Leçon « Application de diverses méthodes pour factoriser un polynôme. Application de diverses méthodes de factorisation d'un polynôme Application de diverses méthodes de factorisation d'un polynôme

PLAN DE COURS cours d'algèbre en 7ème

Professeur Prilepova O.A.

Objectifs de la leçon:

Montrer l'application de diverses méthodes pour factoriser un polynôme

Répéter les méthodes de factorisation et consolider ses connaissances lors des exercices

Développer les compétences et les habiletés des élèves dans l'application des formules de multiplication abrégées.

Développer la pensée logique et l'intérêt des élèves pour le sujet.

Tâches:

dans la direction développement personnel:

Développement de l'intérêt pour la créativité mathématique et les capacités mathématiques;

Développement de l'initiative, activité dans la résolution de problèmes mathématiques;

Cultiver la capacité de prendre des décisions indépendantes.

dans le sens méta-sujet :

Formation de voies générales d'activité intellectuelle, caractéristiques des mathématiques et constituant la base de la culture cognitive;

Utilisation de la technologie TIC ;

dans le domaine :

Maîtriser les connaissances et compétences mathématiques nécessaires à la poursuite des études ;

Formation chez les étudiants la capacité de chercher des façons de factoriser un polynôme et de les trouver pour un polynôme qui est factorisé.

Équipement:polycopiés, feuilles de route avec critères d'évaluation,projecteur multimédia, présentation.

Type de leçon :répétition, généralisation et systématisation du matériel couvert

Formes de travail :travail en binôme et en groupe, individuel, collectif,travail indépendant et frontal.

Pendant les cours :

Existe plusieurs manières différentes factorisation d'un polynôme. Le plus souvent, dans la pratique, non pas une, mais plusieurs méthodes sont utilisées à la fois. Il ne peut y avoir d'ordre spécifique d'actions ici, dans chaque exemple tout est individuel. Mais vous pouvez essayer de suivre l'ordre suivant :

1. S'il y a un facteur commun, retirez-le du support ;

2. Après cela, essayez de factoriser le polynôme en utilisant les formules de multiplication abrégées ;

3. Si après cela nous n'avons pas encore reçu le résultat souhaité, nous devrions essayer d'utiliser la méthode de regroupement.

Formules de multiplication abrégées

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2 ;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2 ;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2) ;

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2) ;

Voyons maintenant quelques exemples :

Exemple 1

Factorisez le polynôme : (a^2+1)^2 - 4*a^2

Tout d'abord, nous appliquons la formule de multiplication abrégée "différence de carrés" et ouvrons les parenthèses intérieures.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Notez que les expressions du carré de la somme et du carré de la différence de deux expressions sont obtenues entre parenthèses. Appliquez-les et obtenez la réponse.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2 ;

Réponse:(a-1)^2*(a+1)^2 ;

Exemple 2

Factorisez le polynôme 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Comme vous pouvez le voir directement ici, aucune des méthodes ne convient. Mais il y a deux carrés, ils peuvent être regroupés. Essayons.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y) ;

Nous avons obtenu la formule de la différence des carrés dans la première tranche, et dans la deuxième tranche, il y a un facteur commun de deux. Appliquons la formule et supprimons le facteur commun.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

On voit que deux supports identiques sont obtenus. Nous les retirons comme un facteur commun.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y )*(2*x-y+2);

Réponse:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Comme vous pouvez le voir, il n'y a pas de méthode universelle. Avec l'expérience, la compétence viendra et la factorisation du polynôme en facteurs sera très facile.

Dans la leçon précédente, nous avons étudié la multiplication d'un polynôme par un monôme. Par exemple, le produit d'un monôme a et d'un polynôme b + c se trouve ainsi :

a(b + c) = ab + bc

Cependant, dans certains cas, il est plus pratique d'effectuer l'opération inverse, que l'on peut appeler retirer le facteur commun des parenthèses :

ab + bc = a(b + c)

Par exemple, supposons que nous devions calculer la valeur du polynôme ab + bc avec les valeurs des variables a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Si nous les substituons directement dans l'expression, nous obtenons

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

Dans ce cas, nous avons représenté le polynôme ab + bc comme le produit de deux facteurs : a et b + c. Cette action s'appelle la factorisation d'un polynôme.

