Types de solutions générales d'équations différentielles. Concepts de base et définitions des équations différentielles

Équation différentielle est une équation reliant la variable indépendante x, la fonction souhaitée y=f(x) et ses dérivées y",y"",\ldots,y^((n)), c'est-à-dire une équation de la forme

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

Si la fonction souhaitée y=y(x) est fonction d'une variable indépendante x, l'équation différentielle est dite ordinaire ; Par exemple,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Lorsque la fonction y souhaitée est fonction de deux ou plusieurs variables indépendantes, par exemple, si y=y(x,t) , alors l'équation est de la forme

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

est appelée une équation aux dérivées partielles. Ici k,l sont des entiers non négatifs tels que k+l=m ; Par exemple

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation. Par exemple, l'équation différentielle y"+xy=e^x est une équation du premier ordre, l'équation différentielle y""+p(x)y=0, où p(x) est une fonction connue, est une fonction du second ordre. équation d'ordre ; l'équation différentielle y^( (9))-xy""=x^2 - équation du 9ème ordre.

Résoudre une équation différentielle Le nième ordre sur l'intervalle (a,b) est une fonction y=\varphi(x) définie sur l'intervalle (a,b) avec ses dérivées jusqu'au nième ordre inclus, et telle que la substitution de la fonction y=\ varphi (x) en une équation différentielle transforme cette dernière en une identité en x sur (a,b) . Par exemple, la fonction y=\sin(x)+\cos(x) est une solution de l'équation y""+y=0 sur l'intervalle (-\infty,+\infty). En fait, en différenciant deux fois la fonction, nous aurons

y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

En substituant les expressions y"" et y dans l'équation différentielle, on obtient l'identité

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

Le graphique de la solution d’une équation différentielle s’appelle courbe intégrale cette équation.

Forme générale d'une équation du premier ordre

F(x,y,y")=0.

Si l'équation (1) peut être résolue par rapport à y", alors nous obtenons équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

y"=f(x,y).

Le problème de Cauchy est le problème de trouver une solution y=y(x) à l'équation y"=f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x_0)=y_0 (une autre notation y|_(x=x_0)= y_0).

Géométriquement, cela signifie que l'on recherche une courbe intégrale passant par un point donné
point M_0(x_0,y_0) du plan xOy (Fig. 1).

Théorème d'existence et d'unicité pour une solution au problème de Cauchy

Soit l'équation différentielle y"=f(x,y), où la fonction f(x,y) est définie dans une région D du plan xOy contenant le point (x_0,y_0). Si la fonction f(x ,y) satisfait aux conditions

a) f(x,y) est une fonction continue de deux variables x et y dans le domaine D ;

b) f(x,y) a une dérivée partielle limitée dans le domaine D, alors il existe un intervalle (x_0-h,x_0+h) sur lequel il existe une unique solution y=\varphi(x) de cette équation qui satisfait la condition y(x_0 )=y_0 .

Le théorème fournit des conditions suffisantes pour l'existence d'une solution unique au problème de Cauchy pour l'équation y"=f(x,y) , mais ces conditions ne sont pas nécessaire. À savoir, il peut y avoir une solution unique à l'équation y"=f(x,y) qui satisfait la condition y(x_0)=y_0, bien qu'au point (x_0,y_0) les conditions a) ou b) ou les deux ne soient pas satisfait.

Regardons des exemples.

1. y"=\frac(1)(y^2) . Ici f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). Aux points (x_0,0) de l'axe Ox, les conditions a) et b) ne sont pas satisfaites (fonction f(x,y) et sa dérivée partielle \frac(\partial(f))(\partial(y)) sont discontinus sur l'axe Ox et illimités en y\to0 ), mais passant par chaque point de l'axe Ox il existe une seule courbe intégrale y=\sqrt(3(x-x_0))(Fig.2).

2. y"=xy+e^(-y). Le côté droit de l'équation f(x,y)=xy+e^(-y) et sa dérivée partielle \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y) continue en x et y en tout point du plan xOy. En vertu du théorème d'existence et d'unicité, la région dans laquelle une équation donnée a une solution unique
est le plan xOy entier.

