de cosinus ? Cela semble incroyable, mais des fonctions aussi lointaines peuvent être
"réunification". En plus des diplômes théoriques et pratiques habituels, il existe d’autres approches pour étendre une fonction en série.

Sur Cette leçon Nous nous familiariserons avec la série trigonométrique de Fourier, aborderons la question de sa convergence et de sa somme et, bien sûr, nous analyserons de nombreux exemples d'expansion de fonctions dans les séries de Fourier. Je voulais sincèrement appeler cet article « Série de Fourier pour les nuls », mais ce serait fallacieux, car la résolution des problèmes nécessiterait la connaissance d’autres branches de l’analyse mathématique et une certaine expérience pratique. Le préambule ressemblera donc à un entraînement d'astronaute =)

Tout d'abord, vous devez aborder l'étude des documents de page sous une excellente forme. Somnolent, reposé et sobre. Sans émotions fortes à propos d'une patte de hamster cassée et pensées obsessionnelles sur les difficultés de la vie poissons d'aquarium. La série de Fourier n'est cependant pas difficile à comprendre tâches pratiques ils nécessitent simplement une concentration d'attention accrue - idéalement, vous devriez vous détacher complètement des stimuli externes. La situation est aggravée par le fait qu’il n’existe pas de moyen simple de vérifier la solution et la réponse. Ainsi, si votre santé est inférieure à la moyenne, il vaut mieux faire quelque chose de plus simple. Est-ce vrai.

Deuxièmement, avant de voler dans l'espace, vous devez étudier le tableau de bord vaisseau spatial. Commençons par les valeurs des fonctions sur lesquelles il faut cliquer sur la machine :

Pour toute valeur naturelle :

1) . En effet, la sinusoïde « coud » l’axe des x à travers chaque « pi » :
. Quand valeurs négatives argument, le résultat, bien sûr, sera le même : .

2) . Mais tout le monde ne le savait pas. Le cosinus « pi » est l'équivalent d'un « clignotant » :

Un argument négatif ne change rien : .

C'est peut-être suffisant.

Et troisièmement, chers corps de cosmonautes, vous devez être capables de... vous intégrer.
En particulier, subsumer en toute confiance une fonction sous le signe différentiel, intégrer par parties et être en harmonie avec la formule de Newton-Leibniz. Commençons les exercices importants avant le vol. Je déconseille catégoriquement de le sauter, pour ne pas s'écraser en apesanteur plus tard :

Exemple 1

Calculer des intégrales définies

où prend les valeurs naturelles.

Solution : l'intégration s'effectue sur la variable « x » et à ce stade la variable discrète « en » est considérée comme une constante. Dans toutes les intégrales, nous subsumons la fonction sous le signe différentiel :

Une version courte de la solution qu’il serait bon de cibler ressemble à ceci :

Habituons-nous à cela :

Les quatre points restants dépendent de vous. Essayez d'aborder la tâche consciencieusement et de compléter les intégrales le chemin court. Exemples de solutions à la fin de la leçon.

Après avoir effectué les exercices QUALITÉ, nous enfilons des combinaisons spatiales
et on se prépare à commencer !

Considérons une fonction définie au moins sur un intervalle (et éventuellement sur un intervalle plus grand). Si cette fonction est intégrable sur l'intervalle, alors elle peut être développée en une série de Fourier trigonométrique :
, où sont les soi-disant Coefficients de Fourier.

Dans ce cas, le nombre est appelé période de décomposition et le nombre est appelé demi-période de décomposition.

Il est évident que dans le cas général la série de Fourier est constituée de sinus et de cosinus :

En effet, écrivons-le en détail :

Le terme zéro de la série s'écrit généralement sous la forme .