De plus, chacun des facteurs dans lesquels le polynôme est décomposé peut, à son tour, être un polynôme ou un monôme.

Considérons le polynôme 14ab - 63b 2 . Chacun de ses monômes constitutifs peut être représenté comme un produit :

On peut voir que les deux polynômes ont un facteur commun 7b. Ainsi, il peut être pris entre parenthèses:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Vous pouvez vérifier l'exactitude de la suppression du facteur des parenthèses en utilisant l'opération inverse - en élargissant la parenthèse :

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Il est important de comprendre que souvent un polynôme peut être développé de plusieurs manières, par exemple :

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Habituellement, ils essaient de supporter, grosso modo, le "plus grand" monôme. C'est-à-dire que le polynôme est disposé de telle manière que rien de plus ne peut être extrait du polynôme restant. Ainsi, lors du fractionnement

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

la somme des monômes qui ont un facteur commun c reste entre parenthèses. Si nous le supprimons également, il n'y aura pas de facteurs communs entre parenthèses :

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Analysons plus en détail comment trouver des facteurs communs pour les monômes. Partageons la somme

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Il se compose de trois éléments. Examinons d'abord les coefficients numériques devant eux. Ce sont 8, 12 et 16. Dans la leçon 3 de la 6e année, le sujet du PGCD et l'algorithme pour le trouver ont été abordés. C'est le plus grand diviseur commun. Vous pouvez presque toujours le reprendre oralement. Le coefficient numérique du facteur commun sera simplement le PGCD des coefficients numériques des termes du polynôme. Dans ce cas, le nombre est 4.

Ensuite, nous examinons les degrés de ces variables. Dans le facteur commun, les lettres doivent avoir les degrés minimaux qui se produisent dans les termes. Ainsi, la variable a dans un polynôme de degré 3, 2 et 4 (minimum 2), donc le facteur commun sera a 2 . La variable b a un degré minimum de 3, donc le facteur commun sera b 3 :

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

Par conséquent, les termes restants 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 n'ont pas de variable alphabétique commune et leurs coefficients 2, 3 et 4 n'ont pas de diviseurs communs.

Vous pouvez retirer des parenthèses non seulement les monômes, mais aussi les polynômes. Par exemple:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Un autre exemple. Il faut développer l'expression

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

La solution. Rappelez-vous que le signe moins inverse les signes entre parenthèses, donc

-(8a - 3x) = -8a + 3x = 3x - 8a

Vous pouvez donc remplacer (3x - 8y) par - (8y - 3x) :

5t(8a - 3x) + 2s(3x - 8a) = 5t(8a - 3x) + 2*(-1)s(8a - 3x) = (8a - 3x)(5t - 2s)

Réponse : (8y - 3x)(5t - 2s).

N'oubliez pas que le soustrait et le réduit peuvent être intervertis en changeant le signe devant les parenthèses :

(a - b) = - (b - a)

L'inverse est également vrai : le moins déjà devant les parenthèses peut être supprimé si le soustrait et le réduit sont réarrangés en même temps :

Cette technique est souvent utilisée dans la résolution de problèmes.

Méthode de regroupement

Considérons une autre façon de factoriser un polynôme, qui aide à factoriser un polynôme. Qu'il y ait une expression

ab - 5a + bc - 5c

Il n'est pas possible de retirer un facteur commun aux quatre monômes. Cependant, vous pouvez représenter ce polynôme comme la somme de deux polynômes, et dans chacun d'eux prendre la variable hors parenthèses :

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Vous pouvez maintenant supprimer l'expression b - 5 :

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

Nous avons « regroupé » le premier terme avec le second, et le troisième avec le quatrième. Par conséquent, la méthode décrite est appelée la méthode de regroupement.