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). Côté droit de l'équation f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2) défini et continu en tous points du plan xOy. Dérivée partielle \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y)) va à l'infini à y=0, c'est-à-dire sur l'axe Ox, de sorte qu'à y=0 la condition b) du théorème d'existence et d'unicité est violée. Par conséquent, aux points de l’axe Ox, l’unicité peut être violée. Il est facile de vérifier que la fonction est une solution à cette équation. De plus, l’équation a une solution évidente y\equiv0 . Ainsi, au moins deux lignes intégrales passent par chaque point de l'axe Ox et, par conséquent, l'unicité est effectivement violée aux points de cet axe (Fig. 3).

Les droites intégrales de cette équation seront aussi des droites composées de morceaux de paraboles cubiques y=\frac((x+c)^3)(8) et des segments de l'axe Ox, par exemple ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x, etc., de sorte qu'un nombre infini de lignes intégrales passent par chaque point de l'axe Ox.

État lipschitzien

Commentaire. Condition pour que la dérivée soit bornée \partial(f)/\partial(y), apparaissant dans le théorème de l'existence et de l'unicité de la solution du problème de Cauchy, peut être quelque peu affaibli et remplacé par ce qu'on appelle État lipschitzien.

Une fonction f(x,y) définie dans un domaine D est dite satisfaire la condition de Lipschitz pour y dans D s'il existe une telle constante L ( Constante de Lipschitz) que pour tout y_1,y_2 de D et tout x de D l'inégalité suivante est vraie :

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Existence d'une dérivée bornée dans la région D \frac(\partial(f))(\partial(y)) il suffit que la fonction f(x,y) satisfasse la condition de Lipschitz dans D. Au contraire, la condition de Lipschitz n’implique pas la condition de limite \frac(\partial(f))(\partial(y)); ce dernier n’existe peut-être même pas. Par exemple, pour l'équation y"=2|y|\cos(x) la fonction f(x,y)=2|y|\cos(x) non différentiable par rapport à y au point (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z), mais la condition de Lipschitz est satisfaite au voisinage de ce point. En effet,

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

parce que le |\cos(x)|\leqslant1, UN ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. Ainsi, la condition de Lipschitz est satisfaite avec la constante L=2.

Théorème. Si la fonction f(x,y) est continue et satisfait la condition de Lipschitz pour y dans le domaine D, alors le problème de Cauchy

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

a une solution unique.

La condition de Lipschitz est essentielle pour l’unicité de la solution au problème de Cauchy. A titre d'exemple, considérons l'équation

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(cas)

Il est facile de voir que la fonction f(x,y) est continue ; d'un autre côté,

f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

Si y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, Que

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta ^2))|Y-y|,

et la condition de Lipschitz n'est satisfaite dans aucune région contenant l'origine O(0,0) puisque le facteur de |Y-y| s'avère illimité à x\to0 .

Cette équation différentielle peut être résolue y=C^2-\sqrt(x^4+C^4), où C est une constante arbitraire. Cela montre qu’il existe un nombre infini de solutions qui satisfont à la condition initiale y(0)=0.

Solution générale l'équation différentielle (2) est appelée la fonction

y=\varphi(x,C),

dépendant d'une constante arbitraire C, et telle que

1) il satisfait à l'équation (2) pour toutes les valeurs admissibles de la constante C ;

2) quelle que soit la condition initiale

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

il est possible de sélectionner une valeur C_0 de la constante C telle que la solution y=\varphi(x,C_0) satisfera la condition initiale donnée (4). Dans ce cas, on suppose que le point (x_0,y_0) appartient à la région où les conditions d'existence et d'unicité d'une solution sont satisfaites.

Décision privée l'équation différentielle (2) est la solution obtenue à partir de solution générale(3) pour toute valeur spécifique d'une constante arbitraire C.

Exemple 1. Vérifier que la fonction y=x+C est une solution générale de l'équation différentielle y"=1 et trouver une solution particulière qui satisfait la condition initiale y|_(x=0)=0. Donner une interprétation géométrique de le résultat.

Solution. La fonction y=x+C satisfait cette équation pour toute valeur d'une constante arbitraire C. En effet, y"=(x+C)"=1.