Les coefficients de Fourier sont calculés à l'aide des formules suivantes :

Je comprends parfaitement que ceux qui commencent à étudier le sujet ne comprennent toujours pas les nouveaux termes : période de décomposition, demi-cycle, Coefficients de Fourier etc. Pas de panique, ce n’est pas comparable à l’excitation avant de sortir espace ouvert. Comprenons tout dans l'exemple suivant, avant d'exécuter lequel il est logique de se poser des questions pratiques pressantes :

Développez la fonction en une série de Fourier. De plus, il est souvent nécessaire de représenter un graphique d'une fonction, un graphique de la somme d'une série, une somme partielle et, dans le cas de fantasmes professeurs sophistiqués, de faire autre chose.

En gros, il faut trouver Coefficients de Fourier, c'est-à-dire composer et calculer trois intégrales définies.

Veuillez copier la forme générale de la série de Fourier et les trois formules de travail dans votre cahier. Je suis très heureux que certains visiteurs du site réalisent sous mes yeux leur rêve d'enfant de devenir astronaute =)

Exemple 2

Développez la fonction en une série de Fourier sur l'intervalle. Construire un graphique, un graphique de la somme des séries et de la somme partielle.

Solution : La première partie de la tâche consiste à étendre la fonction en une série de Fourier.

Le début est standard, assurez-vous de noter que :

Dans ce problème, la période d’expansion est une demi-période.

Développons la fonction en une série de Fourier sur l'intervalle :

En utilisant les formules appropriées, on trouve Coefficients de Fourier. Vous devez maintenant composer et calculer trois intégrales définies. Pour plus de commodité, je numéroterai les points :

1) La première intégrale est la plus simple, cependant, elle nécessite également des globes oculaires :

2) Utilisez la deuxième formule :

Cette intégrale est bien connue et se décompose en parties :

Lors de la recherche, la méthode consistant à subsumer la fonction sous le signe différentiel a été utilisée.

Dans la tâche considérée, il est plus pratique d'utiliser immédiatement la formule d'intégration par parties dans une intégrale définie :

Quelques notes techniques. Premièrement, après avoir appliqué la formule, l'expression entière doit être placée entre grandes parenthèses, car il y a une constante devant l'intégrale d'origine. Ne la perdons pas ! Les parenthèses peuvent être développées à toute étape ultérieure ; je l’ai fait en dernier recours. Dans le premier "morceau" Nous apportons un soin extrême à la substitution ; comme vous pouvez le constater, la constante n'est pas utilisée et les limites d'intégration sont substituées dans le produit. Cette action est mise en évidence entre crochets. Eh bien, vous connaissez l'intégrale du deuxième « morceau » de la formule de la tâche de formation ;-)

Et surtout, une concentration extrême !

3) On recherche le troisième coefficient de Fourier :

On obtient une relative de l'intégrale précédente, qui peut également être intégrée par parties :

Cette instance est un peu plus compliquée, je vais commenter les étapes suivantes étape par étape :

(1) Nous mettons l’expression entière entre grandes parenthèses. Je ne voulais pas paraître ennuyeux, ils perdent trop souvent la constante.

(2) Dans ce cas, j'ai immédiatement ouvert ces grandes parenthèses. Nous accordons une attention particulière au premier « morceau » : le constant fume en marge et ne participe pas à la substitution des limites d'intégration ( et ) dans le produit. En raison de l'encombrement du dossier, il est à nouveau conseillé de mettre en évidence cette action entre crochets. Avec le deuxième "morceau" tout est plus simple : ici la fraction est apparue après avoir ouvert de grandes parenthèses, et la constante - suite à l'intégration de l'intégrale familière ;-)

(3) Entre crochets, nous effectuons des transformations, et dans l'intégrale droite - substitution des limites d'intégration.

(4) Nous supprimons le « feu clignotant » des crochets : , puis ouvrons les crochets intérieurs : .

(5) Nous annulons 1 et –1 entre parenthèses et effectuons de dernières simplifications.

Finalement, les trois coefficients de Fourier sont trouvés :

Remplaçons-les dans la formule :

En même temps, n'oubliez pas de diviser en deux. A la dernière étape, la constante (« moins deux »), qui ne dépend pas de « en », est prise en dehors de la somme.