Exemple. Développons le polynôme 6xy + ab- 2bx- 3ay.

La solution. Le regroupement des 1er et 2ème termes est impossible, puisqu'ils n'ont pas de diviseur commun. Alors échangeons les monômes :

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Les différences 3y - b et b - 3y ne diffèrent que par l'ordre des variables. Dans l'une des parenthèses, il peut être modifié en déplaçant le signe moins hors des parenthèses :

(b - 3a) = - (3a - b)

Nous utilisons cette substitution :

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

Le résultat est une identité :

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Réponse : (3a - b)(2x - a)

Vous pouvez regrouper non seulement deux, mais en général n'importe quel nombre de termes. Par exemple, dans le polynôme

x2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

vous pouvez grouper les trois premiers et les 3 derniers monômes :

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Regardons maintenant la tâche de complexité accrue

Exemple. Développez le trinôme carré x 2 - 8x +15.

La solution. Ce polynôme se compose de seulement 3 monômes, et donc, semble-t-il, le regroupement ne peut pas être fait. Cependant, vous pouvez effectuer la substitution suivante :

Alors le trinôme original peut être représenté comme suit :

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Regroupons les termes :

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Réponse : (x - 5) (x - 3).

Bien sûr, deviner le remplacement - 8x = - 3x - 5x dans l'exemple ci-dessus n'est pas facile. Montrons un autre raisonnement. Il faut développer le polynôme du second degré. Comme nous nous en souvenons, lors de la multiplication de polynômes, leurs degrés sont ajoutés. Cela signifie que si nous pouvons décomposer le trinôme carré en deux facteurs, alors ce seront deux polynômes du 1er degré. Écrivons le produit de deux polynômes du premier degré, dont les coefficients directeurs sont égaux à 1 :

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Ici a et b sont des nombres arbitraires. Pour que ce produit soit égal au trinôme d'origine x 2 - 8x +15, il faut choisir les coefficients appropriés pour les variables :

A l'aide de la sélection, on peut déterminer que les nombres a= - 3 et b = - 5 satisfont à cette condition.

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

ce qui peut être vérifié en ouvrant les crochets.

Pour simplifier, nous n'avons considéré que le cas où les polynômes multipliés du 1er degré ont les coefficients les plus élevés égaux à 1. Cependant, ils pourraient être égaux, par exemple, à 0,5 et 2. Dans ce cas, l'expansion serait quelque peu différente :

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0,5x - 2,5)

Cependant, en retirant le facteur 2 de la première parenthèse et en le multipliant par la seconde, nous obtiendrions l'expansion d'origine :

(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3)(x - 5)

Dans l'exemple considéré, nous avons décomposé le trinôme carré en deux polynômes du premier degré. À l'avenir, nous devrons souvent le faire. Cependant, il convient de noter que certains trinômes carrés, par exemple,

il est impossible de décomposer ainsi en un produit de polynômes. Cela sera prouvé plus tard.

Application de la factorisation de polynômes

Factoriser un polynôme peut simplifier certaines opérations. Qu'il soit nécessaire d'évaluer la valeur de l'expression

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

On enlève le chiffre 2, tandis que le degré de chaque terme diminue de un :

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Dénoter la somme

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

pour x. Alors l'équation ci-dessus peut être réécrite :

x + 2 9 = 2(1 + x)

On a l'équation, on va la résoudre (voir la leçon de l'équation) :

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Exprimons maintenant le montant que nous recherchons en termes de x :

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Lors de la résolution de ce problème, nous n'avons élevé le nombre 2 qu'à la puissance 9 et nous avons réussi à exclure toutes les autres opérations d'exponentiation des calculs en factorisant le polynôme. De même, vous pouvez faire une formule de calcul pour d'autres montants similaires.