Définissons une condition initiale arbitraire y|_(x=x_0)=y_0 . En mettant x=x_0 et y=y_0 dans l'égalité y=x+C, on trouve que C=y_0-x_0. En substituant cette valeur de C dans cette fonction, nous aurons y=x+y_0-x_0. Cette fonction satisfait la condition initiale donnée : en mettant x=x_0, on obtient y=x_0+y_0-x_0=y_0. Ainsi, la fonction y=x+C est une solution générale de cette équation.

En particulier, en supposant x_0=0 et y_0=0, nous obtenons une solution particulière y=x.

La solution générale de cette équation, c'est-à-dire la fonction y=x+C définit dans le plan xOy une famille de droites parallèles de coefficient angulaire k=1. Par chaque point M_0(x_0,y_0) du plan xOy passe une seule ligne intégrale y=x+y_0-x_0. La solution particulière y=x détermine l'une des courbes intégrales, à savoir la droite passant par l'origine (Fig. 4).

Exemple 2. Vérifiez que la fonction y=Ce^x est une solution générale de l'équation y"-y=0 et trouvez une solution particulière qui satisfait la condition initiale y|_(x=1)=-1. .

Solution. On a y=Ce^x,~y"=Ce^x. En substituant les expressions y et y" dans cette équation, on obtient Ce^x-Ce^x\equiv0, c'est-à-dire que la fonction y=Ce^x satisfait cette équation pour toutes valeurs de la constante C.

Définissons une condition initiale arbitraire y|_(x=x_0)=y_0 . En remplaçant x_0 et y_0 au lieu de x et y dans la fonction y=Ce^x, nous aurons y_0=Ce^(x_0) , d'où C=y_0e^(-x_0) . La fonction y=y_0e^(x-x_0) satisfait la condition initiale. En effet, en supposant x=x_0, on obtient y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. La fonction y=Ce^x est la solution générale de cette équation.

Pour x_0=1 et y_0=-1 nous obtenons une solution particulière y=-e^(x-1) .

D'un point de vue géométrique, la solution générale détermine une famille de courbes intégrales, qui sont les graphiques de fonctions exponentielles ; une solution particulière est une courbe intégrale passant par le point M_0(1;-1) (Fig. 5).

Une relation de la forme \Phi(x,y,C)=0, qui définit implicitement la solution générale, est appelée intégrale généraleéquation différentielle du premier ordre.

La relation obtenue à partir de l'intégrale générale pour une valeur spécifique de la constante C est appelée intégrale partielleéquation différentielle.

Le problème de la résolution ou de l’intégration d’une équation différentielle est de trouver la solution générale ou l’intégrale générale de l’équation différentielle donnée. Si une condition initiale est en outre spécifiée, il est alors nécessaire de sélectionner une solution particulière ou une intégrale partielle qui satisfait la condition initiale donnée.

Puisque d'un point de vue géométrique les coordonnées x et y sont égales, alors avec l'équation \frac(dx)(dy)=f(x,y) nous considérerons l'équation \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles appelé le processus de recherche de solutions équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à X = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à X = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant , dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui traverse point donné M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

L'équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(o) Et F(x)– quelques primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résous l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) est dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si linéaire équation homogène ressemble à y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résous l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- Pas fonctions connues depuis X. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est à dire. .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y =1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1: r 2 + pr + q = 0

Les équations reliant la variable indépendante, la fonction souhaitée et ses dérivées sont appelées différentiel .

Forme générale des équations différentielles : F (X, oui, oui’, oui’’.. oui’’’) = 0

Par décision d’une équation différentielle est une fonction qui, lorsqu’elle est substituée dans l’équation, la transforme en identité.

L'ordre le plus élevé de la dérivée incluse dans l'équation différentielle est appelé en ordre cette équation.

Le processus de recherche d'une solution à un DE est appelé son l'intégration .

Équations différentielles du premier ordre

Équation différentielle ordinaire du premier ordre appelé une équation de la forme F(x, y, y")=0, où F est une fonction connue de trois variables, X- variable indépendante, oui(X) - la fonction recherchée, oui"(X) est son dérivé. Si l'équation F(x, y, y")=0 peut être résolu relativement oui", alors il s'écrit sous la forme oui"=F(x, y)

L'équation oui"=F(x, y) établit une connexion entre les coordonnées d'un point ( x, y)et la penteoui" tangente à la courbe intégrale passant par ce point.