Ainsi, nous avons obtenu le développement de la fonction en une série de Fourier sur l'intervalle :

Etudions la question de la convergence de la série de Fourier. J'expliquerai la théorie, en particulier Théorème de Dirichlet, littéralement « sur les doigts », donc si vous avez besoin de formulations strictes, veuillez vous référer au manuel sur analyse mathematique (par exemple, le tome 2 de Bohan ; ou le tome 3 de Fichtenholtz, mais c'est plus difficile).

La deuxième partie du problème nécessite de tracer un graphique, un graphique de la somme d'une série et un graphique d'une somme partielle.

Le graphique de la fonction est une ligne droite ordinaire sur le plan, tracée par une ligne pointillée noire :

Calculons la somme de la série. Comme vous le savez, les séries de fonctions convergent vers les fonctions. Dans notre cas, la série de Fourier construite pour toute valeur de "x" convergera vers la fonction, qui est affichée en rouge. Cette fonction tolère les discontinuités de 1ère espèce aux points, mais y est également définie (points rouges sur le dessin)

Ainsi: . Il est facile de voir qu'elle est sensiblement différente de la fonction d'origine, c'est pourquoi dans l'entrée Un tilde est utilisé à la place du signe égal.

Étudions un algorithme pratique pour construire la somme d'une série.

Sur l'intervalle central, la série de Fourier converge vers la fonction elle-même (le segment central rouge coïncide avec la ligne pointillée noire de la fonction linéaire).

Parlons maintenant un peu de la nature du développement trigonométrique considéré. série de Fourier comprend uniquement les fonctions périodiques (constante, sinus et cosinus), donc la somme de la série est aussi une fonction périodique.

Qu'est-ce que cela signifie dans notre exemple spécifique? Et cela signifie que la somme de la série – est certainement périodique et le segment rouge de l’intervalle doit être répété à l’infini à gauche et à droite.

Je pense que le sens de l’expression « période de décomposition » est enfin devenu clair. Pour faire simple, à chaque fois, la situation se répète encore et encore.

En pratique, il suffit généralement de représenter trois périodes de décomposition, comme cela est fait dans le dessin. Eh bien, et aussi des « souches » de périodes voisines - pour qu'il soit clair que le graphique continue.

Les points de discontinuité du 1er type sont particulièrement intéressants. En de tels points, la série de Fourier converge vers des valeurs isolées, situées exactement au milieu du « saut » de la discontinuité (points rouges sur le dessin). Comment connaître l'ordonnée de ces points ? Trouvons d’abord l’ordonnée de « l’étage supérieur » : pour cela, on calcule la valeur de la fonction au point le plus à droite de la période centrale du développement : . Pour calculer l’ordonnée de « l’étage inférieur », le plus simple est de prendre la valeur la plus à gauche de la même période : . L'ordonnée de la moyenne est la moyenne somme arithmétique"haut et bas": . Un fait agréable est que lors de la construction d'un dessin, vous verrez immédiatement si le milieu est calculé correctement ou incorrectement.

Construisons une somme partielle de la série et répétons en même temps le sens du terme « convergence ». Le motif est également connu grâce à la leçon sur la somme d'une série de nombres. Décrivons notre richesse en détail :

Pour composer une somme partielle, vous devez écrire zéro + deux termes supplémentaires de la série. C'est,

Dans le dessin, le graphique de la fonction est affiché en vert et, comme vous pouvez le voir, il « enveloppe » assez étroitement la somme totale. Si l'on considère une somme partielle de cinq termes de la série, alors le graphique de cette fonction se rapprochera encore plus précisément des lignes rouges ; s'il y a cent termes, alors le « serpent vert » fusionnera en fait complètement avec les segments rouges, etc. Ainsi, la série de Fourier converge vers sa somme.

Il est intéressant de noter que toute somme partielle est une fonction continue, mais que la somme totale de la série reste discontinue.