Calculons maintenant la valeur de l'expression

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

est divisible par 73. Notez que les nombres 9 et 81 sont des puissances de trois :

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Sachant cela, nous ferons un remplacement dans l'expression originale :

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Prenons 3 12 :

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Le produit 3 12 .73 est divisible par 73 (puisque l'un des facteurs est divisible par lui), donc l'expression 81 4 - 9 7 + 3 12 est divisible par ce nombre.

L'affacturage peut être utilisé pour prouver des identités. Par exemple, démontrons la validité de l'égalité

(une 2 + 3a) 2 + 2(une 2 + 3a) = une(une + 1)(une + 2)(une + 3)

Pour résoudre l'identité, on transforme le côté gauche de l'égalité en retirant le facteur commun :

(une 2 + 3a) 2 + 2(une 2 + 3a) = (une 2 + 3a)(une 2 + 3a) + 2(une 2 + 3a) = (une 2 + 3a)(une 2 + 3a + 2 )

(une 2 + 3a)(une 2 + 3a + 2) = (une 2 + 3a)(une 2 + 2a + une + 2) = (une 2 + 3a)((une 2 + 2a) + (une + 2 ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Un autre exemple. Montrons que pour toutes les valeurs des variables x et y, l'expression

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

n'est pas un nombre positif.

La solution. Retirons le facteur commun x - y :

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Remarquons que nous avons obtenu le produit de deux binômes similaires qui ne diffèrent que par l'ordre des lettres x et y. Si nous permutions les variables dans l'une des parenthèses, nous obtiendrions le produit de deux expressions identiques, c'est-à-dire un carré. Mais pour échanger x et y, vous devez mettre un signe moins devant la parenthèse :

(x - y) = -(y - x)

Ensuite, vous pouvez écrire :

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

Comme vous le savez, le carré de tout nombre est supérieur ou égal à zéro. Ceci s'applique également à l'expression (y - x) 2 . S'il y a un moins avant l'expression, il doit être inférieur ou égal à zéro, c'est-à-dire qu'il ne s'agit pas d'un nombre positif.

Le développement polynomial aide à résoudre certaines équations. Cela utilise l'instruction suivante :

Si dans une partie de l'équation il y a zéro et dans l'autre le produit de facteurs, alors chacun d'eux doit être égal à zéro.

Exemple. Résolvez l'équation (s - 1)(s + 1) = 0.

La solution. Le produit des monômes s - 1 et s + 1 est écrit à gauche et zéro est écrit à droite. Par conséquent, soit s - 1 soit s + 1 doit être égal à zéro :

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 ou s + 1 = 0

s=1 ou s=-1

Chacune des deux valeurs obtenues de la variable s est la racine de l'équation, c'est-à-dire qu'elle a deux racines.

Réponse 1; une.

Exemple. Résolvez l'équation 5w 2 - 15w = 0.

La solution. Prenons 5w:

Encore une fois, le produit est écrit sur le côté gauche et zéro sur la droite. Continuons avec la solution :

5w = 0 ou (w - 3) = 0

w=0 ou w=3

Réponse : 0 ; 3.

Exemple. Trouvez les racines de l'équation k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.

La solution. Regroupons les termes :

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k - 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

(k 3 + 3)(k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 ou k - 8 = 0

k 2 \u003d -3 ou k \u003d 8

Notez que l'équation k 2 = - 3 n'a pas de solution, puisque tout nombre au carré n'est pas inférieur à zéro. Par conséquent, la seule racine de l'équation d'origine est k = 8.

Exemple. Trouver les racines de l'équation

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Solution : Déplacez tous les termes vers la gauche, puis regroupez les termes :

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 ou u + 3 = 0

u=6 ou u=-3

Réponse : - 3 ; 6.

Exemple. Résous l'équation

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 ou t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 ou t - 5 = 0

t=0 ou t=5

Examinons maintenant la deuxième équation. Devant nous se trouve à nouveau un trinôme carré. Pour le factoriser par la méthode de regroupement, vous devez le représenter comme une somme de 4 termes. Si on fait le remplacement - 5t = - 2t - 3t, alors on peut encore grouper les termes :

t2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t - 3)(t - 2) = 0

T - 3 = 0 ou t - 2 = 0

t=3 ou t=2

En conséquence, nous avons trouvé que l'équation d'origine a 4 racines.