Une équation différentielle du premier ordre résolue par rapport à la dérivée peut s'écrire forme différentielle :

P.(X; oui) dx+ Q(X; oui) mourir=0,

Où P.(X; oui) Et Q(X; oui) – fonctions connues. L'équation P.(X; oui) dx+ Q(X; oui) mourir=0 C'est pratique car les variables qu'il contient ont des droits égaux, c'est-à-dire chacun d’eux peut être considéré en fonction de l’autre.

Si une équation différentielle du premier ordre oui"=F(x, y), a une solution, alors, d'une manière générale, il a une infinité de solutions et ces solutions peuvent s'écrire sous la forme y = φ(x,C), Où C- constante arbitraire.

Fonctiony = φ(x,C) est appelé décision générale équation différentielle du 1er ordre. Il contient une constante arbitraire et satisfait aux conditions :

Fonctiony = φ(x,C) est une solution du DE pour chaque valeur fixe AVEC.

Quelle que soit la condition initiale oui(X 0 )= oui 0 , on peut trouver une telle valeur de la constante C = C 0 , Quoi fonctiony = φ(x,C 0 ) satisfait à cette condition initiale.

Décision privée Un DE du premier ordre est n’importe quelle fonction y = φ(x,C 0 ), obtenu à partir de la solution générale y = φ(x,C) à une valeur spécifique de la constante C = C 0 .

Le problème de trouver une solution à un DE du premier ordre P.(X; oui) dx+ Q(X; oui) mourir=0 , satisfaisant la condition initiale donnée oui(X 0 )= oui 0 , appelé Problème de Cauchy .

Théorème (existence et unicité d'une solution au problème de Cauchy).

Si dans l'équation. oui"=F(x, y) fonction F(x, y) et sa dérivée partielle F" oui (x, y) sont continus dans certaines régions D, contenant un point (X 0 ; oui 0 ), alors il n'y a qu'une seule solution y = φ(X)de cette équation, satisfaisant la condition initialeoui(X 0 )= oui 0 . (aucune preuve)

Équations séparables

Le DE du premier ordre le plus simple est une équation de la forme

P.(X) dx+ Q(oui) mourir=0.

Un terme ne dépend que de X, et l'autre de oui. Parfois, ces équations différentielles sont appelées équations avec variables séparées . En intégrant cette équation terme par terme, on obtient :

∫ P.(X) dx+ ∫ Q(oui) mourir=с – son intégrale générale.

Un cas plus général est décrit par des équations à variables séparables, qui ont la forme :

P. 1 (X) . Q 1 (o) . dx+P 2 (X) . Q 2 (o) . dy=0.

La particularité de cette équation est que les coefficients sont des produits de deux fonctions dont l'une dépend uniquement de X l'autre - seulement de toi.

L'équation P. 1 (X) . Q 1 (oui) . dx+ P. 2 (X) . Q 2 (oui) . mourir=0 se réduit facilement à l'équation P.(X) dx+ Q(oui) mourir=0. en le divisant terme par terme en Q 1 (oui) . P. 2 (X)≠0. Nous avons compris.

Équation différentielle ordinaire est une équation qui relie une variable indépendante, une fonction inconnue de cette variable et ses dérivées (ou différentielles) d'ordres divers.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient.

En plus des équations aux dérivées partielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles sont également étudiées. Ce sont des équations mettant en relation des variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables et ses dérivées partielles par rapport aux mêmes variables. Mais nous ne considérerons que équations différentielles ordinaires et par conséquent, par souci de concision, nous omettrons le mot « ordinaire ».

Exemples d'équations différentielles :

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'équation (1) est du quatrième ordre, l'équation (2) est du troisième ordre, les équations (3) et (4) sont du deuxième ordre, l'équation (5) est du premier ordre.

Équation différentielle nème ordre ne doit pas nécessairement contenir une fonction explicite, toutes ses dérivées du premier au n-ième ordre et variable indépendante. Il ne peut pas contenir explicitement de dérivées de certains ordres, une fonction ou une variable indépendante.