En pratique, il n’est pas si rare de construire un graphe somme partielle. Comment faire? Dans notre cas, il faut considérer la fonction sur le segment, calculer ses valeurs aux extrémités du segment et aux points intermédiaires (plus vous considérez de points, plus le graphique sera précis). Ensuite, vous devez marquer ces points sur le dessin et dessiner soigneusement un graphique sur la période, puis le « reproduire » dans des intervalles adjacents. Sinon comment? Après tout, l'approximation est aussi une fonction périodique... ...à certains égards, son graphique me rappelle un rythme cardiaque régulier sur l'écran d'un appareil médical.

Bien entendu, réaliser la construction n'est pas très pratique, car il faut être extrêmement prudent, en maintenant une précision d'au moins un demi-millimètre. Cependant, je ferai plaisir aux lecteurs qui ne sont pas à l'aise avec le dessin - dans un problème « réel » il n'est pas toujours nécessaire de faire un dessin ; dans environ 50% des cas il faut étendre la fonction en une série de Fourier et c'est tout .

Après avoir terminé le dessin, nous terminons la tâche :

Répondre :

Dans de nombreux problèmes, la fonction souffre d'une discontinuité du 1er type dès la période d'expansion :

Exemple 3

Développez la fonction donnée sur l'intervalle en une série de Fourier. Dessinez un graphique de la fonction et de la somme totale de la série.

La fonction proposée est spécifiée par morceaux (et, attention, uniquement sur le segment) et souffre d'une discontinuité de 1ère espèce au point . Est-il possible de calculer des coefficients de Fourier ? Aucun problème. Les côtés gauche et droit de la fonction sont intégrables sur leurs intervalles, donc les intégrales de chacune des trois formules doivent être représentées comme la somme de deux intégrales. Voyons par exemple comment cela se fait pour un coefficient nul :

La deuxième intégrale s'est avérée égale à zéro, ce qui a réduit le travail, mais ce n'est pas toujours le cas.

Les deux autres coefficients de Fourier sont décrits de la même manière.

Comment afficher la somme d'une série ? Sur l'intervalle de gauche, nous dessinons un segment de droite et sur l'intervalle - un segment de droite (nous mettons en évidence la section de l'axe en gras et en gras). C'est-à-dire que sur l'intervalle d'expansion, la somme de la série coïncide avec la fonction partout sauf pour trois « mauvais » points. Au point de discontinuité de la fonction, la série de Fourier convergera vers une valeur isolée, qui se situe exactement au milieu du « saut » de la discontinuité. Il n'est pas difficile de le voir oralement : limite gauche : , limite droite : et, évidemment, l’ordonnée du point médian est 0,5.

En raison de la périodicité de la somme, l'image doit être « multipliée » en périodes adjacentes, en particulier, la même chose doit être représentée sur les intervalles et . Dans le même temps, en certains points, la série de Fourier convergera vers les valeurs médianes.

En fait, il n’y a rien de nouveau ici.

Essayez de faire face à cette tâche vous-même. Un échantillon approximatif de la conception finale et un dessin à la fin de la leçon.

Pour une période d'expansion arbitraire, où « el » est un nombre positif, les formules de la série de Fourier et des coefficients de Fourier se distinguent par un argument légèrement plus compliqué pour le sinus et le cosinus :

Si , alors nous obtenons les formules d’intervalle avec lesquelles nous avons commencé.

L'algorithme et les principes de résolution du problème sont entièrement conservés, mais la complexité technique des calculs augmente :

Exemple 4

Développez la fonction en une série de Fourier et tracez la somme.

Solution : en fait un analogue de l'exemple n°3 avec une discontinuité du 1er type au point. Dans ce problème, la période d’expansion est une demi-période. La fonction est définie uniquement sur le demi-intervalle, mais cela ne change rien : il est important que les deux éléments de la fonction soient intégrables.

Développons la fonction en une série de Fourier :

La fonction étant discontinue à l'origine, chaque coefficient de Fourier doit évidemment s'écrire comme la somme de deux intégrales :

1) J'écrirai la première intégrale de la manière la plus détaillée possible :

2) On regarde attentivement la surface de la Lune :

On prend la deuxième intégrale par parties :

À quoi devons-nous prêter une attention particulière après avoir ouvert la suite de la solution par un astérisque ?