C'est l'une des manières les plus élémentaires de simplifier une expression. Pour appliquer cette méthode, rappelons-nous la loi distributive de la multiplication par rapport à l'addition (n'ayez pas peur de ces mots, vous connaissez bien cette loi, vous avez peut-être oublié son nom).

La loi dit : pour multiplier la somme de deux nombres par un troisième nombre, vous devez multiplier chaque terme par ce nombre et additionner les résultats, en d'autres termes,.

Vous pouvez aussi faire l'opération inverse, et c'est cette opération inverse qui nous intéresse. Comme on peut le voir sur l'échantillon, le facteur commun a, peut être retiré de la fourchette.

Une opération similaire peut être effectuée à la fois avec des variables, telles que et, par exemple, et avec des nombres : .

Oui, c'est un exemple trop élémentaire, tout comme l'exemple donné plus tôt, avec l'expansion d'un nombre, car tout le monde sait ce que sont les nombres et sont divisibles par, mais que se passe-t-il si vous avez une expression plus compliquée :

Comment savoir en quoi, par exemple, un nombre est divisé, non, avec une calculatrice, tout le monde peut, mais sans elle, c'est faible? Et pour cela il y a des signes de divisibilité, ces signes valent vraiment la peine d'être connus, ils vous aideront à comprendre rapidement s'il est possible de sortir le facteur commun de la parenthèse.

Signes de divisibilité

Il n'est pas si difficile de s'en souvenir, très probablement, la plupart d'entre eux vous étaient déjà familiers, et quelque chose sera une nouvelle découverte utile, plus de détails dans le tableau :

Remarque : Le tableau manque de signe de divisibilité par 4. Si les deux derniers chiffres sont divisibles par 4, alors le nombre entier est divisible par 4.

Eh bien, comment aimez-vous le signe? Je vous conseille de vous en souvenir !

Eh bien, revenons à l'expression, peut-être sortez-la de la parenthèse et ça suffit ? Non, il est d'usage que les mathématiciens simplifient, donc au maximum, retirez TOUT ce qui est retiré !

Et donc, tout est clair avec le joueur, mais qu'en est-il de la partie numérique de l'expression ? Les deux nombres sont impairs, vous ne pouvez donc pas diviser par

Vous pouvez utiliser le signe de divisibilité par, la somme des chiffres, et, dont le nombre est composé, est égal et est divisible par, ce qui signifie qu'il est divisible par.

Sachant cela, vous pouvez diviser en toute sécurité en une colonne, à la suite de la division par nous obtenons (les signes de divisibilité se sont révélés utiles !). Ainsi, nous pouvons retirer le nombre de la parenthèse, tout comme y, et en conséquence nous avons :

Pour vous assurer que tout est correctement décomposé, vous pouvez vérifier l'expansion par multiplication !

De plus, le facteur commun peut être retiré dans les expressions de puissance. Ici, par exemple, voyez-vous le facteur commun ?

Tous les membres de cette expression ont des x - on enlève, tous sont divisés par - on enlève à nouveau, on regarde ce qui s'est passé : .

2. Formules de multiplication abrégées

Les formules de multiplication abrégées ont déjà été mentionnées en théorie, si vous vous souvenez à peine de quoi il s'agit, vous devriez les rafraîchir dans votre mémoire.

Eh bien, si vous vous considérez comme très intelligent et que vous êtes trop paresseux pour lire un tel nuage d'informations, alors continuez à lire, regardez les formules et prenez immédiatement les exemples.

L'essence de cette décomposition est de remarquer une formule définie dans l'expression devant vous, de l'appliquer et d'obtenir ainsi le produit de quelque chose et de quelque chose, c'est toute la décomposition. Voici les formules :

Essayez maintenant de factoriser les expressions suivantes à l'aide des formules ci-dessus :

Et voici ce qui aurait dû se passer :

Comme vous l'avez remarqué, ces formules sont un moyen de factorisation très efficace, ce n'est pas toujours adapté, mais cela peut être très utile !