Par exemple, dans l'équation (1), il n'y a clairement pas de dérivées du troisième et du second ordre, ni de fonction ; dans l'équation (2) - la dérivée du second ordre et la fonction ; dans l'équation (4) - la variable indépendante ; dans l'équation (5) - fonctions. Seule l'équation (3) contient explicitement toutes les dérivées, la fonction et la variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle chaque fonction est appelée y = f(x), lorsqu'il est substitué dans l'équation, il se transforme en identité.

Le processus de recherche d'une solution à une équation différentielle est appelé son l'intégration.

Exemple 1. Trouvez la solution de l'équation différentielle.

Solution. Écrivons cette équation sous la forme . La solution est de trouver la fonction à partir de sa dérivée. La fonction originale, comme le sait le calcul intégral, est une primitive de, c'est-à-dire

C'est ce que c'est solution à cette équation différentielle . Changer dedans C, nous obtiendrons différentes solutions. Nous avons découvert qu’il existe un nombre infini de solutions à une équation différentielle du premier ordre.

Solution générale de l'équation différentielle n L’ordre est sa solution, exprimée explicitement par rapport à la fonction inconnue et contenant n constantes arbitraires indépendantes, c'est-à-dire

La solution de l'équation différentielle de l'exemple 1 est générale.

Solution partielle de l'équation différentielle une solution dans laquelle des constantes arbitraires reçoivent des valeurs numériques spécifiques est appelée.

Exemple 2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle et une solution particulière pour .

Solution. Intégrons les deux côtés de l'équation un nombre de fois égal à l'ordre de l'équation différentielle.

En conséquence, nous avons reçu une solution générale -

d’une équation différentielle du troisième ordre donnée.

Trouvons maintenant une solution particulière dans les conditions spécifiées. Pour ce faire, remplacez leurs valeurs au lieu de coefficients arbitraires et obtenez

Si, en plus de l'équation différentielle, la condition initiale est donnée sous la forme , alors un tel problème est appelé Problème de Cauchy . Remplacez les valeurs et dans la solution générale de l'équation et trouvez la valeur d'une constante arbitraire C, puis une solution particulière de l'équation pour la valeur trouvée C. C'est la solution au problème de Cauchy.

Exemple 3. Résolvez le problème de Cauchy pour l'équation différentielle de l'exemple 1 sous réserve de .

Solution. Remplaçons les valeurs de la condition initiale dans la solution générale oui = 3, X= 1. On obtient

Nous écrivons la solution du problème de Cauchy pour cette équation différentielle du premier ordre :

La résolution d’équations différentielles, même les plus simples, nécessite de bonnes compétences en intégration et en dérivées, y compris les fonctions complexes. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Exemple 4. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle.

Solution. L’équation est écrite sous une forme telle que vous pouvez immédiatement intégrer les deux côtés.

Nous appliquons la méthode d'intégration par changement de variable (substitution). Qu'il en soit ainsi.

Obligatoire de prendre dx et maintenant - attention - nous faisons cela selon les règles de différenciation d'une fonction complexe, puisque X et voici fonction complexe("pomme" - extraction racine carrée ou, qu'est-ce que c'est la même chose - élever à la puissance « la moitié », et « viande hachée » est l'expression même sous la racine) :

On retrouve l'intégrale :

Revenir à la variable X, on a:

C'est la solution générale de cette équation différentielle du premier degré.

Non seulement les compétences des sections précédentes de mathématiques supérieures seront requises pour résoudre des équations différentielles, mais également les compétences de l'élémentaire, c'est-à-dire mathématiques scolaires. Comme déjà mentionné, dans une équation différentielle d'un ordre quelconque, il ne peut y avoir de variable indépendante, c'est-à-dire une variable X. La connaissance des proportions de l'école qui n'ont pas été oubliées (cependant, selon qui) de l'école aidera à résoudre ce problème. C'est l'exemple suivant.

Établissement d'enseignement "État biélorusse

Académie agricole"

Département de mathématiques supérieures

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Notes de cours pour les étudiants en comptabilité

forme d'enseignement par correspondance (NISPO)

Gorki, 2013

Équations différentielles du premier ordre

Le concept d'une équation différentielle. Solutions générales et particulières

Lors de l'étude de divers phénomènes, il n'est souvent pas possible de trouver une loi qui relie directement la variable indépendante et la fonction souhaitée, mais il est possible d'établir un lien entre la fonction souhaitée et ses dérivées.