Premièrement, on ne perd pas la première intégrale , où l'on applique immédiatement le signe différentiel. Deuxièmement, n'oubliez pas la constante malheureuse avant les grandes parenthèses et ne vous trompez pas dans les signes lorsque vous utilisez la formule . Les grands supports sont encore plus pratiques à ouvrir immédiatement à l'étape suivante.

Le reste est une question de technique ; les difficultés ne peuvent être causées que par une expérience insuffisante dans la résolution d'intégrales.

Oui, ce n'est pas pour rien que les éminents collègues du mathématicien français Fourier se sont indignés : comment a-t-il osé disposer les fonctions en séries trigonométriques ?! =) D'ailleurs, tout le monde s'intéresse probablement au sens pratique de la tâche en question. Fourier lui-même a travaillé sur modèle mathématique conductivité thermique, et par la suite la série qui porte son nom a commencé à être utilisée pour étudier de nombreux processus périodiques, visibles et invisibles dans le monde environnant. Au fait, je me suis surpris à penser que ce n'était pas un hasard si j'avais comparé le graphique du deuxième exemple avec le rythme périodique du cœur. Les personnes intéressées peuvent se familiariser avec application pratique Transformée de Fourier dans des sources tierces. ...Même s'il vaut mieux ne pas le faire - on s'en souviendra comme du Premier Amour =)

3) Compte tenu des maillons faibles évoqués à plusieurs reprises, regardons le troisième coefficient :

Intégrons par parties :

Remplaçons les coefficients de Fourier trouvés dans la formule , sans oublier de diviser le coefficient zéro par deux :

Traçons la somme de la série. Répétons brièvement la procédure : on construit une droite sur un intervalle, et une droite sur un intervalle. Si la valeur « x » est nulle, nous plaçons un point au milieu du « saut » de l'écart et « répliquons » le graphique pour les périodes adjacentes :


Aux « jonctions » des périodes, la somme sera également égale aux milieux du « saut » de l’écart.

Prêt. Permettez-moi de vous rappeler que la fonction elle-même est définie par condition uniquement sur un demi-intervalle et, évidemment, coïncide avec la somme des séries sur les intervalles

Répondre :

Parfois, une fonction donnée par morceaux est continue pendant la période d’expansion. L'exemple le plus simple : . Solution (voir Bohan tome 2) comme dans les deux exemples précédents : malgré la continuité de la fonction en ce point, chaque coefficient de Fourier s'exprime comme la somme de deux intégrales.

Dans l'intervalle d'expansion, il peut y avoir davantage de points de discontinuité de 1ère espèce et/ou de points « joints » du graphe (deux, trois, et généralement n'importe quel final quantité). Si une fonction est intégrable sur chaque partie, alors elle est également extensible dans une série de Fourier. Mais par expérience pratique, je ne me souviens pas d’une chose aussi cruelle. Cependant, il existe des tâches plus difficiles que celles qui viennent d'être envisagées, et à la fin de l'article il y a des liens vers des séries de Fourier d'une complexité accrue pour tout le monde.

En attendant, détendons-nous, adossons-nous à nos chaises et contemplons les étendues infinies d’étoiles :

Exemple 5

Développez la fonction en une série de Fourier sur l'intervalle et tracez la somme de la série.

Dans ce problème, la fonction est continue sur le demi-intervalle du développement, ce qui simplifie la solution. Tout est très similaire à l'exemple n°2. Il n'y a pas d'échappatoire au vaisseau spatial - vous devrez décider =) Un exemple de conception approximatif à la fin de la leçon, un planning est joint.

Avec les fonctions paires et impaires, le processus de résolution du problème est sensiblement simplifié. Et c'est pourquoi. Revenons au développement d'une fonction dans une série de Fourier de période « deux pi » et période arbitraire "deux el" .