3. Regroupement ou méthode de regroupement

Voici un autre exemple pour vous :

Eh bien, qu'allez-vous en faire ? Il semble être divisible par et en quelque chose, et quelque chose en et en

Mais vous ne pouvez pas tout diviser en une seule chose, eh bien il n'y a pas de facteur commun, comment ne pas chercher quoi, et le laisser sans factoriser ?

Ici, il faut faire preuve d'ingéniosité, et le nom de cette ingéniosité est un regroupement !

Il est utilisé uniquement lorsque tous les membres n'ont pas de diviseurs communs. Pour le regroupement, vous avez besoin trouver des groupes de termes qui ont des diviseurs communs et réarrangez-les de sorte que le même multiplicateur puisse être obtenu de chaque groupe.

Bien sûr, il n'est pas nécessaire de réorganiser par endroits, mais cela donne de la visibilité, pour plus de clarté, vous pouvez prendre des parties individuelles de l'expression entre parenthèses, il n'est pas interdit de les mettre autant que vous le souhaitez, l'essentiel est de ne pas confondre les signes.

Tout cela n'est pas très clair ? Laissez-moi vous expliquer avec un exemple :

Dans un polynôme - mettre un membre - après le membre - nous obtenons

nous regroupons les deux premiers termes ensemble dans une parenthèse séparée et regroupons les troisième et quatrième termes de la même manière, en laissant le signe moins hors de la parenthèse, nous obtenons :

Et maintenant, nous examinons séparément chacun des deux "tas" dans lesquels nous avons divisé l'expression entre parenthèses.

L'astuce consiste à le diviser en de telles piles à partir desquelles il sera possible de retirer le plus grand facteur possible, ou, comme dans cet exemple, essayez de regrouper les membres de sorte qu'après avoir retiré les facteurs des parenthèses des piles, nous ont les mêmes expressions entre parenthèses.

Des deux parenthèses, nous retirons les facteurs communs des membres, de la première parenthèse, et de la deuxième parenthèse, nous obtenons :

Mais ce n'est pas de la décomposition !

Pâne la décomposition ne doit rester que la multiplication, mais pour l'instant nous avons un polynôme simplement divisé en deux parties ...

MAIS! Ce polynôme a un facteur commun. ce

en dehors du support et nous obtenons le produit final

Bingo ! Comme vous pouvez le voir, il y a déjà un produit et en dehors des parenthèses il n'y a ni addition ni soustraction, la décomposition est terminée, car nous n'avons plus rien à sortir des parenthèses.

Cela peut sembler un miracle qu'après avoir retiré les facteurs des parenthèses, nous ayons toujours les mêmes expressions entre parenthèses, qui, encore une fois, nous les avons retirées des parenthèses.

Et ce n'est pas du tout un miracle, le fait est que les exemples dans les manuels et dans l'examen sont spécialement conçus de telle manière que la plupart des expressions dans les tâches de simplification ou factorisation avec la bonne approche, ils sont facilement simplifiés et s'effondrent brusquement comme un parapluie lorsque vous appuyez sur un bouton, alors recherchez ce même bouton dans chaque expression.

Quelque chose que je digresse, qu'avons-nous là avec la simplification? Le polynôme complexe a pris une forme plus simple : .

D'accord, pas aussi encombrant qu'avant ?

4. Sélection d'un carré complet.

Parfois, pour appliquer les formules de multiplication abrégée (répéter le sujet), il faut transformer le polynôme existant en présentant un de ses termes comme la somme ou la différence de deux termes.