La relation reliant la variable indépendante, la fonction souhaitée et ses dérivées est appelée équation différentielle :

Ici X- variable indépendante, oui– la fonction recherchée,
- les dérivées de la fonction souhaitée. Dans ce cas, la relation (1) doit avoir au moins une dérivée.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans l'équation.

Considérons l'équation différentielle

. (2)

Puisque cette équation ne comprend qu’une dérivée du premier ordre, elle est appelée est une équation différentielle du premier ordre.

Si l'équation (2) peut être résolue par rapport à la dérivée et écrite sous la forme

, (3)

alors une telle équation est appelée équation différentielle du premier ordre sous forme normale.

Dans de nombreux cas, il est conseillé de considérer une équation de la forme

qui est appelée une équation différentielle du premier ordre écrite sous forme différentielle.

Parce que
, alors l'équation (3) peut s'écrire sous la forme
ou
, où l'on peut compter
Et
. Cela signifie que l'équation (3) est convertie en équation (4).

Écrivons l'équation (4) sous la forme
. Alors
,
,
, où l'on peut compter
, c'est à dire. une équation de la forme (3) est obtenue. Ainsi, les équations (3) et (4) sont équivalentes.

Résoudre une équation différentielle (2) ou (3) est appelé n’importe quelle fonction
, qui, en le substituant dans l'équation (2) ou (3), le transforme en une identité :

ou
.

Le processus de recherche de toutes les solutions d'une équation différentielle est appelé son l'intégration , et le graphique de solution
l'équation différentielle s'appelle courbe intégrale cette équation.

Si la solution de l'équation différentielle est obtenue sous forme implicite
, alors on l'appelle intégral de cette équation différentielle.

Solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une famille de fonctions de la forme
, en fonction d'une constante arbitraire AVEC, dont chacun est une solution à une équation différentielle donnée pour toute valeur admissible d'une constante arbitraire AVEC. Ainsi, l’équation différentielle possède un nombre infini de solutions.

Décision privée l'équation différentielle est une solution obtenue à partir de la formule générale de solution pour une valeur spécifique d'une constante arbitraire AVEC, y compris
.

Problème de Cauchy et son interprétation géométrique

L'équation (2) a un nombre infini de solutions. Afin de sélectionner une solution dans cet ensemble, appelée solution privée, vous devez définir des conditions supplémentaires.

Le problème de trouver une solution particulière à l’équation (2) dans des conditions données est appelé Problème de Cauchy . Ce problème est l’un des plus importants de la théorie des équations différentielles.

Le problème de Cauchy se formule ainsi : parmi toutes les solutions de l'équation (2), trouver une telle solution
, dans lequel la fonction
prend la valeur numérique donnée , si la variable indépendante X prend la valeur numérique donnée , c'est à dire.

,
, (5)

Où D– domaine de définition de la fonction
.

Signification appelé la valeur initiale de la fonction , UN – valeur initiale de la variable indépendante . La condition (5) est appelée condition initiale ou État de Cauchy .

D'un point de vue géométrique, le problème de Cauchy pour l'équation différentielle (2) peut être formulé comme suit : parmi l'ensemble des courbes intégrales de l'équation (2), sélectionner celle qui passe par un point donné
.

Équations différentielles à variables séparables

L'un des types d'équations différentielles les plus simples est une équation différentielle du premier ordre qui ne contient pas la fonction souhaitée :

. (6)

Étant donné que
, on écrit l'équation sous la forme
ou
. En intégrant les deux côtés de la dernière équation, on obtient :
ou

. (7)

Ainsi, (7) est une solution générale de l’équation (6).

Exemple 1 . Trouver la solution générale de l'équation différentielle
.

Solution . Écrivons l'équation sous la forme
ou
. Intégrons les deux côtés de l'équation résultante :
,
. Nous allons enfin l'écrire
.

Exemple 2 . Trouver la solution de l'équation
étant donné que
.

Solution . Trouvons une solution générale à l'équation :
,
,
,
. Par condition
,
. Remplaçons par la solution générale :
ou
. Nous substituons la valeur trouvée d'une constante arbitraire dans la formule de la solution générale :
. Il s'agit d'une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition donnée.