Supposons que notre fonction soit paire. Le terme général de la série, comme vous pouvez le constater, contient des cosinus pairs et des sinus impairs. Et si nous développons une fonction PAIRE, alors pourquoi avons-nous besoin de sinus impairs ?! Réinitialisons le coefficient inutile : .

Ainsi, une fonction paire peut être développée en une série de Fourier uniquement en cosinus :

Puisque les intégrales des fonctions paires sur un segment d'intégration symétrique par rapport à zéro peuvent être doublées, les coefficients de Fourier restants sont également simplifiés.

Pour l'écart :

Pour un intervalle arbitraire :

Les exemples de manuels que l'on peut trouver dans presque tous les manuels d'analyse mathématique incluent des extensions de fonctions paires. . De plus, ils ont été rencontrés à plusieurs reprises dans ma pratique personnelle :

Exemple 6

La fonction est donnée. Requis:

1) développer la fonction en une série de Fourier de période , où est un nombre positif arbitraire ;

2) notez le développement sur l'intervalle, construisez une fonction et représentez graphiquement la somme totale de la série.

Solution : dans le premier paragraphe, il est proposé de résoudre le problème en vue générale, et c'est très pratique ! Si le besoin s’en fait sentir, remplacez simplement votre valeur.

1) Dans ce problème, la période d’expansion est une demi-période. Lors d'actions ultérieures, en particulier lors de l'intégration, « el » est considéré comme une constante

La fonction est paire, ce qui signifie qu'elle peut être développée en une série de Fourier uniquement en cosinus : .

On recherche les coefficients de Fourier à l'aide des formules . Faites attention à leurs avantages inconditionnels. Premièrement, l'intégration s'effectue sur le segment positif de l'expansion, ce qui signifie que nous nous débarrassons du module en toute sécurité. , en considérant uniquement le « X » des deux pièces. Et deuxièmement, l’intégration est sensiblement simplifiée.

Deux:

Intégrons par parties :

Ainsi:
, tandis que la constante , qui ne dépend pas de « en », est prise en dehors de la somme.

Répondre :

2) Écrivons le développement sur l'intervalle, à cet effet dans formule générale remplacez la valeur de demi-cycle souhaitée :

Comment insérer formules mathématiques au site Web ?

Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . Outre la simplicité, cela méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site Web moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.

Si vous utilisez constamment des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche notation mathématique dans les navigateurs Web utilisant le balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez connecter rapidement un script MathJax à votre site Web, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.

Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :

L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.

Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est tout. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.

Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliqué séquentiellement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.

L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.

Conférence n°60

6.21. Série de Fourier pour les fonctions paires et impaires.

Théorème : Pour toute fonction paire, sa série de Fourier est constituée uniquement de cosinus.

Pour toute fonction impaire :
.

Preuve: De la définition des fonctions paires et impaires il résulte que si ψ(x) – même fonction, Que

.

Vraiment,

puisque par définition d'une fonction paire ψ(- x) = ψ(x).

De même, on peut prouver que si ψ(x) est une fonction impaire, alors

Si une fonction impaire ƒ(x) est développée en une série de Fourier, alors le produit ƒ(x) ·coskx est également une fonction impaire, et ƒ(x) ·sinkx est une fonction paire ; ainsi,

(21)

c'est-à-dire que la série de Fourier d'une fonction impaire contient « uniquement des sinus ».

Si une fonction paire est développée en une série de Fourier, alors le produit ƒ(x)·sinkx est une fonction impaire, et ƒ(x)·coskx est une fonction paire, alors :

(22)

c'est-à-dire que la série de Fourier d'une fonction paire contient « uniquement des cosinus ».

Les formules obtenues permettent de simplifier les calculs lors de la recherche des coefficients de Fourier dans les cas où une fonction donnée est paire ou impaire, et également d'obtenir Développement en série de Fourier d'une fonction définie sur une partie de l'intervalle .