Dans ce cas, vous devez le faire, vous apprendrez de l'exemple :

Un polynôme sous cette forme ne peut pas être décomposé à l'aide de formules de multiplication abrégées, il doit donc être converti. Peut-être qu'au début, il ne vous sera pas évident de savoir quel terme diviser en quoi, mais avec le temps, vous apprendrez à voir immédiatement les formules de multiplication abrégées, même si elles ne sont pas présentes dans leur intégralité, et vous déterminerez rapidement ce qui manque ici. à la formule complète, mais pour l'instant - apprendre , un étudiant, plus précisément un écolier.

Pour la formule complète du carré de la différence, ici vous avez besoin à la place. Représentons le troisième terme comme une différence, on obtient : On peut appliquer la formule du carré de la différence à l'expression entre parenthèses (à ne pas confondre avec la différence des carrés !!!), on a : , à cette expression, on peut appliquer la formule de la différence des carrés (à ne pas confondre avec la différence au carré !!!), en imaginant comment, on obtient : .

Une expression qui n'est pas toujours prise en compte dans les facteurs semble plus simple et plus petite qu'elle ne l'était avant la décomposition, mais sous cette forme, elle devient plus mobile, dans le sens où vous ne pouvez pas vous soucier de changer les signes et autres absurdités mathématiques. Eh bien, pour que vous décidiez par vous-même, les expressions suivantes doivent être factorisées.

Exemples:

Réponses :​

5. Factorisation d'un trinôme carré

Pour la factorisation d'un trinôme carré, voir ci-dessous dans les exemples de décomposition.

Exemples de 5 méthodes pour factoriser un polynôme

1. En prenant le facteur commun entre parenthèses. Exemples.

Vous souvenez-vous de la loi distributive ? C'est une telle règle:

Exemple:

Factoriser un polynôme.

La solution:

Un autre exemple:

Multiplier.

La solution:

Si le terme entier est sorti de parenthèses, on reste entre parenthèses à sa place !

2. Formules de multiplication abrégée. Exemples.

Les formules les plus couramment utilisées sont la différence des carrés, la différence des cubes et la somme des cubes. Vous souvenez-vous de ces formules ? Sinon, répétez de toute urgence le sujet!

Exemple:

Factoriser l'expression.

La solution:

Dans cette expression, il est facile de trouver la différence des cubes :

Exemple:

La solution:

3. Méthode de regroupement. Exemples

Il est parfois possible d'intervertir les termes de manière à extraire un seul et même facteur de chaque couple de termes voisins. Ce facteur commun peut être retiré de la parenthèse et le polynôme d'origine se transformera en un produit.

Exemple:

Factoriser le polynôme.

La solution:

Nous regroupons les termes comme suit :
.

Dans le premier groupe, on retire le facteur commun entre parenthèses, et dans le second - :
.

Maintenant, le facteur commun peut également être retiré des parenthèses :
.

4. La méthode de sélection d'un carré complet. Exemples.

Si le polynôme peut être représenté comme la différence des carrés de deux expressions, il ne reste plus qu'à appliquer la formule de multiplication abrégée (différence des carrés).

Exemple:

Factoriser le polynôme.

La solution:Exemple:

\begin(tableau)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(square\ sums\ ((\left (x+3 \droite))^(2)))-9-7=((\gauche(x+3 \droite))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(tableau)

Factoriser le polynôme.

La solution:

\begin(tableau)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(carré\ différences((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \right))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(tableau)

5. Factorisation d'un trinôme carré. Exemple.

Un trinôme carré est un polynôme de la forme, où est une inconnue, sont des nombres, de plus.

Les valeurs variables qui transforment le trinôme carré en zéro sont appelées racines du trinôme. Par conséquent, les racines d'un trinôme sont les racines d'une équation quadratique.

Théorème.

Exemple:

Factorisons le trinôme carré : .

Premièrement, nous résolvons l'équation quadratique : nous pouvons maintenant écrire la factorisation de ce trinôme carré en facteurs :

Maintenant votre avis...

Nous avons décrit en détail comment et pourquoi factoriser un polynôme.

Nous avons donné beaucoup d'exemples sur la façon de le faire en pratique, souligné les pièges, donné des solutions ...