L'équation

(8)

Appelé une équation différentielle du premier ordre qui ne contient pas de variable indépendante . Écrivons-le sous la forme
ou
. Intégrons les deux côtés de la dernière équation :
ou
- solution générale de l'équation (8).

Exemple . Trouver la solution générale de l'équation
.

Solution . Écrivons cette équation sous la forme :
ou
. Alors
,
,
,
. Ainsi,
est la solution générale de cette équation.

Équation de la forme

(9)

intègre en utilisant la séparation des variables. Pour ce faire, on écrit l'équation sous la forme
, puis en utilisant les opérations de multiplication et de division, nous l'amenons à une forme telle qu'une partie ne comprenne que la fonction de X et différentiel dx, et dans la deuxième partie – la fonction de à et différentiel mourir. Pour ce faire, les deux côtés de l’équation doivent être multipliés par dx et diviser par
. En conséquence, nous obtenons l'équation

, (10)

dans lequel les variables X Et à séparé. Intégrons les deux côtés de l'équation (10) :
. La relation résultante est l'intégrale générale de l'équation (9).

Exemple 3 . Intégrer l'équation
.

Solution . Transformons l'équation et séparons les variables :
,
. Intégrons :
,
ou est l'intégrale générale de cette équation.
.

Soit l'équation sous la forme

Cette équation s'appelle équation différentielle du premier ordre avec variables séparables sous une forme symétrique.

Pour séparer les variables, vous devez diviser les deux côtés de l'équation par
:

. (12)

L'équation résultante s'appelle équation différentielle séparée . Intégrons l'équation (12) :

.(13)

La relation (13) est l'intégrale générale de l'équation différentielle (11).

Exemple 4 . Intégrer une équation différentielle.

Solution . Écrivons l'équation sous la forme

et divisez les deux parties par
,
. L'équation résultante :
est une équation à variables séparées. Intégrons-le :

,
,

,
. La dernière égalité est l'intégrale générale de cette équation différentielle.

Exemple 5 . Trouver une solution particulière à une équation différentielle
, satisfaisant la condition
.

Solution . Étant donné que
, on écrit l'équation sous la forme
ou
. Séparons les variables :
. Intégrons cette équation :
,
,
. La relation résultante est l'intégrale générale de cette équation. Par condition
. Remplaçons-le par l'intégrale générale et trouvons AVEC:
,AVEC=1. Alors l'expression
est une solution partielle d'une équation différentielle donnée, écrite sous forme d'intégrale partielle.

Équations différentielles linéaires du premier ordre

L'équation

(14)

appelé équation différentielle linéaire du premier ordre . Fonction inconnue
et sa dérivée entrent linéairement dans cette équation, et les fonctions
Et
continu.

Si
, alors l'équation

(15)

appelé linéaire homogène . Si
, alors l'équation (14) est appelée linéaire inhomogène .

Pour trouver une solution à l’équation (14), on utilise généralement méthode de substitution (Bernoulli) , dont l'essence est la suivante.

Nous chercherons une solution à l'équation (14) sous la forme d'un produit de deux fonctions

, (16)

Où
Et
- quelques fonctions continues. Remplaçons
et dérivé
dans l'équation (14) :

Fonction v nous sélectionnerons de telle manière que la condition soit satisfaite
. Alors
. Ainsi, pour trouver une solution à l'équation (14), il faut résoudre le système d'équations différentielles

La première équation du système est une équation linéaire homogène et peut être résolue par la méthode de séparation des variables :
,
,
,
,
. En tant que fonction
vous pouvez prendre l'une des solutions partielles de l'équation homogène, c'est-à-dire à AVEC=1:
. Remplaçons dans la deuxième équation du système :
ou
.Alors
. Ainsi, la solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme
.

Exemple 6 . Résous l'équation
.

Solution . Nous chercherons une solution à l'équation sous la forme
. Alors
. Remplaçons dans l'équation :

ou
. Fonction v choisir de telle manière que l'égalité soit respectée
. Alors
. Résolvons la première de ces équations en utilisant la méthode de séparation des variables :
,
,
,
,. Fonction v Remplaçons dans la deuxième équation :
,
,
,
. La solution générale de cette équation est
.