Dans de nombreuses tâches, la fonction
est spécifié dans l'intervalle
. Il faut représenter cette fonction comme une somme infinie de sinus et cosinus d'angles multiples des nombres naturels, c'est-à-dire il est nécessaire d'étendre la fonction en une série de Fourier. Habituellement, dans de tels cas, ils procèdent comme suit.

Pour développer une fonction donnée en cosinus, la fonction
en outre déterminé dans l'intervalle
de manière égale, c'est-à-dire de sorte que dans l'intervalle

. Alors pour la fonction paire « étendue » tous les arguments du paragraphe précédent sont valables, et, par conséquent, les coefficients de la série de Fourier sont déterminés par les formules

,

Ces formules, comme on le voit, incluent les valeurs de la fonction
, uniquement spécifié dans l'intervalle
. Pour développer une fonction
, spécifié dans l'intervalle
, par sinus, il faut définir plus en détail cette fonction dans l'intervalle
d'une manière étrange, c'est-à-dire de sorte que dans l'intervalle

.

Ensuite le calcul des coefficients de la série de Fourier doit être effectué à l'aide des formules

.

Théorème 1. Une fonction donnée sur un intervalle peut être développée d'une infinité de façons en une série de Fourier trigonométrique, notamment en cos ou sin.

Commentaire. Fonction
, spécifié dans l'intervalle
peut être défini plus en détail dans l'intervalle
de quelque manière que ce soit, et pas seulement comme cela a été fait ci-dessus. Mais avec une redéfinition arbitraire de la fonction, le développement dans une série de Fourier sera plus complexe que celui obtenu lors du développement en sinus ou en cosinus.

Exemple. Développer la fonction dans les séries de Fourier en cosinus
, spécifié dans l'intervalle
(Fig. 2a).

Solution. Définissons la fonction
dans l'intervalle
pair (le graphique est symétrique par rapport à l'axe
)

,

Parce que
, Que

à

,

à

6.22. Série de Fourier pour une fonction spécifiée sur un intervalle arbitraire

Jusqu'à présent, nous avons considéré une fonction définie dans l'intervalle
, le considérant périodique en dehors de cet intervalle, avec une période
.

Considérons maintenant la fonction
, dont la période est 2 je, c'est à dire.
sur l'intervalle
, et montrer que dans ce cas la fonction
peut être étendu en une série de Fourier.

Mettons
, ou
. Puis lors du changement depuis - je avant je nouvelle variable varie de
avant et donc la fonction peut être considéré comme une fonction spécifiée dans l'intervalle de
avant et périodique en dehors de cet intervalle, avec une période
.

Donc,
.

S'étant étalé
dans la série de Fourier, on obtient

,

.

Passons aux anciennes variables, c'est-à-dire croire

, on a
,
Et
.

Autrement dit, la série de Fourier pour la fonction
, spécifié dans l'intervalle
, ressemblera:

,

,

.

Si la fonction
est pair, alors les formules de détermination des coefficients de la série de Fourier sont simplifiées :

,

,

.

Dans le cas où la fonction
impair:

,

,

.

Si la fonction
spécifié dans l'intervalle
, alors cela peut être continué dans l'intervalle
soit pair, soit impair. En cas de continuation même de la fonction dans l'intervalle

,

.

Dans le cas d'une extension impaire de la fonction dans l'intervalle
les coefficients de la série de Fourier sont trouvés par les formules

,

.

Exemple. Développez la fonction dans une série de Fourier

le long des sinus de plusieurs arcs.

Solution. Calendrier fonction donnée présenté sur la figure 3. Continuons la fonction d'une manière étrange (Fig. 4), c'est-à-dire Nous réaliserons l'expansion en termes de sinus.

Toutes les cotes

,

Présentons le remplacement
. Puis à
on a
, à
nous avons
.

Ainsi

.

6.23. .Le concept d'expansion en série de Fourier de fonctions non périodiques

La fonction définie dans la région principale (-ℓ, ℓ) peut être périodiquement étendue au-delà de la région principale en utilisant la relation fonctionnelle ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).

Pour une fonction non périodique ƒ(x) (-∞