Que dis-tu?

Comment aimez-vous cet article? Utilisez-vous ces astuces ? Comprenez-vous leur essence ?

Écrivez dans les commentaires et... préparez-vous pour l'examen !

Jusqu'à présent, c'est la chose la plus importante dans votre vie.

Pour factoriser les polynômes, nous avons utilisé des parenthèses, des regroupements et des formules de multiplication abrégées. Il est parfois possible de factoriser un polynôme en appliquant successivement plusieurs méthodes. Dans ce cas, la transformation doit, si possible, commencer en retirant le facteur commun des parenthèses.

Exemple 1 Factorisons le polynôme 10a 3 - 40a.

La solution: Les termes de ce polynôme ont un facteur commun de 10a. Prenons ce facteur entre parenthèses :

10a 3 - 40a \u003d 10a (un 2 - 4).

La factorisation peut être poursuivie en appliquant la formule de la différence des carrés à l'expression a 2 - 4. En conséquence, nous obtenons des polynômes de degrés inférieurs comme facteurs.

10a (un 2 - 4) \u003d 10a (un + 2) (un - 2).

10a 3 - 40a \u003d 10a (un + 2) (un - 2).

Exemple 2 Factoriser le polynôme

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - Zb 2 y.

La solution: Tout d'abord, nous prenons le facteur commun b2 entre parenthèses :

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Essayons maintenant de factoriser le polynôme

ab - 3b + ay - 3a.

En regroupant le premier terme avec le second et le troisième avec le quatrième, on a

ab - 3b + ay - Zu \u003d b (a - 3) + y (a - 3) \u003d (a - 3) (b + y).

Enfin on obtient

ab 3 - Zb 3 + ab 2 y - Zb 2 y \u003d b 2 (a - 3) (b + y).

Exemple 3 Factorisons le polynôme a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

La solution: Regroupons les premier, deuxième et quatrième termes du polynôme. Nous obtenons le trinôme a 2 - 4ax + 4x 2, qui peut être représenté comme un carré de la différence. C'est pourquoi

un 2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (un 2 - 4ax + 4x 2) - 9 \u003d (un - 2x) 2 - 9.

L'expression résultante peut être factorisée à l'aide de la formule de la différence des carrés :

(a - 2x) 2 - 9 \u003d (a - 2x) 2 - Z 2 \u003d (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Par conséquent,

un 2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (un - 2x - 3) (un - 2x + 3).

Notez que lors de la factorisation d'un polynôme, nous entendons sa représentation comme un produit de plusieurs polynômes, dans lequel au moins deux facteurs sont des polynômes de degré non nul (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas des nombres).

Tous les polynômes ne peuvent pas être factorisés. Par exemple, il est impossible de factoriser les polynômes x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1, etc.

Regardons un exemple d'utilisation de la factorisation pour simplifier les calculs à l'aide d'une calculatrice.

Exemple 4 A l'aide de la calculatrice, nous trouverons la valeur du polynôme bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 pour x = 1,2.

La solution: Si vous effectuez les actions dans l'ordre accepté, vous devez d'abord trouver les valeurs des expressions x 3 5, x 2 2 et 7x, écrire les résultats sur papier ou les entrer dans la mémoire de la calculatrice, puis passer à addition et soustraction. Cependant, le résultat souhaité peut être obtenu beaucoup plus facilement si le polynôme donné est transformé comme suit :

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 \u003d (5x 2 + 2x - 7)x + 4 \u003d ((5x + 2)x - 7)x + 4.

Après avoir fait les calculs pour x = 1,2, nous constatons que la valeur du polynôme est 7,12.

Des exercices

Contrôler les questions et les tâches

1. Donnez un exemple d'une expression entière et d'une expression qui n'est pas un entier.
2. Quelles actions doivent être effectuées et dans quel ordre pour représenter l'expression entière 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4) (x + 4) sous la forme d'un polynôme ?
3. Quelles méthodes de factorisation des polynômes connaissez-vous ?